Breve nota sulla teoria di Yukawa

Università degli Studi di Modena e Reggio Emilia
Corso di Laurea in Fisica
Corso di “Fisica nucleare e subnucleare”
Breve nota sulla teoria di Yukawa
prof. Andrea Bizzeti
marzo 2007
Nell’elettromagnetismo classico la forza di Lorentz su una carica elettrica viene esercitata dal campo elettromagnetico, a sua volta generato da altre cariche
in quiete o in movimento: l’interazione tra cariche elettriche avviene quindi attraverso la “mediazione” del campo elettromagnetico, che si propaga con velocità
finita.
Le sei componenti del campo elettromagnetico (Ex , Ey , Ez ; Bx , By , Bz ) sono
in generale esprimibili come opportune combinazioni
lineari delle derivate par
1
µ
~
ziali di un quadripotenziale A (ct; x, y, z) = c Φ; A funzione delle coordinate
spazio-temporali. Il quadripotenziale risulta definito a meno del quadri-gradiente
di una funzione scalare f (ct; x, y, z), la cui aggiunta lascia invariato il campo
elettromagnetico (invarianza di gauge).
Aggiungendo il quadri-gradiente di una opportuna funzione f è possibile ottenere un quadripotenziale con quadri-divergenza nulla (gauge di Lorentz), che
soddisfa l’equazione differenziale
1 ∂2
µ
2
A ≡
(1)
− ∇ Aµ = µo J µ
c2 ∂t2
con J µ = (ρc; ~ ). In particolare, nel vuoto questa equazione si riduce all’equazione delle onde Aµ = 0 .
In elettrodinamica quantistica l’interazione elettromagnetica tra cariche elettriche è trasmessa dai fotoni. In questa teoria due cariche elettriche (p.es. nell’atomo di idrogeno, oppure nella diffusione coulombiana) interagiscono attraverso
lo scambio di uno o più fotoni virtuali1 .
La funzione d’onda di un fotone (reale) che si propaga nel vuoto con quantità
di moto P~ ed energia E soddisfa la relazione
2
1 ∂2
E
µ
2
2
2
(2)
− P A = −~
− ∇ Aµ = 0 ,
c2
c2 ∂t2
1
Le particelle (inclusi i fotoni) che vengono emesse e riassorbite all’interno di un processo
(e, quindi, non sono presenti né nello stato iniziale né in quello finale) vengono dette particelle
virtuali per distinguerli dalle particelle reali presenti nello stato iniziale e/o finale del processo.
1
da cui si possono ricavare le seguenti proprietà del fotone: massa nulla (m2 c2 =
E 2 /c2 − P 2 = 0) e spin 1 (funzione d’onda quadrivettoriale).
Partendo invece dalle proprietà del fotone (m = 0, S = 1) è possibile ricavare
la sua equazione d’onda nel vuoto Aµ = 0 . In presenza di una carica puntiforme
q in quiete nell’origine tale equazione diventa
q
~=0
Φ = δ 3 (~r ) ; A
(3)
ǫ0
ed ha come unica soluzione statica (indipendente dal tempo) e regolare all’infinito
il potenziale coulombiano
Φ (~r ) = Φ (r) =
q 1
.
4πǫ0 r
(4)
Il potenziale cosı̀ ricavato può essere utilizzato per trattare l’interazione tra due
cariche in condizioni non relativistiche.
Consideriamo adesso una interazione trasmessa da particelle (virtuali) di spin
zero e massa diversa da zero. L’equazione d’onda nel vuoto di queste particelle
sarà:
m2 c2
1 E2
2
2 2
(5)
+ 2
Φ=− 2
−P −m c Φ=0 .
~
~
c2
In presenza di una sorgente puntiforme l’equazione diventa
m2 c2
Φ = g δ 3 (~r) .
(6)
+ 2
~
La soluzione statica di quest’ultima è il potenziale di Yukawa
mc r
g 1
g 1
Φ(r) =
.
(7)
exp − r =
exp −
4π r
~
4π r
R
Si noti che questo potenziale, a differenza di quello coulombiano, contiene una
lunghezza caratteristica R = ~/mc, detta range dell’interazione, tale che r Φ(r)
decresce di un fattore e quando r aumenta di una lunghezza R . Dal range
della interazione nucleone-nucleone (R ≈ 1 fm) si può stimare la massa m delle
particelle scambiate:
~1
≈ 200 MeV/c2 .
(8)
m=
cR
Queste particelle sono state identificate nei tre mesoni π (π + , π 0 , π − ), di
massa m ≃ 140 MeV/c2 : lo scambio di un mesone π ± tra un protone ed un
neutrone trasferisce la carica elettrica dall’uno all’altro trasformando il protone
in neutrone e viceversa, mentre lo scambio del mesone π 0 lascia invariata la carica
di ciascun nucleone ed è quindi possibile anche tra nucleoni identici.
Il potenziale dell’interazione nucleone-nucleone a distanze r & 1 fm è ben
descritto dallo scambio di un singolo mesone π, mentre a distanze inferiori occorre
considerare anche i contributi, non più trascurabili, dello scambio di più mesoni
π o di altri mesoni di massa maggiore (m & 770 MeV/c2 ).
2