Quarto foglio di esercizi

Quarto foglio di esercizi
Simone Secchi
25 ottobre 2004
Avvertenza: alcuni dei seguenti esercizi sono stati tratti assegnati come
prove scritte, eventualmente intermedie, in corsi di Analisi Matematica presso
diverse sedi universitarie. Invitiamo lo studente a risolverli con cura.
(1) Calcolare, se esistono, i seguenti limiti
x2 − 2x
; lim ex (cos x − 2 sin x)
x→0 2x3 + x4
x→0
√
√ 1 − cos x
lim (1+ex ) sin x;
lim
x + 1 − x ; lim
;
x→−∞
x→+∞
x→0 sin2 x
√
sin x
x+3 x
x2 + sin ex
√ ; lim
√ ;
lim
.
lim
x→−∞ x +
x→0 2x − 5 x
x→−∞
2x
3x
x2 − 2x
;
x→+∞ 2x2 + 1
lim
lim
ex − 1
x→0 log(x + 1)
lim
(2) Dire se la funzione

2

1 − x + x
f (x) = 2


1 + cos x
se x > 0
se x = 0
se x < 0
ha limite per x → 0+ , per x → 0− , per x → 0. Dite poi in quali punti di R
la funzione f è continua.
(3) Calcolare, se esistono, i seguenti limiti
2
2 sin(x − 1) ex −1 − 1
1. lim
x→1
x2 − 1
x−1
1 − cos(x + 1) 3(x − 1)
x→−1
x+1
ex2 −1 − 1
2. lim
1
log(1 + xa )
, dove a, b ∈ R con a 6= b.
x→+∞ ea/x − eb/x
3. lim
x(2x − 3x )
x→0 1 − cos 3x
4. lim
7x − 2x
√
x→0+ sin (sin sin x)2
5. lim
sin x − 1
.
x→π/2 (x − π/2)2
6. lim
7. lim (sin x)x .
x→0+
x
8. lim (1 + e−x )e
x→+∞
9. lim
√
x→0
log cos x (attenzione!)
log(ex + e) − cos x
.
x→0
sin x
10. lim
log(1 + 2x)
x→0
sin 3x
11. lim
(4) Detta f : R → R la funzione definita da

2x + 2



0
f (x) =

log x



(x − 1)−1
se
se
se
se
x<0
x=0
0<x≤1
x > 1,
calcolarne i limiti per x che tende a −∞, 0− , 0+ , 1− , 1+ , e +∞.
(5) Calcolare i seguenti limiti di funzioni.
lim
x→x0
sin x − sin a
,
x→a
x−a
lim
x2 + 3
tan 3x
x−1
, lim
, lim
x→±∞
x→0 sin 2x
x→1 sin πx
x
√
1
1
lim log sin − log
,
lim
x4 − x2 − x2
x→+∞
x→±∞
x
x
x+3
,
x
lim (sin x)1/(cos x−1) ,
x→0+
lim
lim (tan x)1/(π−x) ,
x→π+
2
lim (x3 − x2 )1/3 − x
x→±∞
cotan πx
lim (1 + sin πx)
x→1
,
lim
x→+∞
3 + xa
2+x
x
, a∈R
x
1
(1 + x2 )1/3 − (1 − 2x)1/4
lim 1 + 2 sin
, lim
x→+∞
x→0
x
x + x2
√
√ sin x − log cos x
lim cos x + 1 − cos x , lim
x→+∞
x→0
x sin x
2
1 − cos(1 − cos x)
arccos(1 − x)
e−1/x
√
lim
,
lim
,
lim
x→0
x→0
x→0
x4
x
x
√
√
k
1
1 + z sin z − cos 2z
lim
(k ∈ Z)
,
lim 1 + k
z→0
x→+∞
tan2 z2
x
q
√
√
2
4
lim x
x + 1 + x − |x| 2 ,
lim (x − |x|)(x + |x|)ex .
x→±∞
(x − 1)2
lim 3(x−1)2
,
x→1 e
−1
x→±∞
lim
√
x→+∞
3
x3
+
2x2
+1−x ,
lim
x→+∞
x2 + 3
x2 + 2
x
.
(6) Dire se esiste, finito o infinito, il limite
x
.
x→0 sin 1
x
lim
(7) Dire se esistono finiti i limiti
f (x)
x→−∞ x
q = lim (f (x) − mx)
m =
lim
x→−∞
dove f (x) = 2x + ex + e1/x .1
(8) Ricordiamo il significato della seguente notazione: si dice che f ∼ g per
(x)
x → x0 se limx→x0 fg(x)
= 1 Lo studente dica se le seguenti affermazioni sono
vere oppure fase, motivando esaurientemente le risposte.
∼ x1 per x → +∞
2. tan √1x ∼ √1x per x → +∞
1.
sin x
x
1
Se esistono finiti m e q, impareremo che la retta di equazione y = mx + q si chiama
asintoto obliquo per il grafico di f a −∞.
3
3.
sin xα
sin xβ
4.
xα +sin x
xβ −cos x
∼ xα−β per x → 0+ . Qui α, β > 0.
∼ xα−β per x → +∞. Qui α, β > 0.
(9) Questo esercizio vuole essere una prima introduzione alle funzioni iperboliche e alle loro proprietà asintotiche. Definiamo le funzioni2
ex − e−x
2
ex + e−x
cosh x =
2
ex − e−x
tanh x = x
e + e−x
sinh x =
(1)
(2)
(3)
La funzione in (1) prende il nome di seno iperbolico, quella in (2) di coseno
iperbolico, e infine quella in (3) di tangente iperbolica. Usando solo le
definizioni (1), (2) e (3), dimostrare che
lim sinh x = −∞
lim sinh x = +∞,
x→+∞
x→−∞
lim cosh x = +∞,
lim cosh x = +∞
x→+∞
lim tanh x = 1,
x→+∞
x→−∞
lim tanh x = −1.
x→−∞
(10) Sia f : (−∞, 2) ∪ (3, +∞) → R la funzione definita dalla formula
√
f (x) = e−|x| x2 − 5x + 6.
Calcolare i limiti di f agli estremi del dominio di definizione. Stessa domanda
per la funzione g : (−∞, 2) ∪ (3, +∞) → R definita da

e−x


√
(−2x2 + 12x − 17) , x ∈ [0, 2) ∪ (3, +∞)


2
 2 x − 5x + 6
g(x) =

−x


 √ e

(2x2 − 3x + 1) ,
x ∈ (−∞, 0)
2 x2 − 5x + 6
2
Alcuni Autori usano nomi leggermente diversi. Ad esempio Sh e Ch.
4