Il teorema fondamentale dell'Algebra
Cominciamo col dimostrare che è suciente provare il teorema per i polinomi a coecienti reali.
Sia p(x) ∈ C[x] il polinomio del quale vogliamo trovare una radice e deniamo p(x) il polinomio i cui coecienti sono i coniugati dei coecienti di
p(x).
Osserviamo che se x0 è soluzione di p(x), allora x0 è soluzione di p(x) infatti
0 = 0 = p(x0 ) = p(x)
Inoltre abbiamo
che il polinomio p(x)p(x) ha coecienti reali, infatti se
Pn
i il coeciente del termine in xk nel polinomio p(x)p(x)
p(x) =
a
x
i
i=0
è
k
X
ai ak−i
i=0
che è uguale al suo coniugato (equivale a far correre l'indice di sommazione
da k a 1)
Se sappiamo che p(x)p(x) ha una radice, questa può essere radice di p(x),
e quindi p(x) ha una radice, oppure radice di p(x), nel qual caso x è una
radice di p(x).
Dimostreremo quindi il teorema per i polinomi a coecienti reali, ragionando
per induzione sulla massima potenza di 2 che divide il grado del polinomio.
Il passo base equivale a dimostrare che un polinomio di grado dispari a coecenti reali ha almeno una radice, questo si mostra con metodi analitici.
Dimostriamo inoltre che un polinomio di secondo grado a coecienti complessi ha due radici complesse,
infatti se p(x) = ax2 + bx + c si verica per
√
2
b −4ac
sono soluzioni.
sostituzione che x = −b± 2a
Prendiamo ora un polinomio p(x) a coecienti reali di grado n, consideriamone il campo di spezzamento, e siano a1 , a2 , · · · an le sue radici.
Per ogni reale c costruiamo il polinomio
Y
Qc =
(x − ai − aj − cai aj )
i<j
ed osserviamo che questo polinomio ha coecienti reali, infatti i suoi coefcienti sono una funzione simmetrica delle radici a1 , a2 , · · · an e quindi sono
ssati da tutti gli elementi del gruppo di Galois dell'estensione, e pertanto
appartengono al campo base che nel nostro caso è R
1
Il grado di Qc è pari al numero di coppie di radici, cioè a n(n+1)
, e la massima
2
potenza di 2 che divide questo numero è uno in meno della massima potenza di 2 che divide n; possiamo quindi, a c ssato, applicare su Qc l'ipotesi
induttiva.
Per ogni c, Qc ha una radice in C, vale a dire che esiste una coppia (al , am )
tale che al + am + cal am ∈ C. Assegnando a c più di n(n+1)
valori distinti,
2
possiamo sicuramente trovare una coppia (i, j) tale che
½
ai + aj + cai aj = k ∈ C
ai + aj + c0 ai aj = k 0 ∈ C
quindi
½
0
k−k
ai aj =
c−c0 ∈ C
ai + aj = k 0 − c0 ai aj ∈ C
Inne osserviamo che il polinomio di secondo grado a coecienti complessi
x2 −(ai +aj )x+ai aj ha come radici ai e aj e quindi, come abbiamo vericato
all'inizio, queste sono complesse, e sono radici del polinomio di grado n da
cui siamo partiti.
Il passo induttivo è dunque completo ed il teorema fondamentale dell'algebra
è dimostrato.¤
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