Esercizio 4 Un carrellino delle montagne russe di massa m = 120 kg

Matricola
Cognome e nome
Fisica Generale per Tecnologie dei Beni Culturali
Prova Scritta
11 / 07 / 2016
Esercizio 4
Un carrellino delle montagne russe di massa m = 120 kg rotola giù per la rotaia
fino ad arrivare al punto più basso, con una velocità di 5 m/s. Approssimando
l’arco della rotaia con un arco di cerchio di raggio r = 3.5 m, qual è l’accelerazione
a cui è sottoposto il carrellino? Considerando che sul carrello agiscono sia la forza
di gravità, che la reazione vincolare della rotaia, quanto vale quest’ultima?
Ogni risultato va espresso sia come formula che come valore numerico, completo
di unità di misura. Se si usano simboli diversi da quelli che compaiono nei quesiti,
occorre definirli.
Soluzione
In fondo alla rotaia, il moto è istantaneamente orizzontale. Poiché il carrellino
deve seguire una curva di raggio r a velocità v, è sottoposto ad una accelerazione
v2
= 7.143 m/s2 , diretta verso l’alto. Ad essa corrisponde
centripeta a =
r
una forza totale Ftot = ma, che deve essere data sia dalla gravità (verso il
basso) che dalla reazione vincolare (verso l’alto): Ftot = −mg + Fvinc , da cui
Fvinc = Ftot + mg = m(a + g) = 2034 N.
Esercizio 1
Un calciatore calcia un pallone, inizialmente al suolo, dandogli una velocità
iniziale v0 = 75 km/h, con un angolo α = 27◦ rispetto all’orizzontale.
Quanto tempo impiega a raggiungere l’altezza massima? Quanto vale tale
altezza? Quanto vale la sua velocità nel punto di massima altezza?
(si trascurino gli attriti)
Soluzione
Il moto avviene nel campo gravitazionale terrestre. La componente orizzontale
(x) del moto non è soggetta a accelerazione, mentre quella verticale (z) ha
un’accelerazione az = −g. Separiamo il moto nelle due componenti.
In verticale: la velocità iniziale è v0 sin α = 9.458 m/s. Le leggi orarie sono:
g
z(t) = v0 sin α · t − t2 e vz (t) = v0 sin α − gt. L’altezza massima si raggiunge
2
v0 sin α
quando vz (t) = 0, ovvero t =
= 0.965 s. L’altezza massima è quindi
g
g
h = v0 sin α · t − t2 = 4.56 m.
2
In orizzontale: la velocità iniziale è v0 cos α = 18.563 m/s. Siccome non c’è
accelerazione orizzontale, questa è anche la velocità alla massima altezza.
Esercizio 2
Esercizio 3
Le statistiche dicono che negli incidenti di auto frontali, fra un’auto con il solo
conducente e una con conducente+passeggero, è più probabile la sopravvivenza
nel secondo caso.
Provate a capire perché, considerando un caso semplice, di due utilitarie uguali
di massa M = 1100 kg e di 3 persone di massa m = 80 kg, una sulla vettura (1) e
due sulla vettura (2). Se le due vetture si scontrano frontalmente alla velocità di
30 km/h, in un urto completamente anelastico, quanto valgono le variazioni delle
le due velocità, ∆v1 e ∆v2 ?
Dai risultati ottenuti, riuscite a giustificare le statistiche?
Un atleta saltatore, di massa m = 72 kg, riesce a saltare in alto fino ad un’altezza
h = 1.98 m. Quanto lavoro fanno le sue gambe nello spiccare il salto?
Se lo stesso saltatore, in via del tutto ipotetica, si trovasse sulla superficie di
Deimos (satellite di Marte, massa M = 1.47 · 1015 kg e raggio R = 6.2 km), con
addosso un equipaggiamento da astronauta di 15 kg, spiccando il salto con la stessa
energia, ricadrebbe sulla superficie o si perderebbe nello spazio? (Attenzione,
Deimos è piccolo, l’approssimazione di campo gravitazionale uniforme non vale!)
Soluzione
Il lavoro fatto nel salto è pari all’energia potenziale massima, all’apice del salto:
L = mgh = 1398 J.
Ora consideriamo il saltatore su Deimos. La sua massa totale sarebbe m0 =
87 kg. Quando è fermo sulla superficie, la sua energia meccanica è pari all’energia
GM m0
= −1377 J. Dopo il salto, la sua energia meccanica
potenziale U (R) = −
R
sarebbe E = L + U (R) = 21 J. È un’energia relativamente piccola, ma poiché
E > 0, si perderebbe nello spazio. . .
Le masse delle due vetture sono m1 = M + m = 1180 kg e m2 = M + 2m =
1260 kg. Le velocità iniziali sono opposte: v10 = −v20 = 8.3333 m/s. In qualunque
urto, la quantità di moto totale si conserva: ptot = p1 + p2 = m1 v10 + m2 v20 =
−666.67 kg m/s. Dopo l’urto totalmente anelastico, le due vetture restano
attaccate e la loro velocità finale v f deve essere tale che ptot = (m1 + m2 )v f ,
ptot
= −0.273 m/s.
quindi v f =
m1 + m2
Quindi, le variazioni di velocità sono ∆v1 = v f − v10 = −8.607 m/s e ∆v2 =
f
v − v20 = −8.060 m/s.
La vettura più leggera subisce una variazione di velocità maggiore: |∆v1 | >
|∆v2 |. Quindi la persona al suo interno è più sollecitata e rischia di più.
Soluzione
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Fisica Generale per Tecnologie dei Beni Culturali
Prova Scritta
11 / 07 / 2016
Esercizio 8
Il campo magnetico terrestre è orientato in direzione Sud-Nord e ha intensità
B0 variabile con la latitudine, passando da circa 20 µT all’equatore, a circa 70 µT
in prossimità dei poli.
Si vuole costruire un apparato per misurare l’intensità di B0 in un dato luogo. Si
prepara una bobina cilindrica, con un avvolgimento di 1000 spire/m e percorsa da
una corrente elettrica di I, regolabile. All’interno del cilindro si pone una bussola:
in assenza di corrente l’ago della bussola si orienta verso Nord. Si dispone la bobina
con l’asse in Est-Ovest, quindi si accende la corrente elettrica, aumentandola
gradualmente fino a che l’ago della bussola non si orienta a 45◦ rispetto al Nord.
Il valore della corrente circolante in questa condizione è I = 26 mA.
Quanto vale il campo magnetico prodotto dalla bobina? Quanto vale quindi il
campo magnetico terrestre, B0 , in quel luogo?
Soluzione
Il campo magnetico della bobina è B1 = µ0 nI, con µ0 = 4π · 10−7 (unità SI) e
n = 1000 m−1 . Quindi B1 = 3.267 · 10−5 T.
L’ago della bussola si orienta lungo il campo magnetico risultante, che è dato da
B0 (in direzione Sud-Nord) e B1 (in direzione Est-Ovest). Poiché l’ago forma un
angolo di 45◦ rispetto al Nord, vuol dire che B0 e B1 sono uguali, dunque anche
B0 = 3.267 · 10−5 T = 32.67 µT.
Ogni risultato va espresso sia come formula che come valore numerico, completo
di unità di misura. Se si usano simboli diversi da quelli che compaiono nei quesiti,
occorre definirli.
Esercizio 5
Un pallone pieno d’aria (densità ρ = 1.2 kg/m3 ) occupa un volume V = 0.2 m2 ,
alla temperatura T = 20◦ C e alla pressione P = 1 Atm.
Il pallone viene immerso nel mare, alla profondità di 100 m. Quant’è la pressione
P 0 del pallone (la densità dell’acqua marina è ρ0m = 1030 kg/m3 )?
A contatto con l’acqua, la sua temperatura diventa T 0 = 5◦ C. Quanto diventa
il suo volume V 0 ?
Il pallone, in queste condizioni, tende a salire o a scendere? (motivare la risposta)
Soluzione
Inizialmente il pallone ha pressione P = 101325 Pa = 0.101 · 106 Pa e
temperatura T = 293.15 K. Il pallone, immerso, deve sopportare una pressione
P 0 = 1 Atm + ρm gh = 1.111 · 106 Pa, pertanto tale sarà anche la pressione dell’aria
interna.
La temperatura finale è T 0 = 278.15 K. Dalla legge dei gas perfetti (P V = N kT )
T0 P
· V = 0.0173 m3 — si è
si deduce che il volume finale del pallone è V 0 = 0 ·
P T
schiacciato.
V
Poiché la sua massa non è cambiata, la sua densità è diventata ρ0 = ρ 0 =
V
13.9 kg/m3 . È ancora ρ0 < ρm , quindi il pallone tende a salire.
Esercizio 6
Esercizio 7
Un blocco di ghiaccio di massa 300 g alla temperatura iniziale di −25◦ C
viene posto in un forno a microonde, che viene azionato alla potenza di 950 W.
Assumendo che tutta la potenza venga assorbita dal ghiaccio, quanto tempo
occorre perché si sciolga tutto?
Sono date le seguenti grandezze: calore specifico del ghiaccio: cg =
2220 J kg−1 K−1 ; calore specifico dell’acqua: ca = 4186 J kg−1 K−1 ; calore latente
di fusione: λF = 333.5 J kg−1 ; calore latente di vaporizzazione: λV = 2272 J kg−1 .
Quali dati non sono necessari alla soluzione del problema?
Un atomo di idrogeno è costituito da un protone (carica e = 1.602 · 10−19 C) e
da un elettrone (carica −e, massa me = 0.911 · 10−30 kg). Nel “modello orbitale”
dell’atomo, l’elettrone descrive un’orbita circolare intorno al protone, con raggio
r = 5.29 · 10−11 m. Si calcolino l’energia cinetica E, la velocità v e la velocità
angolare ω dell’elettrone. Nel tempo di 1 s, qunti giri intorno al protone farebbe?
Soluzione
Soluzione
Data l’orbita circolare, la forza è centripeta:
2
v2
.
r
Essa è data
1 e
. Uguagliando le due espressioni
4π0 r
2
1 e
mv 2
di F si trova mv 2 =
= 4.360 · 10−18 J, ovvero E =
= 2.180 · 10−18 J.
4π
r
2
0
r
mv 2
= 2.188 · 106 m/s.
La velocità è v =
m
v
La velocità angolare è ω = = 4.136 · 1016 rad/s.
r
ω
Quindi la frequenza è ν =
= 6.58 · 1015 Hz.
2π
Il numero di orbite in 1 s è esattamente 6.58 · 1015 .
dall’attrazione Coulombiana, quindi F =
Calcoliamo l’energia ∆E che occorre cedere al ghiaccio per scioglierlo. Anzitutto
bisogna portarlo da −25◦ C a 0◦ C, quindi δT = 25 K. La sua massa è m = 0.3 kg.
Per fare ciò occorre un’energia ∆E1 = cg m ∆T = 16650 J. Poi occorre farlo
passare allo stato liquido, e per questo serve un’energia ∆E2 = λF m = 100 J. In
totale servono ∆E = ∆E1 + ∆E2 = 16750 J.
∆E
= 17.6 s.
Per erogare questa energia occorre un tempo ∆t =
W
F = m