Soluzioni parte A

RISPOSTA AL QUESITO “A”
Teorema. Il prodotto di due numeri interi consecutivi è divisibile per 3 se e solo
se la loro somma non è divisibile per 3.
DIMOSTRAZIONE
Ipotesi. n(n + 1) è divisibile per 3.
Tesi. n + (n + 1) = 2n + 1 non è divisibile per 3.
• Per l’ipotesi si ha che almeno uno dei fattori (e solo uno) è divisibile per
3. Allora se n è divisibile per 3, 2n è anche divisibile per 3 e quindi il
successivo 2n + 1 non è divisibile per 3. Se, invece, n + 1 è divisibile per 3,
2(n + 1) = 2n + 2 è anche divisibile per 3 e quindi 2n + 1 = 2n + 2 − 1 non
è divisibile per 3.
Viceversa
Ipotesi. n + (n + 1) = 2n + 1 non è divisibile per 3.
Tesi. n(n + 1) è divisibile per 3.
• Osservando che, dati tre numeri interi consecutivi, uno di essi è divisibile per
3, si ha che uno dei due numeri 2n + 1 − 1 = 2n e 2n + 1 + 1 = 2(n + 1) è
divisibile per 3; da ciò segue che uno tra i numeri n e n + 1 è divisibile per
3 e quindi la tesi.