forme indeterminate

FORME INDETERMINATE
Una volta capita la definizione, i limiti è necessario calcolarli; per farlo non è,
fortunatamente, necessario applicare la definizione.
E’ importante, comunque, almeno in casi semplici, applicare la definizione per
capirne praticamente il significato e la funzione di , di  e dell’intorno che ne
deriva.
Consideriamo una funzione reale di variabile reale “facile”:
f(x) = x2 4x
il dominio è R; il codominio è f(x) ≥  4, non presenta discontinuità.
Forme indeterminate
pagina 1
Se alla x diamo, ad esempio, il valore x = 5 otteniamo per f(5) il valore 9 e
scriveremo f(5)=9;
usando il concetto di limite scriveremo
lim 𝑓(𝑥 ) = 𝑙
𝑥→𝑥0
lim(𝑥 2 − 4𝑥 ) = 9
𝑥→5
Questo esempio ci dice che il calcolo del limite coincide in tutto e per tutto con
il tipo di calcolo che facevamo prima:
calcolare il valore della funzione f(x) = x  4x quando x=5 e calcolare il
2
lim𝑥→5 (𝑥 2 − 4𝑥) sono la stessa cosa.
Forme indeterminate
pagina 2
Ma il concetto di limite non è nato per essere utilizzato in situazioni “normali”;
è nato per dare un significato a operazioni che algebricamente non ne hanno,
come ad esempio la divisione per zero e la divisione per valori infiniti.
Operazioni che non hanno significato algebrico ma che possono avere una
spiegazione visiva se l’espressione algebrica viene considerata come funzione e
rappresentata graficamente in un sistema di assi cartesiani.
Esempio:
la funzione 𝑓 (𝑥 ) =
𝑓(3) =
1
0
1
(𝑥−3)2
non è definita per x =3, si ottiene infatti
, una divisione per zero, operazione non definita nell’insieme dei
numeri reali. Ma, dal grafico (vedi figura), si intuisce chiaramente che
lim𝑥→3 (
1
𝑥−3)2
=∞
e anche:
Forme indeterminate
pagina 3
1.
2.
lim𝑥→+ (
1
lim𝑥→− (
1
𝑥−3)2
𝑥−3)2
=0
=0
Forme indeterminate
pagina 4
Forme indeterminate
pagina 5
Si dice che la funzione 𝑓 (𝑥 ) =
1
(𝑥−3)2
è un infinito per x che tende a 3 e un
infinitesimo per x che tende a ; siamo costretti a considerare + e 
come se fossero numeri che però non hanno un valore preciso.
La presenza di + e , al numeratore e/o al denominatore ci costringe a
parlare di quantità infinitamente grandi (positive e negative) o infinitamente
piccole (tendenti a zero).
Considerare + e  alla stregua di numeri ci costringe a calcolare il valore di
una funzione utilizzando delle regole particolari che potremmo definire
l’algebra degli infiniti e degli infinitesimi. Il problema che si pone ora, però, è
che questa algebra non si limita al tipo di casi che abbiamo visto ed elencato
utilizzando l’esempio precedente. Ci sono delle operazioni tra infiniti e
infinitesimi che non hanno un significato numerico preciso, possono essere
Forme indeterminate
pagina 6
fonte di contraddizioni e
alle quali non sappiamo dare risposta a priori, ma
vanno risolti caso per caso.
Un esempio:
quanto vale 0
? Vale 0, vale +, o qualcos'altro?!?! La risposta è: non c'è
una risposta generale. Dipende da caso a caso!
Le operazioni problematiche, chiamate forme indeterminate, tra infiniti e
infinitesimi, sono quelle per la cui soluzione è stato sviluppato il concetto di
limite e i relativi calcoli.
I limiti permettono di risolvere essenzialmente sette forme indeterminate
Forme indeterminate
pagina 7