Dinamica di Bosoni e Fermioni

Indice
1
Seconda Quantizzazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1
Permutazioni
5
1.2
Particelle identiche
5
1.2.1
1.2.2
Bosoni e Fermioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Teorema spin-statistica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3
Spazio degli stati di bosoni e fermioni
6
N
1.3.1
1.3.2
1.3.3
Base ortonormale in H
............................................. 6
N
Base ortonormale in B
............................................. 6
N
Base ortonormale in F
............................................. 7
1.4
Rappresentazione numero d’occupazione
1.4.1
1.4.2
Bosoni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Fermioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.5
Spazi bosonici e fermionici finito-dimensionali
7
8
F N (CD )
1.5.1
1.5.2
Dimensione di
............................................. 8
N
D
Dimensione di B (C ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.6
Teoria cinetica quantistica ed entropia di Boltzmann
1.6.1
1.6.2
1.6.3
1.6.4
1.6.5
1.6.6
Descrizione cinetica . . . . . . .
Microstati e Macrostati . . . .
Spazio degli stati associato ad
Entropia di Boltzmann . . . . .
Regime classico . . . . . . . . . .
Distribuzione di equilibrio . . .
1.7
Spazio di Fock
1.7.1
1.7.2
Differenza con lo spazio di Fock del campo EM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Spazio di Fock e rappresentazione numero d’occupazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
........................
........................
una celletta nello spazio delle fasi
........................
........................
........................
9
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. 9
. 10
. 10
. 11
. 12
. 12
13
2
1.8
Operatori di creazione e distruzione per bosoni
1.8.1
1.8.2
1.8.3
1.8.4
Relazioni di commutazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Costruzione della base a partire dal vuoto . . . . . . . . . . . . . .
Operatore numero di particelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Una rappresentazione utile dell’operatore numero di particelle
1.9
Operatori di creazione e distruzione per fermioni
1.9.1
1.9.2
1.9.3
1.9.4
Operatori fermionici e antisimmetria dello stato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Operatori di creazione e distruzione in rappresentazione numero di occupazione
Relazioni di anticommutazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Operatore numero di particelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.10
CCR, CAR, cambiamenti di base e operatori di campo
1.10.1
1.10.2
1.10.3
1.10.4
1.10.5
1.10.6
CCR e CAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Cambiamenti di base . . . . . . . . . . . . . . . . .
Base di onde piane . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Operatori di campo . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Operatori di campo nel limite termodinamico
Spin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
13
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. 14
. 15
. 15
. 15
16
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. 16
. 17
. 17
. 18
18
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. 19
. 19
. 21
. 21
. 21
. 22
.
.
.
.
.
.
. 23
. 25
. 25
. 26
. 27
. 28
1.11
Operatori a singola particella e a più particelle in seconda quantizzazione
1.11.1
1.11.2
1.11.3
1.11.4
1.11.5
1.11.6
Operatori a singola particella . . . . .
Operatori a due particelle . . . . . . . .
Operatore numero di particelle . . . .
Operatore energia cinetica . . . . . . .
Operatore energia potenziale esterna
Operatore energia potenziale interna
2
Dinamica di Bosoni e Fermioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.1
Dinamica di bosoni e fermioni in seconda quantizzazione
2.1.1
2.1.2
2.1.3
Particelle non interagenti in campo esterno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Particelle interagenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Particelle in campo esterno e collegamento con la meccanica statistica . . . . . . . . . . . . . 33
2.2
Quasi-particelle e lacune per un sistema di fermioni
2.2.1
2.2.2
2.2.3
2.2.4
2.2.5
2.2.6
2.2.7
2.2.8
Raggio della sfera di Fermi per N particelle non interagenti in un volume V
Hamiltoniana libera e suo stato fondamentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Quasi-particelle e lacune . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Effetto di una perturbazione esterna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Negatoni e positoni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Operatori di campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Interazione tra positoni e negatoni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Particelle e anti-particelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3
Interazione tra fermioni mediata da bosoni
2.3.1
2.3.2
2.3.3
2.3.4
2.3.5
2.3.6
2.3.7
2.3.8
Hamiltoniana del modello . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Hamiltoniana di interazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ampiezza di transizione, operatore cronologico e propagatore di Feynman
Calcolo del propagatore di Feynman per bosoni scalari non relativistici . . .
Propagatore di Feynman come funzione di Green . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Espressione covariante del propagatore di Feynman . . . . . . . . . . . . . . . .
Commutatore e funzione di auto-correlazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Prodotto cronologico e teoria delle perturbazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
23
31
35
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. 36
. 36
. 38
. 38
. 39
. 40
. 40
. 40
41
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. 41
. 42
. 42
. 44
. 45
. 47
. 47
. 48
3
3
Fermioni relativistici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.1
Onde e particelle
3.1.1
3.1.2
3.1.3
Dall’ipotesi di de Broglie all’equazione di Schrödinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
Principio di minimo accoppiamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
Invarianza locale di gauge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
51
3.2
L’equazione di Pauli
3.2.1
3.2.2
3.2.3
Fattore giromagnetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
Algebra di Pauli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
Invarianza di gauge ed equazione di Pauli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
54
3.3
Significato geometrico degli spinori
3.3.1
3.3.2
3.3.3
3.3.4
3.3.5
Corrispondenza tra SO(3) e SU(2)
Spinore come “asta portabandiera”
Spinore come autovettore . . . . . . .
Inversione spaziale o parità . . . . . .
Spinore come stiro-rotazione∗ . . . .
58
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. 59
. 61
. 61
. 64
. 64
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. 65
. 67
. 68
. 68
3.4
Relatività e spinori
3.4.1
3.4.2
3.4.3
3.4.4
Algebra di Pauli e 4-vettori . . . . . .
Spinore come 4-vettore di tipo luce
Inversione spaziale . . . . . . . . . . . .
Chiralità . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65
3.5
L’equazione di Weyl
3.5.1
3.5.2
3.5.3
Pregi e difetti dell’equazione di Weyl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
Particelle e antiparticelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
Elicità e chiralità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.6
L’equazione di Dirac
3.6.1
3.6.2
3.6.3
3.6.4
3.6.5
Da Weyl a Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
L’equazione di Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Algebra di Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4-vettore associato allo spinore di Dirac ed equazione
Analisi in onde piane e moto della particelle . . . . . .
3.7
Anti-particelle classiche
3.7.1
3.7.2
3.7.3
3.7.4
Anti-particelle classiche secondo Stueckelberg e Feynman
Trasformazioni P, T e C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Carica elettrica e massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Il problema delle soluzioni a “energia negativa” . . . . . . .
3.8
Relatività e seconda quantizzazione
3.8.1
3.8.2
3.8.3
Particelle e antiparticelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
Invarianza per inversione quadridimensionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
Teorema spin-statistica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
69
72
..........
..........
..........
di continuità
..........
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. 72
. 73
. 74
. 75
. 76
77
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. 77
. 78
. 78
. 79
80
1. Seconda Quantizzazione
1.1
Permutazioni
Funzione d’onda di N particelle
Ψ = Ψ(1, . . . , N )
dove 1 ≡ (x1 , σ1 ), 2 ≡ (x2 , σ2 ), . . . , x ∈ R3 posizione della particella, σ ∈ [−s, . . . , 0, . . . s],
con s lo spin della particella. Quindi
Ψ ∈ H1 ⊗ . . . ⊗ HN ,
Hn = L2C2sk +1 (R3 )
Operatore Pij di trasposizione (scambio) della particella i con la particella j:
Pij Ψ(. . . , i, . . . , j . . .) = Ψ(. . . , j, . . . , i . . .)
Pij autoaggiunto e Pij2 = I, quindi i suoi autovalori sono ±1
Il gruppo delle permutazioni di N oggetti ha N ! elementi. Ogni permutazione P può
essere espressa come un prodotto di trasposizioni.
Es. P124 ≡ (124) = (14)(12) ( (124) ≡ (1 → 2, 2 → 4, 4 → 1) = (4 → 1)(1 → 2)). Una
permutazione è pari se contiene un numero pari di trasposizioni, dispari altrimenti.
1.2
Particelle identiche
Le particelle identiche hanno stesso spin, stessa massa, stessa carica, etc, e in particolare
stesso spazio di singola particella H .
1.2.1
Bosoni e Fermioni
In R3 ci sono due tipi di particelle identiche:
Bosoni, la cui funzione d’onda è totalmente simmetrica rispetto al gruppo delle
permutazioni:
Pij Ψ(. . . , i, . . . , j . . .) = Ψ(. . . , i, . . . , j . . .)
6
Capitolo 1. Seconda Quantizzazione
Fermioni, la cui funzione d’onda è totalmente antisimmetrica rispetto al gruppo delle
permutazioni
Pij Ψ(. . . , i, . . . , j . . .) = −Ψ(. . . , i, . . . , j . . .)
1.2.2
1.3
Teorema spin-statistica
I bosoni hanno spin intero e i fermioni spin semi-intero (teorema spin-statistica, conseguenza
dei principi generali della teoria quantistica relativistica).
Spazio degli stati di bosoni e fermioni
Sia H N = H ⊗ . . . ⊗ H , con H = L2C2s+1 (R3 ). Allora lo spazio degli stati di N bosoni,
che denoteremo B N , è lo spazio delle funzioni d’onda completamente simmetriche in H N ,
e lo spazio degli stati di N fermioni, che denoteremo F N , è lo spazio delle funzioni d’onda
completamente antisimmetriche in H N . Costruiamo una base per bosoni e fermioni a
partire da una base in H N .
1.3.1
Base ortonormale in H N
Una base in H N è così costruita. Sia {uα = uα (x)}∞
α=1 una base (qualunque) nello spazio
H di singola particella. Allora
uα1 (1)uα2 (2) · · · uαN (N ) ,
αk = 1, 2, . . . , k = 1, . . . , N
è una base in H N . Per comodità di scrittura, useremo la notazione uα ≡ |αi, α = 1, 2, . . . e
scriveremo
|α1 i1 |α2 i2 . . . |αN iN ,
αk = 1, 2, . . . , k = 1, . . . , N
per la base in H N .
1.3.2
Base ortonormale in B N
Si ottiene una base in B N mediante simmetrizzazione completa della base in H N , cioè
mediante l’operatore di simmetrizzazione S+ :
S+ |α1 i1 |α2 i2 . . . |αN iN =
X
P |α1 i1 |α2 i2 . . . |αN iN
P
2 = I) da H N a
La precedente equazione definisce S+ come l’operatore di proiezione ( S+
N
N
N
B , cioè B = S+ H .
Normalizzazione
I vettori S+ |α1 i1 |α2 i2 . . . |αN iN non sono normalizzati a 1. Se il vettore |α1 i1 |α2 i2 . . . |αN iN
contiene stati che non si ripetono (ad es. per N = 5, il vettore |4i1 |7i2 |8i3 |1i4 |3i5 ), allora
la somma
X
P |α1 i1 |α2 i2 . . . |αN iN
P
contiene N ! elementi (in quanto per N oggetti distinti
√ ci sono N ! permutazioni possibili).
Allora in questo caso il fattore di normalizzazione è 1/ N !. Se |α1 i1 |α2 i2 . . . |αN iN contiene
stati che si ripetono (ad es. |1i1 |1i2 |1i3 |1i4 |1i5 o |2i1 |2i2 |1i3 |1i4 |1i5 ), la somma contiene
meno termini. Se |α1 i si ripete n1 volte, |α2 i si ripete n2 volte e così via, la somma contiene
N!
n1 !n2 ! · · ·
1.4 Rappresentazione numero d’occupazione
termini e quindi il fattore di normalizzazione è
s
|α1 s α2 s · · · s αN i ≡
7
√
√
n1 !n2 ! · · ·/ N !. Allora i vettori
n1 !n2 ! · · · X
P |α1 i1 |α2 i2 . . . |αN iN
N!
P
formano una base ortonormale in B N .
1.3.3
Base ortonormale in F N
Si ottiene una base in F N mediante antisimmetrizzazione completa della base in H N ,
cioè mediante l’operatore di antisimmetrizzazione S− :
S− |α1 i1 |α2 i2 . . . |αN iN =
X
(−1)P P |α1 i1 |α2 i2 . . . |αN iN
P
2 = I) da H N a
La precedente equazione definisce S− come l’operatore di proiezione ( S−
N
N
N
F , cioè F = S− H .
Determinanti di Slater e Principio di Pauli
Riconosciamo che
X
(−1)P P |α1 i1 |α2 i2 . . . |αN iN
P
è semplicemente lo sviluppo del determinante
|α1 i1
|α i
2 1
...
|αN i1
|α1 i2
|α2 i2
...
|αN i2
. . . |α1 iN . . . |α2 iN ...
... . . . |αN iN che è detto determinate di Slater. Se |α1 i1 |α2 i2 . . . |αN iN contiene stati che si ripetono (ad
es. per N = 3, |1i1 |1i2 |4i3 ), il determinante di Slater è zero, in accordo con il principio di
Pauli secondo cui due fermioni non possono occupare lo stesso stato.
Normalizzazione
Poichè non possono aversi
ripetizioni, la somma
√
normalizzazione è 1/ N !. Allora i vettori
P
P
contiene N ! elementi e il fattore di
1 X
|α1 ∧ α2 ∧ · · · ∧ αN i ≡ √
(−1)P P |α1 i1 |α2 i2 . . . |αN iN
N! P
formano una base ortonormale in F N . Poiché una trasposizione fa cambiare segno al
vettore,
|α1 ∧ α2 ∧ · · · ∧ αN i = −|α2 ∧ α1 ∧ · · · ∧ αN i
conveniamo di fissare l’ordinamento α1 < α2 < · · · < αN per denotare i vettori della base.
1.4
Rappresentazione numero d’occupazione
Una maniera equivalente per rappresentare gli stati delle basi bosoniche e fermioniche è in
termini di numeri di occupazione degli stati della base di singola particella. Il vettore
|{nα }i ≡ |n1 , n2 , n3 , . . .i
8
Capitolo 1. Seconda Quantizzazione
specifica quante particelle sono nello stato |αi, per α = 1, 2, 3, . . .. Naturalmente, per N
particelle,
X
nα = N
α
Di solito si dice che i vettori |n1 , n2 , n3 , . . .i forniscono una rappresentano in seconda
quantizzazione dei vettori |α1 s α2 s · · · s αN i (bosoni) o |α1 ∧ α2 ∧ · · · ∧ αN i (fermioni)
che rappresentano gli stati in “prima quantizzazione”.
1.4.1
Bosoni
Gli stati si possono ripetere, essendo il numero totale di particelle l’unico vincolo. Ad
esempio si può avere per 5 particelle si può avere |51 , 0, 0, 0, . . .i (tutte le particelle nel
primo elemento della base); questa è la rappresentazione numero d’occupazione dello stato
|1 s 1 s 1 s 1 s 1i. Un altro esempio per N = 5:
|1 s 1 s 1 s 2 s 2i
1.4.2
|31 , 22 , 0, 0, . . .i
Fermioni
I numeri occupazione possono valere solo 0 o 1 e per N particelle il valore 1 deve comparire
N volte. Ad esempio, per N = 4,
|1 ∧ 2 ∧ 4 ∧ 5i
1.5
↔
↔
|1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, . . .i
Spazi bosonici e fermionici finito-dimensionali
Consideriamo il caso in cui lo spazio di singola particella sia finito dimensionale, cioè
H sia CD per qualche intero D. Allora lo spazio di N bosoni e lo spazio di N fermioni
sono finito-dimensionali; denotiamo questi spazi B N (CD ) e F N (CD ), rispettivamente
(mettendo così in evidenza la dipendenza dallo spazio di singola particella CD ).
1.5.1
Dimensione di F N (CD )
I vettori della base sono stringhe contenenti N simboli 1 e D − N simboli 0 (chiaramente
deve essere D > N ). Allora il problema di calcolare la dimensione dello spazio è equivalente
al problema combinatorio del numero di modi in cui D scatole possono essere divise in due
gruppi, uno formato da N scatole piene e l’altro formato da D − N scatole vuote. Questo
numero è
D
N
!
=
D!
N !(D − N )!
che è quindi la dimensione di F N (CD ). (Si osservi che questa è anche la dimensione dello
spazio dei tensori antisimmetrici di rango N su uno spazio vettoriale di dimensione D,
essendo il problema combinatorio del tutto equivalente).
1.5.2
Dimensione di B N (CD )
Poiché adesso il numero di occupazione dello stato può assumere qualunque valore inferiore
o uguale a N , il calcolo della dimensione dello spazio è equivalente al calcolo delle soluzioni
distinte dell’equazione
n1 + n2 + . . . + nD = N
1.6 Teoria cinetica quantistica ed entropia di Boltzmann
9
sotto la condizione che 0 ≤ nα ≤ N , α = 1, . . . , D. Questo è equivalente al problema
combinatorio del numero di modi distinti in cui si possono riempire D scatole con N palline
identiche.
Rappresentiamo le palline con dei pallini e rappresentiamo le scatole con D spazi tra
D + 1 barre; ad esempio, usiamo il simbolo
| • • • | • | | | | • • • •|
per rappresentare una distribuzione di N = 8 palline in D = 6 scatole con numeri di
occupazione 3, 1, 0, 0, 0, 4. Un simbolo di questo tipo incomincia e finisce con una barra,
ma le rimanenti D − 1 barre e N pallini possono apparire in un ordine arbitrario. Così è
chiaro che il numero di distribuzioni distinte è uguale al modo di scegliere N pallini in un
totale di di N + D − 1 posti, vale a dire
!
N +D−1
N +D−1
=
N
D−1
!
(è la stessa cosa scegliere D − 1 barre in un totale di N + D − 1 posti), che è quindi la
dimensione di B N (CD ). (Si osservi che questa è anche la dimensione dello spazio dei tensori
simmetrici di rango N su uno spazio vettoriale di dimensione D, o il numero di derivate
parziali di ordine N di una funzione di D variabili reali, essendo i problemi combinatori
del tutto equivalenti).
1.6
Teoria cinetica quantistica ed entropia di Boltzmann
Spazi bosonici e fermionici finito-dimensionali giocano un ruolo importante nella teoria
cinetica quantistica e nella caratterizzazione dell’entropia di Boltzmann.
1.6.1
Descrizione cinetica
Si consideri un fluido costituito da N particelle contenuto in un recipiente V . Si suddivida
il volume V in un numero finito di cellette ∆x∆y∆z e, assunto un valore massimo di cut-off
sugli impulsi, di modo che gli impulsi ammissibili siano dentro una regione finita Ω, si
proceda analogamente con Ω, suddividendolo in un numero finito di cellette ∆px ∆py ∆pz .
Allora lo spazio delle fasi di singola particella (di dimensione 6) risulta ripartito in cellette
∆1 , ∆2 , . . . , ∆J di volume
∆3 q∆3 p = ∆x∆y∆z∆px ∆py ∆pz
La descrizione cinetica dello stato del fluido consiste nella specificazione della distribuzione dei numeri N1 , . . . , NJ di particelle che si trovano nelle varie cellette. Se il sistema non
è in equilibrio, questi numeri di possono variare nel corso del tempo. Le cellette sono microscopicamente grandi, in modo da contenere molte particelle cosicché la distribuzione Nµ ,
µ = 1, . . . J, non è soggetta a fluttuazioni statistiche. L’assenza di fluttuazioni quantistiche
è garantita dalla condizione
|∆µ | h3
Al contempo le cellette sono assunte macroscopicamente piccole; in tal modo, la distribuzione
Nµ è ben approssimata da una funzione di distribuzione continua f (q, p) tale che
Z
Nµ =
∆µ
f (q, p)d3 qd3 p
10
1.6.2
Capitolo 1. Seconda Quantizzazione
Microstati e Macrostati
Lo stato microscopico del fluido è descritto da una funzione d’onda (o da una matrice
densità). Se il sistema contenuto in V è isolato, come in effetti assumiamo, la funzione
d’onda del sistema avrà componenti d’energia nel guscio [E, E + δE], essendo δE E.
Denotiamo con K lo spazio degli stati del sistema soggetto ai vincoli appena descritti (la
struttura di K dipenderà, ovviamente, dalla natura bosonica o fermionica delle particelle
che compongono il fluido).
I macrostati del fluido sono descritti dalla distribuzione (N1 , . . . NJ ) delle particelle nelle
cellette. Ad ogni dato macrostato (N1 , . . . NJ ) corrisponde uno spazio di stati microscopici
compatibili con esso, che denoteremo
KN1 ,...,NJ
Allora lo spazio K ammette la seguente decomposizione in spazi ortogonali
K =
M
KN1 ,...,NJ
N1 ,...,NJ
Struttura di KN1 ,...,NJ
Poiché le cellette ∆µ sono grandi rispetto alla scala microscopica, possiamo assumere che
le funzione d’onda delle particelle contenute in diverse cellette abbiano supporto disgiunto
e quindi siano assenti effetti dovuti alle statistiche quantistiche per particelle in diverse
cellette. Allora
KN1 ,...,NJ = K
N1
⊗···⊗K
NJ
dove K Nµ , µ = 1, . . . J, è lo spazio di Nµ particelle associato alla celletta ∆µ . Per queste
particelle non possiamo trascurare l’effetto dovuto alle statistiche quantistiche.
Dimensione di KN1 ,...,NJ
Conveniamo di denotare con D(H ) la dimensione di uno spazio H . Allora per quanto
appena visto
D(KN1 ,...,NJ ) =
J
Y
D(K
Nµ
)
µ=1
1.6.3
Spazio degli stati associato ad una celletta nello spazio delle fasi
Particella in una dimensione confinata in un tratto ∆x, c.c. periodiche. Quanti modi
2π
normali ci sono in un intervallo ∆k di numeri d’onde? La spaziatura tra i livelli è ∆x
.
Quindi in ∆k ci sono
∆x
∆x∆p
∆k =
2π
h
essendo p = h̄k =
h
k
2π
modi normali. Allora il numero di modi normali in una celletta ∆3 q∆3 p è
D=
∆3 q∆3 p
h3
che è quindi la dimensione dello spazio degli stati associato ad una celletta nello spazio
delle fasi di singola particella.
1.6 Teoria cinetica quantistica ed entropia di Boltzmann
11
Dimensione dello spazio degli stati della µ-esima celletta contenente Nµ particelle
Sia Dµ la dimensione dello spazio degli stati di singola particella associato alla celletta ∆µ .
Allora la dimensione dello spazio degli stati per Nµ particelle nella celletta ∆µ è
!
D(K
Nµ
D(K
Nµ
Dµ
Dµ !
)=
=
Nµ
Nµ !(Dµ − Nµ )!
per fermioni
e
!
Nµ + Dµ − 1
(Nµ + Dµ − 1)!
)=
=
(Dµ − 1)!Nµ )!
Nµ
per bosoni
Dimensione di KN1 ,...,NJ
Mettendo insieme le formule ricavate abbiamo
D(KN1 ,...,NJ ) =
J
Y
µ=1
J
Y
Dµ !
Dµ
=
Nµ
N !(Dµ − Nµ )!
µ=1 µ
!
per fermioni
e
D(KN1 ,...,NJ ) =
J
Y
µ=1
1.6.4
J
Y
Nµ + Dµ − 1
(Nµ + Dµ − 1)!
=
(Dµ − 1)!Nµ )!
Nµ
µ=1
!
per bosoni
Entropia di Boltzmann
L’entropia (di Boltzmann) di un macrostato M descritto da uno spazio degli stati KM è
definita come
S(M ) = kB log D(KM )
dove D(KM ) è la dimensione di KM e kB è la costante di Boltzmann. In particolare,
l’entropia del macrostato definito dalla distribuzione (N1 , . . . NJ ) è
S(N1 , . . . NJ ) = kB log D(KN1 ,...,NJ )
L’entropia (di Boltzmann) del microstato Ψ, S(Ψ), è definita come l’entropia del
macrostato M al quale il microstato Ψ appartiene. Se il sistema non è in equilibrio, la sua
entropia cambierà nel corso del tempo.
Fermioni
N fermioni debolmente interagenti:
S(N1 , . . . NJ ) = kB log
J
Y
Dµ !
N !(Dµ − Nµ )!
µ=1 µ
Applicando la formula di Stirling N ! = N N e−N , si ottiene
S(N1 , . . . NJ ) = −kB
"
X Nµ
µ
!
Nµ
Nµ
Nµ
log
+ 1−
log 1 −
Dµ
Dµ
Dµ
Dµ
che nel limite continuo
Nµ
→ f = f (q, p)
Dµ
Dµ →
d3 qd3 p
h3
diventa
S(f ) = −kB
Z
[f log f + (1 − f ) log (1 − f )]
d3 qd3 p
h3
!#
Dµ
12
Capitolo 1. Seconda Quantizzazione
Bosoni
N bosoni debolmente interagenti:
J
Y
(Nµ + Dµ − 1)!
S(N1 , . . . NJ ) = kB log
µ=1
(Dµ − 1)!Nµ )!
Procedendo come per i fermioni, si ottiene
S(N1 , . . . NJ ) = −kB
!
"
X Nµ
Nµ
Nµ
Nµ
log
− 1+
log 1 +
Dµ
Dµ
Dµ
Dµ
µ
!#
Dµ
che nel limite continuo diventa
S(f ) = −kB
1.6.5
Z
[f log f − (1 + f ) log (1 + f )]
d3 qd3 p
h3
Regime classico
Il regime classico corrisponde a livelli scarsamente popolati:
Nµ
1
Dµ
In questo regime le entropie per bosoni e fermioni coincidono con l’espressione classica
trovata da Boltzmann:
S(f ) = −kB
Z
f log f
d3 qd3 p
h3
(a parte h3 ).
1.6.6
Distribuzione di equilibrio
Corrisponde ai valori N1 , . . . NJ che massimizzano della funzione entropia S(N1 , . . . NJ ). La
massimizzazione di S deve tenere conto dei vincoli
X
Nµ = N
(numero totale di particelle)
µ
X
µ Nµ = E
(energia totale)
µ
per cui si usa il metodo dei moltiplicatori di Lagrange e si massimizza la funzione
S(N1 , . . . NJ ) − λ
X
Nµ − β
µ
X
µ Nµ
µ
imponendo che le derivate rispetto a N1 , . . . NJ si annullino.
Si ottiene
fµ ≡
Nµ
1
= λ+βµ
Dµ e
+1
per fermioni
fµ ≡
Nµ
1
= λ+βµ
Dµ e
−1
per bosoni
e
Impopnendo i vincoli e tenuto conto delle relazioni termodinamiche di equilibrio si collegano
λ e β a potenziale chimico e temperatura, rispettivamente.
1.7 Spazio di Fock
1.7
13
Spazio di Fock
In “prima quantizzazione”, per descrivere particelle identiche usiamo B N (bosoni) o F N
(fermioni) quando il numero N di particelle è fissato. Questo accade quando le particelle
sono in una scatola con pareti impermeabili e/o si possono escludere processi di creazione
e annichilazione di particelle. In regime relativistico processi di quest’ultimo tipo sono
possibili. Inoltre, anche in regime non-relativistico può accadere che il numero di particelle
non si conservi nel corso del tempo, come accade, per esempio, quando le particelle sono
contenute in una scatola con pareti permeabili. Risulta quindi utile disporre di una
descrizione dello spazio degli stati in cui il numero di particelle non sia fissato. Una tale
descrizione è data dagli spazi di Fock
F = F0 +F1 +F2 +... =
∞
M
FN
(fermioni)
N =0
e
B = B0 + B1 + B2 + . . . =
∞
M
BN
(bosoni)
N =0
dove F 0 = B 0 = C è lo spazio unidimensionale che descrive l’assenza di particelle e con
tiene un solo stato, lo stato di vuoto |0i; F 1 e B 1 sono gli spazi di singola particella
L2C2s (R3 ) = L2 (R3 ) ⊗ C2s
dove s è lo spin; per i fermioni s è semi-intero, per i bosoni s è nullo o intero. Gli spazi
della somma ortogogonale sono detti settori dello spazio di Fock. Lo spazio di Fock è lo
spazio naturale degli stati in seconda quantizzazione.
1.7.1
Differenza con lo spazio di Fock del campo EM
Abbiamo già incontrato uno spazio di Fock bosonico quando abbiamo studiato la struttura
dello spazio degli stati del campo EM quantistico. In quel caso la decomposizione in somma
ortogonale era stata dedotta. Qui è assunta. Ma si tratta di un’assunzione del tutto
naturale: traduce in matematica il fatto che se il sistema si trova in uno stato definito a N
particelle non può simultaneamente essere in uno stato a numero differente di particelle
(ortogonalità rispetto al prodotto scalare significa che le ampiezze di probabilità tra stati a
numero definito di particelle sono nulle).
1.7.2
Spazio di Fock e rappresentazione numero d’occupazione
La rappresentazione numero di occupazione è la rappresentazione naturale di uno stato di
Fock. Quando scriviamo
|{nα }i ≡ |n1 , n2 , n3 , . . .i
il settore di Fock non è specificato a priori, ma è dedotto sommando i numeri di occupazione:
P
N = nα .
1.8
Operatori di creazione e distruzione per bosoni
Definiamo operatori di creazione e distruzione b∗α e bα per bosoni, relativi ad una base
{|αi} in B 1 che facciano passare da B N a B N +1 (creazione) e B N −1 (distruzione). In
14
Capitolo 1. Seconda Quantizzazione
rappresentazione numero di occupazione (relativa alla base scelta) questi operatori sono
così definiti
b∗α | . . . , nα , . . .i =
√
1 + nα | . . . , nα + 1, . . .i
(?)
e
bα | . . . , nα , . . .i =
√
nα | . . . , nα − 1, . . .i
(??)
In particolare,
bα | . . . , nα = 0, . . .i = 0
e bα |0i = 0
Gli operatori b∗α e bα sono stati definiti in termini della loro azione su una base. Risultano
ben definiti matematicamente come operatori che fanno passare da un settore ai settori
contigui,
b∗α : B N → B N +1
e
bα : B N → B N −1
Tuttavia, la loro estensione a tutto B richiede qualche cautela perché risulta chiaro dalla
loro definizione che si tratta di operatori illimitati e quindi definiti solo in un opportuno
dominio di B. Un’analisi matematica più raffinata (che esula dai nostri scopi) permette
di mostrare che sono l’uno l’aggiunto dell’altro, il che giustifica la notazione che abbiamo
usato.
1.8.1
Relazioni di commutazione
Gli operatori di creazione e distruzione soddisfano le seguenti relazione di commutazione
[bα , bβ ] ≡ bα bβ − bβ bα = 0
(a)
[b∗α , b∗β ]
[bα , b∗β ]
=0
(b)
= δαβ
(c)
≡
≡
b∗α b∗β
bα b∗β
− b∗β b∗α
− b∗β bα
Dim. (a) α = β banale perché bα commuta con se stesso. Per α 6= β:
bα bβ | . . . , nα , . . . , nβ , . . .i =
√
√
nα nβ | . . . , nα − 1, . . . , nβ − 1, . . .i = bβ bα | . . . , nα , . . . , nβ , . . .i
(b) come in (a) (oppure prendendo l’aggiunto di (a).
(c) se α 6= β
bα b∗β | . . . , nα , . . . , nβ , . . .i =
√
q
nα 1 + nβ | . . . , nα −1, . . . , 1+nβ , . . .i = b∗β bα | . . . , nα , . . . , nβ , . . .i
se α = β
(bα b∗α − b∗α bα )| . . . , nα , . . .i =
√
√
√ √ 1 + nα 1 + nα − nα nα | . . . , nα , . . .i = | . . . , nα , . . .i
1.8 Operatori di creazione e distruzione per bosoni
1.8.2
15
Costruzione della base a partire dal vuoto
Partendo dal vuoto |0i possiamo costruire
(1) gli stati di singola particella b∗α |0i, α = 1, 2, . . .,
6 β
(2) gli stati a due particelle b∗α b∗β |0i, α = 1, 2, . . ., β = 1, 2, . . .. Si osservi che per α =
lo stato è correttamente normalizzato in quanto b∗α b∗β |0i = |1α , 1β i, ma se α = β,
√
b∗α b∗α |0i = b∗α |1α = 2|2α . Quindi lo stato normalizzato è √12 (b∗α )2 |0i.
(3) Stati a molte particelle
|n1 , n2 , n3 , . . .i = √
1
(b∗ )n1 (b∗2 )n2 (b∗3 )n3 · · · |0i
n1 !n2 !n3 ! · · · 1
(il fattore di normalizzazione c’è per le ragioni spiegate al punto (2)).
1.8.3
Operatore numero di particelle
L’operatore numero di particelle dello stato α è così definito
n̂α = b∗α bα
Allora
n̂α | . . . , nα , . . .i =
√
√
nα nα | . . . , nα , . . .i = nα | . . . , nα , . . .i
vale a dire, gli stati | . . . , nα , . . .i sono autostati di n̂α con autovalori nα .
L’operatore numero totale di particelle è
N̂α =
X
n̂α
α
e si ha
!
N̂α |n1 , n2 , n3 , . . .i =
X
nα |n1 , n2 , n3 , . . .i
α
1.8.4
Una rappresentazione utile dell’operatore numero di particelle
Dimostriamo che
n̂α |
BN
= Pα ≡
N
X
|αik k hα|
k=1
dove
|αi1 1 hα| ≡ |αi hα| ⊗ 1 · · · ⊗ 1
|αi2 2 hα| ≡ 1 ⊗ |αi hα| ⊗ 1 · · · ⊗ 1
|αi3 3 hα| ≡ 1 ⊗ 1|αi hα| ⊗ 1 · · · ⊗ 1
.........
|αiN N hα| ≡ 1 ⊗ · · · ⊗ 1 ⊗ |αi hα|
Consideriamo l’azione di Pα su un elemento
s
|α1 s α2 s · · · s αN i =
n1 !n2 ! · · ·
S+ |α1 i1 |α2 i2 . . . |αN iN
N!
(♣)
16
Capitolo 1. Seconda Quantizzazione
della base in B N :
s
n1 !n2 ! · · ·
Pα S+ |α1 i1 |α2 i2 . . . |αN iN
N!
s
n1 !n2 ! · · ·
S+ Pα |α1 i1 |α2 i2 . . . |αN iN
N!
Pα |α1 s α2 s · · · s αN i =
=
s
N
X
n1 !n2 ! · · ·
S+
|αik k hα||α1 i1 |α2 i2 . . . |αN iN
N!
k=1
s
N
X
n1 !n2 ! · · ·
S+
δααk |α1 i1 |α2 i2 . . . |αk ik . . . |αN iN
N!
k=1
=
=
s
n1 !n2 ! · · ·
S+ nα |α1 i1 |α2 i2 . . . |αN iN
N!
= nα |α1 s α2 s · · · s αN i
=
che era quello che si voleva dimostrare.
1.9
Operatori di creazione e distruzione per fermioni
Definiamo operatori di creazione e distruzione c∗α e cα per fermioni, relativi ad una base
{|αi} in F 1 in maniera analoga al caso dei bosoni, cioè come operatori che facciano passare
da F N a F N +1 (creazione) e F N −1 (distruzione) e tale da fornire l’operatore n̂α = c∗α cα
che conta quante particelle sono nello stato α. Dobbiamo però procedere con cautela perché
le proprietà di simmetria delle funzioni d’onda sono differenti.
1.9.1
Operatori fermionici e antisimmetria dello stato
Gli operatori c∗α e cα devono essere definiti in modo tale che
(1) applicandoli due volte ad uno stato fermionico il risultato è zero (principio di Pauli),
per cui devono valere le relazioni
(c∗α )2 = 0
(cα )2 = 0,
(2) l’ordine in cui sono applicati deve essere in accordo con le proprietà di anti-simmetria
dello stato fermionico.
Chiariamo il punto (2). Vogliamo che, come per i bosoni, agendo sul vuoto con gli
operatori di creazione, si produca lo stato a N particelle:
|α1 ∧ α2 ∧ · · · ∧ αN i = c∗α1 c∗α2 · · · c∗αN |0i
(si osservi che a differenza del caso dei bosoni, lo stato è automaticamente normalizzato,
non essendo possibili ripetizioni dello stesso stato). Poiché
|α1 ∧ α2 ∧ · · · ∧ αN i = −|α2 ∧ α1 ∧ · · · ∧ αN i
deve valere la relazione c∗α1 c∗α2 = −c∗α2 c∗α1 . e una relazione analoga deve valere per tutte le
altre possibili trasposizioni. Ne concludiamo che c∗α e c∗β devono anticommutare:
{c∗α , c∗β } ≡ c∗α c∗β + c∗β c∗α = 0 ,
∀α, β = 1, 2, . . .
1.9 Operatori di creazione e distruzione per fermioni
17
Si osservi che per α = β si ha (c∗α )2 = 0 cosicché anche il punto (1) è soddisfatto, almeno per
quel che riguarda gli operatori di creazione. Richiedendo che c∗α e cα siano l’uno l’aggiunto
dell’altro, dovrà anche valere
{cα , cβ } ≡ cα cβ + cβ cα = 0 ,
∀α, β = 1, 2, . . .
e quindi il punto (1) risulta completamente soddisfatto.
1.9.2
Operatori di creazione e distruzione in rappresentazione numero di occupazione
In rappresentazione numero di occupazione, avremo
|n1 , n2 , . . . nα , . . .i = (c∗1 )n1 (c∗2 )n2 · · · (c∗α )nα · · · |0i
dove n1 , n2 , . . . nα . . . possono assumere solo i valori 0 e 1. Consideriamo l’azione di c∗α su
un generico ket in rappresentazione numero di occupazione:
c∗α |n1 , n2 , . . . , nα , . . .i = cα (c∗1 )n1 (c∗2 )n2 · · · (c∗α )nα · · · |0i
Questo ket sarà diverso da zero solo se nα = 0; in tal caso per spostare cα nel posto
che gli compete, dobbiamo fargli scavalcare tutti gli operatori che sono a sinistra di α
e che hanno un numero di occupazione diverso da zero. Ad ogni scavalcamento si ha
un’anticommutazione e quindi complessivamente si guadagna un fattore −1 elevano al
numero di particelle che sono a sinistra di α. In breve, si avrà
P
√
n
c∗α | . . . nα , . . .i = 1 − nα (−1) γ<α γ | . . . nα + 1, . . .i
(•)
√
Il fattore 1 − nα davanti tiene conto del fatto che se nα = 1 il risultato è zero. Analogamente,
cα | . . . nα , . . .i =
√
P
nα (−1)
γ<α
nγ
| . . . nα − 1, . . .i
(••)
√
√
Ovviamente, poiché 1 = 1 e 0 = 0, potevamo evitare di usare la radice. Lo abbiamo
fatto solo per mettere in evidenza l’analogia formale con le definizioni (?) e (??) degli
operatori bosonici.
1.9.3
Relazioni di anticommutazione
Dalle definizioni (•) e (••) segue la relazione di anti-commutazione
cα c∗β + c∗β cα = δα β
Dim. Se α 6= β
cα c∗β | . . . , nα , . . . , nβ , . . .i =
P
P
√ q
n
n
nα 1 + nβ (−1) γ<α γ (−1) γ<β γ | . . . , nα − 1, . . . , 1 + nβ , . . .i
= −c∗β cα | . . . , nα , . . . , nβ , . . .i
(diverso da zero solo se nα − 1 = 0, quindi c’è un −1 in meno); se α = β
(cα c∗α + c∗α cα )| . . . , nα , . . .i =
√
√
√ √ 1 − nα 1 − nα + nα nα | . . . , nα , . . .i = | . . . , nα , . . .i
(§)
P
(essendo (−1)
γ<α
nγ
2
= 1).
18
1.9.4
Capitolo 1. Seconda Quantizzazione
Operatore numero di particelle
Dalla (§),
c∗α cα | . . . nα , . . .i = nα | . . . nα − 1, . . .i
Allora, come nel caso bosonico,
n̂α = c∗α cα
è l’operatore numero di particelle dello stato α con autostati sono | . . . , nα , . . .i e corrispondenti autovalori nα . L’operatore numero totale di particelle è
N̂α =
X
n̂α
α
e si ha
!
N̂α |n1 , n2 , n3 , . . .i =
X
nα |n1 , n2 , n3 , . . .i
α
Esercizio. Dimostrare che analogamente al caso bosonico si ha
n̂α |
1.10
FN
= Pα ≡
N
X
|αik k hα|
(♣♣)
k=1
CCR, CAR, cambiamenti di base e operatori di campo
Vogliamo sviluppare un formalismo unificato per bosoni e fermioni nello spazio di Fock:
denoremo con H lo spazio degli stati di singola particella (che può essere B 1 o F 1 ); se
{|αi} è una base in H , denoremo con a∗α e a∗α i corrispondenti operatori di creazione e
distruzione (bosonici o fermionici); denotando con [A, B]± il commutatore AB − BA e
l’anticommutatore AB + BA, scriviamo le relazioni di commutazione in forma compatta
[aα , aβ ]± = 0
(a)
[a∗α , a∗β ]±
[aα , a∗β ]±
=0
(b)
= δαβ
(c)
È importante sottolineare che le relazioni (a), (b), (c) insieme con l’assunzione che esista
uno stato di vuoto |0i tale che
aα |0i = 0
(d)
definiscono completamente la struttura dello spazio degli stati, nel senso che essa risulta
automaticamente definita una base nello spazio di Fock i cui elementi sono
|n1 , n2 , n3 , . . .i = √
1
(a∗ )n1 (a∗2 )n2 (a∗3 )n3 · · · |0i
n1 !n2 !n3 ! · · · 1
sia che si tratti di bosoni o di fermioni (in questo caso , n1 , n2 , . . . possono valere solo 0
o 1).
1.10 CCR, CAR, cambiamenti di base e operatori di campo
1.10.1
19
CCR e CAR
È importante sottolineare ancora una volta che gli operatori di creazione e distruzione
bosonici o fermionici sono definiti relativamente alla scelta di una base nello spazio di
singola particella H . Tuttavia, fissata la base, essi possono essere estesi per linearità a
tutti i vettori di H .
P
Sia |f i = α fα |αi un generico vettore in H , con fα = hα|f i le sue componenti rispetto
alla base {|αi}). Allora, definito
a∗ (|αi) ≡ a∗α
si definisce l’operatore di creazione del vettore f per linearità
!
∗
X
a(f ) ≡ a
fα |αi =
α
X
α
fα a∗ (|αi) =
X
fα a∗α
α
cioè
a∗ (f ) =
X
fα a∗α
α
Ne segue che, prendendo l’aggiunto di ambo i membri dell’equazione,
a(f ) =
X
fα∗ aα
α
per cui f → a(f ) è anti-lineare (mentre f → a∗ (f ) è lineare per costruzione).
Per vettori qualunque f e g in H si ottengono le relazioni (esercizio)
[a(f ), a(g)]± = 0
(a’)
∗
∗
(b’)
∗
(c’)
[a (f ), a (g)]± = 0
[a(f ), a (g)]± = hf |gi
dove hf |gi è il prodotto scalare in H . Queste sono dette relazioni di commutazione (-) o
di anticommutazione (+) “canoniche” (CCR e CAR in inglese) in quanto (a’), (b’), (c’) e
a(f )|0i = 0
(d’)
definiscono completamente la struttura dello spazio di Fock, indipendentemente dalla
scelta di una base. Queste relazioni sono invarianti per trasformazioni unitarie in H : esse
continuano a valere per f 0 = U g e g 0 = U g, con U operatore unitario.
Nota matematica
A partire dalle relazioni di anticommutazione, dimostrare che gli operatori fermionici a(f )∗
e a(f ) sono operatori limitati per qualunque f in H .
1.10.2
Cambiamenti di base
Vogliamo determinare come si trasformano gli operatori di creazione e distruzione in seguito
ad un cambiamento di base. Sia {|µi} un’altra base ortonormale in H ,
|µi =
X
|αihα|µi
α
e siano
a∗µ ≡ a∗ (|µi)
20
Capitolo 1. Seconda Quantizzazione
gli operatori di creazione ad essa associati. (Si osservi che le nostre notazioni sono un po’
pericolose: usiamo l’indice per distinguere le basi!). Allora per linearità
!
a∗α
∗
X
≡a
|µihµ|αi =
X
µ
hµ|αia∗ (|αi) =
µ
X
hµ|αia∗α
µ
Scambiando α con µ, si trova la formula di inversione
a∗µ =
hα|µia∗α
X
α
e prendendo l’aggiunto delle formule precedenti, si ottengono le regole di trasformazione
per gli operatori di distruzione.
Riassumendo, le formule di trasformazione degli operatori di creazione e distruzione
per cambiamento di base sono:
X
 ∗
aα =
hµ|αia∗µ ,



aα =
hα|µia∗α ,
aµ =
µ
∗


 aµ =
X
X
hα|µiaµ
µ
α
X
(@)
hµ|αiaα
α
Poiché la matrice di trasformazione U = {hα|µi} è unitaria, le relazioni (a), (b), (c), (d)
continuano a valere nella nuova base.
Risulta utile conoscere le formule di trasformazione quando si passa ad una base
impropria di autovettori |xi di un operatore continuo (per esempio l’operatore posizione).
In questo caso, gli |xi non sono in L2 e formano un insieme continuo. Tuttavia, le formule
precedenti continuano a valere, a patto di sostituire la somma su µ con l’integrazione su x:




a∗α =
∗


 a(x) =
Z
hx|αia(x)∗ dx ,
hα|xia∗α ,
X
Z
aα =
a(x) =
α
X
hα|xia(x)dx
hx|αiaα
(@@)
α
dove abbiamo usato la notazione a(x) invece di ax . Poiché adesso
hx|x0 i = δ(x − x0 )
è chiaro che la relazione di commutazione o di anticommutazione (c) diventerà
[a(x), a∗ (x0 )]± = δ(x − x0 )
()
Infine, si può avere il caso in cui si passa dalla base impropria |xi ad un’altra base
impropria anch’essa formata da un continuo di di vettori impropri |ki. Questo cambiamento
di base si ottiene dalle formule precedenti sostituendo la somma su α con l’integrazione su
k:
Z


∗
∗

 a(k) = hx|kia(x) dx ,
Z


 a(x)∗ = hk|xia(k)∗ dk ,
Z
ak =
hk|xia(x)dx
Z
a(x) =
(@@@)
hx|kia(k)dk
Adesso sia gli operatori nella base |xi sia quelli nella base |ki soddisfano relazioni di
commutazione o di anticommutazione continue del tipo ().
1.10 CCR, CAR, cambiamenti di base e operatori di campo
1.10.3
21
Base di onde piane
Una base di singola particella particolarmente rilevante è la base di onde piane in una
scatola V = Lx Ly Lz . In questo caso |αi = |ki con
k=
2πnx 2πny 2πnz
,
,
Lx
Ly
Lz
!
,
nx , ny , nz = 0, ±1, ±2, ±3, . . .
La base è dunque formata da onde piane
1
uk (x) = hx|ki = √ eik·x
V
ortonormalizzate:
hk|k0 i =
Z
V
uk (x)∗ uk0 (x)d3 x = δk,k0
Gli operatori di creazione e distruzione associati, ak e a∗k soddisfano le relazioni
[ak , ak0 ]± = δk,k0
e generano la base
|nk1 , nk2 , . . .i = p
1
(a∗ )nk1 (a∗k2 )nk2 · · · |0i
nk1 !nk2 ! · · · k1
nello spazio di Fock.
1.10.4
Operatori di campo
Consideriamo il cambiamento di base dalla base delle onde piane alla base impropria degli
autostati impropri |xi dell’operatore posizione,
|xi =
X
|kihk|xi
k
Allora,per la (@@), gli operatori di distruzione e creazione in rappresentazione posizione
sono
X
1 X ik·x
a(x) =
hx|kiak = √
e ak ≡ ψ(x)
V k
k
(♠)
X
1 X −ik·x ∗
e
ak ≡ ψ(x)∗
a(x)∗ =
hk|xia∗k = √
V k
k
Di solito in fisica si preferisce denotare questi operatori con ψ(x) e ψ(x)∗ e chiamarli
operatori di campo. Dalla () (o per calcolo diretto) seguono le regole di commutazione/anticommutazione:
[ψ(x), ψ(x0 )∗ ]± = δ(x − x0 )
1.10.5
()
Operatori di campo nel limite termodinamico
Per limite termodinamico si intende il limite di scatola infinita Per il passaggio al limite
V → ∞ ricordiamo le regole già incontrate nello studio del campo elettromagnetico:
Z
1X
d3 k
→
V k
(2π)3
V δk,k0 → (2π)3 δ(k − k0 )
22
Capitolo 1. Seconda Quantizzazione
Definiamo versioni continue degli operatori di creazione e distruzione ponendo
√
a(k) ≡ V ak
√
a(k)∗ ≡ V a∗k
Allora dalla (♠) si ha
Z
1 X ik·x
1 X ik·x
d3 k ik·x
ψ(x) = √
e ak =
e a(k)
e a(k) →
V k
(2π)3
V k
Si osservi che usando queste convenzioni per il passaggio al limite V → ∞, gli stati di
singola particella sono onde piane ki ≡ a(k)∗ |0i con ampiezze
hx|ki = hx|a(k)∗ |0i =
√
√ 1
V hx|a∗k |0i = V √ eik·x = eik·x
V
per cui sono normalizzate nel seguente modo
hk|k0 i = (2π)3 δ(k − k0 )
Allora le regole di commutazione/anticommutazione sono
[a(k), a(k)∗ ]± = (2π)3 δ(k − k0 )
dalle quali seguono le regole di commutazione/anticommutazione () per gli operatori di
campo.
1.10.6
Spin
L’inclusione dello spin è immediata: si tratta di sostituire k con k, σ e considerare le onde
piane
ξσ
uk,σ (x) = hx|k, σi = √ eik·x
V
dove ξσ , σ = −s, . . . , 0, . . . , s è una base nello spazio di spin. Allora, nella scatola,
ξσ
hx|a∗k,σ |0i = √ eik·x
V
e gli operatori di campo sono
1 X ik·x
ψσ (x) = √
e ak,σ
V k
1 X −ik·x ∗
ψσ (x)∗ = √
e
ak,σ
V k
Tabella riassuntiva
Tabella riassuntiva delle regole di commutazione/anticommutazione
[ψ(x)σ , ψ(x0 )∗σ0 ]± = δσ,σ0 δ(x − x0 )
[ψ(x)σ , ψ(x0 )σ0 ]± = 0
[ψ(x)∗σ , ψ(x0 )∗σ0 ]± = 0
ψ(x)σ , |0i = 0
1.11 Operatori a singola particella e a più particelle in seconda quantizzazione
1.11
23
Operatori a singola particella e a più particelle in seconda quantizzazione
Gli operatori O che agiscono nello spazio di Fock devono essere invarianti per permutazioni:
se P è una permutazione, deve valere
[P, O] = 0
Particolarmente importanti sono gli operatori che hanno i settori dello spazio di Fock come
spazi invarianti (cioè conservano il numero di particelle). Vediamone due esempi notevoli.
Operatore energia cinetica del sistema. Questo è l’operatore che in ogni settore N è
definito come
p̂21
p̂2
+...+ N ,
2m
2m
K̂ =
p̂k =
h̄
∇k k = 1, . . . N
i
(operatore in prima quantizzazione)
Operatore energia potenziale del sistema. Questo è l’operatore che in ogni settore N > 1
è definito come
Û =
1X
U (xi , xj )
2 k6=j
U (x, y) = U (y, x) energia potenziale di coppia
(operatore in prima quantizzazione)
Operatori come l’energia cinetica, che in prima quantizzazione hanno la forma
O(1) =
N
X
Ok
k=1
dove Ok agisce solo sulla particella k sono detti operatori a singola particella. Operatori
come l’energia potenziale, che in prima quantizzazione hanno la forma
O(2) =
1X
Okj
2 k6=j
dove Okj agisce solo sulla coppia di particelle k e j sono detti operatori a due particelle.
Gli operatori O(n) a n particelle, sono definiti in modo analogo.
Come mostreremo tra breve, gli operatori a singola particella e a più particelle in
seconda quantizzazione si rappresentano mediante gli operatori di creazione e di distruzione
o gli operatori di campo.
1.11.1
Operatori a singola particella
Gli operatori a singola particella O(1) hanno la seguente rappresentazione in termini di
operatori di creazione e distruzione:
O(1) =
hα|O1 |βia∗α aβ
X
αβ
Dim. O1 è un operatore in H . Assumiamo per semplicità che abbia spettro discreto con autovalori oµ e autovettori corrispondenti |µi, con µ = 1, 2, 3, . . ., per cui la sua
rappresentazione spettrale è
O1 =
X
µ
oµ |µihµ|
24
Capitolo 1. Seconda Quantizzazione
Allora la rappresentazione spettrale di Ok è
Ok =
X
oµ |µik k hµ|
µ
dove
|µi1 1 hµ| ≡ |µi hµ| ⊗ 1 · · · ⊗ 1
|µi2 2 hµ| ≡ 1 ⊗ |µi hµ| ⊗ 1 · · · ⊗ 1
|µi3 3 hµ| ≡ 1 ⊗ 1|µi hµ| ⊗ 1 · · · ⊗ 1
.........
|µiN N hµ| ≡ 1 ⊗ · · · ⊗ 1 ⊗ |µi hµ|
Quindi
O
(1)
=
N
X
Ok =
N X
X
oµ |µik k hµ| =
k=1 µ
k=1
X
N
X
oµ
µ
!
|µik k hµ| =
X
oµ a∗µ aµ
µ
k=1
dove nell’ultimo passaggio abbiamo usato la (♣) (bosoni) o la (♣♣) (fermioni), con a∗µ e
aµ gli operatori di creazione e distruzione relativi alla base |µi degli autovettori di O1 .
Adesso passando ad una qualunque altra base {|αi} in H usando le formule per il
cambiamento di base
X
 ∗
a
=
hµ|αia∗µ ,

α


aα =
∗


 aµ =
aµ =
µ
hα|µia∗α ,
X
X
hα|µiaµ
µ
α
X
(@)
hµ|αiaα
α
si ottiene
!
O
(1)
=
X
oµ a∗µ aµ
=
µ
X
µ
oµ
X
hα|µihµ|βia∗α aβ
αβ
=
X X
αβ
oµ hα|µihµ|βi a∗α aβ
µ
!
=
X
hα|
X
oµ |µihµ||βi a∗α aβ =
µ
αβ
X
hα|O1 |βia∗α aβ
αβ
che è proprio la formula che si voleva dimostrare.
Operatori a singola particella espressi mediante gli operatori di campo
Poiché gli operatori di campo sono il limite continuo di operatori di creazione e distruzione,
la rappresentazione degli operatori a singola particella in termini gli operatori di campo è
immediata: basta sostituire le somme con degli integrali e ottenere così
O(1) =
Z
dx0
Z
dx O(x0 , x)ψ(x0 )∗ ψ(x)
dove
O(x0 , x) ≡ hx0 |O1 |xi
1.11 Operatori a singola particella e a più particelle in seconda quantizzazione
1.11.2
25
Operatori a due particelle
Procedendo in modo analogo, è facile dimostrare che gli operatori a due particelle
O(2) =
1X
Okj
2 k6=j
dove Okj agisce solo sulla coppia di particelle k e j, hanno la seguente rappresentazione
O(2) =
1 X
hα, β|O12 |γ, δia∗α a∗β aγ aδ
2 αβγδ
Valgono formule analoghe per gli operatori O(n) a n particelle.
Operatori a due particelle espressi mediante gli operatori di campo
Analogamente al caso di singola particella si ha
O
(2)
Z
=
dx10
Z
Z
dx20
dx1
Z
dx2 O(x10 , x20 ; x1 , x2 )ψ(x10 )∗ ψ(x20 )∗ ψ(x1 )ψ(x2 )
dove
O(x10 , x20 ; x1 , x2 ) ≡ hx10 x20 |O2 |x1 x2 i
Adesso consideriamo la forma di operatori quantistici notevoli, sia nella base delle onde
piane sia nella base (impropria) della posizione.
1.11.3
Operatore numero di particelle
L’operatore numero di particelle N̂ è chiaramente un operatore ad un particella con O1 = 1
ed elementi di matrice hα|O1 |βi = δαβ .
N̂ =
X
δαβ a∗α aβ =
X
a∗α aα
α
αβ
Allora
N̂ =
X
a∗k ak =
k
Z
ψ ∗ (x)ψ(x) d3 x
V
Nel nel limite termodinamico
Z
N̂ =
d3 k ∗
a ak =
(2π)3 k
Z
ψ ∗ (x)ψ(x) d3 x
Operatore densità di particelle
Si osservi che l’operatore
ρ̂(x) ≡ ψ ∗ (x)ψ(x)
ha l’interpretazione naturale di operatore densità di particelle nel punto x: per ogni regione
R in V ,
Z
R
ρ̂(x)d3 x
26
Capitolo 1. Seconda Quantizzazione
è l’operatore numero di particelle contenute in R. In effetti, come si può facilmente
verificare ρ̂(x), è la seconda quantizzazione dell’operatore (a singola particella)
N
X
δ(x − X̂k )
k=1
dove X̂k è l’operatore posizione della particella k.
Problema 1.1 Mostrare direttamente che
Z
ψ ∗ (x)ψ(x) d3 x =
V
X
a∗k ak
k
sviluppando gli operatori di campo.
Sol.
Z "
V
=
1 X −ik·x ∗
√
e
ak
V k
XX
δk,k0 a∗k ak0 =
#
XX 1 Z
1 X ik0 ·x
0
√
e−i(k−k )·x d3 x a∗k ak0
e
ak0 d3 x =
V V
V k0
k k0
X
k0
k
1.11.4
#"
a∗k ak
k
Operatore energia cinetica
Gli elementi di matrice dell’operatore energia cinetica K̂1 di singola particella, nella base
delle onde piane sono
+
* h̄2 k2 0
k
k = h̄ωk δk,k0 ,
2m ωk ≡
h̄k2
2m
Quindi
K̂ =
X
h̄ωk a∗k ak
k
Per ottenere la sua rappresentazione in termini degli operatori di campo, dobbiamo
considerare gli elementi di matrice
K(x0 , x) ≡ hx0 | −
h̄2
h̄2
∆x |xi = −
∆x δ(x − x0 )
2m
2m
da cui,
Z
K̂ =
V
!
h̄2
d x ψ (x) −
∆x ψ(x)
2m
3
∗
Nel nel limite termodinamico
Z
K̂ =
d3 k
ωk a∗k ak =
(2π)3
Z
!
h̄2
d3 x ψ ∗ (x) −
∆ ψ(x)
2m
1.11 Operatori a singola particella e a più particelle in seconda quantizzazione
1.11.5
27
Operatore energia potenziale esterna
L’operatore energia di potenziale esterna Vˆ è un operatore a singola particella ed è diagonale
in rappresentazione posizione:
Vˆ|xi = V (x)|xi
dove la funzione V (x) è l’energia potenziale della particella nel punto x in presenza di un
qualche campo esterno. Quindi i suoi elementi di matrice in rappresentazione posizione
sono
hx0 Vˆ|xi = V (x)δ(x − x0 )
Allora, la sua espressione in seconda quantizzazione è immediata:
Vˆ =
Z
V (x)ψ ∗ (x)ψ(x) d3 x =
V
Z
V (x)ρ̂(x)d3 x
V
È interessante osservare che questa espressione per l’energia potenziale esterna è del tutto
analoga a quella classica per un gas di densità ρ in un campo esterno di energia potenziale
V (x).
Rappresentazione in onde piane
Si passa alla rappresentazione in onde piane, semplicemente sostituendo gli sviluppi degli
operatori di campo:
Z "
#"
#
1 X −ik0 ·x ∗
1 X ik·x
√
e
ak 0 √
e ak V (x) d3 x
V k0
V k
V
X 1 Z
0
=
e−i(k −k)·x V (x) d3 x a∗k0 ak
V V
k0 ,k
Vˆ =
Quindi, definendo la trasformata di Fourier del potenziale
V˜(k) =
Z
e−ik·x V (x) d3 x
V
otteniamo
1 X ˜ 0
Vˆ =
V (k − k)a∗k0 ak
V k0 ,k
Rappresentazione diagrammatica:
k0
V (k0 − k)
k
Problema 1.2 Ottenere l’espressione per Vˆ nella rappresentazione in onde piane calcolan-
done gli elementi di matrice nello spazio di singola particella.
28
Capitolo 1. Seconda Quantizzazione
Sol. Nella base |ki gli elementi di matrice di Vˆ sono
hk0 |Vˆ|ki =
Z
d3 x hk0 |Vˆ|xihx|ki =
1
V
Z
=
Z
d3 x V (x)hk0 |xihx|ki
0
e−i(k −k)·x V (x) d3 x =
1 ˜ 0
V (k − k)
V
da cui
1 X ˜ 0
Vˆ =
V (k − k)a∗k0 ak
V k0 ,k
1.11.6
Operatore energia potenziale interna
L’energia potenziale interna Û è un operatore a due particelle che è diagonale è diagonale
in rappresentazione posizione:
Û |x1 , x2 i = U(x1 , x2 )|x1 , x2 i
dove la funzione U(x1 , x2 ) è l’energia potenziale della coppia di particelle nella configurazione
(x1 , x2 ). Allora, la sua espressione in seconda quantizzazione è immediata:
Û =
1
2
Z
d3 x1
Z
d3 x2 U(x1 , x2 )ψ ∗ (x1 )ψ ∗ (x2 )ψ(x1 )ψ(x2 )
V
V
Rappresentazione in onde piane
Si passa alla rappresentazione in onde piane, sostituendo come prima gli sviluppi degli
operatori di campo e ottenendo così
1
Û =
2V 2
1
=
2V 2
=
1
2V 2
Z
X
Z
3
0
Z
X
1
V
V
k10 ,k20 ,k1 ,k2
3
Z
d x1
V
k10 ,k20 ,k1 ,k2
0
d3 x2 U (x1 , x2 ) e−ix1 ·k1 e−ix2 ·k2 eix1 ·k1 eix2 ·k2 a∗k0 a∗k0 ak1 ak2
d x1
3
−i(k10 −k1 )·x1 −i(k20 −k2 )·x2
d x2 e
e
V
2
U (x1 , x2 ) a∗k0 a∗k0 ak1 ak2
1
2
Ũ (k10 − k1 , k20 − k2 )a∗k0 a∗k0 ak1 ak2
X
1
k10 ,k20 ,k1 ,k2
2
avendo introdotto la trasformata di Fourier del potenziale di coppia
Z
Ũ (k1 , k2 ) =
Z
3
d3 x2 e−ik1 ·x1 e−ik2 ·x2 U (x1 , x2 )
d x1
V
V
Se, come di solito è il caso, l’energia potenziale dipende solo dalle coordinate relative
delle due particelle, cioé,
U (x1 , x2 ) = U (x1 − x2 )
dove U(r) è l’energia potenziale di due particelle con coordinata relativa r, allora
Z
Ũ (k1 , k2 ) =
3
Z
d3 x2 e−ik1 ·x1 e−ik2 ·x2 U (x1 − x2 )
d x1
ZV
3
Z V
d3 r e−ik1 ·x e−ik2 ·(x+r) U (r)
d x
=
ZV
V
3
−i(k1 +k2 )·x
Z
d xe
=
V
e 2)
= V δk1 ,−k2 U(k
e 2)
= V δ(k1 + k2 )U(k
V
d3 re−ik2 ·r U (r)
1.11 Operatori a singola particella e a più particelle in seconda quantizzazione
29
dove δ(k1 + k2 ) ≡ δk1 +k2 ,0 e
Z
Ũ(k) =
d3 re−ik·r U (r)
V
è la trasformata di Fourier di U (r). Ne segue che
Û =
=
1
2V
1
2V
e 0 − k2 )a∗ 0 a∗ 0 a a
δ(k10 + k20 − k1 − k2 ) U(k
2
k k k1 k2
X
1
k10 ,k20 ,k1 ,k2
X
2
∗
∗
e
U(q)a
k1 −q ak2 +q ak1 ak2
q,k1 ,k2
Rappresentazione diagrammatica:
k01 = k1 − q
k02 = k2 + q
e
U(q)
k1
k2
(conservazione della quantità di moto).
Problema 1.3 Ottenere l’espressione per Û nella rappresentazione in onde piane calcolandone
gli elementi di matrice nello spazio a due particelle.
Sol. Gli elementi di matrice nella base delle onde piane per due particelle sono
D
k10 , k20 Û k1 , k2
E
Z
3
Z
d x1
=
V
V
D
E
d3 x2 k10 , k20 Û x1 , x2 hx1 , x2 |k1 , k2 i
Ma
Û |x1 , x2 i = U (x1 , x2 )|x1 , x2 i
dove U (x1 , x2 ) è l’energia potenziale della coppia di particelle 1 e 2; inoltre,
0 0
1
0
0
k1 , k2 |x1 , x2 = e−ik1 ·x1 e−ik2 ·x2
V
e
hx1 , x2 |k1 , k2 i =
1 ik1 ·x1 ik2 ·x2
e
e
V
Quindi
D
k10 , k20 Û k1 , k2
E
1
0
0
d3 x1 d3 x2 e−i(k1 −k1 )·x1 e−i(k2 −k2 )·x2 U (x1 , x2 )
= 2
V V
V
1
0
≡ 2 Ũ (k1 − k1 , k20 − k2 )
V
Z
Z
con Ũ (k1 , k2 ), la trasformata di Fourier di U (x1 , x2 ). Se, l’energia potenziale dipende solo
dalle coordinate relative delle due particelle, allora
D
E
k10 , k20 Û k1 , k2 =
1
e 0 − k2 )
0 U(k
δ 0
2
V k1 −k1 ,k2 −k2
da cui segue l’espressione precedentemente calcolata.
2. Dinamica di Bosoni e Fermioni
2.1
Dinamica di bosoni e fermioni in seconda quantizzazione
I metodi della seconda quantizzazione sono particolarmente utili per studiare la dinamica di
un sistema di bosoni o di fermioni quando possiamo distinguere nell’hamiltoniana una parte
imperturbata, H0 , e una parte, Hint )),che possiamo trattare come una piccola perturbazione
di H0 . Allora per un’hamiltoniana della forma
H = H0 + Hint
possiamo applicare la teoria delle perturbazioni. All’ordine più basso in Hint , il tasso della
transizione |Ei0 i → |Ef0 i cioè la probabilità di transizione per unità di tempo tra autostati
dell’hamiltoniana libera è dato dalla regola d’oro di Fermi:
Γi→f =
2
2π 0
hEi |Hint |Ef0 i δ(Ef0 − Ei0 )
h̄
che abbiamo già incontrato nel studio del campo EM quantistico.
2.1.1
Particelle non interagenti in campo esterno
In cominciamo con il considerare un sistema di particelle (bosoni o fermioni) non interagenti
tra loro che interagiscono solo con un campo esterno, e quindi govertnate dall’hamiltoniana
H = K̂ + Vˆ
Assumendo di sapere risolvere il problema a gli autovalori ad una particella
−
h̄2
∆x uα (x) + V (x)uα (x) = Eα uα (x)
2m
per date condizioni al contorno, e di avere così determinato una famiglia completa di
autovettori (modi normali) uα con autovalori Eα , allora, in seconda quantizzazione, avremo
H=
X
α
Eα a∗α aα
32
Capitolo 2. Dinamica di Bosoni e Fermioni
k0
V (k0 − k)
k
Figura 2.1: Diagramma di Feynman che descrive lo scattering di una particella con un potenziale
esterno (il tempo scorre dal basso verso l’alto).
dove a∗α e aα sono gli operatori di creazione e distruzione associati agli autovettori uα .
Tuttavia, se vogliamo studiare l’effetto del potenziale esterno sulla dinamica libera,
conviene prendere la base degli autostati dell’Hamiltoniana libera. Assumeremo che il
sistema sia in una scatola V con condizioni al contorno periodiche; quindi gli autostati
dell’Hamiltoniana libera sono le onde piane
1
uk (x) = hx|ki = √ eik·x
V
con
2πnx 2πny 2πnz
,
,
Lx
Ly
Lz
k=
!
,
nx , ny , nz = 0, ±1, ±2, ±3, . . .
Allora, per quanto visto alla fine del precedente capitolo, in seconda quantizzazione,
l’hamiltoniana H = K̂ + Vˆ ha la rappresentazione
Z "
!
#
h̄2
ψ (x) −
∆x ψ(x) + V (x)ψ ∗ (x)ψ(x) d3 x
2m
H=
V
∗
o, equivalentemente,
H=
X
(k)a∗k ak +
k
|
{z
H0
}
1 X ˜ 0
V (k − k)a∗k0 ak ,
V k0 ,k
|
{z
Hint
(k) =
h̄2 k2
2m
}
dove abbiamo messo in evidenza ciò che trattiamo come hamiltoniana imperturbata e ciò
che trattiamo come perturbazione.
Dalla formula precedente e dalla regola di Fermi è immediatamente chiaro che l’interazione ha l’effetto di creare una particella in k0 , dopo averne distrutta una in k, vale a
dire, di far passare una particella dallo stato k allo stato k0 con un’ampiezza di probabilità
proporzionale alla trasformata di Fourier del potenziale (che poi non è altro che l’ampiezza
di scattering in approssimazione di Born). Quindi assumendo che che lo stato iniziale sia di
singola particella e, in particolare, sia un’onda piana |ki, nei limiti di validità della regola
di Fermi, il tasso di probabilità del processo |ki → |k0 i è
2
2
2π 0
2π 1 ˜ 0
hk |Hint |ki =
V (k − k) δ(k0 − k )
h̄
h̄ V
Γk→k0 =
L’ampiezza di probabilità (per unità di tempo) di questo processo è rappresentata dal
diagramma in figura 2.1.
2.1 Dinamica di bosoni e fermioni in seconda quantizzazione
k01
33
k02
e
U(q)
k2
k1
Figura 2.2: Diagramma di Feynman che descrive una collisione tra particelle (q = k20 − k2 ).
2.1.2
Particelle interagenti
Consideriamo adesso l’hamiltoniana completa
Z "
V
!
#
h̄2
ψ (x) −
∆x ψ(x) + V (x)ψ ∗ (x)ψ(x) d3 x
2m
Z
Z
1
3
+
d x1 d3 x2 ψ ∗ (x1 )ψ ∗ (x2 )U(x2 − x1 )ψ(x1 )ψ(x2 )
2 V
V
∗
Per semplicità, poniamo a zero il potenziale esterno e passiamo alla rappresentazione in
onde piane:
H=
X
(k)a∗k ak +
k
|
{z
H0
}
1
V
e 0 − k2 )a∗ 0 a∗ 0 a a
δ(k10 + k20 − k1 − k2 ) U(k
2
k k k1 k2
X
1
k10 ,k20 ,k1 ,k2
2
{z
|
Hint
}
Assumiamo che l’interazione tra le particelle possa essere trattata come una perturbazione della dinamica libera. Assumiamo, inoltre, che lo stato iniziale sia a due particella
e, in particolare, sia |k1 , k2 i (simmetrizzato se bosoni, antisimmetrizzato se fermioni).
Allora, all’ordine più basso, l’ampiezza di probabilità (per unità di tempo) del processo
|k1 , k2 i → |k10 , k20 i è rappresentata dal diagramma in figura 2.2 e il tasso di probabilità è
2 2π 1
2 2π 0
Ũ(k0 − k2 ) δ 0 + 0 − k − k δ(k0 +k0 −k1 −k2 )
Γk1 ,k2 →k10 ,k20 =
hk |Hint |ki =
k1
k2
2
1
2
1
2
h̄
h̄ V
Si osservi la conservazione dell’energia e della quantità di moto nel processo.
2.1.3
Particelle in campo esterno e collegamento con la meccanica statistica
Nello studio della dinamica di particelle in campo esterno ci siamo limitati al caso di
stato iniziale di singola particella. Studiamo adesso il caso di un stato generico |{nk }i (in
rappresentazione numero di occupazione). Abbiamo in mente l’applicazione ad un gas, vale
a dire un sistema con un numero elevato di particelle (che per semplicità, assumiamo non
interagenti) sotto l’azione di un potenziale esterno (che potrebbe rappresentare l’interazione
delle particelle con le pareti della scatola).
Poiché
Hint =
1 X ˜ 0
V (k − k)a∗k0 ak
V k0 ,k
34
Capitolo 2. Dinamica di Bosoni e Fermioni
per uno stato iniziale | . . . nk . . . nk0 . . .i gli elementi di matrice non nulli di Hint sono quelli in
cui nk0 aumenta di 1 e nk diminuisce di 1. Il calcolo di questi elementi di matrice dipende
dalla natura bosonica o fermionica delle particelle:
h. . . nk −1 . . . nk0 +1, . . . |Hint | . . . nk . . . nk0 . . .i =
√
1√
1 ± nk0 nk V˜(k0 − k) ×(−1)θ
V
per fermioni
con “+” per bosoni e “-” per fermioni, da cui seguono le probabilità di transizione (per
unità di tempo)
2
Γ ∝ nk (1 ± nk0 ) V˜(k0 − k)
Che la probabilità di transizione sia proporzionale al numero di particelle con impulso
p = h̄k è un effetto classico: in teoria cinetica classica il numero di particelle che dopo
l’urto hanno impulso p0 è proporzionale al numero di particelle che prima dell’urto hanno
impulso p. Quindi Γ ∝ nk ce lo aspettavamo. Ma il secondo termine (1 ± nk0 ) è puramente
quantistico e dovuto all’interazione di scambio (cioè all’effetto delle statistiche quantistiche): se le particelle sono bosoni, si ha un potenziamento delle probabilità
classiche proporzionale a nk 2 ; se le particelle sono fermioni si ha una riduzione
dell’effetto. Il primo, scoperto da Einstein, è il fenomeno della stimolazione indotta; il
secondo, che provoca una riduzione delle probabilità classiche e potrebbe essere chiamato
“emissione inibita” è la manifestazione del principio di Pauli.
La formula per Γ che abbiamo ottenuto può essere usata per ricavare le distribuzioni di
BE e FD mediante il seguente argomento. Supponiamo che il gas di particellle (bosoni
o fermioni) sia in equilibrio termico con un serbatoio di calore, trattato come sistema
classico. In conseguenza degli urti con le pareti i numeri di occupazione dei modi normali
cambieranno nel corso del tempo; consideriamo due modi normali k e k0 che contengono in
media n e n0 particelle (questo significa che n e n0 non sono necessariamente interi). In
conseguenza dell’interazione con il serbatoio l’energia si conserva solo in media e supponiamo
che la differenza di energia tra i sue modi sia − 0 ≡ ∆. Possiamo cioè pensare ai tassi di
transizione tra questi modi come relativi a processi in cui l’energia ∆ è ceduta al serbatoio,
oppure è assorbita da esso. Questi tassi devono essere della forma generale
Γk→k0 = n(1 ± n0 )f1 Pk,k0
Γk0 →k = n0 (1 ± n)f2 Pk0 ,k
dove
1. “+” per bosoni e “-” per fermioni;
2. f1 è la probabilità che il serbatoio sia nel suo stato di energia più basso (pronto ad
assorbire l’energia ∆ dalle particelle);
3. f2 è la probabilità che il serbatoio sia nel suo stato di energia più alto (pronto a
cedere l’energia ∆ alle particelle);
4. Pk,k0 e Pk0 ,k sono i tassi di transizione senza i fattori statistici. Nel modello di
2
scattering da potenziale sono V˜(k0 − k) (all’ordine più basso). In generale, avranno
una forma più complicata, ma per ragioni di reversibilità microscopica devono essere
uguali.
Adesso facciamo riferimento a due principi generali che regolano lo stato di equilibrio
termodinamico:
(a) Per il principio di bilancio dettagliato (scoperto da Maxwell e affinato da
Boltzmann):
Γk→k0 = Γk0 →k
2.2 Quasi-particelle e lacune per un sistema di fermioni
35
(b) Per il principio generale della MS (scoperto da Boltzmann):
f1
= e∆/kT
f2
Da (a) e (b) segue l’equazione funzionale
n(1 ± n0 )
= e−∆/kT
n0 (1 ± n)
(F)
Se assumiamo che n sia solo una funzione dell’energia del modo, cioè n = n(), n0 = n(0 ),
è facile mostrare che l’equazione funzionale sopra, soggetta al vincolo di conservazione
dell’energia − 0 = ∆, ha soluzione
n() =
1
e(−µ)/kT
∓1
che riconosciamo corrispondere alla distribuzione di BE (-) e FD (+).
Problema 2.1 Risolvere l’equazione funzionale (F).
Sol. Consideriamo l’equazione (F) per bosoni e prendiamone il logarirmo
ln n + ln(1 + n0 ) − ln n0 − ln(1 + n) = −
∆
0
=−
+
kT
kT kT
da cui
ln
n
n0
0
+
= ln
+
1 + n kT
1 + n0 kT
Poiché n = n() e n0 = n(0 ), deve essere
n
µ
ln
+
= costante ≡
1 + n kT
kT
da cui
n
= e(µ−)/kT
1+n
e infine
n = e(µ−)/kT + ne(µ−)/kT
cioè
e(µ−)/kT
1
= (−µ)/kT
(µ−)/kT
1−e
e
−1
che è BE. Analogamente, si ottiene FD per fermioni.
n=
2.2
Quasi-particelle e lacune per un sistema di fermioni
In molti sistemi fisici si hanno insiemi densi di fermioni di spin 1/2, per esempio, gli elettroni
in un metallo o i nucleoni in materia nucleare. Se le particelle non interagiscono fortemente,
il principio di esclusione di Pauli funziona in modo molto efficace, e lo stato fondamentale
del sistema può essere descritto come un gas di Fermi condensato. Questo vuol dire
che tutti i modi normali sono occupati fino ad un certo valore massimo di energia, detta
energia di Fermi
h̄2 kF
2m
dove kF è il numero d’onde di Fermi. La sfera piena SF , di raggio kF nello spazio k, è
detta sfera di Fermi e la sua superficie è detta superficie di Fermi.
F =
36
2.2.1
Capitolo 2. Dinamica di Bosoni e Fermioni
Raggio della sfera di Fermi per N particelle non interagenti in un volume V
Determiniamo kF per N particelle in una scatola di volume V . Se trascuriamo le interazioni
tra le particelle e le loro interazioni con campi esterni, il numero N di particelle nello stato
fondamentale è pari alla dimensione dello spazio degli stati di N particelle fermioniche, che
è dato da una formula che abbiamo già usato (sezione 1.6.3):
Z Z
N =D=2
V
SF
d3 xd3 p
=2
h3
Z
3
d x
V
Z kF 3
d k
0
1
= 2V
3
(2π)
(2π)3
4 3
πk
3 F
=
V kF3
3π 2
(il fattore 2 è dovuto ai due stati di spin 1/2). Quindi N fermioni di spin 1/2 in una scatola
di volume V , hanno come stato fondamentale, cioè come stato di minima energia, lo stato
in cui sono occupati tutti i modi normali nella sfera nello spazio k di raggio
kF =
q
3
3π 2 ρ ,
ρ=
N
V
La superficie della sfera è la superficie di Fermi per il caso particolare di fermioni
non interagenti. La superficie di Fermi per gli elettroni in un metallo (che ovviamente
interagiscono tra loro!) può essere un oggetto geometrico piuttosto complicato; gli stati
elettronici possono ancora essere classificati come “sopra” o “sotto” la superficie di Fermi
secondo che (k) sia maggiore o minore di F .
Hamiltoniana
Sia H = H0 + Hint l’hamiltoniana del sistema di N fermioni, dove H0 è l’hamiltoniana libera
e Hint , che tratteremo perturbativamente, descrive le interazioni tra le particelle (Û ) e
l’effetto di un campo esterno (Vˆ).
2.2.2
Hamiltoniana libera e suo stato fondamentale
Supponiamo che
H0 =
X
(k)c∗k ck
k
Allora lo stato fondamentale |e
0i di H0 (cioè lo stato di minima energia) è lo stato in cui
tutti i livelli dentro la sfera di Fermi di raggio kF sono occupati, cioè
|e
0i =
c∗k |0i
Y
|k|<kF
Si osservi che:
(1) La creazione di un modo con |k| < kF o la distruzione di un modo |k| > kF in |e
0i
danno zero:
c∗k |e
0i = 0
per |k| < kF
ck |e
0i = 0
per |k| > kF
(2) L’operatore numero di particelle N̂ commuta non solo con H0 ma anche con Hint : Il
numero di particelle è una costante del moto. Quindi
N=
X
k
c∗k ck =
X
1
|k|<kF
(nessun cappuccio su N : è un numero non un operatore!)
(#)
2.2 Quasi-particelle e lacune per un sistema di fermioni
37
(3) l’energia dello stato fondamentale è
EF =
X
(k)
|k|<kF
(4) Assumeremo che (k) = (−k) (il che è automatico per l’usuale relazione di dispersione
di particelle libere non relativistiche).
Ridefinizione dello zero dell’energia
È conveniente eliminare la (grande) costante di energia dello stato fondamentale: definiamo
e 0 sottraendo EF da H0 di modo che |e
e 0,
una nuova hamiltoniana H
0i è ancora autostato di H
ma adesso con autovalore 0:
X
e 0 = H0 − E F = H0 −
H
(k) =
X
(k)c∗k ck −
k
|k|<kF
X
(k)
|k|<kF
Si osservi che la ridefinizione della scala d’energia non ha alcuna implicazione fisica:
hamiltoniane che differiscono per una costante definiscono la stessa dinamica.
Usiamo l’equazione del punto (2) sopra per riscrivere H0 nel seguente modo:
e0 =
H
X
[(k) − F ] c∗k ck +
k
=
X
F c∗k ck −
k
X
[(k) − F ] c∗k ck −
k
X
(k)
|k|<kF
X
[(k) − F ]
(§)
|k|<kF
Trasformazione degli operatori di creazione e distruzione
Introduciamo nuovi operatori di creazione e distruzione come segue
(
c̃k =
ck
per k > kF
c∗−k
per k < kF
c∗k
per k > kF
c−k
per k < kF
(
c̃∗k
=
(§§)
In altre parole, per modi all’interno della superficie di Fermi i ruoli degli operatori di
creazione e distruzione sono scambiati, e il vettore d’onda k è invertito.
Problema 2.2 Dimostrare che c̃k e c̃∗k soddisfano le relazioni di anticommutazione fermioniche
{c̃k , c̃∗k0 } = δk,k0
(§§§)
Se adesso sostituiamo (§§) in (§), otteniamo
e0 =
H
X
[(k) − F ] c̃−k c∗−k +
|k|<kF
=
X
|k|>kF
[(k) − F ]
1 − c̃∗−k c̃−k +
X
X
[(k) − F ] c̃∗k c̃k −
|k|>kF
− [(k) − F ] c̃∗−k c̃−k +
|k|<kF
[(k) − F ]
|k|<kF
X
|k|<kF
=
[(k) − F ] c̃∗k c̃k −
X
X
X
[(k) − F ]
|k|<kF
[(k) − F ] c̃∗k c̃k
|k|>kF
avendo usato le relazioni di anticommutazione (§§§). Quindi
e0 =
H
X
k
˜k c̃∗k c̃k ,
dove
˜k = |(k) − F |
(§§§§)
38
Capitolo 2. Dinamica di Bosoni e Fermioni
Questa Hamiltoniana descrive un sistema il cui stato di “vuoto” |e
0i è lo stato
fondamentale di H0 , di energia 0 (nella nuova scala), cioè
e 0 |e
H
0i = 0
Le proprietà di H0 sono esattamente quelle di un insieme di fermioni, tutti di energia
positiva, che possono essere creati dal vuoto dagli operatori c̃∗k . Questi stati fermionici a
0i, sono in realtà stati a moltissime particelle (essendo |e
singola particella, |1k i = c̃∗k |e
0i lo
stato fondamentale di un gas condensato di Fermi), ma si comportano come se fossero
stati a singola particella, per cui sembra appropriato parlare di “quasi-particelle” o di
eccitazioni collettive (come per i fotoni e i fononi).
Quando il gas libero di Fermi è debolmente perturbato (dalle interazioni interne o da un
potenziale esterno), e quindi si trova in stati che sono in prossimità dello stato fondamentale
|e
0i, esso può essere trattato come un gas di quasi-particelle estremamente rarefatto, e
quindi con collisioni tra quasi-particelle che sono pochissimo frequenti, in forte contrasto
con il sistema denso da cui siamo partiti. Riassumendo, possiamo dire la trasformazione
(§§) degli operatori di creazione e distruzione ha semplificato enormemente la dinamica del
sistema.
2.2.3
Quasi-particelle e lacune
Tuttavia, c’è un prezzo da pagare: in presenza di una perturbazione, il numero di quasiparticelle non si conserva. Per comprendere questo fatto incominciamo col considerare le
P
implicazioni del vincolo (#), che riscriviamo così N − k c∗k ck = 0 , quando passiamo ai
nuovi operatori di creazione e distruzione. Abbiamo
N−
X
c∗k ck = N −
k
1 − c∗−k c̃−k −
X |k|<kF
=
X
|k|<kF
c̃∗k c̃k
|k|>kF
c̃∗k c̃k −
|k|<kF
e
=N
X
X
c̃∗k c̃k
|k|>kF
e
−N
|k|>kF
= 0,
vale a dire, il numero di quasi-particelle sopra il livello di Fermi deve essere
uguale al numero di particelle sotto F .
In altre parole, la situazione è la seguente: per modi normali sotto il livello di Fermi,
l’operatore c̃∗k distrugge un elettrone in −k, o, come si è soliti dire, crea una quasi-particella
“lacuna” in questo modo normale; ciò richiede una quantità d’energia − [k − F ] relativa
a F , e questa quantità è positiva. Inoltre, la distruzione di una vera particella di impulso
−k aumenta la quantità di moto del sistema di −(−k). È quindi coerente attribuire un
impulso +k alla quasi-particella lacuna creata da questo operatore.
Chiameremo negatoni le quasi-particelle sopra il livello di Fermi e positoni (volutamente senza la “r”) quelle sotto, cioè le lacune (questa terminologia non è standard).
2.2.4
Effetto di una perturbazione esterna
Consideriamo l’effetto di un potenziale esterno sul sistema di fermioni. Allora la dinamica
libera è perturbata dall’hamiltoniana di interazione
Hint =
1 X ˜ 0
V (k − k)c∗k0 ck
V k0 ,k
2.2 Quasi-particelle e lacune per un sistema di fermioni
k0
k0
k0
V (k0 − k)
V (k − k0 )
k
39
k
V (k + k0 )
k
V (−k − k0 )
k0
k
(a)
(b)
(c)
(d)
Figura 2.3: I quattro tipi di processi possibili al prim’ordine: il tempo scorre dal basso verso l’alto;
una freccia in sù rappresenta una quasi-particella (negatone), un freccia in giù una lacuna (positone).
Riscriviamo questa hamiltoniana nelle variabili di quasi-particella. La somma si spezza in
4 termini:
X
=
k0 ,k
X
X
+
+
X
+
X
k,k0 >kF
k0 ,k<kF
k<kF <k0
k0 <kF <k
| {z }
| {z }
| {z }
| {z }
(a)
(b)
(c)
(d)
dove
(a) =
V˜(k0 − k)c̃∗k0 c̃k
X
k,k0 >kF
(b) =
V˜(k0 − k)c̃−k0 c̃∗−k =
X
k,k0 <kF
k,k0 <kF
(c) =
k<kF
(d) =
V˜(k0 − k)c̃∗k0 c̃∗−k =
X
<k0
V˜(k − k)c̃−k0 c̃k =
V˜(k0 + k)c̃∗k0 c̃∗k
X
k<kF
0
X
V˜(k − k0 )c̃k0 c̃∗k
X
<k0
V˜(−k0 − k)c̃k0 c̃k
X
k0 <kF <k
k0 <kF <k
e quindi L’hamiltoniana di interazione diventa
1 X ˜ 0
1 X ˜
Hint =
V (k − k)c̃∗k0 c̃k +
V (k − k0 )c̃∗k0 c̃k
V k,k0 >k
V k0 ,k<k
F
1
+
V
F
1
V˜(k0 + k)c̃∗k0 c̃∗k +
V
<k0
X
k<kF
X
V˜(−k − k0 )c̃k0 c̃k
k0 <kF <k
I primi due termini descrivono processi in cui un’eccitazione (negatone o positone) è
scatterata in un’altra eccitazione dello stesso tipo, ma il terzo termine descrive un processo
in cui viene creata dal vuoto una coppia positone-negatone e il termine finale descrive
due eccitazioni di specie opposte che si annichilano reciprocamente. I diagrammi di questi
processi sono riportati in figura 2.3.
2.2.5
Negatoni e positoni
Come abbiamo già sottolineato, stati a singolo negatone o a singolo positone sono in realtà
stati a moltissime particelle che si comportano come se fossero stati a singola particella. In
particolare, possiamo associare una carica negativa ai negatoni ed una positiva ai positoni
e introdurre l’operatore di carica totale
b=
Q
X
|k|>kF
c̃∗k c̃k −
X
|k|<kF
c̃∗k c̃k
40
Capitolo 2. Dinamica di Bosoni e Fermioni
(a)
(b)
(c)
(e)
(d)
Figura 2.4: Diagrammi di Feynman descriventi la collisione tra quasi particelle; una freccia in sù
rappresenta una negatone, un freccia in giù un positone.
La carica totale è una quantità conservata nei processi fisici, come accade nei processi
rappresentati in figura 2.3.
2.2.6
Operatori di campo
Nella rappresentazione negatoni-positoni, gli operatori di campo assumono la forma
ψ(x) =
X
X
ck eik·x =
k
c̃k eik·x +
|k|>kF
c̃∗−k eik·x =
X
|k|<kF
X
|k|>kF
c̃k eik·x +
X
c̃∗k e−ik·x
|k|<kF
2.2.7
Interazione tra positoni e negatoni
I possibili processi di interazione tra le quasi-particelle sono molto più complicati di quelli
tra le particelle “genuine”. Li possiamo caratterizzare con una una serie di diagrammi dove
in entrata e in uscita ci sono le quasi-particelle: una freccia in sù rappresenta un negatone,
un freccia in giù un positone. Allora il processo tra particelle genuine di figura 2.2, diventa
uno qualunque dei processi rappresentati in figura 2.4. Per esempio, (d) rappresenta un
negatone che è scatterato mentre crea dal vuoto una coppia negatone-positone. Si osservino
le seguenti leggi di conservazione:
(1) in ogni vertice si conserva la carica elettrica;
(2) la quantità di moto totale entrante è uguale alla quantità di moto totale uscente;
(2) l’energia totale entrante è uguale all’energia totale uscente.
2.2.8
Particelle e anti-particelle
È importante sottolineare che quanto discusso finora fornisce un modello per una teoria
in cui ogni particella ha la sua antiparticella, di simile proprietà dinamiche, ma di carica
opposta; in altre parole, una teoria in cui il comportamento delle antiparticelle è
completamente determinato da quello delle particelle. Il prototipo di tali teorie è
l’ipotesi Dirac relativa al positrone, di cui ne anticipiamo i tratti salienti.
In una teoria relativistica la relazione di dispersione di una particella libera è del tipo
ω(k)2 = c2 (|k|2 + µ2 )
dove
µ=
mc
h
è l’inverso della lunghezza d’onda Compton della particella di massa (a riposo) m (per i
fotoni, ovviamente, µ = 0). Allora si avranno due autovalori di energia per ciascun valore
di k, uno positivo e l’altro negativo, vale a dire
±(k) ,
con
q
(k) ≡ h̄c |k|2 + µ2 =
q
c2 h̄2 |k|2 + m2 c4
2.3 Interazione tra fermioni mediata da bosoni
41
Se assumiamo che tutti i modi di energia negativa sono pieni, e trattiamo questo stato
come il vuoto |e
0i, possiamo sviluppare una teoria in cui tutte le eccitazioni osservate sono
quasi-particelle di energia positiva. Il concetto di “superficie di Fermi” ora si riduce al
punto k = 0, e bisogna distinguere tra i modi a seconda che siano di energia positiva o
negativa, ma altrimenti la formulazione che abbiamo appena dato è applicabile. Così, per
esempio, ogni interazione che può far scatterare elettroni reali tra loro, come in figura 2.4
(a), deve essere in grado anche di produrre dal vuoto coppie elettrone-positrone, come in
figura 2.4 (d).
2.3
Interazione tra fermioni mediata da bosoni
Per sviluppare una teoria relativistica dell’interazione tra fermioni, occorre abbandonare
l’idea che l’interazione tra particelle sia descritta da un potenziale che dipende dalla
posizione istantanea tra due particelle e rendere il potenziale stesso una variabile dinamica.
Questo può essere fatto introducendo un campo bosonico che media l’interazione tra i
fermioni.
2.3.1
Hamiltoniana del modello
Consideriamo, dunque, in aggiunta al campo fermionico ψ(x), un campo bosonico φ(x)
con relazione di dispersione
q
ω(k) = c |k|2 + µ2
in modo tale che l’hamiltoniana complessiva sia della forma
H = hamiltoniana libera fermionica + hamiltoniana libera bosonica + Hint
Nell’interazione tra elettroni, il campo bosonico è quello elettromagnetico e (µ = 0 nella
relazione di sispersione). Per evitare complessità e semplificare la trattazione, incominceremo col considerare un campo bosonico scalare e trascureremo lo spin. Infine, tratteremo i
fermioni in regime nonrelativistico con relazione di dispersione nonrelativistica
(k) =
h̄2 k2
.
2m
Allora
hamiltoniana libera fermionica =
X
(k)c∗k ck ≡ HF
k
hamiltoniana libera bosonica =
X
h̄ω(k)b∗k bk ≡ HB
k
I campi associati sono a fermioni e bosoni sono, rispettivamente,
ψ(x) =
X 1
k
√ eik·x ck
V
s
φ(x) =
X
k
h̄c2 ik·x
bk e
+ b∗k e−ik·x
2V ω(k)
con le usuali regole di commutazione (bosoni) e anticommutazione (fermioni); inoltre gli
operatori bosonici e fermionici commutano tra loro. Chiameremo “psioni” le particelle del
campo ψ e “phioni” le particelle del campo φ.
42
Capitolo 2. Dinamica di Bosoni e Fermioni
(x, t)
Figura 2.5: Diagramma di Feynman che raffigura uno psione che emette un phione nel punto x al
tempo t.
2.3.2
Hamiltoniana di interazione
Nel caso realistico in cui il campo bosonico è il campo elettromagnetico, l’interazione tra
fermioni e bosoni è data dalla regola del minimo accoppiamento p → p − eA dove e è
l’unità di carica elettrica. Nel modello in esame, possiamo assumere
Hint = gψ(x)∗ ψ(x)φ(x)
dove g è una costante di accoppiamento. Una motivazione euristica per questa scelta è la
seguente: nel caso limite in cui gli psioni non si muovono, per esempio, sono dei nucleoni
pesanti,
ψ(x)∗ ψ(x) =
X
δ(x − Xj )
j
dove Xj sono le posizione dei nucleoni. Allora
Hint = g
X
φ(Xj )
j
che è proprio il potenziale classico generato da N particelle ferme. Il significato perturbativo
di Hint è illustrato in figura 2.5.
Giusto per tenere i piedi per terra è buona cosa svolgere il seguente esercizio:
Problema 2.3 Può un elettrone libero emettere o assorbire un fotone?
Sol. Usare la legge di conservazione relativistica del quadri-impulso.
2.3.3
Ampiezza di transizione, operatore cronologico e propagatore di Feynman
Consideriamo l’interazione tra due psioni mediata da un phione come mostrato in figura
2.6
Vogliamo calcolare l’ampiezza di probabilità di questo processo. È chiaro che questa
ampiezza dipenderà dalle funzioni d’onda dei psioni entranti e dall’ampiezza del processo
di creazione di un phione nel punto y al tempo s seguito dalla sua distruzione nel punto x
al tempo successivo t. Sembra ragionevole assumere che quest’ultima ampiezza sia data
dalla formula
ampiezza bosonica per t > s = h0|φ+ (x, t)φ− (y, s)|0i
2.3 Interazione tra fermioni mediata da bosoni
43
(x, t)
(y, s)
Figura 2.6: Lo psione a sinistra emette un phione nel punto y al tempo s che viene assorbito dallo
psione provienente da destra nel punto x al tempo t.
dove usiamo le stesse convenzioni “±” che abbiamo introdotto per il campo EM; inoltre,
siamo passati alla rappresentazione interazione, come abbiamo fatto quando abbiamo
studiato l’interazione del campo EM con la materia in approssimazione di dipolo. Si osservi
che se il tempo s è successivo a t, occorrere invertire i ruoli degli operatori di creazione e
distruzione e usare la formula
ampiezza bosonica per t < s = h0|φ+ (y, s)φ− (x, t)|0i
In rappresentazione interazione, l’operatore di campo bosonico è
s
φ(x, t) =
X
k
X
h̄c2
eik·x e−iω(k)t bk +
2V ω(k)
k0
|
{z
}
φ+ (x,t)
s
h̄c2
0
e−ik·x eiω(k )t b∗k0
0
2V ω(k )
{z
|
}
φ− (x,t)
Vogliamo scrivere le ampiezza bosoniche in forma compatta. In primo luogo osserviamo che
h0|φ+ (x, t)φ− (y, s)|0i = h0|φ(x, t)φ(y, s)|0i
Questa identità segue immediatamente dallo sviluppo
n
h0|φ(x, t)φ(y, s)|0i = h0| φ+ (x, t) + φ− (x, t)
on
o
φ+ (y, s) + φ− (y, s) |0i
n
o
= h0| φ+ (x, t)φ+ (y, s) + φ+ (x, t)φ− (y, s) + φ− (x, t)φ+ (y, s) + φ− (x, t)φ− (y, s) |0i
= h0|φ+ (x, t)φ− (y, s)|0i
Adesso introduciamo l’operatore di ordinamento cronologico T così definito:
(
0
T{A(t)A(t )} =
A(t)A(t0 ),
se
t > t0
A(t0 )A(t),
se
t0 > t
vale a dire, gli operatori sono scritti in ordine cronologico con il tempo che scorre da sinistra
a destra. Usando la funzione a scalino di Heaviside ϑ(t) il T-prodotto può essere scritto
così
T{A(t)A(t0 )} = ϑ(t − t0 )A(t)A(t0 ) + ϑ(t0 − t)A(t0 )A(t)
44
Capitolo 2. Dinamica di Bosoni e Fermioni
Allora l’ampiezza bosonica per entrambi i casi s ≶ t è data da
ampiezza = h0|T {φ(x, t)φ(y, s)} |0i
Il valor medio sul vuoto del prodotto cronologico di campi a tempi diversi è (a meno di
una costante) è noto come propagatore di Feynman ∆F e svolge un ruolo fondamentale
in elettrodinamica quantistica. Per quel che riguarda la scelta della costante useremo la
seguente convenzione
ih̄c∆F = h0|T {φ(x, t)φ(y, s)} |0i
2.3.4
Calcolo del propagatore di Feynman per bosoni scalari non relativistici
Per t > s abbiamo
h0|φ+ (x, t)φ− (y, s)|0i =
1
h̄c2 X
0
0
p
eik·x e−iω(k)t e−ik ·y eiω(k )s h0|bk b∗k0 |0i
0
2V k,k0 ω(k)ω(k )
=
h̄c2 X
1
0
0
p
eik·x e−iω(k)t e−ik ·y eiω(k )s δk,k0
0
2V k,k0 ω(k)ω(k )
=
h̄c2 X 1 ik·(x−y) −iω(k)(t−s)
e
e
2V k ω(k)
È conveniente passare al limite continuo
Z
d3 k
1X
→
V k
(2π)3
e ottenere così
+
−
2
h0|φ (x, t)φ (y, s)|0i = h̄c
d3 k
1
eik·(x−y) e−iω(k)(t−s)
3
(2π) 2ω(k)
Z
Per t < s, le variabili spaziali e temporali si scambiano e si ha
d3 k ik·(y−x) −iω(k)(s−t)
e
e
2ω(k)
Z
d3 k ik·(x−y) −iω(k)(s−t)
e
e
= −h̄c2
2ω(k)
h0|φ+ (y, s)φ− (x, t)|0i = h̄c2
Z
(avendo fatto il cambiamento di variabili k → −k e tenuto conto che ω(k) = ω(−k)).
Introducendo la funzione segno ε(t) = +1 per t > 0 e = −1 per t < 0, otteniamo la
seguente espressione compatta per il prodotto cronologico
2
h0|T {φ(x, t)φ(y, s)} |0i = h̄c
Z
d3 k
1
eik·(x−y) e−iω(k)|t−s| ε(t − s)
(2π)3 2ω(k)
Ne segue che il propagatore di Feynman (per come è stato definito) è dato da ∆F =
∆F (x − y, t − s) dove
∆F (x, t) = −ic
Z
d3 k
1
eik·x e−iω(k)|t| ε(t)
3
(2π) 2ω(k)
2.3 Interazione tra fermioni mediata da bosoni
2.3.5
45
Propagatore di Feynman come funzione di Green
Il propagatore di Feynman è una funzione di Green dell’equazione inomogenea di KleinGordon, cioè una soluzione dell’equazione
+ µ2 φ = 4πδ(x)δ(t)
(?)
Riprendiamo quanto avevamo imparato all’inizio del corso riguardo alle funzioni di Green
dell’equazione inomogenea delle onde, la sola differenza essendo la relazione di dispersione,
che adesso è
q
ω(k) = c |k|2 + µ2
(e quella delle onde si ha per µ = 0). La soluzione in trasformata di Fourier di (?) è
−4πc2
ω 2 − ω(k)2
Si definisce funzione di Green l’anti-trasformata di
Dk,ω =
1
ω 2 − ω(k)2
ossia
D(x, t) =
Z
d3 k ik·x
e
(2π)3
Z
dω
Dk,ω =
2π
Z
d3 k ik·x
e
(2π)3
Z
dω
e−iωt
.
2
2π ω − ω(k)2
A suo tempo avevamo sottolineato che la non-unicità della funzione di Green è strettamente collegata al fatto che la funzione integranda nell’integrale in dω ha poli ω = ±ω(k)
sull’asse reale per cui, affinché l’integrale sia ben definito occorre regolarizzarlo, ad esempio
deformando l’asse reale in in cammino C nel piano complesso che escluda le singolarità.
Ci sono diversi modi di fare questo, ciascuno dei quali corrisponde a diverse condizioni al
contorno.
Consideriamo
DkC (t) =
Z
C
dω
Dk,ω =
2π
Z
C
dω
e−iωt
2π ω 2 − ω(k)2
dove C è una deformazione dell’asse reale nel piano complesso che esclude i poli. La
(C)
chiusura nel semipiano superiore fornisce Dk (t) per t < 0, mentre quella nel semipiano
inferiore ci dà la funzione per t > 0. I residui nei poli sono
Res [ω = −ω(k)] = −
Res [ω = +ω(k)] =
eiω(k)t
4πω(k)
e−iω(k)t
4πω(k)
Equivalentemente, invece di deformare l’asse reale possiamo spostare di un pelino sopra
o sotto i poli. Ci sono quattro possibilità. Una è
0
∗
−ω(k) − i
∗
ω(k) − i
46
Capitolo 2. Dinamica di Bosoni e Fermioni
Per t < 0 l’integrale va chiuso nel semipiano superiore (affinché sia nullo il contributo dal
semicerchio); non essendoci singolarità in questo semipiano, ne segue che Dkret (t) = 0 per
t < 0; per t > 0 l’integrale va chiuso nel semipiano inferiore, dove ci sono i due poli. Quindi,
per il teorema dei residui (nel limite → 0), facendo attenzione all’orientazione oraria,
"
Dkret (t)
#
eiω(k)t
e−iω(k)t
1 eiω(k)t − e−iω(k)t
sin ω(k)t
= −2πi −
+
=−
=−
4πω(k) 4πω(k)
ω(k)
2i
ω(k)
Riassumendo,
Dkret (t) =



0 per t < 0
sin ω(k)t

per
−
ω(k)
t>0
Questa è la (trasformata di Fourier spaziale della) funzione di Green ritardata (già
incontrata per µ = 0).
Un’altra possibilità è
−ω(k) + i
∗
0
ω(k) + i
∗
da cui
Dkadv (t) =


 sin ω(k)t


ω(k)
0 per
per
t<0
t>0
Questa è la (trasformata di Fourier spaziale della) funzione di Green anticipata (già
incontrata per µ = 0).
La terza possibilità è
−ω(k) + i
∗
0
∗
ω(k) − i
Allora dal teorema dei residui otteniamo
DkF (t)
=






i
eiω(k)t
2ω(k)

e−iω(k)t



 −i
2ω(k)
per
per
t<0
t>0
che è proprio è il propagatore di Feynman a meno di una costante, cioè,
∆F = cDkF (t) ,
∆F è anche detto funzione di Green causale.
2.3 Interazione tra fermioni mediata da bosoni
47
Infine, l’ultima possibilità è
ω(k) + i
∗
0
∗
−ω(k) − i
e definisce la funzione di Green “anti-causale”. Si lascia come esercizio il calcolo di questa
funzione.
2.3.6
Espressione covariante del propagatore di Feynman
Consideriamo la scelta dei poli per il propagatore di Feynman in −ω(k) + i e +ω(k) − i.
Allora per il denominatore di
1
ω 2 − ω(k)2
si ha
[ω − ω(k) + i] × [ω + ω(k) − i] ≈ ω 2 − ω(k)2 + 2iω(k)
Nell’ultima espressione, possiamo sostituire 2iω(k) semplicemente con perché quel che
conta è che sia un numero infinitesimo → 0+. Perciò
1
1
→ 2
ω 2 − ω(k)2
ω − ω(k)2 + i
Allora
F
F
∆ (x, t) = cD (x, t) = c
Z
d3 k ik·x
e
(2π)3
Z
dω
e−iωt
.
2π ω 2 − ω(k)2 + i
Questo fornisce una espressione manifestamente Lorentz-invariante per il propagatore
di Feynman. Infatti, introdotti i 4-vettori x = (ct, x) k = (ω/c, k), il prodotto scalare
kx = ωt − x · x, la norma di Minkowski k 2 = ω 2 /c2 − |k|2 e il quadrivolume d4 k = (dω/c)d3 k,
possiamo riscrivere ∆F come
F
cd4 k
e−ikx
(2π)4 c2 k 2 + c2 |k2 | − c2 |k|2 − c2 µ2 i
Z
d4 k
e−ikx
=
(2π)4 k 2 − µ2 + i
Z
∆ (x) = c
2.3.7
Commutatore e funzione di auto-correlazione
Gli argomenti di questa sezione sono svolti sotto forma di esercizio (per casa).
Si considerino i seguenti cammini nel piano complesso k0 = ω/c:
48
Capitolo 2. Dinamica di Bosoni e Fermioni
Im (k0 )
C
C−
C+
∗
∗
k0 = − ω(k)
c
k0 =
Re (k0 )
ω(k)
c
e si considerino gli integrali (in notazione 4-vettoriale)
±
Z
∆ (x) =
C±
d4 k e−ikx
(2π)4 k 2 − µ2
Z
e ∆(x) =
C
d4 k e−ikx
(2π)4 k 2 − µ2
Dimostrare che
1. ∆(x) = ∆+ (x) + ∆− (x)
2. [φ+ (x), φ− (y)] = ih̄c∆+ (x − y)
3. [φ− (x), φ+ (y)] = ih̄c∆− (x − y)
4. [φ(x), φ(y)] = ih̄c∆(x − y)
5. Se x − y è di tipo spazio, allora [φ(x), φ(y)] = 0
6. h0|φ(x)φ(y)|0i = ih̄∆+ (x − y)
7. ∆F (x) = θ(t)∆+ (x) − θ(−t)∆− (x)
Altri esercizi :
8. Calcolare il propagatore di Feynman per il campo fermionico ψ (a partire dalla sua
caratterizzazione come prodotto cronologico).
9. Trovare l’espressione esplicita di ∆F (x) e [φ(x), φ(y)] per µ = 0.
2.3.8
Prodotto cronologico e teoria delle perturbazioni
In rappresentazione interazione lo stato
ΨI (t) = e(i/h̄)H0 t ΨS (t)
2.3 Interazione tra fermioni mediata da bosoni
49
soddisfa l’equazione
d
ΨI = −iV(t)ΨI ,
dt
V(t) ≡
1
1
Hint, I (t) = e(i/h̄)H0 t Hint e−(i/h̄)H0 t
h̄
h̄
Posto
ΨI (t) = U(t, t0 )ΨI (t0 ) ,
U(t0 , t0 ) = 1
l’evolutore temporale U(t, t0 ) soddisfa la stessa equazione, cioè
d
U(t, t0 ) = −iV(t)U(t, t0 )
dt
che trasformiamo nell’equazione integrale
U(t, t0 ) = 1 − i
Z t
V(t1 )U(t1 , t0 )dt1
t0
(essendo U(t0 , t0 ) = 1) che risolviamo iterativamente
U(t, t0 ) = 1 − i
Z t
2
Z t1
Z t1
V(t1 )dt1
V(t1 )dt1 + (−i)
t0
t0
dt2 V(t2 ) + . . .
t0
Adesso osserviamo che il secondo termine
Z t0
Z t1
dt1
dt2 V(t1 )V(t2 )
t
t0
può essere scritto come
1
2
Z t
Z t
dt1
t0
dt2 T {V(t1 )V(t2 )}
t0
La ragione è che T {V(t1 )V(t2 )} è una funzione (operatoriale) simmetrica in t1 e t2 per cui
la sua integrazione nel dominio originario t0 < t1 < t, t0 < t2 < t1 (in grigio nella figura
sotto) è uguale a quella ottenuta scambiando t1 e t2 (in bianco nella figura sotto).
t
t2
t0
t1
t
Quindi,
(−i)2
U(t1 , t2 ) = 1 − i V(t1 )U(t1 , t0 )dt1 +
2
t0
Z t
Z t
Z t
dt1
t0
dt2 T {V(t1 )V(t2 )} + . . .
t0
Con considerazioni analoghe si arriva alla conclusione che il termine n-esimo della serie
è
(−i)n
n!
Z t
Z t
dt1
t0
t0
dt2 · · ·
Z t
t0
dtn T {V(t1 )V(t2 ) · · · V(tn )}
50
Capitolo 2. Dinamica di Bosoni e Fermioni
La serie così ottenuta
U(t, t0 ) =
Z
∞
X
(−i)n t
n=0
n!
t0
Z t
dt1
t0
dt2 · · ·
Z t
dtn T {V(t1 )V(t2 ) · · · V(tn )} ≡ T e
−i
Rt
t0
V(s)ds
t0
è nota come serie di Dyson. Il passaggio al limite t0 → −∞ e t → ∞ fornisce uno sviluppo
in serie della matrice S.
3. Fermioni relativistici
3.1
Onde e particelle
Nel 1924, de Broglie ipotizzò che una particella di impulso p ed energia E fosse guidata
dall’onda
ψ = Aeik·x−ωt
le cui caratteristiche d’onda, k e ω fossero collegate alle caratteristiche meccaniche della
particella p e E dalle relazioni
p = h̄k
e E = h̄ω .
In particolare, se
p2
2m
E=
allora la frequenza dell’onda deve essere
ω=
E
p2
h̄k2
=
=
h̄
2mh̄
2m
Ne segue che la velocità di gruppo dell’onda
vg =
dω h̄k
=
dk
m
è uguale alla velocità della particella
v=
p
m
52
3.1.1
Capitolo 3. Fermioni relativistici
Dall’ipotesi di de Broglie all’equazione di Schrödinger
Osserviamo che
−
h̄ ∂
ψ = h̄ωψ = Eψ
i ∂t
e
1
2m
h̄
∇
i
2
ψ=
h̄2 k2
ψ = Eψ
2m
Quindi l’onda piana deve soddisfare l’equazione
−
h̄ ∂ψ
1
=
i ∂t
2m
h̄
∇
i
2
ψ
(3.1)
e la velocità della particella è determinata dall’onda mediante la relazione
h̄
p
h̄ ψ i ∇ ψ
v=
=
m m
ψψ
(3.2)
L’ipotesi fondamentale della meccanica quantistica è che l’eq. (3.1) valga per
qualunque onda ψ (non necessariamente per un’onda piana). Questa ipotesi può essere
equivalentemente formulata mediante le regole di corrispondenza
E → Ê = −
h̄ ∂
i ∂t
e p → p̂ =
h̄
∇
i
che permettono di trasformare la relazione classica per l’energia E = E (x, p) nell’equazione
d’onda
−
h̄ ∂ψ
= Ĥψ ,
i ∂t
Ĥ = E (x, p̂) .
L’altra ovvia ipotesi è che l’eq. (3.2) valga per una qualunque onda ψ. Sorprendentemente, questa seconda ipotesi non compare nelle formulazioni usuali della meccanica
quantistica, pur essendo parte integrante dell’ipotesi di de Broglie.
3.1.2
Principio di minimo accoppiamento
L’interazione di una carica e con un campo elettromagnetico esterno (E, B) è ottenuta
mediante il principio di minimo accoppiamento che corrisponde alle seguenti sostituzioni
nella dinamica libera:
e
Ê → Ê − eΦ , p̂ → p̂ − A ,
c
dove Φ e A sono, rispettivamente, il potenziale scalare e il potenziale vettore, legati ai
campi E e B dalle usuali relazioni
E = −∇Φ −
1 ∂A
c ∂t
B = ∇×A
Allora, l’equazione d’onda diventa
1
e
p̂ − A
2m
c
(Ê − eΦ)ψ =
2
ψ
3.1 Onde e particelle
53
ossia
h̄ ∂ψ
ie
h2
−
∇− A
− eΦψ = −
h̄c
i ∂t
2m
2
ψ
Quindi l’hamiltoniana di una carica e con un campo elettromagnetico esterno E, B è
1
e
p̂ − A
2m
c
H=
3.1.3
2
ψ + eΦ
Invarianza locale di gauge
Le trasformazioni di gauge
A → A0 = A + ∇Λ ,
Φ → Φ0 = Φ −
1 ∂Λ
c ∂t
(Λ funzione di gauge) non cambiano E e B e quindi non devono neanche cambiare la
forma dell’equazione d’onda, perché la fisica descritta da questa equazione non deve
dipendere dalla scelta del gauge. Chiaramente, questo è possibile solo se esiste una
trasformazione di ψ,
ψ → ψ 0 = eif ψ
per una qualche funzione f , che compensi la trasformazione di Φ e A. Stabiliamo se una
tale trasformazione esiste sostituendo Φ, A e ψ in funzione di Φ0 , A0 e ψ 0 nell’equazione
d’onda:
2 0 −if h̄ ∂ 0 −if 1 ∂Λ 0 −if h2
ie
0
0
−
ψe
−e Φ +
ψe
=−
∇−
A − ∇Λ
ψe
i ∂t
c ∂t
2m
h̄c
|
{z
}
(I)
|
{z
(II)
}
Sviluppiamo il primo membro
h̄ ∂ψ 0
∂f
e ∂Λ 0 −if
(I) = −
− h̄ ψ 0 − eΦ0 ψ 0 −
ψ e
i ∂t
∂t
c ∂t
Osserviamo che si ha compensazione se
e
f = − Λ.
h̄c
Si lascia come esercizio dimostrare che per questa scelta di f anche a secondo membro si
ha compensazione e che portando a secondo membro e−if si ottiene
eif × (II) = −
h2
ie
∇ − A0
2m
h̄c
2
ψ0
Risulta così dimostrato che l’equazione d’onda
h̄ ∂ψ
h2
ie
−
− eΦψ = −
∇− A
i ∂t
2m
h̄c
2
ψ
è invariante per le trasformazioni locali di gauge

0

 A → A = A + ∇Λ




1 ∂Λ
0
Φ → Φ = Φ−

c ∂t


e

0

 ψ → ψ = exp −i Λ ψ
h̄c
(3.3)
54
Capitolo 3. Fermioni relativistici
Abbiamo mostrato che l’equazione d’onda definita dal principio di minimo accoppiamento è invariante per le trasformazioni locali di gauge (3.3). Ma il procedimento può essere
invertito: anziché ottenere la legge di trasformazione della funzione d’onda a partire dalle
trasformazioni di gauge dei potenziali, si può assumere come principio fondamentale
l’invarianza di gauge locale della fase della funzione d’onda e ottenere i potenziali
elettromagnetici e le loro leggi di trasformazione per annullare i termini dovuti ell’invarianza locale della fase. In questo modo, la “forza” elettromagnetica emerge come una
manifestazione della simmetria di gauge. Si è scoperto che le interazioni deboli e forti
sono anch’esse teorie di gauge, cioè teorie in cui le forze sono una manifestazione dalla
simmetria di gauge, e, in un certo senso, sono le simmetrie più semplici possibili dopo
quella dell’elettromagnetismo.
3.2
L’equazione di Pauli
Nel 1927, Pauli fece la seguente ipotesi: l’onda associata ad una particella di spin 1/2 è
2
1
descritta da uno spinore ψ = ψ
ψ2 ∈ C che soddisfa l’equazione
"
#
2
h̄ ∂ψ
1
e
=
p− A
−
i ∂t
2m
c
ψ + eΦ ψ −
eh̄
σ · Bψ
2mc
Questa equazione è nota come equazione di Pauli. Il termine σ · B nell’equazione sta
per
σ1 B1 + σ2 B2 + σ3 B3
dove
!
0 1
σ1 =
,
1 0
!
0 −i
σ2 =
,
i 0
!
1 0
σ3 =
.
0 −1
sono le matrici di Pauli.
3.2.1
Fattore giromagnetico
Possiamo riscrivere il termine di accoppiamento con il campo magnetico introducendo
l’operatore di spin S = h̄σ/2:
Hmagn = −
e
eh̄
σ·B = −
S·B
2mc
mc
Se l’elettrone fosse una particella classica carica ruotante attorno ad un asse passante per
il suo centro di massa con momento angolare S (ma non lo è!), il suo momento di dipolo
magnetico intrinseco µ sarebbe
µ=
e
S
2mc
a cui corrisponderebbe un’energia
classica
Hmagn
= −µ · B = −
e
S·B
2mc
Il fattore giromagnetico è definito come il numero g che moltiplica il termine classico
in modo da fornire il corretto valore quantistico. Quindi, nella teoria di Pauli, g = 2, in
accordo con il dato sperimentale per l’elettrone (a meno di correzioni di ordine α = e2 /h̄c),
ma la teoria non fornisce alcuna spiegazione del perché sia così.
3.2 L’equazione di Pauli
3.2.2
55
Algebra di Pauli
Analizziamo in dettaglio l’associazione tra vettori nello spazio fisico e matrici 2 × 2 che
compare nella teoria di Pauli dell’elettrone.
Fissata una base e1 , e2 , e3 nello spazio fisico R3 e stabilita l’associazione
e1 → σ1 ,
e 2 → σ2 ,
e3 → σ3 ,
essa viene estesa per linearità a tutti i vettori a
a = a1 e1 + a2 e2 + a3 e3 → a1 σ1 + a2 σ2 + a3 σ3 = σ · a
Si ha così una corrispondenza tra vettori 3-dimensionali e matrici hermitiane 2 × 2 a traccia
nulla. D’ora in poi abbrevieremo σ · a con σ(a)
a3
a1 − ia2
σ(a) ≡ σ · a =
a1 − ia2
−a3
!
(In realtà è piu’ in un abbreviazione: σ è la mappa lineare
σ : vettori in R3 → matrici hermitiane 2 × 2 a traccia nulla
data da σ(a1 e1 + a2 e2 + a3 e3 ) = a1 σ1 + a2 σ2 + a3 σ3 .) La corrispondenza è biunivoca: data
A hermitiana 2 × 2 a traccia nulla, ad è essa è associato il vettore a con componenti
ai =
1
Tr(Aσi )
2
(questa formula verrà dimostrata più avanti, vedi eq. (3.8) sotto).
Relazioni algebriche fondamentali
Lo spazio delle matrici hermitiane 2 × 2 ha dimensione 4 e una base per questo spazio è
formata dalle tre matrici di Pauli σ1 ≡ σ(e1 ), σ2 ≡ σ(e2 ), e σ3 ≡ σ(e3 ) (che sono una base
per le matrici hermitiane a traccia nulla) e dalla matrice identità 1 (che tiene conto della
traccia).
Le quattro matrici 1, σ1 , σ2 , σ3 sono i generatori della cosiddetta algebra di Pauli e
soddisfano le seguenti regole di commutazione
σi σj + σj σi = 2δij
σi σj − σj σi = 2i
X
εijk σk
k
dove
εijk =



+1
−1


 0
se (i, j, k) è (1, 2, 3), (2, 3, 1), o (3, 1, 2),
se(i, j, k) è (3, 2, 1), (1, 3, 2), o (2, 1, 3),
se i = j, o j = k, o k = i
Queste regole implicano (e sono equivalenti al)le seguenti relazioni algebriche
σ(a)σ(b) + σ(b)σ(a) = 2a · b1
(3.4)
σ(a)σ(b) − σ(b)σ(a) = 2i σ(a × b)
(3.5)
per qualunque coppia di vettori a e b. In particolare, si ha
σ(a)2 = a2 1
56
Capitolo 3. Fermioni relativistici
Problema 3.1 Dimostrare che
σ(a)σ(b) = (a · b)1 + iσ(a × b)
Problema 3.2 Trovare il vettore a associato a una matrice hermitiana a traccia nulla.
Sol. Una matrice hermitiana 2 × 2 a traccia nulla è della forma
r z
z −r
!
(b reale, z complesso). Quindi ad una tale matrice è associato il vettore
z +z
z −z
e1 +
e2 + re3
(3.6)
2
2i
Problema 3.3 Esprimere una matrice hermitiana 2 × 2 come combinazione lineare delle
matrici 1, σ1 , σ2 , σ3
Sol. Una generica matrice A può essere scritta come
1
1
A = Tr(A)1 + A − Tr(A)1
2
2
Una matrice hermitiana è della forma
r z
z q
!
(r, q reali, z complesso). Allora
1
A − Tr(A)1 =
2
r−q
2
z
!
z
− r−q
2
a cui è associato il vettore
z +z
z −z
r−q
e1 +
e2 +
e3
2
2i
2
Quindi
A=
r+q
z +z
z −z
r−q
1+
σ1 +
σ2 +
σ3
2
2
2i
2
(3.7)
Regola generale per decomporre una matrice hermitiana nella base 1, σ1 , σ2 , σ3
Si definisca il prodotto scalare tra matrici hermitiane
1
Tr(AB)
2
allora 1, σ1 , σ2 , σ3 sono ortogonali tra loro e normalizzate a 1 rispetto a questo prodotto
scalare; si ha infatti
(A|B) =
1
Tr(1) = 1
2
1
(1|σi ) = Tr(σi ) = 0
2
1
1
1
(σi |σj ) = Tr(σi σj ) = Tr(σi σj + σj σi ) = δij Tr(1) = δij
2
4
2
Si ha allora la decomposizione ortogonale
(1|1) =
A = (A|1)1 +
3
X
i=1
(A|σi )σi =
3
1
1X
Tr(A)1 +
Tr(Aσi )σi
2
2 i=1
(3.8)
3.2 L’equazione di Pauli
3.2.3
57
Invarianza di gauge ed equazione di Pauli
In assenza di campi esterni l’equazione di Pauli diventa l’usuale equazione di Schrödinger
per lo spinore ψ
−
h̄ ∂ψ
p2
σ(p)2
=
ψ=
ψ
i ∂t
2m
2m
essendo σ(p)2 = p2 . A partire dall’Hamiltoniana libera scritta in termini di σ(p), applichiamo il principio di minimo accoppiamento
h̄ ∂
h̄ ∂
e
→−
− eΦ , σ(p) → σ(p) − σ(A) ,
i ∂t
i ∂t
c
Allora ne risulta l’hamiltoniana
−
2
e
1
σ(p) − σ(A)
H=
2m
c
ψ + eΦ
Sviluppiamo l’operatore al quadrato:
2
e
σ(p) − σ(A)
c
e
e
e2
= σ(p)2 − σ(p)σ(A) − σ(A)σ(p) + 2 σ(A)2
c
c
c
e usiamo le relazioni dell’algebra di Pauli per i 4 termini a secondo membro:
σ(p)2 = p2 1
σ(p)σ(A) = p · A1 + iσ(p × A)
σ(A)σ(p) = A · p1 + iσ(A × p)
σ(A)2 = A2 1
La somma dei 4 termini multipli dell’identità dà
e2
e
e
p 1 − (p · A + A · p) 1 + 2 A2 1 = p − A
c
c
c
2
2
1
I termini rimanenti iσ(p × A) e iσ(A × p) non si elidono perché p = h̄i ∇ è un operatore di
derivazione che agisce anche su A:
iσ(p × A)ψ = h̄σ(∇) × (σ(A)ψ) = h̄ [σ(∇ × A)] ψ + h̄ [σ(∇)ψ] × σ(A) = h̄ [σ(∇ × A)] ψ
Ma ∇ × A = B, e iσ(A × p)ψ = h̄σ(A) × [σ(∇)ψ]. Dunque,
iσ(p × A) + iσ(A × p) = h̄σ(B) .
Mettendo insieme tutti i pezzi, si ottiene
"
#
2
1
e
H=
p− A
2m
c
ψ + eΦ 1 −
eh̄
σ(B)
2mc
da cui segue l’equazione di Pauli
"
2
h̄ ∂ψ
1
e
−
=
p− A
i ∂t
2m
c
#
ψ + eΦ ψ −
eh̄
σ · Bψ
2mc
Dunque, il principio di minimo accoppiamento applicato all’operatore σ(p) = σ · p, permette di ricavare l’equazione di Pauli dall’equazione di Schrödinger libera, producendo così
il corretto accoppiamento di un elettrone con il campo magnetico con fattore giromagnetico
g = 2.1
1
La derivazione che abbiamo dato si trova nel libro di J.J. Sakurai “Advanced Quantum Mechanics”
(1967) e Sakurai ne dà credito a Feynman.
58
3.3
Capitolo 3. Fermioni relativistici
Significato geometrico degli spinori
Uno spinore ψ è un elemento di C2 ,
ψ1
ψ=
ψ2
!
dove ψ1 e ψ2 sono numeri complessi. Lo si chiama “spinore” (e non semplicemente vettore
complesso bi-dimensionale) per sottolineare che ψ codifica proprietà geometriche dello
spazio fisico, come chiariremo nel seguito. In quanto tale, lo spinore non ha niente a che
fare con la meccanica quantistica, ma è un oggetto classico che generalizza la nozione di
vettore.
Prima di chiarire il significato geometrico degli spinori, forniamo alcuni complementi
sull’algebra di Pauli2 .
Generatori di un’algebra∗
Un insieme di elementi a1 , . . . , an genera un algebra su un corpo K se ogni elemento
dell’algebra può essere espresso come un polinomio in a1 , . . . , an con coefficienti in K.
Generatori dell’algebra di Pauli∗
L’algebra generata da 1, σ1 , σ2 , σ3 contiene combinazioni lineari dei seguenti elementi
1
1 elemento
σ1 , σ 2 , σ 3
3 elementi
σ2 σ3 , σ 3 σ1 , σ 1 σ2
3 elementi
σ1 σ2 σ3
1 elemento
Si osservi che non ci possono essere polinomi di quarto grado indipendenti; ad esempio,
usando le relazioni algebriche fondamentali,
σ1 σ2 σ3 σ1 = −σ2 σ1 σ3 σ1 = σ2 σ1 σ1 σ3 = σ2 σ3
Quindi, come spazio vettoriale, l’algebra di Pauli ha dimensione 8.
Prodotto esterno∗
È conveniente introdurre il prodotto esterno
σ(a) ∧ σ(b) ≡
1
[σ(a)σ(b) − σ(a)σ(b)] = iσ(a × b)
2
che permette di scrivere il prodotto di due vettori come somma del prodotto interno, cioè
il prodotto scalare, e del prodotto esterno:
1
1
[σ(a)σ(b) + σ(a)σ(b)] + [σ(a)σ(b) − σ(a)σ(b)]
2
2
= (a · b)1 + σ(a) ∧ σ(b)
σ(a)σ(b) =
2
Le sezioni contrassegnate con un asterisco possono essere omesse senza pregiudicare la comprensione di
quello che segue.
3.3 Significato geometrico degli spinori
59
Quaternioni∗
Un quaternione è un elemento dell’algebra di Pauli della forma
q = q0 1 + q1 σ2 σ3 + q2 σ3 σ1 + q3 σ1 σ2
(3.9)
Se si considera la moltiplicazione due elementi di questo tipo:
r = qp = (q0 1 + q1 σ2 σ3 + q2 σ3 σ1 + q3 σ1 σ2 ) (p0 1 + p1 σ2 σ3 + p2 σ3 σ1 + p3 σ1 σ2 )
è facile convincersi che r è ancora della forma
r = r0 1 + r1 σ2 σ3 + r2 σ3 σ1 + r3 σ1 σ2
Questo perché il prodotto di termini con uguali prodotti di matrici σ fornisce un multiplo
dell’identità, ad esempio
q1 p1 σ2 σ3 σ2 σ3 = −q1 p1 σ2 σ2 σ3 σ3 = −q1 p1 σ22 σ32 = −q1 p1 1
mentre il prodotto di termini con prodotti differenti di matrici σ fornisce un multiplo del
prodotto di due matrici σ , ad esempio,
q3 p2 σ1 σ2 σ3 σ1 = −q3 p2 σ2 σ1 σ3 σ1 = q3 p2 σ2 σ1 σ1 σ3 = q3 p2 σ2 σ3
Quindi l’insieme degli elementi della forma (3.9) forma una sotto-algebra dell’algebra di
Pauli di dimensione 4 (come spazio vettoriale). Questa è l’algebra dei quaternioni proposta
da Hamilton nel 1843. Si passa alle notazioni di Hamilton scrivendo
q = q0 1 + q1 i + q2 j + q3 k
dove
i = σ2 σ3 = iσ1
j = σ3 σ1 = iσ2
k = σ1 σ2 = iσ3
sono le “unità immaginarie” dell’algebra, nel senso che
i2 = j 2 = k2 = −1
3.3.1
Corrispondenza tra SO(3) e SU(2)
Una matrice M agisce sugli spinori (vettori colonna) nella maniera usuale di prodotto
righe per colonne, ψ → M ψ. La sua azione duale sui “bra” (vettori riga) ψ ∗ = (ψ 1 ψ 2 ) è
ψ ∗ → ψ ∗ M ∗ . Quindi il proiettore
!
ψ1 ψψ =
ψ1 ψ2
ψ2
∗
si trasforma come
ψψ ∗ → M ψψ ∗ ψM ∗
Poiché ogni matrice hermitiana è somma di proiettori, una generica matrice hermitiana A
si trasforma come A → M AM ∗ e se A = σ(a), per un qualche vettore tri-dimensionale a,
avremo
σ(a) → M σ(a)M ∗
60
Capitolo 3. Fermioni relativistici
Si pone il problema di determinare le corrispondenze tra trasformazioni nello spazio fisico
e trasformazioni nello spazio spinoriale.
Di particolare interesse sono le trasformazioni σ(a) → M σ(a)M ∗ che corrispondono ad
una rotazione nello spazio 3-dimensionale. Quest’ultime sono caratterizzate dalla condizione
di lasciare invariata la norma del vettore. Poiché σ(a)2 = a2 1, ad una rotazione R dovrà
corrispondere una trasformazione U nello spazio spinoriale tale che
U σ(a)2 U ∗ = σ(a)2
Ma U σ(a)2 U ∗ = a2 U U ∗ . Quindi U U ∗ = 1, vale a dire U deve essere unitaria, cioè U −1 = U ∗ .
Osservando che
a
3
det σ(a) ≡ a1 − ia2
a1 − ia2 = −a23 − a21 − a22 = −a2
−a3 si conclude che il determinante di U può valere +1 o −1.
Una rotazione propria di R3 è una rotazione che conserva l’orientazione dello spazio
(= trasforma una terna orientata di vettori ortogonali in una terna ortogonale con la stessa
orientazione). Ad esempio, a → −a non è una rotazione propria. Equivalentemente, una
rotazione propria è una rotazione connessa con identità, cioè tale da essere ottenuta
mediante una deformazione continua dell’identità. L’insieme delle rotazioni proprie di R3
forma il gruppo SO(3).
La trasformazione unitaria U corrispondente alla rotazione propria R, cioè tale che
se
a → b = Ra ,
allora σ(a) → σ(b) = U σ(a)U ∗
deve essere anch’essa una deformazione continua dell’identità e quindi il suo determinante
deve essere +1. L’insieme delle matrici unitarie 2 × 2 con determinante unitario forma il
gruppo SU(2); queste matrici sono del tipo
α −β̄
U=
β ᾱ
!
dove α e β sono numeri complessi tali che |α|2 + |β|2 = 1.
Diamo senza dimostrazione la formula per la rotazione di un angolo θ attorno all’asse
di rotazione n̂ (versore unitario):
θ
θ
θ
U (n̂, θ) = exp −i σ(n̂) = cos
1 − i sin
σ(n̂)
2
2
2
(3.10)
Dalla formula per U segue che la corrispondenza tra SU(2) e SO(3) è due a uno: U (n̂, θ)
e U (n̂, θ + 2π) = −U (n̂, θ) corrispondono alla stessa rotazione R(â, θ). In altre parole, SU(2)
(che è semplicemente connesso) è un doppio ricoprimento di SO(3) (che è duplicemente
connesso).
Rotazioni e quaternioni∗
Si osservi che una rotazione U è della forma
U = u0 1 + u1 iσ1 + u2 iσ2 + u3 iσ3
con u0 , u1 , u2 , u3 parametri reali tali che
u20 + u21 + u22 + u23 = 1
3.3 Significato geometrico degli spinori
61
In altre parole, è un quaternione
U = u0 1 + u1 i + u2 j + u3 k
q
di lunghezza |U | = u20 + u21 + u22 + u23 unitaria. Questa rappresentazione delle rotazioni fu
proposta da Cayley nel 1846.
3.3.2
Spinore come “asta portabandiera”
Ci sono due modi di associare un vettore ad uno spinore ψ =
consiste nel formare il bilineare
ψ1 ψ2 .
Un modo molto naturale
a = ψ ∗ σψ = ψ ∗ σ1 ψ e1 + ψ ∗ σ2 ψ e2 + ψ ∗ σ3 ψ e3
= ψ 1 ψ2 + ψ 2 ψ1 e1 − i ψ 1 ψ2 − ψ 2 ψ1 e2 + ψ 1 ψ1 − ψ 2 ψ2 e3
(3.11)
Lo spinore appare così come una sorta di “radice quadrata” di un vettore.3
Questa caratterizzazione è messa in luce dalla seguente parametrizzazione dello spinore
ψ=
√
ae
−iχ/2
cos(θ/2)e−iφ/2
sin(θ/2)eiφ/2
!
(3.12)
dove a > 0, θ, φ, χ sono parametri reali (due numeri complessi = 4 numeri reali). Allora il
vettore associato a ha componenti
a1 = aψ 1 ψ2 + aψ 2 ψ1 = a cos(θ/2)eiφ/2 sin(θ/2)eiφ/2 + a sin(θ/2)e−iφ/2 cos(θ/2)e−iφ/2
= a2 sin(θ/2) cos(θ/2)
eiφ + e−iφ
= a sin θ cos ϕ
2
Analogamente, si trova
a2 = −i ψ 1 ψ2 − ψ 2 ψ1 = a sin θ sin ϕ
a3 = ψ 1 ψ1 − ψ 2 ψ2 = a cos θ
Quindi la parametrizzazione (3.12) dello spinore porta alla rappresentazione del vettore
associato in coordinate sferiche. Il fatto che la norma di ψ sia la radice quadrata della
norma di a e che gli angoli che parametrizzano ψ siano “dimezzati” giustifica l’idea che lo
spinore sia una sorta di radice quadrata di un vettore.
Sarebbe sbagliato concludere che uno spinore non è altro che un modo per rappresentare
un vettore. In effetti, lo spinore contiene più informazione geometrica di un vettore: nel
passaggio dallo spinore al vettore si perde l’informazione sulla fase e−iχ/2 . Wheeler ha
suggerito di chiamare l’oggetto geometrico che ψ rappresenta un’“asta portabandiera”
(“flagpole”): a = |ψ|2 è la lunghezza dell’asta, a è il vettore dell’asta; χ è l’angolo che
rappresenta l’orientazione della bandiera (si veda la figura 3.2).
3.3.3
Spinore come autovettore
Consideriamo adesso un altro modo di associare un vettore ad uno spinore, incominciamo
col dimostrare che per ogni ψ possiamo costruire una matrice hermitiana A a traccia nulla
tale che ψ è l’autovettore di A con autovalore 1.
3
In meccanica quantistica a è il valor medio dello spin nello stato ψ, ma si ricordi che stiamo facendo
geometria classica e non meccanica quantistica!
62
Capitolo 3. Fermioni relativistici
Figura 3.1: Lo spinore ha una direzione nello spazio (l’asta), un’orientazione intorno a quest’asse
(bandiera) e un segno complessivo (non mostrato). Un insieme opportuno di parametri per descrivere
lo spinore è (a meno di un segno) a, θ, φ, χ come mostrato. I primi tre fissano la lunghezza e la
direzione dell’asta usando le coordinate sferiche standard, l’ultimo dà l’orientazione della bandiera.
Dim. La matrice A sia tale che −1 sia!l’altro autovalore, di modo che A diventi σ3
−ψ 2
quando è diagonalizzata. Sia ψL =
(a meno di una fase) il vettore ortogonale
ψ1
a ψ corrispondente
all’autovalore −1 . Si noti che ψ e ψL hanno la stessa lunghezza
p
|ψ| = |ψ1 |2 + |ψ2 |2 Allora la matrice formata dagli autovettori normalizzati,
1 ψ1 −ψ 2
U=
|ψ| ψ2 ψ 1
!
(3.13)
è la matrice unitaria che diagonalizza A, cioè
σ3 = U −1 AU
La soluzione è
1
ψ1 −ψ 2
A = U σ3 U ∗ =
2
|ψ| ψ2 ψ 1
!
1 0
0 −1
!
!
1
ψ 1 ψ1 − ψ 2 ψ2
2ψ1 ψ 2
ψ1 ψ2
=
2
−ψ2 ψ1
ψ
−ψ
2ψ
|ψ|
2 1
1 ψ1 + ψ 2 ψ2
Questa è la matrice hermitiana a traccia nulla associata a ψ che intendevamo costruire. Dalla (3.6) segue immediatamente che alla matrice |ψ|2 A è associato il vettore
h
ψ 1 ψ2 + ψ 2 ψ1 e1 − i ψ 1 ψ2 − ψ 2 ψ1 e2 + ψ 1 ψ1 − ψ 2 ψ2 e3
i
che è proprio il vettore a = ψ ∗ σψ. Risulta così stabilita l’equivalenza dei due modi di
associare un vettore ad uno spinore. (Si osservi che |ψ|2 = |a|.)
Riassumendo, ad ogni spinore ψ è associato il vettore a = ψ ∗ σψ. Inoltre, ψ è autovettore
di autovalore positivo di σ(a); equivalentemente, per ogni vettore a, la matrice σ(a) ha un
autovettore di autovalore positivo la cui asta portabandiera è diretta lungo a.
!
3.3 Significato geometrico degli spinori
63
Equazione agli autovalori∗
Otteniamo una formula esplicita per gli autovettori di σ(a). Risolviamo l’equazione agli
autovalori
σ(a)ψ = λψ
a3 − λ a1 − ia2
a1 − ia2 −a3 − λ
ossia
!
!
x
=0
y
avendo posto per comodità ψ = xy . Poiché σ(a)2 = a2 , gli autovalori sono λ = ±a, posto
a = |a|. Denotiamo con ψR e ψL i corrispondenti autovettori (ψR è lo spinore che fino ad
ora è stato denotato con ψ). L’equazione agli autovalori fornisce
per λ = a, (a3 − a)x + (a1 − ia2 )y = 0
⇒
per λ = −a, (a3 + a)x + (a1 − ia2 )y = 0
⇒
ψR ∝
(x = 1)
(y = 1)
1
!
a1 +ia2
a+a3
1 −ia2
− aa+a
3
ψL ∝
1
!
Scegliendo le costanti moltiplicative in modo che gli autovettori siano normalizzati a 1, si
ottengono le espressioni per i due autovettori normalizzati
r
ψR =
a + a3
2a
!
1
a1 +ia2
a+a3
r
,
ψL =
1 −ia2
a + a3 − aa+a
3
2a
1
!
(3.14)
Tenuto conto che (a meno di un segno)
r
a + a3
=
2a
s
1 + cos θ
= cos(θ/2) e a1 − ia2 = a sin θ sin φ − ia sin θ cos φ = a sin θe−iφ
2
possiamo riscrivere le espressioni per i due autovettori normalizzati come
!
cos(θ/2)
,
ψR =
sin(θ/2)eiφ
− sin(θ/2)e−iφ
ψL =
cos(θ/2)
!
(3.15)
Una maniera più geometrica di risolvere il problema consiste nell’osservare che i due
auto-vettori di σ(a) sono ottenuti per rotazione U (n̂, θ) dai due auto-vettori da σ3 , dove
l’asse di rotazione è
n̂ =
=
e3 × a
e3 × (a1 e1 + a2 e2 + a3 e3 ) a1 e2 − a2 e1
=
= q
|e3 × a|
|e3 × a|
a22 + a21
sin θ cos φe2 − sin θ sin φe1
= cos φe2 − sin φe1
sin θ
Allora, dalla formula (3.10) otteniamo
cos(θ/2) − sin(θ/2)e−iφ
U (n̂, θ) = cos(θ/2)1 − i sin(θ/2) (cos φ σ2 − sin φ σ1 ) =
sin(θ/2)eiφ
cos(θ/2)
che, applicata a
1
0
e
0
1
!
fornisce proprio ψR e ψL , rispettivamente.
N.B.
L’equazione agli autovalori determina lo spinore a meno di una fase in quanto il vettore a non
contiene alcuna informazione sulla fase dello spinore ad esso associato. Se moltiplichiamo
gli spinori (3.15) per e−i(χ+φ)/2 ritroviamo per ψ = ψR la parametrizzazione (3.12) da cui
siamo partiti.
64
3.3.4
Capitolo 3. Fermioni relativistici
Inversione spaziale o parità
Lo spinore ψL è stato introdotto come l’autovettore di autovalore negativo di σ(a); equivalentemente può essere visto come l’autovettore di autovalore positivo di σ(−a) ossia come
lo spinore associato a −a. Vediamo così che alla trasformazione (anti-unitaria) da ψR a ψL
nello spazio spinoriale,
ψ1
ψR =
ψ2
!
!
−ψ 2
ψ
→ ψL =
= −iσ2 1
ψ1
ψ2
!
(3.16)
corrisponde l’inversione spaziale o operatore di parità nello spazio di tri-dimensionale
P : a → −a
(3.17)
Al riguardo alcune osservazioni.
• “R” e “L” stanno per destra (right) e sinistra (left). Questa distinzione non ha alcun
significato sostanziale in fisica non-relativistica, ma lo ha in relatività (ha a che fare
con la chiralità, di cui ci occuperemo nel seguito).
• In 3 dimensioni (e più in generale in spazi di dimensione dispari), l’inversione spaziale
non fa parte del gruppo proprio delle rotazioni: essendo −1 il suo determinante
Jacobiano, essa non può essere ottenuta per deformazione continua dell’identità.
Invece in due dimensioni (e più in generale in spazi di dimensione pari), è una
rotazione propria che corrisponde alla rotazione di π.
• La trasformazione (3.16) è ciò che potremmo aspettarci sulla base dell’interpretazione
dello spinore (3.12) come asta portabandiera: la coniugazione complessa tiene conto
dell’inversione dell’orientazione della bandiera e dell’asta; mentre lo scambio delle
coordinate corrisponde al fatto che una variazione di π nello spazio tridimensionale
corrisponde ad una variazione di π/2 nello spazio spinoriale.
3.3.5
Spinore come stiro-rotazione∗
Un numero complesso z può essere interpretato geometricamente come un vettore nel
piano, ma anche come una trasformazione: per ogni numero complesso a, la trasformazione
z 7→ az rappresenta uno “stiramento” del piano di un fattore |a| (compressione o espansione
a seconda se |a| < 1 o |a| > 1), combinata con una rotazione del piano di un angolo pari ad
arg(a). Potremmo chiamare z 7→ az una stiro-rotazione.
Analogamente, uno spinore può essere interpretato come un vettore nello spazio (con
una bandiera), ma anche come una trasformazione dello spazio. L’operatore
!
ψ1 −ψ 2
Q=
= |ψ|U
ψ2 ψ 1
codifica (a meno di un segno) tutta l’informazione geometrica contenuta in ψ.
trasformazione
La
v 7→ QvQ∗
dilata il vettore v e lo ruota: è una stiro-rotazione. La corrispondenza tra spinori e
stiro-rotazioni è biunivoca (a meno di un segno).
Spinori e quaternioni∗
Come abbiamo visto, una matrice unitaria è un quaternione unitario
U = u0 1 + u1 i + u2 j + u3 k
3.4 Relatività e spinori
65
q
di lunghezza |U | = u20 + u21 + u22 + u23 = 1. Quando U è moltiplicato per un numero reale
positivo r si ottiene un quaternione di lunghezza r. Quindi uno spinore è un quaternione.
È istruttivo osservare che gli oggetti matematici introdotti nel 1926 da Pauli per descrivere
lo spin quantistico siano gli stessi introdotti da Hamilton nel 1843.
3.4
Relatività e spinori
Si assume nota la relatività ristretta. Stipuliamo le seguenti notazioni: a, b, . . . denotano
4-vettori nello spazio di Minkowski M4 . Le componenti di a in un sistema di riferimento
sono a = (a0 , a) e il prodotto scalare di Minkowski tra due 4-vettori a e b è ab = a0 b0 − a · b.
La “lunghezza” al quadrato di Minkowski di a è a2 = aa = a20 − a2 . Ricordiamo che i
4-vettori sono di 3 tipi possibili: a è di tipo tempo se a2 > 0, cioè esiste un sistema
di riferimento tale che a = (a0 , 0); è di tipo spazio se a2 < 0, cioè esiste un sistema di
riferimento tale che a = (0, a); infine, è di tipo luce se a2 = 0.
3.4.1
Algebra di Pauli e 4-vettori
L’algebra di Pauli è così ospitale da poter accomodare anche i 4-vettori, in modo del tutto
simile al caso dei vettori tri-dimensionali. Fissata una base e0 , e1 , e2 , e3 nello spazio di
Minkowski M4 e stabilita l’associazione
e0 → 1 ,
e1 → σ1 ,
e2 → σ2 ,
e3 → σ3 ,
(3.18)
essa viene estesa per linearità a tutti i 4-vettori a = (a0 , a1 , a2 , a3 )
a = a0 1 + a1 e1 + a2 e2 + a3 e3 → a0 1 + a1 σ1 + a2 σ2 + a3 σ3 = σ(a) ,
ossia
a0 + a3 a1 − ia2
σ(a) = a0 1 + σ(a) =
a1 + ia2 a0 − a3
!
La corrispondenza tra tra 4-vettori e matrici hermitiane 2 × 2 è biunivoca: data una matrice
hermitiana A, il 4-vettore a ad essa associato è dato dalla (3.8), vale a dire,
a0 =
1
Tr(A) ,
2
a=
1
Tr(Aσ)
2
(3.19)
Quel che è bello in questa corrispondenza è che il quadrato della lunghezza di Minkowski
è uguale al determinante della matrice associata. Si ha infatti
a +a
0
3
a1 + ia2
a1 − ia2 = (a0 + a3 )(a0 − a3 ) − (a1 − ia2 )(a1 + ia2 ) = a20 − a23 − a21 − a22 = a2
a0 − a3 Questo permette di caratterizzare le trasformazioni di Lorentz in termini di trasformazioni
di matrici. Le trasformazioni di Lorentz sono trasformazioni lineari di M4 che lasciano
invariata la lunghezza dei 4-vettori. Sono quindi in corrispondenza con le trasformazioni
lineari
A → A0 = M AM ∗
che non cambiano il determinate di A, cioè tali che det A = det A0 . Per le proprietà del
determinante (delle matrici hermitiane 2 × 2)
det M AM ∗ = det M det A det M = (det M )2 det A
66
Capitolo 3. Fermioni relativistici
Quindi det M = ±1. La richiesta che le trasformazioni siano connesse con continuità
all’identità (come sono le trasformazioni di Lorentz), esclude la possibilità che M abbia
determinante −1. Quindi le trasformazioni che corrispondono a quelle di Lorentz sono le
matrici 2 × 2 con determinante +1. L’insieme di queste trasformazioni è di solito denotato
SL(2, C) (trasformazioni lineari speciali, cioè con determinante +1, in 2 dimensioni e a
coefficienti complessi). Le matrici che realizzano le trasformazione di Lorentz sono dunque
del tipo
α β
M=
γ δ
!
(3.20)
con α, β, γ, δ numeri complessi tali che αδ − βγ = 1. Si osservi che le matrici unitarie con
determinante 1, cioè le matrici che rappresentano le rotazioni, sono incluse in SL(2, C) e ne
costituiscono un sotto-gruppo (il prodotto di due di esse rapprsenta ancora una rotazione e
l’inverso di una rotazione è ancora una rotazione).
Spinte di Lorentz
Consideriamo una matrice del tipo
e
−(w/2)σ3
e−w/2
0
=
w/2
0
e
!
dove w è un numero reale. Poiché il determinante di questa matrice è 1, essa rappresenta
una trasformazione di Lorentz. Di quale trasformazione si tratta?
Per rispondere, occorre determinare l’azione della matrice su un 4-vettore a :
σ(a) → σ(a0 ) = e(w/2)σ3 σ(a)e(w/2)σ3
vale a dire
!
a0 + a3 a1 − ia2
a0 + a03 a01 − ia02
→ 00
a1 + ia2 a0 − a3
a1 + ia02 a00 − a03
e−w/2
0
=
0
ew/2
!
!
a0 + a3 a1 − ia2
a1 + ia2 a0 − a3
!
!
e−w/2 (a0 + a3 ) e−w/2 (a1 − ia2 )
=
ew/2 (a1 + ia2 )
ew/2 (a0 − a3 )
e−w (a0 + a3 )
a1 − ia2
=
a1 + ia2
ew (a0 − a3 )
e−w/2
0
0
ew/2
e−w/2
0
w/2
0
e
!
!
!
da cui, le componenti del 4-vettore a0 :
ew + e−w
ew − e−w
a0 −
a3 = cosh(w)a0 − sinh(w)a3
2
2
a01 = a1
a00 =
a02 = a2
ew − e−w
ew + e−w
a0 +
a3 = − sinh(w)a0 + cosh(w)a3
2
2
Questa è una spinta di Lorentz o (trasformazione di Lorentz pura) lungo l’asse 3 con
rapidità w.4
a03 = −
4
Ricordiamo che la rapidità è definita identificando v/c con tanh w, da cui
1
γ=p
= cosh w
1 − v 2 /c2
e
v/c
p
1 − v 2 /c2
= sinh w
3.4 Relatività e spinori
67
È possibile verificare che e(−w/2)σ1 e e(−w/2)σ2 danno trasformazioni di Lorentz rispettivamente lungo x e y. (Deve essere così, dato che le matrici di Pauli possono essere collegate
fra loro da rotazioni). La spinta generale Lorentz per una spinore è, quindi, per rapidità w
nella direzione n̂,
e−(w/2)σ(n̂) = cosh
w
w
1 − sinh
σ(n̂)
2
2
(3.21)
È importante osservare che una spinta di Lorentz è rappresentata da una matrice
hermitiana. Il fatto algebrico che il prodotto di due matrici hermitiane non è necessariamente hermitiano corrisponde al fatto che la composizione di due trasformazioni di Lorentz
in direzioni differenti non è una spinta di Lorentz (questo fatto è alla base della spiegazione
della precessione di Thomas).
Troviamo così tutta la struttura del gruppo proprio di Lorentz riprodotto nel gruppo
SL(2, C). La relazione è una mappa a due-a-uno poiché una data trasformazione di Lorentz
(in senso generale, comprese le rotazioni) può essere rappresentato da una matrice +M
o −M , per M ∈ SL(2, C). Lo spazio dei parametri del gruppo SL(2, C) ha tre dimensioni
complesse e pertanto sei reali (le matrici hanno quattro numeri complessi e un vincolo
complesso sulla determinante). Questo corrisponde alle 6 dimensioni dello spazio dei
parametri del gruppo di Lorentz.
3.4.2
Spinore come 4-vettore di tipo luce
Adesso siamo in grado di mostrare un ulteriore significato geometrico
dello spinore. Possiamo
1
associare il 4-vettore a = (a0 , a) ad un uno spinore ψ = ψ
,
formando
il il bilineare ψ ∗ σψ,
ψ2
dove σ sta per il “4-vettore” di matrici (1, σ). Esplicitamente, a0 = ψ ∗ ψ e a = ψ ∗ σψ, dato
dalla (3.11). Come visto nella sezione 3.3.2, ψ ∗ ψ = |a|. Quindi a0 = |a|. Allora il 4-vettore
a è di tipo luce. Riassumendo,
da uno spinore si ottiene un 4-vettore di tipo luce: a = ψ ∗ σψ
(3.22)
Possiamo così dare un significato relativistico all’interpretazione dello spinore come
“asta portabandiera”, interpretando la lunghezza dell’asta come la componente temporale
di un 4-vettore di tipo luce. Si osservi che, essendo a0 > 0, il 4-vettore è orientato verso il
futuro in tutti i sistemi di riferimento.
di modo che una trasformazione di Lorentz (per semplicità nella sola direzione 3)
v
ct0 = γ ct − z
c
v
z 0 = γ x − ct
c
può essere riscritta come
ct0
x0
=
cosh w
− sinh w
− sinh w
cosh w
ct
x
cosicché una trasformazione di Lorentz appare come una rotazione iperbolica di angolo w. L’importanza
della rapidità sta nel fatto che la composizione di trasformazioni di Lorentz (in una data direzione) è
additiva nella rapidità: Λ(w1 )Λ(w2 ) = Λ(w2 + w2 ) (come si dimostra facilmente usando la formula
tanh(w1 + w2 ) =
tanh w1 + tanh w2
1 + tanh w1 tanh w2
Dall’additività della rapidità segue dunque l’usuale formula di addizione delle velocità u = (v1 + v2 )/(1 +
v1 v2 /c2 .
68
Capitolo 3. Fermioni relativistici
È istruttivo scrivere la matrice hermitiana associata in termini di ψ. È un facile esercizio
mostrare che
!
!
ψ1 |ψ1 |2 ψ 2 ψ1
σ(a) = 2
=
2
ψ
ψ
1 2
ψ 1 ψ2 |ψ2 |2
ψ2
Questa espressione rende il senso in cui uno spinore può essere pensato come la “radice
quadrata” di un 4-vettore di tipo luce. Si osservi che, come dovevamo aspettarci, il
determinante della matrice è nullo. Infatti, come abbiamo visto sopra, il quadrato della
lunghezza del 4-vettore è uguale al determinante della matrice hermitiana associata.
Prodotto scalare invariante per spinori*
È utile introdurre uno (pseudo) prodotto scalare sugli spinori che scimmiotta il prodotto
scalare di Minkowski. Poiché il 4-vettore associato ad uno spinore ha lunghezza di Minkowski
nulla, un tale prodotto scalare deve assegnare lunghezza nulla allo spinore. La scelta naturale
(a meno di un segno) è
ψ · φ = ψ1 φ2 − ψ2 φ1
(3.23)
Questa (pseudo) prodotto scalare è invariante per trasformazioni di Lorentz, come si può
facilmente verificare. Si lascia come esercizio anche la verifica che se due spinori sono
ortogonali rispetto a questo prodotto scalare, i corrispondenti 4-vettori sono ortogonali
rispetto al prodotto scalare di Minkowski.
3.4.3
Inversione spaziale
Nella sezione 3.3.4 abbiamo visto che nello spazio spinoriale l’inversione di parità è data
dalla formula (3.16) che per comodità riscriviamo
ψ1
ψ ≡ ψR =
ψ2
!
!
−ψ 2
ψ
→ ψL =
= −iσ2 1
ψ1
ψ2
!
(3.16)
Qual è il 4-vettore associato a ψL ? Poiché ψ e ψL hanno la stessa lunghezza, la componente
temporale sarà ancora a0 = ψ ∗ ψ , mentre la componente spaziale sarà −a. In altre parole,
al cambiamento (3.16) nello spazio spinoriale, corrisponde l’inversione spaziale
P : a = (a0 , a) → (a0 , −a)
nello spazio di Minkowski.
∗ σψ e a ψ il 4-vettore di
In conclusione, a ψR è associato il 4-vettore di tipo luce ψR
R
L
∗
tipo luce ψL σψL ; i due 4-vettori sono legati tra loro dall’inversione di parità:
∗
P : ψR
σψR → ψL∗ σψL
3.4.4
Chiralità
Veniamo ora al tema della chiralità. Essenzialmente, la chiralità riguarda il modo in cui gli
spinori si comportano per trasformazioni di Lorentz.
Sia
ψ1
ψR =
ψ2
!
!
ψ10
α β
−→
=
γ δ
ψ20
Λ
!
!
ψ1
αψ1 + βψ2
=
ψ2
γψ1 + δψ2
!
3.5 L’equazione di Weyl
69
una trasformazione di Lorentz di ψR . Allora ψL si trasforma come
−ψ 2
ψL =
ψ1
!
!
!
−ψ 0 2
−γψ1 − δψ2
δ −γ
→
=
=
−β α
αψ1 + βψ2
ψ01
!
−ψ 2
ψ1
!
Ma
!
!
∗
α β −1
δ −β
δ −γ
−→
−→
γ δ
−γ α
−β α
!
Quindi gli spinori sinistri si trasformano come
(Λ∗ )−1
cioè differentemente dagli spinori destri. Si dice che gli R e quelli L realizzano due
rappresentazioni irriducibili distinte del gruppo di Lorentz.
Per quanto questo sia abbastanza astratto, l’interpretazione fisica è che ψR e ψL
descrivono due tipi diversi di particelle. Si dice che ψR descrive una particella con chiralità
destra e ψL una con chiralità sinistra. La chiralità, non dipendendo dalla scelta del
sistema di riferimento, è una loro caratteristica intrinseca che le distingue (come lo sono la
carica e la massa di particelle che si muovono a velocità inferiori a quella della luce). Si
tratta dunque di particelle differenti.
3.5
L’equazione di Weyl
Per uno spinore ξ è possibile scrivere un’equazione d’onda molto semplice
1 ∂ξ
+ σ(∇)ξ = 0 ,
c ∂t
o, equivalentemente,
1 ∂ξ
+ σ · ∇ξ = 0
c ∂t
(3.24)
Nel 1929 Weyl propose questa equazione per descrivere un fermione relativistico a massa
nulla e di spin 1/2. Il carattere relativistico segue dal fatto che l’equazione è del prim’ordine
nel tempo e nello spazio, cioè spazio e tempo sono trattati nello stesso modo (a differenza
dell’equazione di Pauli).
3.5.1
Pregi e difetti dell’equazione di Weyl
L’indubbio pregio dell’equazione di Weyl è la sua estrema semplicità. La si sarebbe potuta
indovinare senza conoscere la relatività, ma solamente guidati dalla ricerca dell’equazione
d’onda quantistica più semplice per uno spinore. Inoltre, recentemente, questa equazione
si è rivelata utile nella fisica degli stati condensati, in contesti che non c’entrano nulla con
la relatività.
L’equazione di Weyl può essere usata per descrivere il movimento di una particella
quantistica per la seguente ragione. In primo luogo, ξ ∗ ξ è una quantità localmente
conservata. Per mostrare questo, scriviamo le equazioni di Weyl per ξ e ξ ∗ nel seguente
modo
1 ∂ξ
= − σ · ∇ξ
c ∂t
1 ∂ξ ∗
= −ξ ∗ σ · ∇~
c ∂t
dove ∇~ significa che l’operatore agisce su funzioni alla sua sinistra. Allora
1∂ ∗
∂ξ ∗
∂ξ
ξ ξ=
ξ + ξ∗
= −ξ ∗ ∇~ · σξ − ξ ∗ σ · ∇ξ = −∇ · ξ ∗ σξ
c ∂t
∂t
∂t
70
Capitolo 3. Fermioni relativistici
Quindi vale l’equazione di continuità
∂ρ
+∇·J = 0
∂t
per ρ = ξ ∗ ξ e J = c ξ ∗ σξ. Questa equazione può essere scritta in forma manifestamente
Lorentz-invariante
∂J = 0
∂
, −∇ e il 4-vettore J = (cξ ∗ ξ, cξ ∗ σξ).
introducendo l’operatore ∂ ≡ 1c ∂t
Un’importante conseguenza dell’equazione di continuità è la seguente: se ξ ∗ ξ è normalizzata ad un qualche istante di tempo,
Z
ξ ∗ ξdV = 1
spazio
la normalizzazione è mantenuta a tutti gli istanti di tempo. Questo significa che ξ ∗ ξ può
essere interpretata come una densità di probabilità che evolve nella direzione della densità
di flusso di probabilità J = c ξ ∗ σξ. Ma ξ ∗ σξ è il vettore associato a ξ. Quindi ξ ∗ ξ = |J|.
Allora J 2 = 0 e quindi J è un 4-vettore di tipo luce. Ne segue che l’equazione di Weyl
descrive particelle che si propagano alla velocità della luce.
In particolare, se consideriamo un’onda piana ξ = ξk ei(kx−ωt) , l’equazione di Weyl
diventa
σ(k)ξk =
ω
ξk
c
(3.25)
Poiché σ(k)2 = |k|2 , ne segue che ω 2 = c|k|2 , che è la stessa relazione di dispersione delle
onde elettromagnetiche. Si osservi che ω/c = +|k| è l’autovalore positivo di σ(k), mentre
l’altro autovalore è ω/c = −|k| ed è negativo. Quindi se applichiamo brutalmente la relazione
di Einstein-de Broglie E = h̄ω, la particella avrà un’energia negativa in corrispondenza
dell’autovalore negativo, il che non è fisicamente accettabile.
Questo difetto può essere curato con l’idea di Dirac che che il vuoto fisico |0i corrisponda
a tutti gli stati di energia negativa occupati. Questo stato è usualmente chiamato mare
di Dirac. In seconda quantizzazione questa idea si realizza lungo le linee che abbiamo
esposto quando ci siamo occupati di quasi particelle e di lacune nella sezione 2.2.8. In
seguito analizzeremo questo problema da un punto di vista più fondamentale e vedremo
come si possa giungere alle stesse conclusioni di Dirac evitando di introdurre una struttura
così artificiale come il mare di Dirac. Temporaneamente, assegneremo significato fisico
solo alle soluzioni ad energia positiva.
3.5.2
Particelle e antiparticelle
Si potrebbe ritenere che un altro difetto dell’equazione di Weyl sia il fatto che essa non è
invariante per parità. Infatti, operando l’inversione spaziale x → −x si passa all’equazione
1 ∂η
− σ · ∇η = 0
c ∂t
(3.26)
che è chiaramente differente dall’equazione di Weyl. La chiameremo la seconda equazione
di Weyl per differenziarla dalla prima equazione di Weyl data dalla (3.24). La scoperta
della violazione della parità nei decadimenti deboli ha trasformato questo difetto in una
virtù e ha reso l’equazione di Weyl un buon candidato per descrivere i neutrini.
3.5 L’equazione di Weyl
71
Il flusso di probabilità associato alla seconda equazione di Weyl è −J e quindi il 4-vettore
associato è ottenuto da J per inversione di parità. Questo significa che gli spinori che sono
soluzioni delle due equazioni di Weyl hanno chiralità opposta: ξ è uno spinore destro e
η uno spinore sinistro Poiché non esiste alcun sistema di riferimento in cui ξ diventa φ,
come abbiamo già sottolineato, ξ e η descrivono due tipi diversi di particelle: ξ descrive
una particella con chiralità destra e η una con chiralità sinistra. La prima particella è
nota come anti-neutrino (di Weyl) e la seconda come neutrino (di Weyl).
Moto della particella guidata da un’onda piana
Vediamo come evolve una particella guidata dall’onda piana ξ = ξk ei(kx−ω(k)t) con ω(k) =
c|k| e ξk autovettore di autovalore +1 di σ(k̂) (come segue da (3.25) per ω/c = |k|). Allora
il flusso di probabilità è J = ck̂ ξk∗ ξk . Quindi la particella si muove con velocità ck̂ e ha un
impulso
E
h̄c|k|
= (ck̂)
2
c
c2
p=v
= h̄k ,
in accordo con la relazione di Einstein-de Broglie p = h̄k. Il suo 4-impulso è p = (E /c, p)
ed è di tipo luce. La particella ha massa zero. Un ragionamento analogo porta alla stessa
conclusione per l’anti-particella.
Schema riassuntivo
Le equazioni di Weyl sono
1 ∂ξ
+ σ(∇)ξ = 0
c ∂t
1 ∂η
− σ(∇)η = 0
c ∂t
(3.27)
(3.28)
dove ξ è uno spinore destro e φ uno spinore sinistro. Ad esse sono associate particelle e
anti-particelle che si propagano alla velocità della luce. Lo sviluppo in onde piane delle
soluzioni, ξ = ξk ei(kx−ωt) e η = ηk ei(kx−ωt) fornisce le equazioni di Weyl in trasformata di
Fourier
ω
ξk − σ(k)ξk = 0
c
ω
ηk + σ(k)ηk = 0
c
3.5.3
(3.29)
(3.30)
Elicità e chiralità
L’elicità è definita come la proiezione dello spin S = 12 h̄σ sulla direzione dell’impulso p = h̄k
della particella guidata dall’onda piana di numero d’onde k ed è quindi data dall’operatore
S·p 1 σ·k
= h̄
|p|
2 |k|
Poiché ω = c|k| (consideriamo solo soluzioni ad energia positiva), vediamo che gli spinori ξk
sono auto-stati dell’elicità di autovalore positivo (lo spin è lungo la direzione di propagazione), mentre gli spinori ηk descrivono auto-stati dell’elicità di autovalore negativo (lo spin è
opposto alla direzione di propagazione). In altre parole, le particelle, che hanno chiralità
destra (anti-neutrini), hanno elicità positiva e le anti-particelle, che hanno chiralità sinistra
(neutrini), hanno elicità negativa.
72
Capitolo 3. Fermioni relativistici
Figura 3.2: I cerchi rosso e blu rappresentano due tipi di particelle. Entrambe hanno massa zero
e spin 1/2. La rossa ha una chiralità differente dalla blu: la blu è “destra”, la rossa è “sinistra”.
Questa proprietà ha a che fare con le proprietà di trasformazione rispetto al gruppo di Lorentz
ed è sufficiente a distinguere le due particelle. È quindi legittimo chiamarle differentemente e
rappresentarle con colore differente (neutrino la rossa e anti-neutrino la blu). L’elicità è sempre
negativa per la particella che chiamiamo neutrino e sempre positiva per la particella che chiamiamo
anti-neutrino.
3.6
L’equazione di Dirac
L’equazione di Dirac è stata formulata nel 1928 da Paul Dirac nel tentativo di ovviare
agli inconvenienti generati dall’equazione di Klein-Gordon (la più immediata formulazione
relativistica dell’equazione di Schrodinger), che presenta difficoltà se interpretata come
un’equazione per la la funzione d’onda di una singola particella.
3.6.1
Da Weyl a Dirac
Non seguiremo la strada di Dirac, ma porremmo il problema nei seguenti termini. Abbiamo
visto che gli spinori ψ e φ presi separatamente descrivono particelle a massa zero (che
si muovono alla velocità della luce). Ci si domanda se è possibile usarli in coppia per
descrivere particelle di massa non nulla. Per fare questo proviamo ad accoppiare lo spinore
destro ψ con lo spinore sinistro φ introducendo a secondo membro delle (3.29) e (3.30) un
termine di interazione che mescoli i due spinori, passando così al sistema di equazioni
ω

 ξk − σ(k)ξk = µηk
c
(3.31)
ω

 ηk + σ(k)ηk = µξk
c
dove µ è una costante con le dimensioni dell’inverso di una lunghezza che rompe l’invarianza
di scala delle equazioni di Weyl. Per decidere se il programma ha successo, dobbiamo
determinare la relazione di dispersione associata al sistema di equazioni (3.31).
Riscriviamo il sistema (3.31) in forma di matrice 4 × 4 (scritta a blocchi di matrici
2 × 2)
0
ω
c 1 − σ(k)
!
ω
c 1 + σ(k)
0
!
ξk
ξ
=µ k
ηk
ηk
!
Calcoliamo il quadrato della matrice a primo membro
0
ω
c 1 − σ(k)
!
ω
c 1 + σ(k)
0
Deve quindi valere la relazione
ω2
− |k|2 = µ2
c2
0
ω
c 1 − σ(k)
ω
c 1 + σ(k)
0
!
=
ω2
c2
− |k|2
0
0
ω2
− |k|2
c2
!
3.6 L’equazione di Dirac
73
che è proprio la relazione di dispersione
ω 2 = c2 |k|2 + c2 µ2
(3.32)
di una particella di massa m, con µ = mc/h̄ l’inverso della sua lunghezza Compton. Ne
concludiamo che il sistema di equazioni (3.31) descrive una particella di massa m non nulla.
Questo sistema di equazioni non è altro che l’equazione di Dirac libera (in trasformata
di Fourier) per il vettore a 4 componenti complesse
ξ
Ψ≡
η
!
detto spinore di Dirac o bi-spinore, dove ξ è uno spinore destro e η uno spinore
sinistro.
3.6.2
L’equazione di Dirac
Usualmente, l’equazione di Dirac è scritta in forma compatta. A tal fine, si definiscono le 4
matrici 4 × 4
!
0 1
γ0 =
,
1 0
!
0 −σ
γ=
,
σ 0
0 −σi
cioè γi =
σi
0
!
i = 1, 2, 3,
che formano il 4-vettore di matrici γ = (γ0 , γ), e si introduce il 4-vettore k = (ω/c, k), per
cui
0
ω
1
−
σ(k)
c
!
ω
c 1 + σ(k)
0
!
= k0
!
0 −σ
0 1
−k·
= k0 γ0 − γ · k = γk
σ 0
1 0
dove γk è il prodotto scalare di Minkowski di γ e k.
Allora l’equazione di Dirac in trasformata di Fourier può essere scritta come
mc
γk −
Ψk = 0 .
h̄
(3.33)
Si passa dall’equazione in trasformata di Fourier all’equazione per il campo Ψ = Ψ(x)
nello spazio-tempo di Minkowski, mediante la sostituzione
1∂
k →i
,
c ∂t
0
1∂
k → i∂ ≡ i
, −∇
c ∂t
k → −i∇ ,
ossia
da cui segue la forma Lorentz-invariante dell’equazione di Dirac per il campo (classico)
Ψ = Ψ(x):
mc
iγ∂ −
Ψ=0
h̄
(3.34)
Fissato un sistema di riferimento per cui x = (ct, x), si ha
γ∂ = γ0
1∂
+γ ·∇
c ∂t
da cui
1 ∂Ψ
mc
i γ0
+ iγ · ∇Ψ =
Ψ
c ∂t
h̄
⇒
ih̄γ0
∂Ψ
+ ih̄c γ · ∇Ψ = mc2 Ψ
∂t
74
Capitolo 3. Fermioni relativistici
Inoltre, osservando che (γ 0 )2 = 1, si possono moltiplicare ambo i membri di questa equazione
per γ 0 , da cui segue la forma di Schrödinger dell’equazione di Dirac
ih̄
∂Ψ
= −ih̄c α · ∇Ψ + βmc2 Ψ
∂t
(3.35)
avendo definito
!
0 1
β ≡ γ0 =
,
1 0
σ 0
α ≡ γ0 γ =
0 −σ
!
(3.36)
Per l’hamiltoniana di Dirac si ottiene così l’espressione
H = −ih̄c α · ∇ + βmc2 = c p · α + βmc2
3.6.3
(3.37)
Algebra di Dirac
La costruzione dell’algebra di Dirac segue gli stessi passi che abbiamo seguito nella costruzione dell’algebra di Pauli. Fissata una base e0 , e1 , e2 , e3 nello spazio di Minkowski M4 e
stabilita l’associazione
e0 → γ0 ,
e1 → −γ1 ,
e2 → −γ2 ,
e3 → −γ3 ,
(3.38)
la si estende per linearità a tutti i 4-vettori a = (a0 , a1 , a2 , a3 )
a = a0 e0 + a1 e1 + a2 e2 + a3 e3 → a0 γ0 − a1 γ1 − a2 γ2 − a3 γ3 ≡ γ(a) .
di modo che γ(a) è la matrice che prima avevamo denotato γ a. Per costruzione, γ(e0 ) = γ0 ,
γ(e1 ) = −γ1 , γ(e2 ) = −γ2 e γ(e3 ) = −γ3 e γ(a) è la matrice
0
a0 1 + σ(a)
γ(a) =
a0 1 − σ(a)
0
!
La proprietà algebrica più importante dell’algebra di Dirac è la relazione di anticommutazione:
γ(a)γ(b) + γ(b)γ(a) = 2ab
(3.39)
dove a e b sono 4-vettori e ab è il loro prodotto scalare di Minkowski. Questa relazione si
dimostra immediatamente con passaggi algebrici analoghi a quelli che ci hanno portato
alla (3.32). Per γ(a)γ(b) abbiamo
0
a0 1 + σ(a)
a0 1 − σ(a)
0
!
!
!
0
b0 1 + σ(b)
a b − σ(a)σ(b)
0
= 0 0
a0 1 − σ(b)
0
0
a0 b0 − σ(a)σ(b)
vale a dire,
γ(a)γ(b) = a0 b0 − σ(a)σ(b)
e scambiando a con b otteniamo
γ(b)γ(a) = a0 b0 − σ(b)σ(a)
Dalla relazione di anti-commutazione dell’algebra di Pauli (3.4), segue la (3.39). In
particolare, per a = b si ha γ(a)2 = a2 .
Molto altro ci sarebbe da dire sull’algebra di Dirac . . .
3.6 L’equazione di Dirac
3.6.4
75
4-vettore associato allo spinore di Dirac ed equazione di continuità
!
ψ
Allo spinore di Dirac Ψ =
risulta associato il 4-vettore
η
J = cΨ∗ γ0 γΨ
(la ragione di γ0 e c risulterà chiara tra breve). La componente temporale di J è
∗
∗
J0 = cΨ γ0 γ0 Ψ = cΨ Ψ = c
ξ∗
η
ξ
!
η
= c(ξ ∗ ξ + η ∗ η)
e quella spaziale è
∗
∗
J = cΨ γ0 γΨ = cΨ αΨ = c
ξ∗
η
σ
0
0
−σ
!
!
ξ
= cξ ∗ σξ − cη ∗ ση
η
Si osservi che J0 è strettamente positivo essendo uguale all’usuale norma del vettore
√
complesso cΨ, dunque non esiste alcun sistema di riferimento in cui la componente
temporale di J si annulla e quindi J è di tipo tempo o di tipo luce.
Aggiunto di Dirac
È consuetudine introdurre lo spinore di Dirac (riga)
Ψ = Ψ ∗ γ0
detto aggiunto di Dirac di Ψ, in termini del quale il 4-vettore associato assume la forma
J = cΨγΨ
Poiché γ0 scambia ξ con η, se Ψ risolve l’equazione di Dirac (3.34), allora Ψ risolve
l’equazione
mc
Ψ iγ ∂~+
h̄
=0
dove ∂~ significa che l’operatore agisce su funzioni alla sua sinistra.
Equazione di continuità
Mostriamo che se Ψ è soluzione dell’equazione di Dirac allora J soddisfa l’equazione di
continuità
∂J = 0
Si ha infatti
1
~ + Ψ∂γΨ = i mc ΨγΨ − i mc ΨγΨ = 0
∂J = ∂(ΨγΨ) = Ψ∂γΨ
c
h̄
h̄
In un dato sistema di riferimento l’equazione di continuità assume la forma usuale
∂ρ
+∇·J = 0
∂t
per ρ = J0 /c = Ψ∗ Ψ e J = cΨ∗ αΨ e per essa valgono le stesse considerazioni che abbiamo
fatto a proposito dell’equazione di Weyl: se la quantità Ψ∗ Ψ è normalizzata ad un qualche
istante di tempo,
Z
spazio
Ψ∗ ΨdV = 1
76
Capitolo 3. Fermioni relativistici
la normalizzazione è mantenuta a tutti gli istanti di tempo. Questo significa che
ρ = Ψ∗ Ψ = ξ ∗ ξ + η ∗ η
(3.40)
può essere interpretata come una densità di probabilità che evolve nella direzione della
densità di flusso di probabilità
J = cΨ∗ αΨ = cξ ∗ σξ − cη ∗ ση
(3.41)
La differenza sostanziale con l’equazione di Weyl è che adesso J può essere un 4-vettore di
tipo tempo.
3.6.5
Analisi in onde piane e moto della particelle
La sostanza fisica dell’equazione di Dirac è nel sistema di equazioni (3.31), che per comodità
riscriviamo
ω
ξk − σ(k)ξk = µηk
c
(3.31)
ω
ηk + σ(k)ηk = µξk
c
e nella relazione di dispersione (3.32)
ω 2 = c2 |k|2 + c2 µ2
(3.32)
Quel che abbiamo visto dopo è interessante e utile, ma si tratta pur sempre di sviluppi
formali fondati su queste relazioni. Il sistema (3.31) è un’equazione per le ampiezze delle
onde piane ψ = ξk ei(kx−ωt) e η = ηk ei(kx−ωt) che formano lo spinore di Dirac. Quando
sappiamo che cosa fanno le onde piane, per linearità sappiamo tutto (o quasi).
Se riscriviamo la (3.31) così
ω
ξk
c
ω
µξk − σ(k)ηk = ηk
c
σ(k)ξk + µηk =
(3.42)
vediamo che essa è un’equazione agli autovalori per le ampiezze delle onde piane, vale a
dire, per un dato numero d’onda k, gli stati del sistema sono gli autovettori della matrice
!
σ(k)
µ
µ
−σ(k)
associati agli autovalori ω/c. La (3.32) ci dice che ci sono duepautovalori uguali in modulo,
ma di segno opposto, +ω(k)/c e −ω(k)/c, dove ω(k) = c |k|2 + µ2 . Quindi ad ogni
autovalore è associato un auto-spazio bidimensionale in C4 . L’autospazio dell’autovalore
positivo è lo spazio i cui elementi soddisfano il vincolo (3.42) per ω = +ω(k)/c, l’autospazio
dell’autovalore negativo è invece dato dal vincolo (3.42) per ω = −ω(k)/c.
Ci troviamo davanti alla situazione incontrata con l’equazione di Weyl: se applichiamo
brutalmente la relazione di Einstein-de Broglie E = h̄ω, la particella avrà un’energia
negativa in corrispondenza dell’autovalore negativo, il che non è fisicamente accettabile.
Dirac introdusse l’idea che il vuoto fisico |0i corrisponda a tutti gli stati di energia negativa
occupati proprio per risolvere questo problema per l’equazione di Dirac. Temporaneamente,
assegneremo significato fisico solo alle soluzioni ad energia positiva.
L’onda di Dirac guida una particella che si muove con velocità
Assumiamo µ > 0 e mettiamoci nel sistema di riferimento in cui la particella è in quiete:
/DA FINIRE/
3.7 Anti-particelle classiche
3.7
77
Anti-particelle classiche
Si consideri una particella puntiforme di massa a riposo m > 0, senza struttura interna.
Classicamente, il movimento della particella è descritto da una curva x = x(t) in un dato
sistema di riferimento (la sua legge oraria). Esso assume una forma manifestamente
Lorentz-invariante se è riguardato come una curva x = x(τ ) nello spazio-tempo, dove τ è
un qualunque parametro Lorentz-invariante. Il legame tra la descrizione 4-dimensionale e
quella 3-dimensionale è data dalla relazione che fornisce l’usuale velocità 3-dimensionale
v=
dx dx dτ
=
dt
dτ dt
La fisica non può dipendere dalla scelta della parametrizzazione: ciò che ha contenuto
fisico è la curva nello spazio-tempo, non il particolare modo in cui è parametrizzata.
Una scelta particolarmente comoda di parametro Lorentz-invariante è il tempo proprio
τ = s, definito da
c2 (ds)2 = (dx)2 = c2 (dt)2 − (dx)2
(3.43)
ossia
ds
dt
2
1
= 1− 2
c
dx
dt
2
= 1−
v2
c2
(3.44)
Perciò ds è definito a meno di un segno:
s
q
ds = β (dx)2 = β 1 −
v2
β
dt = dt
2
c
γ
(3.45)
p
dove β = ±1 e γ = 1/ 1 − v 2 /c2 è l’usuale fattore di Lorentz.
Nel sistema a risposo della particella ds = βdt. Di solito nei libri di testo si considera
solo la soluzione β = 1, cioè ds = dt. Un tale ds è ovviamente uguale allo scorrere del tempo
nel sistema di riferimento a risposo istantaneo della particella.
3.7.1
Anti-particelle classiche secondo Stueckelberg e Feynman
Consideriamo adesso l’altra soluzione dell’eq. (3.44) per una particella a riposo, vale a
dire β = −1, cioè ds = −dt. Questa relazione sembra implicare che una particella in quiete
rispetto al nostro sistema di coordinate di Lorentz potrebbe in qualche modo credere che il
tempo si evolve nella direzione opposta alla nostra. Per esempio, se stabiliamo che un dato
evento E è sicuramente prima di un altro E 0 (vale a dire, E si trova all’interno del cono di luce
passato centrato in E 0 ), per una particella che obbedisce ds = −dt l’ordine degli eventi sarà
invertito. Per quanto strano possa sembrare, non abbiamo alcuna giustificazione fisicamente
accettabile per respingere l’idea che una tale particella possa esistere. Una freccia del tempo
comune a tutti gli oggetti è una conseguenza della seconda legge della termodinamica e vale
solo per gli oggetti macroscopici, non per quelli microscopici. Dobbiamo concludere che
entrambe le soluzioni ds = dt e ds = −dt sono possibilità ugualmente valide per il passaggio
del tempo proprio. Questo è analogo al fatto che sia i campi di Lienard-Wiechert ritardati
sia gli anticipati sono soluzioni altrettanto valide delle equazioni di Maxwell.
Stueckelberg (1945) e Feynman (1949) fecero la seguente la seguente ipotesi: una
particella per la quale ds evolve in senso opposto a dt in un dato sistema di rifermento
è semplicemente in uno stato moto di antiparticella rispetto quel dato sistema di
riferimento. Poiché le trasformazioni di Lorentz proprie non possono cambiare la direzione
78
Capitolo 3. Fermioni relativistici
del tempo, questa è una proprietà intrinseca della particella, valida per tutti i sistemi di
riferimento. Non ci sono forze classiche che possono cambiare lo stato di moto di particella
in uno stato di moto di antiparticella (diverso è il caso in meccanica quantistica), ma anche
classicamente, questo non preclude la possibilità che una particella sia sempre in uno stato
di moto di antiparticella.
3.7.2
Trasformazioni P, T e C
Un altro modo di riconoscere la possibilità dell’esistenza di stato di moto di antiparticella è
di considerare le simmetrie fondamentali del gruppo di Lorentz, cioè quelle trasformazioni
per le quali l’intervallo (3.43) è invariante. Le presentazioni usuali della relatività usano di
solito oggetti macroscopici per presentare la teoria (treni, razzi, orologi, etc.) e quando si
pensa a questi oggetti si considerano o solo le trasformazioni proprie (cioè quelle connesse
con l’identità), alle quali si aggiunge l’inversione di parità P : x → −x (riflessione allo
specchio). Ma l’intervallo (3.43) è anche invariante per la trasformazione di Lorentz di
inversione temporale T : t → −t.
Sotto le operazioni combinate di P e T, tutti e quattro le componenti di dx sono
invertite in segno:
PT : dx → −dx
La 3-velocità, essendo il rapporto della parte spaziale e della a parte temporale di dx
(divisa per c), è quindi invariata:
PT : v =
dx
→v
dt
Consideriamo adesso una particella libera, che ha una 3-velocità v in un determinato
sistema di riferimento; e definiamo il tempo proprio ds = +dt/γ. Questa scelta di segno
fornisce la relazione standard secondo cui s e t sono concordi. Se adesso applichiamo P T ,
+dt/γ → −dt/γ
Quindi, se insistiamo sulla invarianza rispetto al gruppo completo di Lorentz , troviamo
che per ogni possibile soluzione delle equazioni del moto con β = 1 in (3.45), esiste una
soluzione altrettanto possibile in cui β = −1. Con l’interpretazione Stueckelberg-Feynman,
questa trasformazione è la coniugazione di carica (classica)
C : s → −s
Con questa definizione, la meccanica classica possiede tutti e tre le simmetria discrete P e
T e C.
3.7.3
Carica elettrica e massa
4-velocita
u=
dx
= (βγ, βγv)
ds
Classica corrente elettrica
j ≡ qu
3.7 Anti-particelle classiche
79
C : j → −j
Questo indica che, per quanto riguarda l’interazione elettromagnetica, lo stato di moto
di un antiparticella con carica q ( β = −1) appare lo stesso di una particella con β = +1,
con la stessa 3-velocità v della particella originale, ma con una carica opposta dal momento
che
j=q
dx
dx
= (−q)
ds
d−s
Massa. Corrente del ensore energia-impulso
T µν ≡ muµ uν
C:T →T
Pertanto, per quanto riguarda l’interazione gravitazionale una particella di massa m
in stato di moto di un antiparticella ( β = −1) è indistinguibile dalla stessa particella di
massa m (β = +1). Ad esempio, il campo gravitazionale di una stella fatta di antimateria è
la stesso di quella di una stella identica in cui l’antimateria è sostituito da materia normale;
tali stelle sarebbero soggette ad una forza gravitazionale attrattiva (come per la materia
normale).
Lo stesso vale per il movimento dell’antiparticella in un campo gravitazionale esterno
duµ
= −Γµνρ uν uρ
ds
perché
duµ d2 xµ
d2 xµ
=
=
ds
ds2
d(−s)2
Mentre per il movimento in un campo elettromagnetico
q
duµ
= F µν uν
ds
m
3.7.4
≡
d 2 xµ
−q µν dxν
=
F
2
d(−s)
m
d(−s)
Il problema delle soluzioni a “energia negativa”
Il problema nasce dalla definizione del quadri-impulso p
p = mu = (βγ, βγv)
equivalentemente il momento canonico
∂L
p=
∂v
azione S = −mc
che porta ad una Hamiltoniana
q
H = p0 = β m2 c4 + c2 p2
Z
s
Z
ds =
Ldt ,
2
L = −mc β 1 −
v2
dt
c2
80
Capitolo 3. Fermioni relativistici
Nello stato di moto di antiparticella il momento canonico ha “energia negativa”
C : p → −p
In particolare, passando al riferimento a riposo si ha una “massa negativa”.
Ma non è così. Come abbiamo già notato che per una antiparticella la massa è positiva
(gli effetti gravitazionali sono gli stessi di una particella).
Quando si passa alla meccanica quantistica e si applica brutalmente la relazione di de
Broglie per un onda piana ei(k·x−ωt) , si ottiene che la particella ha un 4-impulso
p=
E
, p = h̄k =
c
h̄ω
, h̄k
c
e quindi si conclude che a frequenze negative sono associate energie negativa. Ma non è
così.
L’errore consiste in questo. La hamiltoniana H è la componete temporale del momento
canonico p e la si dovrebbe ragionevolmente chiamare energia canonica In meccanica
quantistica, il momento canonico p è collegato direttamente a numero d’onde e frequenza
perché
p → ih̄∂
Così, il moto della particella (antiparticella) libera corrisponde alle frequenze positive
(negative). Ma questo non ha nulla a che fare con le proprietà meccaniche
(o cinematiche) della particella che sono fisicamente rilevanti. Infatti, in presenza
di interazioni, anche il segno dell’energia canonica (frequenza) perde la sua rilevanza
completamente: per esempio, per l’interazione elettromagnetica di una carica abbiamo
q
p = mu + A
c
Si osservi che p non è gauge-invariante, e a p0 può essere assegnato un valore arbitrario
(positivo o negativo) semplicemente ridefinendo lo zero del potenziale scalare. Così p non
può, di per sé, determinare qualsiasi proprietà fisica della particella, come la sua massa, o
il suo tensore energia-impulso.
D’altra parte, sappiamo che è possibile definire un 4-vettore π che rappresenta il
momento e l’energia meccanica. Partendo dal tensore energia impulso sopra definito
si può dimostrare che
π = βmu = (γ, γv)
che ha le corrette proprietà meccaniche sia per la particella sia per l’anti-particella.
3.8
Relatività e seconda quantizzazione
Dato un insieme completo di stati a singola particella uk , per esempio onde piane, la
funzione d’onda di singola particella libera è data dallo sviluppo
ψ=
X
uk ak
e ψ∗ =
k
X
u∗k a∗k
k
Si passa alla seconda quantizzazione interpretando i coefficienti ak e a∗k come operatori (bosonici o fermionici) di distruzione e creazione âk e â∗k di particelle negli stati corrispondenti
e ottenendo così gli operatori di campo
ψ̂ =
X
k
uk âk
e ψ̂ ∗ =
X
k
u∗k â∗k
3.8 Relatività e seconda quantizzazione
81
In un contesto non relativistico, la seconda quantizzazione è semplicemente un formalismo
per descrivere un sistema di particelle identiche. In quanto tale, non aggiunge nuova fisica
al formalismo di prima quantizzazione, ma solo nuovi strumenti.
Nella teoria relativistica incontriamo però una novità sostanziale rispetto alla teoria non
relativistica. Nell’onda piana, la frequenza deve soddisfare (per unpnumero d’onde fissato)
soltanto la condizione ω 2 = c2 |k|2 +c2 µ2 , cioè può avere due radici ± c2 |k|2 + c2 µ2 ≡ ±ω(k),
ma solo i valori positivi di E = h̄ω possono avere il senso fisico di energia di una particella
libera. Non possiamo semplicemente omettere i valori negativi: la soluzione generale
dell’equazione d’onda può essere ottenuta solo per sovrapposizione di tutte le onde piane,
cioè di tutti i modi normali. Questo fatto indica che l’interpretazione dei coefficienti nello
sviluppo di ψ e ψ ∗ deve essere differente. Ci siamo resi conto di questo quando abbiamo
considerato la seconda quantizzazione dell’equazione di Weyl e abbiamo usato il mare di
Dirac come espediente. Ma l’idea del mare di Dirac funziona solo per i fermioni, mentre
siamo alla ricerca di un metodo di seconda quantizzazione che valga indistintamente per
bosoni e fermioni.
Il metodo che presenteremo è dovuto a Feynman e ha radici nella cinematica relativistica
classica che abbiamo descritto sopra.
3.8.1
Particelle e antiparticelle
Incominciamo col considerare un campo scalare classico. Supponiamo che ψ sia soluzione
dell’equazione di Klein-Gordoni cui modi normali sono onde piane
uk = eik·x
(abbiamo posto V = 1). Allora ψ ha uno sviluppo della forma
ψ=
X
(+)
ei[k·x−ω(k)t] ak +
X
k
(−)
ei[k·x+ω(k)t] ak
k
dove la prima somma contiene onde piane a frequenza positiva e la seconda somma contiene
onde piane a frequenza negativa. In seconda quantizzazione i coefficienti della prima somma
sono sostituiti con gli operatori di distruzione âk .
...
...
Si osservi che e−i[−k·x−ω(k)t] ha la dipendenza temporale che si associa ad un operatore
(−)
di creazione. Risulta quindi del tutto naturale associare a ak l’operatore di creazione
b̂−k di un altro tipo di particella ottenendo così l’operatore di campo
ψ̂ =
X
ei[k·x−ω(k)t] âk +
X
ei[k·x+ω(k)t] b̂∗−k
k
k
Il cambiamento di variabili k → −k nella seconda somma porta agli operatori di campo
nella forma
ψ̂ =
X
ψ̂ =
X
e−i[k·x−ω(k)t] b̂∗k
k
X
−i[k·x−ω(k)t] ∗
e
âk +
ei[k·x−ω(k)t] b̂k
k
k
k
∗
ei[k·x−ω(k)t] âk +
X
(3.46)
In questo modo si arriva al concetto di particelle di due tipi che intervengono congiuntamente nella teoria e in condizioni di parità. Sono dette particelle e antiparticelle. Nel
82
Capitolo 3. Fermioni relativistici
formalismo della seconda quantizzazione, a un tipo di particelle corrispondono gli operatori
âk e â∗k e all’altro tipo gli operatori b̂k e b̂∗k . I due tipi di particelle hanno la stessa massa,
poiché i loro operatori appaiono nella stesso operatore ψ̂. Vediamo allora che relatività e
seconda quantizzazione portano a nuova fisica (l’esistenza di antiparticelle con la stessa
massa delle particelle).
3.8.2
3.8.3
Invarianza per inversione quadridimensionale
Teorema spin-statistica