Potenza con esponente intero di un numero reale Se a è un numero

Equazioni Esponenziali e Logaritmiche
Funzione Esponenziale e logaritmica
Potenza con esponente intero di un numero reale
Se a è un numero reale ed n un numero intero positivo, sappiamo che il simbolo a n rappresenta il
prodotto di n fattori tutti uguali ad a, cioè:
a n = a ⋅ a ⋅ a ⋅ a ⋅ a ⋅ a ⋅ a ⋅ a⋅a
1 2 3 4 5 6 7 8⋅⋅ a
1
an
Le potenze ad esponente negativo vengono definite mediante la seguente identità: a −n =
Per le potenze ad esponente intero (positivo o negativo) valgono le cinque seguenti proprietà:
an ⋅ am = an + m
(a b)
a n:a m = a n − m
n
= an ⋅ an
a 0 = 1 23 ⋅ 27 = 23+7 = 210 = 1024
Inoltre si pone per convenzione:
( a n )m
n
an
 a
  = n = a n :b n
 b
b
= a n⋅m
6
6
2
58 : 5=
58−=
5=
25
Potenze con esponente razionale
Abbiamo definito la potenza di un numero reale a avente come esponente un numero intero relativo
Vogliamo ampliare il concetto di potenza analizzando il caso in cui la base della potenza è un
numero reale positivo (o nullo) e l’esponente è un numero razionale (cioè un numero frazionario)
Se a è un numero reale non negativo ed m ed n sono due numeri interi positivi , le potenze ad
esponente razionale vengono definite dalle due seguenti identità:
m
n
an =
am
a
−
m
n
=
1
m
an
dove il radicale è considerato in senso aritmetico. Non si definiscono le potenze con esponente
razionale dei numeri negativi.
<<Ogni potenza avente base positiva ed
esponente razionale è equivalente ad un radicale, e viceversa, ogni radicale è
equivalente ad una potenza avente base positiva ed esponente razionale>>.
Le potenze ad esponente razionale conservano tutte le proprietà formali delle potenze ad esponente
intero, cioè se a , b ∈ R + , m , n , p , q ∈ N
m
n
a ⋅a
p
q
= a
m
p
+
n
q
m
n
a :a
p
q
= a
m
p
−
n
q
abbiamo:
p
 mn  q
nq
a  = a
 
mp
(a b)
m
n
m
m
n
= a ⋅b
m
n
m
an
 a n
  = m
 b
bn
Equazioni Esponenziali e Logaritmiche
Funzione Esponenziale e logaritmica
Funzione esponenziale e curva esponenziale
La potenza a ha significato solo se a > 0 . Sotto questa ipotesi resta definita la seguente funzione
x
f ( x=
) a x ∈ R+
esponenziale:
a > 0 . Una funzione è esponenziale se la variabile
con
indipendente x figura, almeno una volta, come esponente di un termine.
Dopo avere riferito il piano ad un sistema ortonormale di assi cartesiani, consideriamo la funzione
esponenziale a x ( a ∈R + ) . Quando la variabile indipendente x varia assumendo tutti valori del
dominio di a x il punto P( x , a x ) descrive una curva piana γ
Diciamo pure che la curva
esponenziale γ ha equazione cartesiana y = a x .
Elenchiamo le principali proprietà della funzione esponenziale.
a >1
1) a x è strettamente crescente ∀ x ∈ R + 2)
3) a x > 0 ∀ x ∈ R
d om a x = R
cod om a x = R +
4) Li m a x = + ∞
x→+∞
5) Li m a x = 0 ⇒ y = 0 asintoto orizzontale sinistro
x→−∞
6) a
x2
> a
x1
⇔ x2 > x1 ,
a
x2
< a
x1
⇔
x2 < x1
0 < a < 1
1) a x è strettamente decrescente ∀ x ∈ R +
3) a x > 0 ∀ x ∈ R
5) Li m a x = 0
2)
d om a x = R
cod om a x = R +
4) Li m a x = + ∞
x→−∞
⇒ y = 0 asintoto orizzontale destro
x→+∞
6) a
x2
> a
x1
⇔ x2 < x1 ,
a
0 < a <1
 1
y =  
 2
x2
ax
< a
x1
⇔
x2 > x1
a > 1 y = 2x
x
Grafico della funzione
1
o
esponenziale
x
Equazioni Esponenziali e Logaritmiche
Funzione Esponenziale e logaritmica
Equazione esponenziale normale
Chiamiamo equazione esponenziale ogni equazione in cui l’incognita figura come esponente di
uno o più termini. Dicesi equazione esponenziale normale ( o tipica o canonica ) ogni
ax = b
equazione che può essere ricondotta alla seguente forma:
[1]
Teorema: Se a e b sono numeri reali positivi diversi da uno, l’equazione esponenziale a x = b
ammette una ed una sola soluzione x1 .
2 x = 8 , 2 x = 23 Se due potenze sono uguali, se le basi sono uguali, allora anche gli esponenti
x
1
 1
debbono essere uguali , x = 3 ,   =
 3
27
x
 1
 1
,  =  
 3
 3
3
, x = 3
Risoluzione di alcune equazioni esponenziali
L‘equazione esponenziale
a
f ( x)
= a g ( x ) è equivalente all’equazione algebrica : f ( x ) = g( x )
Risulta pure : a f ( x ) = 1 ⇒ a f ( x ) = a 0 ⇒ f ( x ) = 0
125 x + 1 ⋅ 3 25− x + 2 =
625
( 53 )
5
3( x + 1)
2
⋅5
2( − x + 2 )
3
= 54
5
x +1
( )
⋅ 3 52
3( x + 1)
2( − x + 2 )
+
2
3
3 x + 1
2 − x + 2
+
= 4
2
3
ax ⋅ ax + 3 =
a4 a x ⋅ a
x + 3
2
= a4
a
x +
−x + 2
3 x + 1)
625
⋅ 3 52( − x + 2) =
= 54
9 x + 9 − 4 x + 8 = 24 , 5x = 7 , x =
x + 3
2
= a4
3x = 5
Le equazioni esponenziali
5(
=
625
x +
7
5
x + 3
= 4 , 2x + x + 3 = 8
2
x =
k ⋅ a 2⋅ f ( x ) + n ⋅ a f ( x ) + p =
0
5
3
k ⋅ a f ( x) +
n
a f ( x)
+ p =
0
si risolvono ponendo: y = a f ( x ) . Otteniamo rispettivamente le due seguenti equazioni algebriche:
m y2 + n y + p =
0
my +
n
+ p = 0
y
cioè:
m y2 + p y + n =
0
Se y1 ed y2 sono le radici reali delle equazioni algebriche trovate , abbiamo :
Equazioni Esponenziali e Logaritmiche
a f ( x ) = y1
21 +
x
+ 21 −
, y2 = a s
y1 = a t
Se poi risulta:
x
17
2⋅2
=
2
x
+
x
=
1
= 2 −2
4
aritmetico
,
x = −2
a f ( x ) = y2
,
f ( x) = t
abbiamo:
2
17
=
pongo:
x
2
2
4 y 2 − 17 y + 4 = 0 , y1 = 4 , y2 =
2
Funzione Esponenziale e logaritmica
1
,2
4
x
2
= y Ottengo: 2 y +
x
= 4 ,2
f ( x) = s
x
= 22 ,
2
17
=
y
2
x = 2 , x = 4
Questa equazione non ammette radici reali in quanto il radicale
x è sempre un numero positivo.
Definizione di logaritmo
Se a , b ∈ R + , definiamo logaritmo del numero b nella base a e lo indichiamo col simbolo
log a b l’esponente x che bisogna dare alla base a per avere l’argomento
b . In simboli abbiamo:
log a b = x
ax = b
⇔
Questo ci consente di affermare che il
logaritmo del numero b nella base a è la radice dell’equazione esponenziale a x = b .
Il numero b è detto argomento del logaritmo, mentre il numero a rappresenta la base del
logaritmo.
ESEMPI
3
1
1
1
 1
= log10 2 = log10 10−2 = − 2 , log 1 = log 1   = 3
log5 25 = log5 5 = 2 , log10 0,01 = log10
 2
8
100
10
2
2
2
 1
log 1 8 = log 1  
 2
2
2
−3
= −3
log a 1 = 0
L’insieme dei logaritmi di tutti i numeri reali assoluti rispetto ad una data base a costituisce un
sistema di logaritmi nella base a . Quando scegliamo come base il numero 10 abbiamo
il cosiddetto sistema di logaritmi decimali o volgari o di Briggs: simbolo usato: log b
Abbiamo il sistema di logaritmi naturali o neperiani o iperbolici quando assumiamo
=
e
come base il numero e definito dal seguente limite:
1

Li m 1 + 
x
x→∞ 
x
Simbolo usato:
lnb
Il numero e è un numero irrazionale trascendente compreso tra due e tre . Un suo
valore approssimato è:
e = 2,71828182
Equazioni Esponenziali e Logaritmiche
Funzione Esponenziale e logaritmica
Funzione logaritmo e curva logaritmica
La funzione f ( x ) = log a x∈R
con a > 0 , a ≠ 1 ed x > 0 dicesi funzione logaritmo.
y = log a x∈R rappresenta l‘equazione cartesiana del grafico della funzione logaritmo di x
in base a .
Grafico della funzione
logaritmo
Grafico della funzione y = log10 x
Grafico della funzione y = log 1 x
10
La curva logaritmica di equazione y = log a x e la curva esponenziale di equazione y = a x sono
una simmetrica dell’altra rispetto alla bisettrice fondamentale degli assi
cartesiani, cioè rispetto alla retta di equazione y = x .
Elenchiamo le principali proprietà della funzione logaritmo log a x :
a > 1
1) log a x è strettamente crescente ∀ x ∈ R +
2) d omlog a x = ]0 , + ∞[
3) cod omlog a x = R
5) log a x < 0 ∀ x ∈ ]0 ,1[
4) log a x > 0 ∀ x ∈ ]1, + ∞[
6) log a x = 0 ⇔ x = 1 7) Li m log a x = − ∞ ⇒ x = 0 asintoto verticale destro in basso
x → 0+
8) Li m log a x = + ∞
x→+∞
9) log a x2 > log a x1 ⇒ x2 > x1 log a x2 < log a x1 ⇒ x2 < x1
0 < a < 1
1) log a x è strettamente decrescente ∀ x ∈ R +
2) domlog a x = ]0 , + ∞[
3) codomlog a x = R
5) log a x < 0 ∀ x ∈ ]1 , + ∞[
4) log a x > 0 ∀ x ∈ ]0 , 1[
6) log a x = 0 ⇔ x = 1 7) L i m log a x = + ∞ ⇒ x = 0 asintoto verticale destro in alto
x → 0+
8) L i m log a x = − ∞
x→+∞
9) log a x2 > log a x1 ⇒ x2 < x1
log a x2 < log a x1 ⇒ x2 > x1
Equazioni Esponenziali e Logaritmiche
Funzione Esponenziale e logaritmica
Teoremi fondamentali sui logaritmi
Il logaritmo di un prodotto di fattori è uguale alla somma dei logaritmi dei singoli fattori
log a b=
⋅ c log a b + log a c
Il logaritmo di un quoziente è uguale alla differenza fra il logaritmo del dividendo e quello del
b
=
log
a
c
divisore.
log a b − log a c
Il logaritmo di una potenza è uguale al prodotto dell’esponente della potenza per il logaritmo della
log a b m=
base della potenza
m ⋅ log a b
Il logaritmo di un radicale è uguale al quoziente tra il logaritmo del radicando e l’indice del
n
log
=
a b
radicale.
1
n
log
=
ab
1
log a b
n
m
n m
=
log
a b
n
=
log
ab
m
log a b
n
ESEMPI
log
log
a2 − x2
a + x
2
2
= log
( a + x )( a − x=)
(a
2
+ x
1
2 2
)
1
log ( a + x ) + log ( a − x ) − log ( a 2 + x 2 ) =
2
( x − y )( x + y=) log x − y x + y − log a=
x2 − y 2
= log
b log ( x + y ) + log ( x − y ) − log a − log b
(
)(
)
ab
ab
p
 ab 
log   =
 q 
 ab 
p log  = p ( log ab − log q )= p ( log a + log b − log q )
 q 
am
1
am
1
1
log 2 3 = log 2 =
log a m − log b 2 c3=
log a m − log b 2 − log c 3 ) =
(
)
(
3
b c
2
b c
2
2
=
1
( m ⋅ log a − 2log b − 3log c )
2
Equazioni logaritmiche
Un‘equazione dicesi logaritmica quando l’incognita o una sua funzione figura almeno una volta
come argomento di un logaritmo.
L‘equazione logaritmica
log a f ( x ) = log a g ( x )
equivalente al seguente sistema misto:
[A]
 f ( x ) = g( x )

 f ( x) > 0
 ( )
g x > 0
con a > 0 ed a ≠ 1 è
[B]
Equazioni Esponenziali e Logaritmiche
Funzione Esponenziale e logaritmica
0 si risolve ponendo loga f ( x ) = y
L ‘ equazione: k ⋅ log 2a f ( x ) + h ⋅ log a f ( x ) + n =
 f ( x) > 0
Otteniamo il seguente sistema misto:  2
k y + h y + n = 0 ⇒ y1 , y2
L ‘ equazione : k ⋅ log a f ( x ) +
f ( x ) = a y1 , f ( x ) = a y2
h
+ n =
0 si risolve ponendo : loga f ( x ) = y
log a f ( x )
Otteniamo il seguente sistema misto:
 f ( x) > 0

h

0
k y + y + n =

(
 f ( x) > 0
,
 2
k y + n y + h = 0 ⇒ y1 , y2
f ( x ) = a y2
 x 2 − 3x − 5 = 7 − 2 x
 2
 x − 3x − 5 > 0
7 − 2 x > 0

)
log 3 x 2 − 3 x −=
5 log 3 ( 7 − 2 x )
 2
 x − x − 12 = 0

 2
 x − 3x − 5 > 0


7 − 2 x > 0
f ( x ) = a y1 ,
x1 = − 3 ( R. A.) , x 2 = 4 ( R. N . A.)
per x <
per x <
3 −
29
2
≈ − 1,2 , x >
3 +
29
2
≈ 4,2
7
2
log ( x + 4 ) + log ( 2 x + 3=
) log (1 − 2 x ) Impongo la condizione di realtà:

 x + 4 > 0 per x > − 4

3

2 x + 3 > 0 per x > −
2

1

1 − 2 x > 0 per x < 2
Il sistema è verificato per:
−
3
1
< x <
2
2
log( x + 4)(2 x + 3) = log(1 − 2 x ) , ( x + 4)(2 x + 3) = (1 − 2 x ) , 2 x 2 + 13x + 11 = 0
x1 = − 1 ( R.A. ) x2 = −
log 2 x + log x + 1 =
7
log
x
10
11
( R.N.A. )
2
Condizione di realtà: x > 0
Equazioni Esponenziali e Logaritmiche
Ricordando che
ritrascritta:
y2 + y + 1 =
log
x
= log x − log 10 = log x − 1 , l’equazione proposta può essere così
10
log 2 x + log x + 1 =
7
,
y −1
3
log 2 x − 2 =
log 2 x
Funzione Esponenziale e logaritmica
7
. Ponendo: log x = y otteniamo l’equazione :
log x − 1
y3 − 1 = 7 , y3 = 8 ,
y = 2 , log x = 2
x = 100
( R.A.)
Condizione di realtà: x > 0
Pongo: log 2 x = y Ottengo: y − 2 =
y = −1 ⇒ log 2 x = − 1 ⇒ x =
3
, y 2 − 2 y − 3 = 0 , y = −1 , y = 3
y
1
, y = 3 ⇒ log 2 x = 3 ⇒ x = 8
2
Disequazioni logaritmiche
Sono disequazioni in cui l’incognita figura almeno una volta come argomento di un logaritmo.
Esempio di disequazione logaritmica: log2 x 2 − 5x − 8 log7 ( x + 1) > 5 log x
(
)
Per risolvere le disequazioni logaritmiche bisogna tenere presente:
1) le proprietà fondamentali delle disequazioni algebriche
2) le proprietà dei logaritmi ed anche che:
loga x = y
⇔
x = ay
3) che la funzione logaritmo loga x è strettamente crescente se a > 1 , strettamente
decrescente se
0 < a <1
4) che l’argomento di ogni logaritmo presente nella disequazione sia positivo (condizione di
realtà)
2log 5 ( x − 3) − log 5 ( 3 x − 1) <
1
2
log 5 (1 + x )
2
per
x > 3
Equazioni Esponenziali e Logaritmiche
Funzione Esponenziale e logaritmica
Per la realtà dei logaritmi deve essere:
x − 3 > 0
per x >


per x >
3x − 1 > 0

(1 + x )2 > 0 per x ≠

3
1
3
il
sistema è verificato
per
x>3
−1
Infine, ricordando che per x > 3 l’espressione 1 + x risulta positiva, per le note proprietà
dei logaritmi, la disequazione data può essere scritta come segue:
log5 ( x − 3) − log5 (3x − 1) < log5
2
(x
− 3)
< 1 + x;
3x − 1
2
x>3
⇒
(x
(1 + x )
2
,
(x
− 3)
< log5 (1 + x )
log5
3x − 1
2
− 3) < ( 3x − 1)(1 + x ) ; − 2 x 2 − 8 x + 10 < 0
2
x > 3
 2
 x + 4 x − 5 > 0 per x < − 5 ed x > 1
Ho trascurato il termine positivo 3 x − 1 in quanto risulta x > 3
x>3
Il sistema (e quindi anche la disequazione data) è verificato per
Disequazioni esponenziali
Una disequazione si dice esponenziale quando l’incognita figura come esponente di uno o più
termini 2 x
2
+1
− 5x
3
+2
> 8 ⋅ 7 x − 1 è un esempio di disequazione esponenziale. La risoluzione delle
disequazioni esponenziali presenta, in generale, notevoli difficoltà.
Per la risoluzione delle disequazioni esponenziali sono particolarmente utili le seguenti
considerazioni:
1) bisogna tenere presente le proprietà delle disequazioni algebriche
2) la funzione esponenziale a x , sempre positiva , è strettamente crescente se
a > 1 , strettamente
decrescente se
0 < a <1.
( a > 1 , a x2 > a x1 ) ⇔ x2 > x1 ) e quindi la disequazione esponenziale
si tramuta nella disequazione algebrica
f ( x ) > g( x ) .
( a > 1 , a x2 < a x1 ) ⇔ x2 < x1 ) e quindi la disequazione esponenziale
si tramuta nella disequazione algebrica
a > 1 , a f ( x) > a g( x)
a > 1 , a f ( x) < a g( x)
f ( x ) < g( x ) .
( 0 < a < 1 , a x2 > a x1 )
⇔
0 < a < 1 , a f ( x) > a g( x)
si tramuta nella disequazione algebrica
x2 < x1 ) e
quindi
la disequazione esponenziale
f ( x ) < g( x ) .
Equazioni Esponenziali e Logaritmiche
(0 < a < 1
,
a x2 < a x1 )
0 < a < 1 , a f ( x) < a g( x)
34 x − 1 − 81 > 0
⇔
si
per x >
2 − 2 < 0
x
tramuta nella disequazione algebrica
3 < x< 4
per
per − 3 < x < 0 , x > 0
Pongo :
+
+
O
_
_
+
_
O
x > 0
9
x
, 2 < 2x ,
8
> 17
2x
O
+
+
+
_
O
∞
per y <
3 < x< 4
x
9 - x2
x
9 - x2
x
O
(
)
52 x − 5x > 0 , 5x 5x − 1 > 0 5x > 0 ∀ x ∈R e quindi
per x < −1 , x > 3
2 y 2 − 17 y + 8 > 0
( 32 x = y 2 )
9 − x2
9
< 0
< x ,
x
x
_
5x − 1 > 0 , 5x > 1 , 5x > 50
2x + 1 +
3x = y
5
4
3
0
_
per
f ( x ) > g( x ) .
34 x − 1 > 34 , 4 x − 1 > 4 , x >
-3
25 x − 5 x > 0
e quindi la disequazione esponenziale
per 27 < y < 81 , 27 < 3x < 81 , 33 < 3x < 34 ,
y 2 − 108 y + 2187 < 0
9
x2 > x1 )
5
4
32 x − 108 ⋅ 3x + 2187 < 0
x
Funzione Esponenziale e logaritmica
x > 0
Pongo: y = 2 x > 0 ∀ x ∈ R Ottengo:
1
, y > 8 , 2 x < 2 −1 e 2 x > 23 e quindi: x < −1 , x > 3
2