Incontri Olimpici: Geometria Andrea Marino, Guido Maria Lido Udine, 20 ottobre 2015 Esercizio 1. Sia ABCD un quadrilatero tale che AB = BC = CD e AD = AC = BD. Trovare l’angolo ∠ACD. Esercizio 2. Dato un triangolo ABC con incentro I, excentro (opposto ad A) IA , dimostrare che I, B, C, IA sono conciclici e che il centro di tale circonferenza è il punto medio dell’arco BC (sulla circonferenza circoscritta ad ABC). Esercizio 3 (Miquel, 1838). Sia ABC un triangolo, e siano D, E, F punti rispettivamente sui lati BC, CA, AB. Siano ΩA , ΩB , ΩC rispettivamente le circonferenze circoscritte a AEF, BF D, CDE. Dimostrare che le tre circonferenze concorrono (nel cosiddetto ’punto di Miquel’ relativo a D, E, F ). Esercizio 4. Sia ABCD un quadrilatero con ∠ABD = 18o , ∠ACB = 54o , ∠ACD = 36o , ∠ADB = 27o . Sia P il punto di intersezione delle diagonali AC e BD. Calcolare l’ampiezza di ∠AP B. Esercizio 5. Siano Γ1 , Γ2 due circonferenze tangenti internamente nel punto A. Siano inoltre C, B due punti di Γ1 (quella grande) tali che la corda BC tange Γ2 nel punto D. Dimostrare che A, D e il punto medio dell’arco BC sono allineati. Esercizio 6. Siano ABCD, DEF G due quadrati che si intersecano solo in D (le lettere sono assegnate ai vertici dei due quadrati in senso antiorario). Sia M il punto medio di CE. Dimostrare che DM ⊥ AG. Esercizio 7 (IMO 1959 - 5). Dato un punto M interno al segmento AB, si costruiscano i quadrati AM CD, M BEF dalla stessa parte rispetto alla retta AB. Sia inoltre N il punto di intersezione delle circonferenze circoscritte ai due quadrati diverso da M . Dimostrare che: • AF e BC si intersecano in N ; • al variare di M , le rette M N passano tutte per uno stesso punto S. Esercizio 8. Sia Γ una circonferenza di centro O e P un punto esterno ad essa. Siano A, B le intersezioni di P O con Γ (A dalla parte di P ). Siano C, D due punti su Γ allineati con P (C dalla parte di P ). Sia N = AD ∩ BC e P 0 la sua proiezione su P O. Dimostrare che P, P 0 sono inversi rispetto a Γ. 1