PROGRAMMA di Analisi Matematica 1 1 Numeri

PROGRAMMA di Analisi Matematica 1
A.A. 2012-2013, canale 3, prof. Monica Motta
Ingegneria gestionale, meccanica e meccatronica, Vicenza
Testo Consigliato:
“Analisi Matematica 1”, M. Bramanti, C. D. Pagani & S. Salsa, Zanichelli Editore,
Appunti di lezione e complementi in rete, alla pagina web:
http://www.math.unipd.it/ motta/Didattica/Didattica.html
SETTIMANA 1
1
Numeri
(Tutto, escluso il Par. 8 sui Numeri Complessi)
• Simboli logici. Predicati, proposizioni e loro negazioni.
• Simboli, relazioni e operazioni sugli insiemi. Prodotto cartesiano.
• Proprietà di densità di Q. Proprietà di Archimede. (∗ )
√
• Q non contiene 2 (con dim.).
• Insiemi numerici: N, Z, Q e R.
• Definizione di campo e di relazione d’ordine. Q e R sono campi totalmente ordinati.
• Proprietà di continuità dei reali, equivalente alla Proprietà dell’estremo superiore e alla
Proprietà di separazione.
• Definizione di: maggioranti e minoranti, massimo e minimo, estremo superiore ed estremo
inferiore. Caratterizzazione e proprietà.
• Teorema di unicità del minimo e dela massimo (con dim. facoltativa per il minimo) (∗ )
• Intervalli. Valore assoluto: definizione e disuguaglianze notevoli. Disuguaglianza triangolare (con dim.).
• Definizione di insieme Numerabile. Z, Q sono numerabili, R non é numerabile.
• Principio di induzione. Disuguaglianza di Bernoulli (con dim.).
• Sommatorie e loro proprietà. Somma di progressione geometrica (con dim.).
• Definizione di fattoriale. Coefficienti binomiali. Formula del binomio di Newton e Triangolo di Tartaglia.
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2
Funzioni di una variabile reale
(Tutto, 3.7 e 3.8 leggere)
• Definizione di funzione e di grafico di una funzione.
SETTIMANE 2 E 3
• Definizione di dominio, codominio, immagine e antimmagine (∗ ).
• Funzione iniettiva e suriettiva (∗ ). Funzione invertibile e funzione inversa. Grafico della
funzione inversa per f definita sui reali e reale.
• Composizione di funzioni.
• Funzioni a valori reali: definizione di funzione limitata; caratterizzazione di sup, inf, min
e max di una funzione.
• Funzioni definite sui reali e a valori reali: funzioni monotone, funzioni simmetriche e
funzioni periodiche. Loro grafici.
• Funzioni elementari: affine, valore assoluto, potenza, esponenziali, logaritmiche, trigonometriche, parte intera, iperboliche.
• Stretta monotonia implica iniettività (con dim.). Funzioni trigonometriche inverse. Funzioni iperboliche inverse.
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Limiti e continuità
3.1
Successioni
• Definizione di successione e di relativo limite. Successioni convergenti, divergenti ed irregolari. Successioni infinitesime ed infinite. Limite per eccesso e per difetto. Successioni
limitate.
• Teoremi sui limiti di successione: unicità del limite (con dim.);
• successione convergente implica limitata (con dim.);
• algebra dei limiti su R;
• permanenza del segno (con dim.);
• confronto 1- limn an ≤ limn bn se an ≤ bn ...- (con dim.);
• confronto 2 (con dim.).
• Aritmetizzazione parziale di R∗ (forme indeterminate) (con dim. caso ”+∞ + bn = +∞ e
bn inf. limitata” e limn (1/an ) = 0+ se limn an = +∞);
• Successioni monotone; Teorema di monotonia (con dim.).
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SETTIMANE 4 E 5
• Definizione di e come limite di successione. Limite di nα e limite di an per α ∈ R e per
a > 0.
• Definizione di ”o-piccolo” per le successioni. Gerarchia di successioni infinite e uso di
”o-piccolo” nel calcolo dei limiti di successione.
• Criterio del rapporto per le successioni (con dim.)
3.2
Limiti di funzione
• Definizione di punto di accumulazione (∗ ) e di intorno di x0 ∈ R∗ = R∪{±∞}. Definizione
successionale di limite di f. Teorema di unicità del limite.
• Definizione topologica di limite (compatta e esplicita, nei diversi casi). Teorema ”ponte”:
equivalenza tra le due definizioni.
• Definizione di limite per eccesso e limite per difetto.
• Definizione di limite destro e sinistro. Proposizione: esiste il limite se e solo se i limiti
destro e sinistro coincidono..
• Definizione di asintoto orizzontale, verticale e obliquo.
• Definizione di f continua in x0 . Classificazione dei punti di discontinuità di f.
• Prolungamento per continuità di f.
• Definizione di proprietà locale o che vale definitivamente. Teoremi sui limiti di funzione:
limitatezza locale delle f con limite finito, algebra dei limiti su R, permanenza del segno,
confronto 1, confronto 2. Aritmetizzazione parziale di R∗ (forme indeterminate).
• Proprietà fondamentali delle f continue in x0 (perm. del segno, continuità di somme,
prodotti ecc. di f continue.
• Teorema di continuità delle f elementari (con dim. della continuità di sin x)
• Teorema di cambiamento di variabile nei limiti (con dim.). Corollario: continuità della f
composta.
• Limiti notevoli I: derivanti dalla definizione di e (con dim.); limiti notevoli II: derivanti dal
limite limx→0 sinx x = 1 (con dim.)
• Definizione di f = o(g) in x0 e definizione di f ∼ g in x0 : loro proprietà e uso nei limiti.
Gerarchia di funzioni infinite a +∞ e infinitesime a 0+ (vedere in parte su appunti).
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3.3
Funzioni continue su un intervallo
• Teorema degli zeri (con dim.)
• Teorema dei valori intermedi (con dim.) e Corollario: f continua manda intervalli in
intervalli
• Teorema di Weierstrass
• Teorema sui limiti destro e sinistro delle f monotone
• Funzioni continue su intervallo: invertibilità se e solo se c’ è stretta monotonia; inversa
continua (con dim.).
N.B. I teoremi da sapere con dimostrazione sono solo quelli in cui viene specificato “(con dim.)”.
Per gli altri teoremi, lo studente deve essere in grado di esporre rigorosamente l’enunciato,
spiegare il significato e le applicazioni del risultato. Lo studente deve inoltre saper enunciare
tutte le definizioni in modo rigoroso. Gli esempi inclusi nel testo non fanno parte del programma
di teoria, ma se ne consiglia vivamente la lettura per una migliore comprensione degli argomenti
svolti. L’asterisco “(∗ )” indica che l’argomento non si trova sul libro (bastano in tal caso gli
appunti on line).
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