Modelli di oligopolio
Docente: Matteo Alvisi
Corso di Microeconomia
Laurea in Scienze Politiche, Sociali e Internazionali
Aprile 2016
1
Duopolio
1.1
Il modello di Cournot
1.1.1
Le ipotesi
Ci sono due sole imprese sul mercato, l'impresa 1 e l'impresa 2, che sono identiche:
Entrambe producono un bene omogeneo
Entrambe hanno la stessa funzione di costo totale lineare C (Qi ) = cQi ; dove i = 1; 2:
Entrambe hanno la stessa funzione di costo marginale (e medio) costante C 0 (Qi ) = CM (Qi ) = c:
Le imprese fronteggiano la funzione di domanda di mercato
P ( Q) = a
bQ
dove Q = Q1 + Q2 :
Le imprese hanno come obiettivo la massimizzazione del protto: ciascuna impresa i sceglie la quantita
ottimale da produrre Qi al ne di massimizzare il proprio protto i :
Le imprese scelgono simultaneamente la quantita da produrre: l'impresa 1 sceglie Q1 senza conoscere
Q2 e viceversa.
1.1.2
La domanda residuale
Supponiamo che l'impresa 1 si aspetti che l'impresa 2 produca una quantita pari a Qe2
L'impresa 1 massimizza il proprio protto tenendo conto di questa aspettativa.
Data Qe2 ; la domanda che l'impresa 1 si aspettera di dover soddisfare e
bQe
P (Q1 ) = a
| {z }2
bQ1 :
a
0
L'impresa 1 si comporta come un monopolista sulla propria funzione di domanda residuale.
Massimizza il protto eguagliando il proprio costo marginale al proprio ricavo marginale:
Il ricavo marginale deriva dalla curva di domanda residuale considerando la stessa intercetta verticale
a
bQe2 e il doppio della pendenza b:
1.1.3
La funzione di reazione
Eguagliando ricavo marginale e costo marginale dell'impresa 1 si ottiene
R10 a
2bQ1 = c C 0 :
bQe2
1
Risolvendo per l'unica variabile Q1 si ottiene
Q1 (Qe2 ) =
a
c bQe2
:
2b
Ripetendo lo stesso procedimento per qualsiasi livello atteso di Q2 si ottiene la
dell'impresa 1,
funzione di reazione
che descrive l'output dell'impresa 1 che massimizza il protto dell'impresa 1 per ogni data
quantita di output prodotta dall'impresa 2:
Q1 (Q2 ) =
a
c bQ2
:
2b
Simmetricamente, la funzione di reazione dell'impresa 2 sara
Q2 (Q1 ) =
a
c bQ1
:
2b
Nello spazio (Q1 ; Q2 ); la funzione di reazione dell'impresa 1 e una retta negativamente inclinata, con
pendenza pari a 2, intercetta verticale (0; a b c ) e intercetta orizzontale ( a2bc ; 0):
La funzione di reazione dell'impresa 2, invece, ha inclinazione pari a 1=2, intercetta verticale (0; a2bc )
e intercetta orizzontale ( a b c ; 0):
1.1.4
L'equilibrio
L'equilibrio si determina quando entrambe le imprese massimizzano i propri protti basandosi su di una
e
C
e
aspettativa corretta del comportamento della rivale, ovvero quando QC
1 = Q1 e Q2 = Q2 :
L'equilibrio consiste nella combianzione (Q1 ; Q2 ) che si trova nel punto di intersezione tra le due
funzioni di reazione.
Si trova risolvendo il sistema
8
<
Q1 = a c2bbQ2
:
: Q = a c bQ1
2
2b
Poiche le due imprese sono identiche, in equilibrio la quantita di output prodotta dalle due imprese
sara uguale.
Quindi, il sistema precedente e equivalente a
8
<
Q1 = a c2bbQ2
:
:
Q2 = Q1
Le quantita ottimali sono dunque
c
= QC
2 :
3b
C 2(a c) :
La quantita di mercato e pari a QC = QC
1 + Q2 =
3b
QC
1 =
a
Sostituendo nella funzione di domanda si ottiene il prezzo di equilibrio
PC = a
2(a c)
b
3b
2
=
a + 2c
3
Il protto di ciascuna impresa e dato da
iC = (P
o
a + 2c
iC =
3
c
3
c) Q C
i
a
3b
c
=
(a
c)2
:
9b
1.2
1.2.1
Il modello di Stackelberg
Le ipotesi
Sono le stesse rispetto al modello di Cournot, tranne che la scelta delle quantita da produrre e sequenziale.
L'impresa 1 sceglie per prima la propria quantita Q1 : L'impresa 1 e leader.
L'impresa 2 osserva Q1 e sceglie Q2 : L'impresa 2 e follower.
Per risolvere il modello e determinare l'equilibrio si procede per
induzione a ritroso
.
Si parte dall'ultima tappa e si risale alla prima.
1.2.2
La funzione di reazione dell'impresa 2
Nel secondo stadio, l'impresa 2 osserva Q1 e deve determinare la quantita Q2 che massimizza il proprio
protto.
L'impresa 2 agisce quindi seguendo la propria funzione di reazione
Q2 (Q1 ) =
1.2.3
a
c bQ1
:
2b
La domanda residuale dell'impresa 1
Nel primo stadio, l'impresa 1 deve scegliere Q1 per massimizzare il proprio protto.
L'impresa 1 sa pero che qualsiasi sia il livello di output prodotto, l'impresa 2 reagira in base a Q2 (Q1 ):
Quindi l'impresa 1 inserisce la funzione di reazione dell'impresa 2 all'interno della funzione di domanda
e determina cos la propria domanda residuale.
La domanda residuale dell'impresa 1 e
P ( Q1 ) = a
ovvero
bQ1
bQ2 (Q1 )
c bQ1
a + c bQ1
=
2b
2
L'impresa 1 e monopolista rispetto alla propria domanda residuale e quindi massimizza il protto eguagliando
P (Q1 ) = a
bQ1
b
a
il costo marginale al ricavo marginale (ottenuto a partire dalla funzione di domanda residuale, considerando la stessa intercetta verticale e il doppio della pendenza), ovvero
R10 1.2.4
a+c
2
bQ1 = c C 0
L'equilibrio
Risolvendo per Q1 si trova la quantita prodotta in equilibrio dall'impresa 1 che e
QS1 =
4
a
2b
c
(la stessa quantita che produrrebbe un monopolista).
Prendendo QS1 e sostituendola nella funzione di reazione dell'impresa 2
a
Q2 =
c
b a2bc
2b
si ha la quantita di equilibrio dell'impresa follower che e
QS2 =
a
c
1
= QS1 :
4b
2
La quantita di mercato e pari a QS = QS1 + QS2 = a2bc + a4bc = 3(a4b c) :
Sostituendo nella funzione di domanda si ottiene il prezzo di equilibrio
PS = a
b
3 (a c)
4b
=
a + 3c
4
Il protto dell'impresa leader e dato da
1S = (P
ovvero
a + 3c
1S =
4
c
c)QS1
a
2b
c
=
(a
c)2
:
8b
Il protto dell'impresa follower e uguale a
2S = (P
o
2S =
a + 3c
4
1
c)QS2 = 1S
2
c
5
a
4b
c
=
(a
c)2
16b
1.3
1.3.1
Il modello di Bertrand
Le ipotesi
Sono identiche a quelle del modello di Cournot tranne che le due imprese scelgono simultaneamente il
prezzo e non la quantita.
1.3.2
La domanda residuale
Supponiamo che l'impresa 1 si aspetti che l'impresa 2 ssi un prezzo pari a P2e :
L'impresa 1 massimizza il proprio protto scegliendo P1 e tenendo conto di questa aspettativa.
Dato P2e ; l'impresa 1 ha tre possibili opzioni:
Se ssa un prezzo P1 > P2e , si aspetta che tutti i consumatori acquistino il bene dall'impresa 2. La
domanda residuale dell'impresa 1 e pari a zero e l'impresa 2 soddisfa l'intera domanda di mercato.
Se ssa un prezzo P1 = P2e ; si aspetta che i consumatori si dividano (equamente) tra l'impresa 1 e
l'impresa 2. La domanda residuale dell'impresa 1 e la meta della domanda di mercato.
Se ssa un prezzo P1 < P2e ; si aspetta di sottrarre tutti i consumatori all'impresa 2 e di servire
l'intero mercato.
L'impresa 1 massimizza il protto scegliendo la terza opzione e ssando un prezzo pari a P1 = P2e
"
dove " e una quantita molto piccola (ad esempio, un centesimo).
1.3.3
L'equilibrio
L'impresa 2, essendo identica all'impresa 1 e agendo simultaneamente, giungera alla stessa conclusione.
Si innesca quindi una corsa al ribasso dei prezzi tra le due imprese che avra ne soltanto quando
entrambe le imprese sseranno un prezzo pari al costo marginale.
Quindi i prezzi di equilibrio sono
P1B = P2B = c:
bQ ovvero QB = a b c :
Entrambe le imprese si spartiscono il mercato e quindi
La quantita di mercato risolve P = c = a
B
QB
1 = Q2 =
a
2b
c
ma fanno protti nulli.
Bastano due sole imprese che competono simultaneamente nel prezzo per ristabilire la conclusione
dell'equilibrio competitivo di lungo periodo.
6
1.4
1.4.1
La collusione
Le ipotesi
Sono le stesse del modello di Cournot, tranne che le imprese si accordano sulla quantita da produrre per
massimizzare i protti congiunti.
Le imprese agiscono come se fossero un monopolista che opera con due impianti identici.
1.4.2
L'equilibrio
Le imprese scelgono la quantita di mercato in modo da eguagliare il costo marginale al ricavo marginale
totale
R0 a
da cui
2bQ = c C 0
QCOLL =
a
2b
c
:
Il prezzo di mercato sara come in monopolio
P COLL =
a+c
:
2
Le imprese si spartiranno poi equamente il mercato producendo ciascuna
1
a c
QCOLL
= QCOLL
= QCOLL =
1
2
2
4b
e facendo protti
o
iCOLL = (P
c) QCOLL
i
iCOLL = (P
c) QCOLL
i
a+c
iCOLL =
2
c
7
a
4b
c
=
(a
c)2
:
8b
1.5
Confronto tra i risultati
Per quanto riguarda le quantita prodotte a livello di singola impresa:
S
B
QCOLL
= QS2 < QC
i
i < Q1 = Qi
I prezzi di mercato son tali che
P B < P S < P C < P COLL
I protti individuali sono ordinati nel modo seguente
iB < 2S < iC < 1S = iCOLL
8
