Incontri Olimpici 2016
Geometria
Camilla Casamento Tumeo
Vittoria Ricciuti
Andrea Martin
Cetraro, 12 ottobre 2016
Esercizio 1. Data una stella a cinque punte di vertici A, B, C, D, E, è noto che
l’angolo in E misura 12 gradi. Sapendo che gli angoli in A, B, C, D sono uguali,
si determini la loro misura.
d = 75◦ e ACB
d = 53◦ . Detta ω la
Esercizio 2. Sia ABC un triangolo con BAC
circoscritta ad ABC siano E ∈ ω il punto medio dell’arco AB non contenente C,
d
e D ∈ ω il punto medio dell’arco AC contenente B. Quanto vale l’angolo BED?
Esercizio 3. Sia ABCD un quadrilatero; chiamiamo E l’intersezione tra le
circonferenze di diametri AB e AC, e F l’intersezione tra le circonferenze di
d = 90◦ , allora BC è parallelo a
diametri AC e AD. Dimostrare che se EAD
d = Fd
AD. Inoltre EAD
AB = 90◦ se e solo se ABCD è un parallelogramma.
Esercizio 4. Sia γ una circonferenza, A e B due punti non diametralmente
opposti su questa e C un punto sul minore dei due archi AB. Siano D, E, F
rispettivamente i piedi delle perpendicolari da C alla retta AB e alle tangenti a
γ passanti per A e per B. Si provi che CD2 = CE · CF .
Esercizio 5. Sia ABCD un trapezio con AB parallelo a CD, AB > CD e
d + ABC
d = 90◦ . Si dimostri che la distanza tra il punto medio di AB e il
DAB
punto medio di DC è pari alla semidifferenza delle basi.
Esercizio 6. Date nel piano due rette parallele r ed s e due punti P e Q con
P ∈ r e Q ∈ s, si considerino coppie di circonferenze, di cui la prima tangente
a r in P e la seconda tangente a s in Q, che siano anche tangenti esternamente
tra loro in un punto che chiamiamo T . Determinare il luogo di tali punti T al
variare di tutte le possibili coppie di circonferenze.
Esercizio 7. Sia ABCD un quadrilatero. Sia F il punto in cui la parallela
ad AB passante per D incontra AC, sia E il punto in cui la parallela a DC
passante per A incontra BD. Si mostri che EF è parallela a BC.
Esercizio 8. Sia ABCD un trapezio inscritto in una circonferenza ω, tale che
AB è diametro di tale circonferenza. Sia E il punto di incontro delle diagonali
AC e BD. Sia γ la circonferenza di centro B e raggio BE. γ e ω si incontrano
in K e L (K dalla parte di C rispetto alla retta AB). Sia r la retta passante
per E perpendicolare a BD: r interseca CD in M . Si mostri che LM = LC.
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