Equazioni Esponenziali e Logaritmiche Funzione Esponenziale e logaritmica Potenza con esponente intero di un numero reale Se a è un numero reale ed n un numero intero positivo, sappiamo che il simbolo a n rappresenta il prodotto di n fattori tutti uguali ad a, cioè: a n = a ⋅ a ⋅ a ⋅ a ⋅ a ⋅ a ⋅ a ⋅ a⋅a 1 2 3 4 5 6 7 8⋅⋅ a 1 an Le potenze ad esponente negativo vengono definite mediante la seguente identità: a −n = Per le potenze ad esponente intero (positivo o negativo) valgono le cinque seguenti proprietà: an ⋅ am = an + m (a b) a n:a m = a n − m n = an ⋅ an a 0 = 1 23 ⋅ 27 = 23+7 = 210 = 1024 Inoltre si pone per convenzione: ( a n )m n an a = n = a n :b n b b = a n⋅m 6 6 2 58 : 5= 58−= 5= 25 Potenze con esponente razionale Abbiamo definito la potenza di un numero reale a avente come esponente un numero intero relativo Vogliamo ampliare il concetto di potenza analizzando il caso in cui la base della potenza è un numero reale positivo (o nullo) e l’esponente è un numero razionale (cioè un numero frazionario) Se a è un numero reale non negativo ed m ed n sono due numeri interi positivi , le potenze ad esponente razionale vengono definite dalle due seguenti identità: m n an = am a − m n = 1 m an dove il radicale è considerato in senso aritmetico. Non si definiscono le potenze con esponente razionale dei numeri negativi. <<Ogni potenza avente base positiva ed esponente razionale è equivalente ad un radicale, e viceversa, ogni radicale è equivalente ad una potenza avente base positiva ed esponente razionale>>. Le potenze ad esponente razionale conservano tutte le proprietà formali delle potenze ad esponente intero, cioè se a , b ∈ R + , m , n , p , q ∈ N m n a ⋅a p q = a m p + n q m n a :a p q = a m p − n q abbiamo: p mn q nq a = a mp (a b) m n m m n = a ⋅b m n m an a n = m b bn Equazioni Esponenziali e Logaritmiche Funzione Esponenziale e logaritmica Funzione esponenziale e curva esponenziale La potenza a ha significato solo se a > 0 . Sotto questa ipotesi resta definita la seguente funzione x f ( x= ) a x ∈ R+ esponenziale: a > 0 . Una funzione è esponenziale se la variabile con indipendente x figura, almeno una volta, come esponente di un termine. Dopo avere riferito il piano ad un sistema ortonormale di assi cartesiani, consideriamo la funzione esponenziale a x ( a ∈R + ) . Quando la variabile indipendente x varia assumendo tutti valori del dominio di a x il punto P( x , a x ) descrive una curva piana γ Diciamo pure che la curva esponenziale γ ha equazione cartesiana y = a x . Elenchiamo le principali proprietà della funzione esponenziale. a >1 1) a x è strettamente crescente ∀ x ∈ R + 2) 3) a x > 0 ∀ x ∈ R d om a x = R cod om a x = R + 4) Li m a x = + ∞ x→+∞ 5) Li m a x = 0 ⇒ y = 0 asintoto orizzontale sinistro x→−∞ 6) a x2 > a x1 ⇔ x2 > x1 , a x2 < a x1 ⇔ x2 < x1 0 < a < 1 1) a x è strettamente decrescente ∀ x ∈ R + 3) a x > 0 ∀ x ∈ R 5) Li m a x = 0 2) d om a x = R cod om a x = R + 4) Li m a x = + ∞ x→−∞ ⇒ y = 0 asintoto orizzontale destro x→+∞ 6) a x2 > a x1 ⇔ x2 < x1 , a 0 < a <1 1 y = 2 x2 ax < a x1 ⇔ x2 > x1 a > 1 y = 2x x Grafico della funzione 1 o esponenziale x Equazioni Esponenziali e Logaritmiche Funzione Esponenziale e logaritmica Equazione esponenziale normale Chiamiamo equazione esponenziale ogni equazione in cui l’incognita figura come esponente di uno o più termini. Dicesi equazione esponenziale normale ( o tipica o canonica ) ogni ax = b equazione che può essere ricondotta alla seguente forma: [1] Teorema: Se a e b sono numeri reali positivi diversi da uno, l’equazione esponenziale a x = b ammette una ed una sola soluzione x1 . 2 x = 8 , 2 x = 23 Se due potenze sono uguali, se le basi sono uguali, allora anche gli esponenti x 1 1 debbono essere uguali , x = 3 , = 3 27 x 1 1 , = 3 3 3 , x = 3 Risoluzione di alcune equazioni esponenziali L‘equazione esponenziale a f ( x) = a g ( x ) è equivalente all’equazione algebrica : f ( x ) = g( x ) Risulta pure : a f ( x ) = 1 ⇒ a f ( x ) = a 0 ⇒ f ( x ) = 0 125 x + 1 ⋅ 3 25− x + 2 = 625 ( 53 ) 5 3( x + 1) 2 ⋅5 2( − x + 2 ) 3 = 54 5 x +1 ( ) ⋅ 3 52 3( x + 1) 2( − x + 2 ) + 2 3 3 x + 1 2 − x + 2 + = 4 2 3 ax ⋅ ax + 3 = a4 a x ⋅ a x + 3 2 = a4 a x + −x + 2 3 x + 1) 625 ⋅ 3 52( − x + 2) = = 54 9 x + 9 − 4 x + 8 = 24 , 5x = 7 , x = x + 3 2 = a4 3x = 5 Le equazioni esponenziali 5( = 625 x + 7 5 x + 3 = 4 , 2x + x + 3 = 8 2 x = k ⋅ a 2⋅ f ( x ) + n ⋅ a f ( x ) + p = 0 5 3 k ⋅ a f ( x) + n a f ( x) + p = 0 si risolvono ponendo: y = a f ( x ) . Otteniamo rispettivamente le due seguenti equazioni algebriche: m y2 + n y + p = 0 my + n + p = 0 y cioè: m y2 + p y + n = 0 Se y1 ed y2 sono le radici reali delle equazioni algebriche trovate , abbiamo : Equazioni Esponenziali e Logaritmiche a f ( x ) = y1 21 + x + 21 − , y2 = a s y1 = a t Se poi risulta: x 17 2⋅2 = 2 x + x = 1 = 2 −2 4 aritmetico , x = −2 a f ( x ) = y2 , f ( x) = t abbiamo: 2 17 = pongo: x 2 2 4 y 2 − 17 y + 4 = 0 , y1 = 4 , y2 = 2 Funzione Esponenziale e logaritmica 1 ,2 4 x 2 = y Ottengo: 2 y + x = 4 ,2 f ( x) = s x = 22 , 2 17 = y 2 x = 2 , x = 4 Questa equazione non ammette radici reali in quanto il radicale x è sempre un numero positivo. Definizione di logaritmo Se a , b ∈ R + , definiamo logaritmo del numero b nella base a e lo indichiamo col simbolo log a b l’esponente x che bisogna dare alla base a per avere l’argomento b . In simboli abbiamo: log a b = x ax = b ⇔ Questo ci consente di affermare che il logaritmo del numero b nella base a è la radice dell’equazione esponenziale a x = b . Il numero b è detto argomento del logaritmo, mentre il numero a rappresenta la base del logaritmo. ESEMPI 3 1 1 1 1 = log10 2 = log10 10−2 = − 2 , log 1 = log 1 = 3 log5 25 = log5 5 = 2 , log10 0,01 = log10 2 8 100 10 2 2 2 1 log 1 8 = log 1 2 2 2 −3 = −3 log a 1 = 0 L’insieme dei logaritmi di tutti i numeri reali assoluti rispetto ad una data base a costituisce un sistema di logaritmi nella base a . Quando scegliamo come base il numero 10 abbiamo il cosiddetto sistema di logaritmi decimali o volgari o di Briggs: simbolo usato: log b Abbiamo il sistema di logaritmi naturali o neperiani o iperbolici quando assumiamo = e come base il numero e definito dal seguente limite: 1 Li m 1 + x x→∞ x Simbolo usato: lnb Il numero e è un numero irrazionale trascendente compreso tra due e tre . Un suo valore approssimato è: e = 2,71828182 Equazioni Esponenziali e Logaritmiche Funzione Esponenziale e logaritmica Funzione logaritmo e curva logaritmica La funzione f ( x ) = log a x∈R con a > 0 , a ≠ 1 ed x > 0 dicesi funzione logaritmo. y = log a x∈R rappresenta l‘equazione cartesiana del grafico della funzione logaritmo di x in base a . Grafico della funzione logaritmo Grafico della funzione y = log10 x Grafico della funzione y = log 1 x 10 La curva logaritmica di equazione y = log a x e la curva esponenziale di equazione y = a x sono una simmetrica dell’altra rispetto alla bisettrice fondamentale degli assi cartesiani, cioè rispetto alla retta di equazione y = x . Elenchiamo le principali proprietà della funzione logaritmo log a x : a > 1 1) log a x è strettamente crescente ∀ x ∈ R + 2) d omlog a x = ]0 , + ∞[ 3) cod omlog a x = R 5) log a x < 0 ∀ x ∈ ]0 ,1[ 4) log a x > 0 ∀ x ∈ ]1, + ∞[ 6) log a x = 0 ⇔ x = 1 7) Li m log a x = − ∞ ⇒ x = 0 asintoto verticale destro in basso x → 0+ 8) Li m log a x = + ∞ x→+∞ 9) log a x2 > log a x1 ⇒ x2 > x1 log a x2 < log a x1 ⇒ x2 < x1 0 < a < 1 1) log a x è strettamente decrescente ∀ x ∈ R + 2) domlog a x = ]0 , + ∞[ 3) codomlog a x = R 5) log a x < 0 ∀ x ∈ ]1 , + ∞[ 4) log a x > 0 ∀ x ∈ ]0 , 1[ 6) log a x = 0 ⇔ x = 1 7) L i m log a x = + ∞ ⇒ x = 0 asintoto verticale destro in alto x → 0+ 8) L i m log a x = − ∞ x→+∞ 9) log a x2 > log a x1 ⇒ x2 < x1 log a x2 < log a x1 ⇒ x2 > x1 Equazioni Esponenziali e Logaritmiche Funzione Esponenziale e logaritmica Teoremi fondamentali sui logaritmi Il logaritmo di un prodotto di fattori è uguale alla somma dei logaritmi dei singoli fattori log a b= ⋅ c log a b + log a c Il logaritmo di un quoziente è uguale alla differenza fra il logaritmo del dividendo e quello del b = log a c divisore. log a b − log a c Il logaritmo di una potenza è uguale al prodotto dell’esponente della potenza per il logaritmo della log a b m= base della potenza m ⋅ log a b Il logaritmo di un radicale è uguale al quoziente tra il logaritmo del radicando e l’indice del n log = a b radicale. 1 n log = ab 1 log a b n m n m = log a b n = log ab m log a b n ESEMPI log log a2 − x2 a + x 2 2 = log ( a + x )( a − x=) (a 2 + x 1 2 2 ) 1 log ( a + x ) + log ( a − x ) − log ( a 2 + x 2 ) = 2 ( x − y )( x + y=) log x − y x + y − log a= x2 − y 2 = log b log ( x + y ) + log ( x − y ) − log a − log b ( )( ) ab ab p ab log = q ab p log = p ( log ab − log q )= p ( log a + log b − log q ) q am 1 am 1 1 log 2 3 = log 2 = log a m − log b 2 c3= log a m − log b 2 − log c 3 ) = ( ) ( 3 b c 2 b c 2 2 = 1 ( m ⋅ log a − 2log b − 3log c ) 2 Equazioni logaritmiche Un‘equazione dicesi logaritmica quando l’incognita o una sua funzione figura almeno una volta come argomento di un logaritmo. L‘equazione logaritmica log a f ( x ) = log a g ( x ) equivalente al seguente sistema misto: [A] f ( x ) = g( x ) f ( x) > 0 ( ) g x > 0 con a > 0 ed a ≠ 1 è [B] Equazioni Esponenziali e Logaritmiche Funzione Esponenziale e logaritmica 0 si risolve ponendo loga f ( x ) = y L ‘ equazione: k ⋅ log 2a f ( x ) + h ⋅ log a f ( x ) + n = f ( x) > 0 Otteniamo il seguente sistema misto: 2 k y + h y + n = 0 ⇒ y1 , y2 L ‘ equazione : k ⋅ log a f ( x ) + f ( x ) = a y1 , f ( x ) = a y2 h + n = 0 si risolve ponendo : loga f ( x ) = y log a f ( x ) Otteniamo il seguente sistema misto: f ( x) > 0 h 0 k y + y + n = ( f ( x) > 0 , 2 k y + n y + h = 0 ⇒ y1 , y2 f ( x ) = a y2 x 2 − 3x − 5 = 7 − 2 x 2 x − 3x − 5 > 0 7 − 2 x > 0 ) log 3 x 2 − 3 x −= 5 log 3 ( 7 − 2 x ) 2 x − x − 12 = 0 2 x − 3x − 5 > 0 7 − 2 x > 0 f ( x ) = a y1 , x1 = − 3 ( R. A.) , x 2 = 4 ( R. N . A.) per x < per x < 3 − 29 2 ≈ − 1,2 , x > 3 + 29 2 ≈ 4,2 7 2 log ( x + 4 ) + log ( 2 x + 3= ) log (1 − 2 x ) Impongo la condizione di realtà: x + 4 > 0 per x > − 4 3 2 x + 3 > 0 per x > − 2 1 1 − 2 x > 0 per x < 2 Il sistema è verificato per: − 3 1 < x < 2 2 log( x + 4)(2 x + 3) = log(1 − 2 x ) , ( x + 4)(2 x + 3) = (1 − 2 x ) , 2 x 2 + 13x + 11 = 0 x1 = − 1 ( R.A. ) x2 = − log 2 x + log x + 1 = 7 log x 10 11 ( R.N.A. ) 2 Condizione di realtà: x > 0 Equazioni Esponenziali e Logaritmiche Ricordando che ritrascritta: y2 + y + 1 = log x = log x − log 10 = log x − 1 , l’equazione proposta può essere così 10 log 2 x + log x + 1 = 7 , y −1 3 log 2 x − 2 = log 2 x Funzione Esponenziale e logaritmica 7 . Ponendo: log x = y otteniamo l’equazione : log x − 1 y3 − 1 = 7 , y3 = 8 , y = 2 , log x = 2 x = 100 ( R.A.) Condizione di realtà: x > 0 Pongo: log 2 x = y Ottengo: y − 2 = y = −1 ⇒ log 2 x = − 1 ⇒ x = 3 , y 2 − 2 y − 3 = 0 , y = −1 , y = 3 y 1 , y = 3 ⇒ log 2 x = 3 ⇒ x = 8 2 Disequazioni logaritmiche Sono disequazioni in cui l’incognita figura almeno una volta come argomento di un logaritmo. Esempio di disequazione logaritmica: log2 x 2 − 5x − 8 log7 ( x + 1) > 5 log x ( ) Per risolvere le disequazioni logaritmiche bisogna tenere presente: 1) le proprietà fondamentali delle disequazioni algebriche 2) le proprietà dei logaritmi ed anche che: loga x = y ⇔ x = ay 3) che la funzione logaritmo loga x è strettamente crescente se a > 1 , strettamente decrescente se 0 < a <1 4) che l’argomento di ogni logaritmo presente nella disequazione sia positivo (condizione di realtà) 2log 5 ( x − 3) − log 5 ( 3 x − 1) < 1 2 log 5 (1 + x ) 2 per x > 3 Equazioni Esponenziali e Logaritmiche Funzione Esponenziale e logaritmica Per la realtà dei logaritmi deve essere: x − 3 > 0 per x > per x > 3x − 1 > 0 (1 + x )2 > 0 per x ≠ 3 1 3 il sistema è verificato per x>3 −1 Infine, ricordando che per x > 3 l’espressione 1 + x risulta positiva, per le note proprietà dei logaritmi, la disequazione data può essere scritta come segue: log5 ( x − 3) − log5 (3x − 1) < log5 2 (x − 3) < 1 + x; 3x − 1 2 x>3 ⇒ (x (1 + x ) 2 , (x − 3) < log5 (1 + x ) log5 3x − 1 2 − 3) < ( 3x − 1)(1 + x ) ; − 2 x 2 − 8 x + 10 < 0 2 x > 3 2 x + 4 x − 5 > 0 per x < − 5 ed x > 1 Ho trascurato il termine positivo 3 x − 1 in quanto risulta x > 3 x>3 Il sistema (e quindi anche la disequazione data) è verificato per Disequazioni esponenziali Una disequazione si dice esponenziale quando l’incognita figura come esponente di uno o più termini 2 x 2 +1 − 5x 3 +2 > 8 ⋅ 7 x − 1 è un esempio di disequazione esponenziale. La risoluzione delle disequazioni esponenziali presenta, in generale, notevoli difficoltà. Per la risoluzione delle disequazioni esponenziali sono particolarmente utili le seguenti considerazioni: 1) bisogna tenere presente le proprietà delle disequazioni algebriche 2) la funzione esponenziale a x , sempre positiva , è strettamente crescente se a > 1 , strettamente decrescente se 0 < a <1. ( a > 1 , a x2 > a x1 ) ⇔ x2 > x1 ) e quindi la disequazione esponenziale si tramuta nella disequazione algebrica f ( x ) > g( x ) . ( a > 1 , a x2 < a x1 ) ⇔ x2 < x1 ) e quindi la disequazione esponenziale si tramuta nella disequazione algebrica a > 1 , a f ( x) > a g( x) a > 1 , a f ( x) < a g( x) f ( x ) < g( x ) . ( 0 < a < 1 , a x2 > a x1 ) ⇔ 0 < a < 1 , a f ( x) > a g( x) si tramuta nella disequazione algebrica x2 < x1 ) e quindi la disequazione esponenziale f ( x ) < g( x ) . Equazioni Esponenziali e Logaritmiche (0 < a < 1 , a x2 < a x1 ) 0 < a < 1 , a f ( x) < a g( x) 34 x − 1 − 81 > 0 ⇔ si per x > 2 − 2 < 0 x tramuta nella disequazione algebrica 3 < x< 4 per per − 3 < x < 0 , x > 0 Pongo : + + O _ _ + _ O x > 0 9 x , 2 < 2x , 8 > 17 2x O + + + _ O ∞ per y < 3 < x< 4 x 9 - x2 x 9 - x2 x O ( ) 52 x − 5x > 0 , 5x 5x − 1 > 0 5x > 0 ∀ x ∈R e quindi per x < −1 , x > 3 2 y 2 − 17 y + 8 > 0 ( 32 x = y 2 ) 9 − x2 9 < 0 < x , x x _ 5x − 1 > 0 , 5x > 1 , 5x > 50 2x + 1 + 3x = y 5 4 3 0 _ per f ( x ) > g( x ) . 34 x − 1 > 34 , 4 x − 1 > 4 , x > -3 25 x − 5 x > 0 e quindi la disequazione esponenziale per 27 < y < 81 , 27 < 3x < 81 , 33 < 3x < 34 , y 2 − 108 y + 2187 < 0 9 x2 > x1 ) 5 4 32 x − 108 ⋅ 3x + 2187 < 0 x Funzione Esponenziale e logaritmica x > 0 Pongo: y = 2 x > 0 ∀ x ∈ R Ottengo: 1 , y > 8 , 2 x < 2 −1 e 2 x > 23 e quindi: x < −1 , x > 3 2