Complementi di Analisi Matematica I

Complementi di Analisi Matematica I - Tema a
Prima Prova di Accertamento - Corso M-Z
Dicembre 2004
1. Stabilire (eventualmente in dipendenza dal parametro x) il carattere delle seguenti serie
e, se convergenti, calcolarne la somma
(i)
∞
X
n n+1
n3
x
n
(−1)
1
(ii)
∞
X
(−1)n
(2n + 1)!
1
2. Stabilire il carattere delle seguenti serie
(i)
∞
X
n!2n
1
nn
(ii)
∞
X
1
3
2
sin sin
n
n
(iii)
∞
X
r
n
(−1)
1
1+
1
n
3. Stabilire se esistono i seguenti limiti e in caso affermativo, calcolarli
(i)
x7 y 2
(x,y)→(0,0) x8 + y 8
lim
(ii)
x4
(x,y)→∞ x2 + y 2
lim
4. Studiare la continuitá e la differenziabilitá nell’ origine della funzione definita da
f (0, 0) = 0 e da
x4 y
f (x, y) = 2
(x + y 2 )2
√
per (x, y) 6= (0, 0). Calcolare inoltre Dv f (0, 0) dove v = (−1/2, 3/2).
5. a) Scrivere l’equazione del piano tangente al grafico di
f (x, y) = log(x + y) + x2 − y 2
nel punto (1, 0, f (1, 0))
b) Calcolare le derivate direzionali Dv f (1, 0), nelle due direzioni determinate dalla retta
y = −2x + 3
Complementi di Analisi Matematica I - Tema b
Prima Prova di Accertamento
Dicembre 2004
1. Stabilire (eventualmente in dipendenza dal parametro x) il carattere delle seguenti serie
e, se convergenti, calcolarne la somma
(i)
∞
X
∞
X
(−1)n
n n+1
n4
(−1)
1
x
n
(ii)
1
(2n)!
2. Stabilire il carattere delle seguenti serie
(i)
∞
X
n!3n
1
nn
(ii)
∞
X
1
3
2
cos cos
n
n
r
∞
X
1
n
(−1) ( 1 + − 1)
n
1
(iii)
3. Stabilire se esistono i seguenti limiti e in caso affermativo, calcolarli
(i)
x7
(x,y)→(0,0) x6 + y 6
lim
(ii)
y6
(x,y)→∞ x2 + y 2
lim
4. Studiare la continuitá e la differenziabilitá nell’ origine della funzione definita da
f (0, 0) = 0 e da
x3 y4
f (x, y) = 2
(x + y 2 )3
√
per (x, y) 6= (0, 0). Calcolare inoltre Dv f (0, 0) dove v = (1/2, − 3/2).
5. a) Scrivere l’equazione del piano tangente al grafico di
f (x, y) = log(x + y) + x2 − 2y 2
nel punto (0, 1, f (0, 1))
b) Calcolare le derivate direzionali Dv f (0, 1), nelle due direzioni determinate dalla retta
y = −2x + 3