Problemi

Incontri Olimpici: Geometria
Andrea Marino, Guido Maria Lido
Udine, 20 ottobre 2015
Esercizio 1. Sia ABCD un quadrilatero tale che AB = BC = CD e AD =
AC = BD. Trovare l’angolo ∠ACD.
Esercizio 2. Dato un triangolo ABC con incentro I, excentro (opposto ad A)
IA , dimostrare che I, B, C, IA sono conciclici e che il centro di tale circonferenza
è il punto medio dell’arco BC (sulla circonferenza circoscritta ad ABC).
Esercizio 3 (Miquel, 1838). Sia ABC un triangolo, e siano D, E, F punti
rispettivamente sui lati BC, CA, AB. Siano ΩA , ΩB , ΩC rispettivamente le circonferenze circoscritte a AEF, BF D, CDE. Dimostrare che le tre circonferenze
concorrono (nel cosiddetto ’punto di Miquel’ relativo a D, E, F ).
Esercizio 4. Sia ABCD un quadrilatero con ∠ABD = 18o , ∠ACB = 54o ,
∠ACD = 36o , ∠ADB = 27o . Sia P il punto di intersezione delle diagonali AC
e BD. Calcolare l’ampiezza di ∠AP B.
Esercizio 5. Siano Γ1 , Γ2 due circonferenze tangenti internamente nel punto A.
Siano inoltre C, B due punti di Γ1 (quella grande) tali che la corda BC tange Γ2
nel punto D. Dimostrare che A, D e il punto medio dell’arco BC sono allineati.
Esercizio 6. Siano ABCD, DEF G due quadrati che si intersecano solo in D
(le lettere sono assegnate ai vertici dei due quadrati in senso antiorario). Sia M
il punto medio di CE. Dimostrare che DM ⊥ AG.
Esercizio 7 (IMO 1959 - 5). Dato un punto M interno al segmento AB, si
costruiscano i quadrati AM CD, M BEF dalla stessa parte rispetto alla retta
AB. Sia inoltre N il punto di intersezione delle circonferenze circoscritte ai due
quadrati diverso da M . Dimostrare che:
• AF e BC si intersecano in N ;
• al variare di M , le rette M N passano tutte per uno stesso punto S.
Esercizio 8. Sia Γ una circonferenza di centro O e P un punto esterno ad essa.
Siano A, B le intersezioni di P O con Γ (A dalla parte di P ). Siano C, D due
punti su Γ allineati con P (C dalla parte di P ). Sia N = AD ∩ BC e P 0 la sua
proiezione su P O. Dimostrare che P, P 0 sono inversi rispetto a Γ.
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