Statistica Inferenziale
Prof. Raffaella Folgieri
Email:
[email protected]
aa 2009/2010
Prof.R.Folgieri,aa 2009-10-email [email protected]
Riepilogo lezione 7
Abbiamo visto:
z Definizione di stima puntuale
z Criteri di valutazione degli stimatori
z Stimatori non distorti
z Stimatori consistenti
z Concentrazione
z Consistenza
z Consistenza in media quadratica
z Stimatore asintoticamente non distorto
z Stimatori efficienti
1
Metodi per la determinazione di uno
stimatore
Prof.R.Folgieri,aa 2009-10-email [email protected]
…continua alla slide successiva
z
Metodo analogico: stima per es. la media della
popolazione con la media del campione o la proporzione
nella popolazione con la proporzione nel campione). Per
la varianza della popolazione lo stimatore analogico è
che è distorto, per questo abbiamo introdotto lo stimatore
che invece è non distorto
Prof.R.Folgieri,aa 2009-10-email [email protected]
Metodi per la determinazione di uno
stimatore
z
Metodo della massima verosimiglianza
z
Metodo dei momenti
z
Metodo dei minimi quadrati: si usa per stimare i
parametri della retta di regressione
z
Metodo Bayesiano: tiene conto dell'opinione iniziale
oltre che dei dati campionari
… vediamo alcuni metodi di stima attraverso esempi…
2
Stima di massima verosimiglianza
Prof.R.Folgieri,aa 2009-10-email [email protected]
…continua alla slide successiva
z
Funzione di verosimiglianza: sia (x1, x2,…, xn) un
campione osservato proveniente da una popolazione
descritta dal modello f(x,θ). La funzione di
verosimiglianza è la probabilità (densità) di (x1, x2,…, xn)
interpretata come funzione del parametro θ (chiamiamo L
questa funzione) nel caso di un campione casuale
Prof.R.Folgieri,aa 2009-10-email [email protected]
Stima di massima verosimiglianza
z
La funzione di verosimiglianza consente di ordinare i
diversi valori di θ secondo il "grado di verosimiglianza“
che ricevono dai dati campionari. La stima di massima
verosimiglianza consiste nel proporre come stima di θ
(se esiste) il valore "più verosimile”, ossia il valore di
θ ∈θ che rende massima la funzione di verosimiglianza
L(θ, x1,…,xn).
3
Prof.R.Folgieri,aa 2009-10-email [email protected]
Stima di massima verosimiglianza e
stimatore di massima verosimiglianza
campione casuale
Caso Bernoulliana
Prof.R.Folgieri,aa 2009-10-email [email protected]
…continua alla slide successiva
z
In generale per un campione X1,…,Xn casuale estratto da una
popolazione Bernoulliana, la funzione di verosimiglianza è
e risolvendo per p otteniamo
la derivata seconda risulta sempre negativa quindi si può
concludere che questo valore è effettivamente un massimo ed è
quindi lo stimatore di massima verosimiglianza
4
Prof.R.Folgieri,aa 2009-10-email [email protected]
Esempio
z
z
z
Sia X1 = 0, X2 = 0, X3 = 0 un campione casuale estratto
da una popolazione Bernoulliana con probabilita di
successo incognita p. Qual è la stima più verosimile di p?
p=0
Se invece il campione fosse stato X1 = 1, X2 = 1, X3 = 1,
la stima piu verosimile di p sarebbe:
p=1
Se invece il campione fosse stato X1 = 1, X2 = 0, X3 = 1,
quale e la stima piu verosimile di p?
la stima di massima verosimiglianza
Prof.R.Folgieri,aa 2009-10-email [email protected]
Proprietà dello stimatore di massima
verosimiglianza
z
Proprieta di invarianza: se θ e lo stimatore di massima
verosimiglianza di θ, allora g(θ) (funzione di massima
verosimiglianza) è lo stimatore di massima verosimiglianza di
g(θ).
z
Sotto certe condizioni di regolarità, lo stimatore di massima
verosimiglianza è:
– consistente;
– asintoticamente efficiente; e non distorto
– ha distribuzione limite normale,
Lo stimatore di Max Vero non è necessariamente unico
z
5
Prof.R.Folgieri,aa 2009-10-email [email protected]
Nota bene
z
z
z
Lo stimatore di massima verosimiglianza non è
necessariamente non distorto ma è asintoticamente non
distorto
Se devo stimare 2 (o più parametri) come nel caso di
popolazione normale (μ e σ) faccio la derivata della funzione
di verosimiglianza rispetto a ciascuno dei parametri ed
uguaglio a zero. Ricavo così un sistema con 2 equazioni in 2
incognite (i 2 parametri)
Per popolazioni normali lo stimatore di massima
verosimiglianza della media è la media campionaria (non
distorto) mentre lo stimatore di massima verosimiglianza per
la varianza è
che risulta distorto ma asintoticamente non distorto
Prof.R.Folgieri,aa 2009-10-email [email protected]
Riepilogo
Abbiamo visto:
z Metodi per la determinazione di uno stimatore
z Metodo di massima verosimiglianza
z Caso Bernoulliana
z Proprietà dello stimatore di massima verosimiglianza
6
