Bosoni e Fermioni
• Se in un processo fisico sono in gioco particelle
indistinguibili, cresce il numero di modi in cui
quel processo può essere realizzato.
• Vediamo subito un esempio "concreto" tratto
dalla fisica delle particelle. Supponiamo di far
urtare tra loro due particelle α, che sono nuclei di
Elio, nel sistema del centro di massa, e calcoliamo
la probabilità di rivelarle a 90o rispetto alla
direzione d'urto.
1
1
L
L
R
2
R
2
• Abbiamo tracciato le traiettorie delle particelle, ben
sapendo che in realtà esse non hanno significato, per via
del principio d’indeterminazione.
• I due disegni servono solo per far capire che esistono due
modi in cui può verificarsi l’evento “una particella in
ciascuno dei due contatori”.
• Se i due nuclei di He sono in linea di principio
indistinguibili, i due disegni costituiscono due canali
alternativi in cui l’evento può realizzarsi
• Si passa da un modo all'altro scambiando fra loro le due
particelle, oppure ruotando gli assi cartesiani di 180o
attorno all’asse che congiunge i due rivelatori, in modo
che L vada in R, e viceversa.
• Le ampiezze di probabilità relative ai singoli modi di
realizzazione sono identiche, almeno per l'esempio
considerato delle particelle α:
2
z z 2z P 4 z
• Il fattore 4 è l'effetto dell'identità delle particelle.
•
•
•
•
•
Caso particelle distinguibili
Un nucleo di ossigeno sostituisce una particella
I due disegni rappresentano ora due eventi distinguibili,
poiché i contatori rivelano particelle differenti.
Osserviamo che non ha alcuna importanza che lo
sperimentatore effettivamente si preoccupi di stabilire
quale tipo di particella ci sia in ciascuno dei due contatori.
La natura fa tutto automaticamente, senza preoccuparsi
delle nostre informazioni.
Se le due particelle sono distinguibili in linea di principio,
siamo in presenza di due eventi differenti
p A p B pC 2 p 2 z
2
• Riassumiamo la situazione nella seguente tabella:
Regola di calcolo
Probabilità
Particelle identiche
Sommo le ampiezze
P 4z
2
Particelle distinguibili
Sommo le probabilità
P 2z
2
• L'indistinguibilità delle particelle raddoppia la probabilità
di osservarle a 90o rispetto alla direzione dell'urto.
L'effetto è una conseguenza diretta della teoria
quantistica, in particolare della regola di addizione delle
ampiezze.
• Gli esperimenti condotti con gli acceleratori di particelle,
ad esempio al CERN di Ginevra, confermano senza
possibilità di dubbio le previsioni della teoria, ma rivelano
un fenomeno ancora più sorprendente.
• Se al posto di particelle usiamo elettroni (con lo stesso
spin) si osserva che essi non raggiungono mai i rivelatori
posti a 90o.
• Evidentemente le frecce relative ai due modi in cui si può
realizzare il fenomeno interferiscono distruttivamente,
essendo l'una opposta all'altra.
• Siamo quindi portati dai dati sperimentali a riconsiderare
la questione della relazione tra le due ampiezze di
probabilità.
Bosoni e Fermioni
1
L
1
R
L
R
2
z
1
L
2
2
L
R
z x2 z
w = xz
R
L
R
x 2 1, x 1
t x w x2 z
• Il segno più significa che le frecce sono identiche e si
rafforzano amplificando l’ampiezza risultante, il segno
meno che esse sono opposte e si cancellano, annullando
la probabilità.
• Abbiamo trovato un importante risultato: possiamo
dividere le particelle in due grandi famiglie, quella per cui
le frecce si sommano e quella per cui si sottraggono.
• Della prima fanno parte i Bosoni, ad esempio le particelle
α, della seconda i Fermioni, ad esempio gli elettroni.
• I nomi sono un tributo all’opera di Bose, fisico indiano che
insieme ad Einstein diede importanti contributi alla teoria
delle particelle identiche, e a quella di Enrico Fermi, che,
insieme a Dirac, scoprì la statistica cui obbediscono gli
elettroni.
• La tabella riassuntiva esposta in precedenza va aggiornata
per tener conto dell’esistenza dei Fermioni.
Regola di calcolo
Probabilità
Bosoni
Sommo le ampiezze
P 4z
Fermioni
Sottraggo le ampiezze
0
Particelle distinguibili
Sommo le probabilità
P 2z
2
2
•
•
•
•
•
Spin e statistica
Il comportamento dei Fermioni e dei Bosoni è molto
differente; è naturale pensare che queste differenze siano
dovute a qualche loro proprietà fisica.
La maggior parte delle particelle possono essere pensate
come piccole trottole che ruotano attorno ad un asse.
L'immagine è alquanto imprecisa e persino deviante,
poiché, ad esempio, l'elettrone è considerato puntiforme e
la sua estensione nulla non contrasta affatto con il suo spin.
L'immagine della trottola è però l'unica che abbiamo a
disposizione per aiutare un poco il nostro intuito.
Si può dimostrare che in fisica quantistica la velocità di
rotazione di ciascuna "trottola" può assumere solamente
determinati valori.
Valori discreti dello spin
• Il momento angolare intrinseco assume solamente i
seguenti valori discreti:
1 3
k
S ph
p , 1, , 2, .... .....
2 2
2
• Il grande fisico svizzero W. Pauli dimostrò un importante
teorema che permette di stabilire una diretta connessione
tra spin e statistica: le particelle con spin semintero 1\2,
3\2, 5\2, etc. sono fermioni, quelle con spin intero 0, 1, 2,
3, etc. sono bosoni.
• Una particella composta da un numero pari di fermioni è
da considerarsi un bosone, poiché addizionando una
coppia di spin seminteri si ottiene in ogni caso uno spin
intero.
Principio di esclusione di Pauli
• Atomo di Elio, due elettroni
A
A
1
2
++
++
2
1
B
z1
B
z2 = -z1
