Statistica Inferenziale Riepilogo lezione 7
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Statistica Inferenziale Prof. Raffaella Folgieri Email: [email protected] aa 2009/2010 Prof.R.Folgieri,aa 2009-10-email [email protected] Riepilogo lezione 7 Abbiamo visto: z Definizione di stima puntuale z Criteri di valutazione degli stimatori z Stimatori non distorti z Stimatori consistenti z Concentrazione z Consistenza z Consistenza in media quadratica z Stimatore asintoticamente non distorto z Stimatori efficienti 1 Metodi per la determinazione di uno stimatore Prof.R.Folgieri,aa 2009-10-email [email protected] …continua alla slide successiva z Metodo analogico: stima per es. la media della popolazione con la media del campione o la proporzione nella popolazione con la proporzione nel campione). Per la varianza della popolazione lo stimatore analogico è che è distorto, per questo abbiamo introdotto lo stimatore che invece è non distorto Prof.R.Folgieri,aa 2009-10-email [email protected] Metodi per la determinazione di uno stimatore z Metodo della massima verosimiglianza z Metodo dei momenti z Metodo dei minimi quadrati: si usa per stimare i parametri della retta di regressione z Metodo Bayesiano: tiene conto dell'opinione iniziale oltre che dei dati campionari … vediamo alcuni metodi di stima attraverso esempi… 2 Stima di massima verosimiglianza Prof.R.Folgieri,aa 2009-10-email [email protected] …continua alla slide successiva z Funzione di verosimiglianza: sia (x1, x2,…, xn) un campione osservato proveniente da una popolazione descritta dal modello f(x,θ). La funzione di verosimiglianza è la probabilità (densità) di (x1, x2,…, xn) interpretata come funzione del parametro θ (chiamiamo L questa funzione) nel caso di un campione casuale Prof.R.Folgieri,aa 2009-10-email [email protected] Stima di massima verosimiglianza z La funzione di verosimiglianza consente di ordinare i diversi valori di θ secondo il "grado di verosimiglianza“ che ricevono dai dati campionari. La stima di massima verosimiglianza consiste nel proporre come stima di θ (se esiste) il valore "più verosimile”, ossia il valore di θ ∈θ che rende massima la funzione di verosimiglianza L(θ, x1,…,xn). 3 Prof.R.Folgieri,aa 2009-10-email [email protected] Stima di massima verosimiglianza e stimatore di massima verosimiglianza campione casuale Caso Bernoulliana Prof.R.Folgieri,aa 2009-10-email [email protected] …continua alla slide successiva z In generale per un campione X1,…,Xn casuale estratto da una popolazione Bernoulliana, la funzione di verosimiglianza è e risolvendo per p otteniamo la derivata seconda risulta sempre negativa quindi si può concludere che questo valore è effettivamente un massimo ed è quindi lo stimatore di massima verosimiglianza 4 Prof.R.Folgieri,aa 2009-10-email [email protected] Esempio z z z Sia X1 = 0, X2 = 0, X3 = 0 un campione casuale estratto da una popolazione Bernoulliana con probabilita di successo incognita p. Qual è la stima più verosimile di p? p=0 Se invece il campione fosse stato X1 = 1, X2 = 1, X3 = 1, la stima piu verosimile di p sarebbe: p=1 Se invece il campione fosse stato X1 = 1, X2 = 0, X3 = 1, quale e la stima piu verosimile di p? la stima di massima verosimiglianza Prof.R.Folgieri,aa 2009-10-email [email protected] Proprietà dello stimatore di massima verosimiglianza z Proprieta di invarianza: se θ e lo stimatore di massima verosimiglianza di θ, allora g(θ) (funzione di massima verosimiglianza) è lo stimatore di massima verosimiglianza di g(θ). z Sotto certe condizioni di regolarità, lo stimatore di massima verosimiglianza è: – consistente; – asintoticamente efficiente; e non distorto – ha distribuzione limite normale, Lo stimatore di Max Vero non è necessariamente unico z 5 Prof.R.Folgieri,aa 2009-10-email [email protected] Nota bene z z z Lo stimatore di massima verosimiglianza non è necessariamente non distorto ma è asintoticamente non distorto Se devo stimare 2 (o più parametri) come nel caso di popolazione normale (μ e σ) faccio la derivata della funzione di verosimiglianza rispetto a ciascuno dei parametri ed uguaglio a zero. Ricavo così un sistema con 2 equazioni in 2 incognite (i 2 parametri) Per popolazioni normali lo stimatore di massima verosimiglianza della media è la media campionaria (non distorto) mentre lo stimatore di massima verosimiglianza per la varianza è che risulta distorto ma asintoticamente non distorto Prof.R.Folgieri,aa 2009-10-email [email protected] Riepilogo Abbiamo visto: z Metodi per la determinazione di uno stimatore z Metodo di massima verosimiglianza z Caso Bernoulliana z Proprietà dello stimatore di massima verosimiglianza 6
