• Tavole di sopravvivenza: Lx, distinte per sesso (ωm,f = età estrema

 Tavole di sopravvivenza: Lx, distinte per sesso (ωm,f = età estrema)
#
Lx , #
x 0
m ,f
 Tavole di eliminazione: dx
# 1
d x ,#  L x ,#  L x 1,#
x 0
 Probabilità di sopravvivenza: px
#  1
px ,# 
x 0
L x 1,#
L x ,#
 Probabilità di eliminazione: qx
# 1
qx ,# 
x 0
d x ,#

L x ,#
L x ,#  L x 1,#
L x ,#
 1
L x 1,#
L x ,#
 1  px ,#
 Probabilità di (n) sopravvivenza: npx
# 1 #  x
n
px ,# 
x  0 n 1
L x  n ,#
L x ,#
( 1 px ,#  px ,# )
 Probabilità di (n) eliminazione: /nqx, w/nqx, w/qx,
# 1 #  x
/n
qx ,# 
x  0 n 1
# 1 #  x #  x  n
w/n
x  0 n 1
L x ,#  L x  n ,#
L x ,#
 1
qx ,#  w px ,#  / n qx w ,# 
w 0
# 1 #  x 1
w/
x 0
w 0
qx ,#  w px ,#  qx w ,# 
L x n ,#
L x ,#
 1  n px ,#
( /1 qx ,#  qx ,# )
L x w ,# L x w ,#  L x w n ,# L x w ,#  L x w n ,#


L x ,#
L x w ,#
L x ,#
L x w ,#  L x w 1,#
L x ,#
( 0 / 1 qx ,#  qx ,# )
1
 Vite medie: ex,
# 1
ex ,# 
x 0
1 1

2 L x ,#
#  x
L
n 1
x  n ,#

1 #  x
  n p x ,#
2 n1
 Vite totali: x+ex,
# 1
#  x
1 #  x
L

x

  n p x ,#

x  n ,#
2 n 1
n 1
1 1
êx ,#  x  ex ,#  x  
2 L x ,#
x 0
 Simboli di commutazione: Dx
#
D x ,#  L x ,#  v x
x 0
 Simboli di commutazione (capitale differito): nEx
# 1 #  x
n
E x ,# 
D x  n ,#
x  0 n 1
D x ,#
L x  n ,#  v x  n

L x ,#  v
x
 n p x ,#  v n
 Simboli di commutazione: Nx
# 1
x 0
N x ,# 
#  x
D
n 1
x  n ,#
 Simboli di commutazione (rendita vitalizia): ax
#  x
#
x 0
#  x
a x ,#   n E x ,# 
n 1
D
n 1
x  n ,#
D x ,#

N x ,#
D x ,#
2
Esercizio
Un soggetto (maschio) di anni 58 decide di versare annualmente e posticipatamente
€ 10000 per 12 anni al fine di ottenere, alla conclusione dei versamenti, una rendita
pensionistica nelle seguenti due ipotesi:

rendita annuale posticipata (certa) per un periodo di tempo pari al doppio di
quello di versamento (24 anni),

rendita vitalizia posticipata (aleatoria).
Supponendo che il tasso di interesse effettivo annuo utilizzato sia il del 5%, si chiede:

la rata della rendita certa e l’andamento del montante contributivo.

la rata della rendita aleatoria e l’andamento del montante contributivo, tenendo
ovviamente conto delle probabilità di erogazione delle singole rate.
Essendo chiaro che in entrambi i casi, il processo dovrà terminare con l’azzeramento
finale del montante contributivo, si chiedono i grafici comparativi delle rate pagate e
riscosse dal soggetto e i grafici dell’andamento dei montanti contributivi.

Rendita pensionistica certa: importo della pensione
s12 0.05
R 10000 

a24 0.05
10000 
15.917127
10000 1.153528 11535.28
13.798642
Rendita pensionistica certa: montante contributivo
12
M0  0 ,
24
Mt  Mt 1 1.05 10000 ,
t 1

Rendita pensionistica aleatoria: importo della pensione
R 10000 

Mt  Mt 1 1.05 11535.28
t 13
s12 0.05
a70 ;0.05
10000 
15.917127
10000 1.713801 17138.01
9.287614
Rendita pensionistica aleatoria: montante contributivo
70
M58  0 ,
110
M x  M x 1 1.05 10000 ,
x 59
M x  M x 1 1.05 17138.01  x 70 p70
x 71
3