- I.I.S. Prever – Pinerolo

Capitolo 4
Asintoti
4.1 Asintoti
Definizione 4.1.1.
Data una funzione di equazione y  f (x) , si dice asintoto del grafico della funzione, la retta alla
quale tale grafico si avvicina sempre di più senza mai toccarla.
Tra gli asintoti del grafico di una funzione distinguiamo: asintoti orizzontali, verticali e obliqui. Nei
paragrafi successivi tratteremo ciascuna delle suddette tipologie di asintoti indicando la procedura
da seguire per trovarli.
4.2 Asintoti orizzontali
Definizione 4.2.1.
Data una funzione di equazione y  f (x) , si dice asintoto orizzontale del grafico della funzione, un
asintoto del grafico della funzione che sia parallelo all’asse x.
Osservazione 4.2.1.
Si ricorda che le rette parallele all’asse x hanno equazione del tipo y  a , dove a è un numero .
Data una funzione di equazione y  f (x) , per trovare i suoi eventuali asintoti orizzontali occorre
procedere come segue:

si calcolano i limiti lim f  x  e /o lim f  x  se   e/o   sono presenti quali estremi del

C.E.
se lim f  x   a e/o lim f  x   a , allora la retta di equazione y  a , parallela all’asse x è
x  
x  
x  
x  
asintoto orizzontale del grafico della funzione.
Facciamo ora vedere che se lim f  x   a e/o lim f  x   a , allora man mano che x tende a   il
x  
x  
generico punto del grafico della funzione tende a coincidere con il generico punto corrispondente
della retta di equazione y  a . A tal fine utilizzeremo il concetto di distanza tra due punti
incontrato il terzo anno nel corso di geometria analitica e di cui si parla nel capitolo 0 di questo
libro. Ricordo che dati due punti P1 x1 , y1  e P2 x2 , y2  la loro distanza si calcola come segue:
Autore: Siano Roberto (docente di Matematica presso l’I.I.S. Arturo Prever di Pinerolo)
P2 P1 
x2  x1 2   y 2  y1 2
. Ora sia P1 x, f ( x) il generico punto del grafico della funzione e sia
P2 x, a il generico punto corrispondente della retta di equazione y  a . Si ha che la distanza
relativa è P2 P1 
 x  x 2   f ( x )  a  2
 0 2   f ( x)  a   0   f ( x)  a    f ( x)  a  .
2
2
Ora, dal momento che lim f x   a , si ha che lim  f ( x)  a   0 .
x  
x
Esempio 4.2.1.
2x
. A tal
x 1
fine determiniamo il C.E. In tal caso si pone x 2  1  0 da cui segue che x 2  1 e, infine, che
Trovare l’eventuale asintoto orizzontale al grafico della funzione di equazione y 
2
x  1 . Si conclude che il C.E. =  ;1   1;1  1; . Ne consegue che   e   sono
presenti agli estremi del C. E. e che è quindi possibile calcolare i seguenti limiti:
2x
2x
2
2
2x
2x
2
2
lim 2
 lim 2  lim 
 0 ; lim 2
 lim 2  lim 
 0 . Si conclude che
x   x  1
x   x
x   x
x   x  1
x   x
x   x


la retta di equazione y  0 ( l’asse x) è un asintoto orizzontale per la funzione suddetta. Si veda la
figura in basso.
Autore: Siano Roberto (docente di Matematica presso l’I.I.S. Arturo Prever di Pinerolo)
Osservazione 4.2.2.
Come mostra la figura relativa all’esempio precedente se la retta di equazione y  a è asintoto
orizzontale per la funzione di equazione y  f (x) , allora quando la x del generico punto del grafico
tende all’infinito la sua ordinata f (x) si avvicina sempre di più al valore a sull’asse y.
4.3 Asintoti verticali
Definizione 4.3.1.
Data una funzione di equazione y  f (x) , si dice asintoto verticale del grafico della funzione, un
asintoto del grafico della funzione che sia parallelo all’asse y.
Osservazione 4.3.1.
Si ricorda che le rette parallele all’asse y hanno equazione del tipo x  a , dove a è un numero .
Data una funzione di equazione y  f (x) , per trovare i suoi eventuali asintoti verticali occorre
procedere come segue:

si calcola il limite
l i mf  x 
x a
se a è presente fra gli estremi del C.E. In particolare,
analizzando il C.E. espresso come unione di intervalli, se a precede la parentesi tonda si
Autore: Siano Roberto (docente di Matematica presso l’I.I.S. Arturo Prever di Pinerolo)
calcola il limite lim f x  e/o se a segue la parentesi tonda si calcola il limite lim f x  . Se
xa
xa
almeno uno dei limiti suddetti dà   o   , allora la retta di equazione x  a , parallela
all’asse y è asintoto verticale del grafico della funzione.
Facciamo ora vedere che se lim f  x    , allora man mano che x tende ad a il generico punto del
xa
grafico della funzione tende a coincidere con il generico punto corrispondente della retta di
equazione x  a .
Ora sia P1 x, f ( x) il generico punto del grafico della funzione e sia P2 a, f x ) il generico punto
corrispondente della retta di equazione x  a . Si ha che la distanza relativa è
P2 P1 
x  a 2   f ( x)  f x 2

x  a 2   f ( x)  f x 2

x  a 2  0  x  a 
che per x
che tende ad a tende a 0.
Esempio 4.3.1.
x 1
. A tal
x2  4
fine determiniamo il C.E. In tal caso si pone x 2  4  0 da cui segue che x 2  4 e, infine, che
Trovare l’eventuale asintoto orizzontale al grafico della funzione di equazione y 
x  2 . Si conclude che il C.E. =  ;2   2;2  2; . Ne consegue che  2 e 2 sono
presenti agli estremi del C. E. e che è quindi possibile calcolare i seguenti limiti:
x 1
2 1
3
x 1
2 1
3
lim
 lim 2
 lim   ; lim  2
 lim  2
 lim   
;
x2 x 2  4
x 2 2  4
x2 0
x  2 x  4
x  2 2  4
x  2 0
x 1
2 1
3
x 1
2 1
3
lim 2
 lim 2
 lim   e lim 2
 lim 2
 lim*   Si conclude che la
x2 x  4
x2 2  4
x 2 0
x2 x  4
x 2 2  4
x2 0
rette di equazioni x  2 e x  2 sono degli asintoti verticali per la funzione suddetta. Si veda la
figura in basso.
Autore: Siano Roberto (docente di Matematica presso l’I.I.S. Arturo Prever di Pinerolo)
4.4 Asintoti obliqui
Definizione 4.4.1.
Autore: Siano Roberto (docente di Matematica presso l’I.I.S. Arturo Prever di Pinerolo)
Data una funzione di equazione y  f (x) , si dice asintoto obliquo del grafico della funzione, un
asintoto del grafico della funzione che non è né parallelo all’asse x, né parallelo all’asse y.
Osservazione 4.4.1.
Si ricorda che la retta generica ha equazione del tipo y  mx  q , dove m e q sono dei numeri che
prendono, rispettivamente, il nome di coefficiente angolare e intercetta.
Data una funzione di equazione y  f (x) , per trovare i suoi eventuali asintoti obliqui occorre
procedere come segue:
si calcolano i limiti lim f  x  e /o lim f  x  se   e/o   sono presenti quali estremi

x  
x  
del C.E.

se lim f x    , allora si procede calcolando il limite lim

se il limite lim
x  
x  
x  
lim  f ( x)  mx.
f x 
.
x
f x 
 m , con m  0 , allora si procede ulteriormente calcolando il limite
x
x  
se lim  f ( x)  mx  q , allora il grafico della funzione in oggetto presenta un asintoto

x  
obliquo di equazione y  mx  q . In definitiva: lim  f ( x)  mx  q   0
x  
Facciamo ora vedere che se si verificano le condizioni previste dai punti precedenti, allora man
mano che x tende ad  il generico punto del grafico della funzione tende a coincidere con il
generico punto corrispondente della retta di equazione y  mx  q .
Ora sia P1 x, f ( x) il generico punto del grafico della funzione e sia P2 x, mx  q  il generico punto
corrispondente della retta di equazione y  mx  q . Si ha che la distanza relativa è
P2 P1 
x  x 2   f ( x)  mx  q 2
 0 2   f ( x)  mx  q   f ( x)  mx  q  che per
2
x che
tende a   tende a 0.
Osservazione 4.4.2.
f x 
e lim  f ( x)  mx è infinito, allora
x  
x  
x
non esistono asintoti obliqui. Si precisa inoltre che la condizione lim f x    è la condicio sine
Facciamo notare che se anche uno soltanto dei limiti lim
x  
qua non esiste l’asintoto obliquo. Va da sé che l’esistenza dell’asintoto orizzontale esclude
automaticamente quella dell’asintoto obliquo.
Osservazione 4.4.3.
Facciamo notare che dal momento che lim  f ( x)  mx  q   0 , allora
x  
Autore: Siano Roberto (docente di Matematica presso l’I.I.S. Arturo Prever di Pinerolo)
lim f ( x)  lim mx  q 
x  
x  
, da cui segue, dividendo ambo i membri per x, che
lim
x  
f ( x)
 mx  q 
 lim 

x  
x
 x 
lim
x  
f ( x)
q

 lim  m    m . Inoltre, dall’uguaglianza
x  
x
x

lim f ( x)  lim mx  q 
x  
x  
segue che
lim  f ( x)  mx  q
x  
E ciò giustifica il procedimento seguito per determinare la presenza dell’asintoto obliquo nonché la
sua equazione.
Esempio 4.4.1.
x2 1
Trovare l’eventuale asintoto obliquo del grafico della funzione di equazione y 
. A tal fine
x3
determiniamo il C.E. In tal caso si pone x  3  0 da cui segue che x  3 . Si conclude che il
C.E. =  ;3   3; . Ne consegue che   e   sono presenti agli estremi del C. E. e che
x2 1
x2
 lim
  . La condizione necessaria
è quindi possibile calcolare i seguenti limiti: lim
x   x  3
x   x
all’esistenza degli asintoti obliqui è soddisfatta, quindi è possibile procedere al calcolo del limite
x2 1
x2 1
x2 1 1
x2 1
x2 1
x2
  lim
 lim 2
 lim 2  1 . È
lim x  3 . Si ha che lim x  3  lim
x  
x   x  3
x  
x
x x  x x  3 x  x  3x x  x
x
ora possibile calcolare il seguente limite
 x2 1 
 x 2  1  xx  3
 x 2  1  x 2  3x 
 3x
  1  3x 
lim 
 x  lim 

lim
 lim 
 lim
 3.




x  x  3
x3
x3

 x 
 x 
 x  x  3  x x
In definitiva: la retta di equazione y  x  3 è un asintoto obliquo per il grafico della funzione di
x2 1
equazione y 
. Si noti la figura sottostante che rappresenta la situazione dal punto di vista
x3
grafico.
Autore: Siano Roberto (docente di Matematica presso l’I.I.S. Arturo Prever di Pinerolo)
Autore: Siano Roberto (docente di Matematica presso l’I.I.S. Arturo Prever di Pinerolo)