Formulario di Meccanica Statistica

Formulario di Meccanica Statistica Classica
Relazioni generali
Variabili naturali
E = E ( S ,V , N )
F = F (T , V , N )
S = S ( E ,V , N )
Ω = F − μN = Ω(T , V , μ )
F = E − TS
Parametri utili
h
λ=
2πNkT
1
β=
kT
ln(n!) = n ln(n) − n
Insieme microcanonico
dΓ ( E ) =
d xd p
hD
Somma di partizione microcanonica
Σ( E) = ∫ dΓ =
H
Entropia
S ( E ,V , N ) = k ln[Γ( E , V , N )] = k ln[Σ( E )]
Approssimazione di gas ideale
Σ( E )
Σ ' (E) =
N!
d xd p
D
H h
∫
Relazioni termodinamiche
∂S
1
=
∂E N ,V T
P
∂S
=
∂V E , N T
μ
∂S
=−
T
∂N E ,V
∂E
= CV
∂T
Insieme canonico
Densità di probabilità
Somma di partizione canonica
− βH
− βH
1
e
e
Z = ∫ Γ( E )e − βH dE
= − βH
= − βH
ρ [{q, p}] =
Γ( E ) ∫ e dΓ ∫ e Γ( E )dE
Energia interna
∂
E=−
ln(Z )
∂β
Energia libera
F (T , V , N ) = − kT ln(Z )
Densità di particelle
()
ρr =
Nl − βV (r )
∫ d r'l
()
− βV r '
Caso particolare: particelle libere
V
z= 3
λ
Insieme grancanonico
Somma di partizione grancanonica
Z (T , V , μ ) =
∞
∑ ∫ dΓ
N =0
N
e βμN e − βH
Relazioni termodinamiche
∂F
S=−
∂T N ,T
∂F
μ=
∂N T ,V
∂F
P=−
∂V T , N
Approssimazione di gas ideale
zN
Z=
N!
∂
E = −N
ln( z )
∂β
ze
F = − NkT ln( )
N
z
μ = −kT ln( )
N
Relazioni termodinamiche
Ω = −kT ln( Z )
∂
N = kT
ln(Z )
∂μ
Approssimazione di gas ideale
βμ
Z = e ze
Ω(T ,V , μ ) = − kTze βμ
∂Ω
N =−
∂μ
∂Ω
P=−
∂V
∂Ω
S=−
∂T
Formulario di Meccanica Statistica Quantistica
Numero medio d’occupazione
1
ns F = β (ε s − μ )
Fermioni
l
+1
1
n s B = β (ε s − μ )
Bosoni
l
−1
n s F , B = l − β (ε s − μ ) Boltzmann
Fugacità
f = l βμ
Fermioni
0<T<TF
∞
∞
G (ε )dε
G (ε )dε
d xd p
Ν
=
=
Ν (ε ) = ∑ ∫ D
β (ε − μ )
∫
∫
+ 1 0 1 l βε + 1
h
deg
0 l
f
Densità di particelle per livello energetico
∞
∞
dN (ε )
G (ε )εdε
G (ε )εdε
G (ε ) =
U = ∫ β (ε − μ )
=∫
dε
+ 1 0 1 l βε + 1
0 l
Relazioni termodinamiche
f
F = U − TS
1
PV =
U con G (ε ) ∝ ε α
Ω = − PV = F − μN
α +1
U + PV − μN
T=0
S=
T
μ → εF , f →1
Numero di particelle totale
εF
Ν (ε F ) = ∫ G (ε )dε = N Energia di Fermi
0
TF =
εF
k
Temperatura di Fermi
p F = 2mε F Impulso di Fermi
εF
U 0 = ∫ G (ε )εdε Energia totale interna
0
T>TC
G (ε )dε
G (ε )dε
=∫
β (ε − μ )
1
− 1 0 l βε − 1
0 l
f
∞
Ν=∫
∞
G (ε )εdε
G (ε )εdε
=∫
β (ε − μ )
− 1 0 1 l βε − 1
0 l
f
∞
U =∫
∞
Bosoni
T=TC
f →1, μ → 0
Temperatura di condensazione
∞
∞ α
G (ε )dε
u du
Ν = ∫ βε
= γ (kT )∫ u
= γ (kTc ) ⋅ I α
−1
0 l
0 l −1