Esercizi induzione

Esempi di applicazione del principio di induzione
1.
1  2  3  4  ........(n  1)  n 
n(n  1)
2
serie di Gauss
n
 n(n  1) 
13  2 3  33  ......  n 3   i 3  
 2 
i 1
n
n(n  1)( 2n  1)
2
2
2
2
2
3. 1  2  3  .......  n   i 
6
i 1
n
4. (1  k )  1  nk
Bernoulli
n
1
1
1
1
n

 ........ 


5.
1* 2 2 * 3
n(n  1) i 1 i (i  1) n  1
2
2.
n
6.
2  2 2  2 3  ........  2 n   2 i  2(2 n  1)
S.geometrica
i 1
n
7.
b  b 2  b 3  .......  b n   b i 
i 1
b
(b n  1)
b 1
8.
32n  2 n
9.
2  4  6  .....  2n   2i  n(n  1)
S.geometrica
è multiplo di 7
n
i 1
10. 1  3  5    (2n - 1) 
n
 (2i - 1)  n
2
i 1
11. 1  5  9  ........  ( 4n  3) 
n
 (4i  3)  n(2n  1)
i 1
12. 1 
n
1 1
1
1
1
  ......  n   i  2  n
2 4
2
2
i 0 2
S.geometrica
n(4n 2  1)

3
n
13.
1  3  ........  (2n  1)   (2i  1)
2
2
2
14. 1  4  7  .......  (3n  1) 
i 1
n
2
1
 (3i  1)  2 (3n
2
 5n  2)
i 0
15. 1  27  125  .......  (2n  1) 
3
n
 (2i  1)
3
 2n 4  n 2
i 1


n
1  1  1 
1  1
 1

1  1  ........1     1 

2  3  4 
 n  i 1  i  1  n
16. 1 
17. 1 * 2  2 * 3  3 * 4  4 * 5  ........  n( n  1) 
2
2
2
2
2
 ii  1
n
i 1
2
  121 n(n  1)(n  2)(3n  5)
18. 2  n
n
19. 2  n
n
2
20. n  5n
3
2 n 1
è divisibile per 6
n2
2
 2 3n  2
22. 3 * 5
n
23. 8  6
n
24. 10  1
21. 3
2 n 1
è divisibile per 7
è divisibile per 17
è divisibile per 14
è divisibile per 9
Pag:1
25.
26.
27.
28.
29.
4n
n3
n5
n7
nk
1
n
n
n
n
è divisibile per 3
è divisibile per 3
è divisibile per 5
è divisibile per 7
è divisibile per k
30. 1  2  3  4  5  ........(1)
2
2
2
2
n 1
n
n 2   (1) i 1i 2  (1) n 1
i 1
n
31.
1
n(n  1)
2
n
 (3i  2)(3i  1)  3n  1
i 1
i2
n(n  1)


2(2n  1)
i 1 (2i  1)( 2i  1)
n
32.
33. media aritmetica di n numeri positivi > della loro media geometrica
34.
D( x n )  n x n1
n
1 a
allora
35. se A 
0 a
An 
1
a
i
i 1
an
0
36. Sia n un numero naturale. Dimostrare che
1 1 1
1
1
1
1
1
1
   ....... 




 ...... 
2 3 4
2n  1 2n n  1 n  2 n  3
2n
nx
(n  1) x
sin
sin
2
2
37. sin( x)  sin( 2 x)  .......  sin( nx) 
x
sin
2
1
38. Dimostrare che
4

sin 2 x
1

x
x 
sin 2
sin 2
2
2
2 n 1
2
4n  
(2k  1)
k 1
sin 2
2 n 1
n
 n  k nk
39. Dimostrare il teorema binomiale :    x y
 ( x  y) n
k 0  k 
m
 k   m  1

40. Dimostrate la somma binomiali:     
k n  n 
 n 1
41. Sia nN dimostrare che il polinomio
1
x n 2  (1  x) 2 n1 è divisibile per x 2  x  1
 m 1
42. Per m  2 , dimostrare che m! 

 2 
m
43. Dimostrare la seguente disuguaglianza:
1
n
44.
1
2

1
3
 ...... 
1
n


 2 n 1 1
 n  2

 3 
 k (k  1)  2
k 1
Pag:2
k2
n(n  1)


2(2n  1)
k 1 ( 2k  1)( 2k  1)
1
2
n
n(n  1)
46.

 ........ 

1* 3 * 5 3 * 5 * 7
(2n  1)( 2n  1)( 2n  3) 2(2n  1)( 2n  3)
n
45.
Controesempi:
1.
2.
n 2  n  41 è primo ( per n<40 è vera ma non per n=40)
ogni numero dispari maggiore di 1 si può sempre scomporre nella somma di una potenza di 2 e di un numero
primo, cioè
2n  1  2 k  p , k  N , p primo ( fino a 125 funziona ma 127 no!)
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