Metodo delle correnti di maglia fittizie o di Maxwell

Circuiti con due generatori di tensione – esercizio n. 2
metodo delle correnti di maglia fittizie o di Maxwell
Calcolare le correnti che circolano nel circuito sotto riportato utilizzando il metodo
delle correnti di maglia (Maxwell), la potenza erogata (o eventualmente assorbita)
dai generatori di tensione E1 ed E2 e quella assorbita da ciascuna resistenza:
+
E2
E1 = 80 V
R1
R2
R4
+
E2 = 10 V
R1 = 8 Ω
R2 = 14 Ω
R3
R3 = 12 Ω
E1
R4 = 6 Ω
R5
R5 = 2 Ω
Verrà utilizzato il metodo delle correnti fittizie di maglia o metodo di Maxwell.
Eventuale semplificazione del circuito
Per verificare se sia possibile semplificare il circuito occorre stabilirne i nodi e quindi
controllare se vi siano resistenze in serie o in parallelo.
Si stabiliscano i nodi del circuito.
I nodi presenti nel circuito risultano essere 3.
A
A
+
E2
R1
R4
R2
+
R3
B
E1
R5
C
figura n. 1
Ricerca di resistenze in serie:
Non sono presenti resistenze in serie.
Ricerca di resistenze in parallelo:
Non sono presenti resistenze in parallelo.
Tale circuito non può essere ulteriormente semplificato
Si stabiliscano i nodi, i rami e le maglie indipendenti del circuito.
In tale circuito si individuano n = 3 nodi, r = 5 rami e [r – (n – 1)] = [5 – (3 – 1)] = 3 maglie
indipendenti.
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Circuiti con due generatori di tensione – esercizio n. 2
metodo delle correnti di maglia fittizie o di Maxwell
Si disegnino, come in figura 2, in modo arbitrario, le correnti di ramo che risulteranno
essere 5, perchè tanti sono i rami, e le correnti fittizie di maglia che risulteranno essere 3,
perchè tante sono le maglie indipendenti.
A
I1
A
E2
+
R1
I4
R4
R3
+
J1
E1
I2
B
J2
R2
J3
I3
I5
R5
C
figura n. 2
Le relazioni esistenti tra le correnti di ramo e quelle fittizie di maglia, fissate come in figura,
saranno:
I1 = J1
I2 = −J3
I3 = J1 − J2
I4 = J2 − J3
I5 = J2
Si applichi adesso il secondo principio di Kirchhoff alle tre maglie indipendenti individuate,
utilizzando le tre correnti fittizie J1, J2 e J3.
(Il verso di ciascuna delle correnti fittizie di maglia sia considerato anche come verso
positivo di percorrenza della maglia quando si applica il secondo principio di Kirchhoff)
⎧R1 ⋅ J1 + R3 ⋅ ( J1 − J2 ) = E1
⎪
⎨R 4 ⋅ ( J2 − J3 ) + R5 ⋅ J2 + R3 ⋅ ( J2 − J1 ) = 0
⎪R ⋅ J + R ⋅ ( J − J ) = −E
4
3
2
2
⎩ 2 2
Semplificando:
⎧(R1 + R3 ) ⋅J1 −R3
⋅J2
⎪
⋅J1 + (R3 + R 4 + R5 ) ⋅J2
⎨−R3
⎪
−R 4
⋅J2
⎩
Sostituendo i valori:
⎧( 8 + 12 ) ⋅J1 −12
⋅J2
⎪
⋅J1 + (12 + 6 + 2 ) ⋅J2
⎨−12
⎪
−6
⋅J2
⎩
⎧20 ⋅J1 −12 ⋅J2
⎪
⎨−12 ⋅J1 +20 ⋅J2
⎪
−6 ⋅J2
⎩
−6
⋅J3
+20 ⋅J3
−R 4
⋅J3
+ (R2 + R 4 ) ⋅J3
−6
⋅J3
+ (14 + 6 ) ⋅J3
= 80
=0
= −10
2
= E1
=0
= −E2
= 80
=0
= −10
Circuiti con due generatori di tensione – esercizio n. 2
metodo delle correnti di maglia fittizie o di Maxwell
Risolvendo il sistema si sono determinate le correnti fittizie di maglia che risultano essere:
⎧J1 = 6,45
⎪
⎨J2 = 4,09
⎪J = 0,73
⎩ 3
e successivamente le correnti effettive di ramo I1, I2, I3, I4, ed I5:
I1 = J1 = 6,45 A
I2 = −J3 = −0,73 A
I3 = J1 − J2 = 6,45 − 4,09 = 2,36 A
I4 = J2 − J3 = 4,09 − 0,73 = 3,36 A
I5 = J2 = 4,09 A
Poiché il valore della corrente I2 risulta essere negativo, allora il verso arbitrariamente
assegnato ad I2 nella figura n. 2, deve essere invertito.
In conclusione le correnti nel circuito risultano essere quelle riportate in figura n. 3:
A
A
I1
+
E2
R1
I4
R3
+
I2
B
E1
R2
R4
I2 = 0,73 A
I3 = 2,36 A
I4 = 3,36 A
I3
I5
I1 = 6,45 A
R5
I5 = 4,09 A
C
figura n. 3
Calcolo della potenza erogata dai generatori:
Poiché, per il generatore E2, il verso della f.e.m. ed il verso della corrente che l’attraversa
sono discordi, allora tale generatore assorbe potenza invece che erogarla e pertanto la
sua potenza deve essere considera negativa.
PE1 = E1 ⋅ I1 = 80 ⋅ 6,45 = 516,00 W
PE2 = E2 ⋅ I2 = 10 ⋅ ( −0,73 ) = −7,30 W
PET = PE1 + PE2 = 516,00 − 7,30 = 508,70 W
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Circuiti con due generatori di tensione – esercizio n. 2
metodo delle correnti di maglia fittizie o di Maxwell
Calcolo delle potenze assorbite dalle resistenze;
PR1 = R1 ⋅ I12 = 8 ⋅ 6,452 = 332,82 W
PR2 = R2 ⋅ I2 2 = 14 ⋅ 0,732 = 7,46 W
PR3 = R3 ⋅ I3 2 = 12 ⋅ 2,362 = 66,84 W
PR4 = R 4 ⋅ I4 2 = 6 ⋅ 3,362 = 67,73 W
PR5 = R5 ⋅ I5 2 = 2 ⋅ 4,092 = 33,46 W
PRT = PR1 + PR2 + PR3 + PR4 + PR5 = 332,82 + 7,46 + 66,84 + 67,73 + 33,46 = 508,31 W
NB: Si noti come la somma algebrica delle potenze erogate o assorbite dai generatori è
pari alla somma delle potenze dissipate su ciascuna resistenza presente nel circuito.
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