CALCOLO II

CALCOLO II
Dott.ssa Fiammetta Conforto
Cenni di topologia in R2. Distanza e norma. Intorni sferici aperti e chiusi.
Punti interni, esterni e di frontiera. Punti isolati e punti di accumulazione.
Insiemi aperti e chiusi. Insiemi compatti e connessi. Insiemi limitati. (2 ore)
Funzioni da R2 in R3. Campi scalari e vettoriali. Dominio, immagine e
grafico di un campo scalare. Limiti e continuità di campi scalari e vettoriali.
Proprietà delle funzioni continue. Derivate parziali di campi scalari e
vettoriali. Derivabilità e continuità. Gradiente di un campo scalare. Linee di
flusso e superfici di livello. Derivate direzionali di un campo scalare.
Differenziale totale del primo ordine di un campo scalare. Differenziabilità e
continuità. Differenziabilità e derivabilità. Piano tangente. Condizione
sufficiente per la differenziabilità. Derivate parziali di ordine superiore.
Matrice hessiana. Teorema di Schwarz. Differenziali di ordine superiore.
Derivate e differenziali di un campo vettoriale. Matrice jacobiana. Funzioni
composte. Derivazione delle funzioni composte. Formula di Taylor per un
campo scalare. Funzioni scalari a gradiente nullo. Massimi e minimi relativi.
Derivabilità e punti di massimo e minimo relativo. (14 ore)
Curve in R2. Curva e sostegno di una curva. Curve regolari, regolari a
tratti, semplici, chiuse. Curve equivalenti. Rappresentazione parametrica di
una curva. Curve orientate. Versore tangente. Lunghezza di una curva
regolare o regolare a tratti. Ascissa curvilinea. Integrali curvilinei di 1a
specie. Proprietà degli integrali curvilinei di 1a specie. Baricentro di una
curva. (6 ore)
Forme differenziali lineari. Forme differenziali lineari in n variabili.
Integrali curvilinei di forme differenziali e proprietà. Forme differenziali
esatte. Primitiva di una forma differenziale esatta. Forme differenziali
chiuse. Insiemi stellati, semplicemente connessi. Relazione tra forme
differenziali esatte e chiuse. (4 ore)
Funzioni implicite. Funzioni definite implicitamente. Teoremi del Dini.
Massimi e minimi vincolati di un campo scalare. Metodi dei moltiplicatori di
Lagrange. Massimi e minimi assoluti di un campo scalare. (2 ore)
Integrali doppi e tripli. Domini normali di R2. Integrali doppi. Significato
geometrico dell’integrale doppio. Area di un dominio normale di R2. Formule
di riduzione di un integrale doppio. Cambiamento di variabili negli integrali
doppi. Coordinate polari. Domini regolari. Formule di Gauss-Green, teorema
della divergenza e formula di Stokes in R2. Area di un dominio regolare di
R2. Domini normali di R3. Integrali tripli. Significato geometrico dell’integrale
triplo. Volume di un dominio normale di R3. Formule di riduzione di un
integrale triplo. Cambiamento di variabili negli integrali tripli. Coordinate
sferiche. Coordinate cilindriche. Baricentri di domini normali di R2 e di R3. (6
ore)
Superfici in R3. Superficie e sostegno di una superficie. Superfici regolari e
regolari a tratti. Superfici equivalenti. Rappresentazione parametrica di una
superficie. Versore normale. Superfici orientate. Area di una superficie
regolare o regolare a tratti. Integrali superficiali di funzioni di tre variabili.
Proprietà degli integrali superficiali. Baricentro di una superficie. Teorema
della divergenza e formula di Stokes in R3. (3 ore)
Equazioni differenziali ordinarie. Equazioni differenziali ordinarie di
ordine n. Forma normale. Integrali generali, integrali particolari ed integrali
singolari. Problema di Cauchy. Integrazione di alcuni tipi di equazioni
differenziali ordinarie del primo ordine in forma normale: a variabili
 ax + by + c 

y ′ = f 
′
′
′
a
x
+
b
y
+
c
′
(
)
y
=
f
ax
+
by

,
separabili, del tipo
, omogenee, del tipo
esatte, fattore integrante, lineari, di Bernoulli. Equazioni differenziali lineari
di ordine n a coefficienti costanti. (8 ore)
Modalità di verifica dell'apprendimento: La verifica dell'apprendimento prevede
una gestione interattiva del corso, con almeno tre prove di verifica in itinere
che, se valutate positivamente, saranno considerate ai fini della valutazione
conclusiva. I CFU verranno acquisiti dallo studente con il superamento di una
prova scritta e di un esame orale.
Testi consigliati
N. Fusco, P. Marcellini, C. Sbordone, Analisi matematica due, Liguori
Editore, Napoli.
C.D. Pagani, S. Salsa, Analisi matematica, volume 2, Masson, Milano.
E. Giusti, Analisi matematica 2, Bollati Boringhieri, Torino.
T.M. Apostol, Calcolo, volume terzo, Analisi 2, Boringhieri, Torino.
P. Marcellini, C. Sbordone, Esercitazioni di matematica, 2° volume,
parte I e II, Liguori Editore, Napoli.
S. Salsa, A. Squellati, Esercizi di analisi matematica 2, parte I e II,
Masson, Milano.
E. Giusti, Esercizi e complementi di analisi matematica, 2° volume,
Bollati Boringhieri, Torino.
Appunti del corso.