Formulario di Meccanica Statistica Classica Relazioni generali Variabili naturali E = E ( S ,V , N ) F = F (T , V , N ) S = S ( E ,V , N ) Ω = F − μN = Ω(T , V , μ ) F = E − TS Parametri utili h λ= 2πNkT 1 β= kT ln(n!) = n ln(n) − n Insieme microcanonico dΓ ( E ) = d xd p hD Somma di partizione microcanonica Σ( E) = ∫ dΓ = H Entropia S ( E ,V , N ) = k ln[Γ( E , V , N )] = k ln[Σ( E )] Approssimazione di gas ideale Σ( E ) Σ ' (E) = N! d xd p D H h ∫ Relazioni termodinamiche ∂S 1 = ∂E N ,V T P ∂S = ∂V E , N T μ ∂S =− T ∂N E ,V ∂E = CV ∂T Insieme canonico Densità di probabilità Somma di partizione canonica − βH − βH 1 e e Z = ∫ Γ( E )e − βH dE = − βH = − βH ρ [{q, p}] = Γ( E ) ∫ e dΓ ∫ e Γ( E )dE Energia interna ∂ E=− ln(Z ) ∂β Energia libera F (T , V , N ) = − kT ln(Z ) Densità di particelle () ρr = Nl − βV (r ) ∫ d r'l () − βV r ' Caso particolare: particelle libere V z= 3 λ Insieme grancanonico Somma di partizione grancanonica Z (T , V , μ ) = ∞ ∑ ∫ dΓ N =0 N e βμN e − βH Relazioni termodinamiche ∂F S=− ∂T N ,T ∂F μ= ∂N T ,V ∂F P=− ∂V T , N Approssimazione di gas ideale zN Z= N! ∂ E = −N ln( z ) ∂β ze F = − NkT ln( ) N z μ = −kT ln( ) N Relazioni termodinamiche Ω = −kT ln( Z ) ∂ N = kT ln(Z ) ∂μ Approssimazione di gas ideale βμ Z = e ze Ω(T ,V , μ ) = − kTze βμ ∂Ω N =− ∂μ ∂Ω P=− ∂V ∂Ω S=− ∂T Formulario di Meccanica Statistica Quantistica Numero medio d’occupazione 1 ns F = β (ε s − μ ) Fermioni l +1 1 n s B = β (ε s − μ ) Bosoni l −1 n s F , B = l − β (ε s − μ ) Boltzmann Fugacità f = l βμ Fermioni 0<T<TF ∞ ∞ G (ε )dε G (ε )dε d xd p Ν = = Ν (ε ) = ∑ ∫ D β (ε − μ ) ∫ ∫ + 1 0 1 l βε + 1 h deg 0 l f Densità di particelle per livello energetico ∞ ∞ dN (ε ) G (ε )εdε G (ε )εdε G (ε ) = U = ∫ β (ε − μ ) =∫ dε + 1 0 1 l βε + 1 0 l Relazioni termodinamiche f F = U − TS 1 PV = U con G (ε ) ∝ ε α Ω = − PV = F − μN α +1 U + PV − μN T=0 S= T μ → εF , f →1 Numero di particelle totale εF Ν (ε F ) = ∫ G (ε )dε = N Energia di Fermi 0 TF = εF k Temperatura di Fermi p F = 2mε F Impulso di Fermi εF U 0 = ∫ G (ε )εdε Energia totale interna 0 T>TC G (ε )dε G (ε )dε =∫ β (ε − μ ) 1 − 1 0 l βε − 1 0 l f ∞ Ν=∫ ∞ G (ε )εdε G (ε )εdε =∫ β (ε − μ ) − 1 0 1 l βε − 1 0 l f ∞ U =∫ ∞ Bosoni T=TC f →1, μ → 0 Temperatura di condensazione ∞ ∞ α G (ε )dε u du Ν = ∫ βε = γ (kT )∫ u = γ (kTc ) ⋅ I α −1 0 l 0 l −1