Università degli Studi di Modena e Reggio Emilia Corso di Laurea in Fisica Corso di “Fisica nucleare e subnucleare” Breve nota sulla teoria di Yukawa prof. Andrea Bizzeti marzo 2007 Nell’elettromagnetismo classico la forza di Lorentz su una carica elettrica viene esercitata dal campo elettromagnetico, a sua volta generato da altre cariche in quiete o in movimento: l’interazione tra cariche elettriche avviene quindi attraverso la “mediazione” del campo elettromagnetico, che si propaga con velocità finita. Le sei componenti del campo elettromagnetico (Ex , Ey , Ez ; Bx , By , Bz ) sono in generale esprimibili come opportune combinazioni lineari delle derivate par 1 µ ~ ziali di un quadripotenziale A (ct; x, y, z) = c Φ; A funzione delle coordinate spazio-temporali. Il quadripotenziale risulta definito a meno del quadri-gradiente di una funzione scalare f (ct; x, y, z), la cui aggiunta lascia invariato il campo elettromagnetico (invarianza di gauge). Aggiungendo il quadri-gradiente di una opportuna funzione f è possibile ottenere un quadripotenziale con quadri-divergenza nulla (gauge di Lorentz), che soddisfa l’equazione differenziale 1 ∂2 µ 2 A ≡ (1) − ∇ Aµ = µo J µ c2 ∂t2 con J µ = (ρc; ~ ). In particolare, nel vuoto questa equazione si riduce all’equazione delle onde Aµ = 0 . In elettrodinamica quantistica l’interazione elettromagnetica tra cariche elettriche è trasmessa dai fotoni. In questa teoria due cariche elettriche (p.es. nell’atomo di idrogeno, oppure nella diffusione coulombiana) interagiscono attraverso lo scambio di uno o più fotoni virtuali1 . La funzione d’onda di un fotone (reale) che si propaga nel vuoto con quantità di moto P~ ed energia E soddisfa la relazione 2 1 ∂2 E µ 2 2 2 (2) − P A = −~ − ∇ Aµ = 0 , c2 c2 ∂t2 1 Le particelle (inclusi i fotoni) che vengono emesse e riassorbite all’interno di un processo (e, quindi, non sono presenti né nello stato iniziale né in quello finale) vengono dette particelle virtuali per distinguerli dalle particelle reali presenti nello stato iniziale e/o finale del processo. 1 da cui si possono ricavare le seguenti proprietà del fotone: massa nulla (m2 c2 = E 2 /c2 − P 2 = 0) e spin 1 (funzione d’onda quadrivettoriale). Partendo invece dalle proprietà del fotone (m = 0, S = 1) è possibile ricavare la sua equazione d’onda nel vuoto Aµ = 0 . In presenza di una carica puntiforme q in quiete nell’origine tale equazione diventa q ~=0 Φ = δ 3 (~r ) ; A (3) ǫ0 ed ha come unica soluzione statica (indipendente dal tempo) e regolare all’infinito il potenziale coulombiano Φ (~r ) = Φ (r) = q 1 . 4πǫ0 r (4) Il potenziale cosı̀ ricavato può essere utilizzato per trattare l’interazione tra due cariche in condizioni non relativistiche. Consideriamo adesso una interazione trasmessa da particelle (virtuali) di spin zero e massa diversa da zero. L’equazione d’onda nel vuoto di queste particelle sarà: m2 c2 1 E2 2 2 2 (5) + 2 Φ=− 2 −P −m c Φ=0 . ~ ~ c2 In presenza di una sorgente puntiforme l’equazione diventa m2 c2 Φ = g δ 3 (~r) . (6) + 2 ~ La soluzione statica di quest’ultima è il potenziale di Yukawa mc r g 1 g 1 Φ(r) = . (7) exp − r = exp − 4π r ~ 4π r R Si noti che questo potenziale, a differenza di quello coulombiano, contiene una lunghezza caratteristica R = ~/mc, detta range dell’interazione, tale che r Φ(r) decresce di un fattore e quando r aumenta di una lunghezza R . Dal range della interazione nucleone-nucleone (R ≈ 1 fm) si può stimare la massa m delle particelle scambiate: ~1 ≈ 200 MeV/c2 . (8) m= cR Queste particelle sono state identificate nei tre mesoni π (π + , π 0 , π − ), di massa m ≃ 140 MeV/c2 : lo scambio di un mesone π ± tra un protone ed un neutrone trasferisce la carica elettrica dall’uno all’altro trasformando il protone in neutrone e viceversa, mentre lo scambio del mesone π 0 lascia invariata la carica di ciascun nucleone ed è quindi possibile anche tra nucleoni identici. Il potenziale dell’interazione nucleone-nucleone a distanze r & 1 fm è ben descritto dallo scambio di un singolo mesone π, mentre a distanze inferiori occorre considerare anche i contributi, non più trascurabili, dello scambio di più mesoni π o di altri mesoni di massa maggiore (m & 770 MeV/c2 ). 2