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ISTITUZIONI DI MATEMATICA per SFP, a.a.2012/13
Docente: PAOLA SUPINO
DIARIO DELLE LEZIONI
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sesta settimana 11, 12 dic 2012, 4 h
Riprendiamo la costruzione dell’insieme dei numeri interi come classi di equivalenza di coppie ordinate di numeri naturali. Una occhiata alla catena di insiemi di numeri: a partire dall’insieme
dei numeri naturali, ogni estensione di un insieme di numeri risponde ad un quesito non risolubile
nell’insieme precedente. Strutture algebriche: gruppo, anello, dominio. Definizione di valore assoluto di un numero intero. L’aritmetica dell’orologio: altri insiemi di numeri sono possibili. La
divisione euclidea e le classi resto modulo n, con le operazioni di somma e prodotto ereditate da
Z.
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settimana settimana 18, 19 dic 2012, 4 h - previsionale
Sar ospite il prof. Carlo Madonna, Universidad Autonoma de Madrid.
La divisione euclidea: teorema di esistenza e uniciotá, con dimostrazione. Massimo comun divisopre
e minimo comune multiplo. L’algoritmo di Euclide per ricavare il MCD. Esmepi ed esercizi sulle
classi resto modulo n. Numeri primi.
2.1
NOTE
I)
Definizione di operazioni binarie (somma e la moltiplicazione) sugli interi come classi di equivalenza
richiede di verificare che esse sono ben definite: al cambiare del rappresentante all’interno della
classe di equivalenza degli addendi per la somma, dei fattori per il prodotto, la classe di equivalenza
del risultato non cambia.
L’insieme dei numeri interi un insieme ordinato con la relazione ≤ (che risulta essere ben definita
rispetto alle classi di equivalenza), ma non totalmente ordinato (non é vero che ogni sottoinsieme
ammette un minimo).
II)
L’insieme dei numeri Naturali si immerge dentro l’insieme dei numeri interi con una funzione iniettiva f , che associa al numero naturale n la classe della coppia (n, 0), inoltre, la definizione di
somma e prodotto negli interi é coerente con quella sui naturali (questo vuol dire che se opero sui
naturali e poi applico f ottengo lo stesso rusultato che trovo prima applicando f e poi operando
sulle classi di equivalenza in Z).
III) Didattica:
importanza delle proprietá delle operazioni nella pratica didattica e nel calcolo orale. Un errore
diffuso: la proprietá dissociativa. Imparare a calcolare coi numeri negativi in una quarta primaria:
la linea dei numeri si estende coi numeri negativi: non solo le temperature, ma la linea del tempo.
Quanti anni fa ha regnato l’ultimo re degli Assiri Assurbanipal (668-631 a.C)? Se voglio distribuire
un certo numero di caramelle, una ciascuno ai miei amici, e ho meno caramelle che amici, quante
ne dovró andare ad acquistare per accontentare tutti?
IV)
La relazione ”‘essere multiplo”’ é una relazione di ordine, non totale.
V)
La divisione euclidea tra numeri naturali e tra numeri interi: dalla distribuzione equa di a caramelle
a b bambini, con resto, alla espressione formale a = bq + r, valida anche per ”‘un numero negativo
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di bambini”’. Attenzione: b non puó essere nullo, perché?
VI) Gruppi e Anelli
Ricordando la generale regola di buon senso che vuole che ogni cosa degna di essere ricordata
debba avere un suo proprio nome, l’essenza delle operazioni somma e prodotto definite sull’insieme
dei numeri interi e delle loro proprietá viene ”‘isolata”’ dai matematici e astrattamente codificata
all’interno di una definizione formale di ”‘struttura algebrica”’, pronta ad essere riutilizzata su
oggetti apparentemente diversi dagli insiemi di numeri, ma che per certi versi si comportano come
tali. Vedremo ad esempio che l’insieme delle traslazioni del piano, o delle rotazioni del piano attorno a un punto fisso ha una sua operazione interna di ”‘somma”’: due movimenti si possono
”‘sommare”’ facendo agire prima uno poi l’altro, esattamente come l’insieme dei numeri. Analogamente l’insieme delle simmetrie di una figura piana, o solida, assomiglia ai numeri interi, dotati
della loro operazione di somma.
Un gruppo un insieme X munito di una operazione binaria (ovvero: due dati in imput, uno
in output) +, che ha le stesse proprietá della somma per i numeri interi, cioé:
1. + é associativa: dati a, b, c in X, si ha (a + b) + c = a + (b + c).
2. esistenza dell’elemento neutro: esiste in X un elemento neutro e (lo zero in Z) rispetto
all’operazione +, cio tale che a + e = e + a = a per ogni a appartenente a X (lo zero per gli
interi).
3. esistenza dell’inverso: ad ogni elemento a di X associato un elemento b, detto inverso di a ,
tale che a + b = b + a = e.
Si noti che i naturali non sono un gruppo con l’operazione di somma (né di prodotto), perché
non ci sono gli inversi per la somma.
Non é richiesta, nella definizione di gruppo , la proprietá commutativa:
4. commutativa: dati a, b in X, si ha a + b = b + a.
Se vale 3 allora il gruppo si dice gruppo commutativo (in generale, non é affatto scontato
che l’ordine di applicazione di due procedure consecutive si possa scambiare ottenendo lo stesso
risultato: provate a mettervi prima le scarpe e poi i calzini..)
Se un gruppo commutativo (x, +) ha anche una altra operazione che indichiamo con ∗,
allora, se valgono due proprietá il dato (X, +, ∗) guadagna il nome di anello. Queste proprietá che
si aggiungono con la seconda operazione sono:
5. ∗ é associativa: dati a, b, c in X, allora (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c).
6. ∗ é distributiva rispetto alla somma: dati a, b, c in X, allora a ∗ (b + c) = (a ∗ b) + (a ∗ c) e
(a + b) ∗ c = (a ∗ c) + (b ∗ c).
Si osservi dunque che nel caso generale la seconda operazione ∗ gode di vita propria, e non é
definita a partire dalla prima operazione +, con la quale si chiede solo che possa ”‘ben dialogare”’
attraverso la richiesta della proprietá distributiva, la quale ci permette di lavorare agevolmente nei
calcoli. Si vede quindi che la moltiplicazione intesa come ”‘somma ripetuta”’, definizione valida sui
numeri naturali, pur essendo estremamente intuitiva, e facilmente rappresentabile ai bambini con
gli schieramenti di righe e colonne di oggetti numerabili, perde di significato quando solo si prova
ad estenderla ai numeri interi (cosa significa ripetere un numero negativo di volte una somma?).
In effetti i numeri naturali non costituiscono né un gruppo né tantomeno un anello!
Esempio banale:
un insieme con un solo elemento {1} un gruppo: basta definire l’operazione 1 + 1 = 1 (verificare
le proprietá 0,1,2!).
teorema A:
L’insieme dei numeri interi, con l’operazione di somma, é il piú piccolo gruppo che contiene insieme
dei numeri naturali, con l’operazione di somma.
teorema B:
L’insieme dei numeri interi, con le operazioni di somma e prodotto usuali, é il piú piccolo anello
che contiene insieme dei numeri naturali, con le operazioni di somma e prodotto usuali.
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VII) La divisione euclidea
Il nocciolo non é il semplice algoritmo della divisione, ma l’esistenza e unicitá della rappresentazione
del numero a secondo la sua migliore approssimazione con un multiplo di b: seguendo Euclide,
diciamo che stiamo confrontando grandezze tra loro. E’ importante dunque nell’insegnamento
dell’algoritmo della divisione, coltivare l’abitudine di scrivere esplicitamente l’espressione a = bq+r.
La dimostrazione si effettua prima per a e b numeri naturali, con l’uso del principio del minimo, e
poi si estende, grazie alle proprietá algebriche delle operazioni, ai numeri interi.
L’algoritmo della divisione con la virgola ha un significato completamente diverso dalla
divisione euclidea: stiamo uscendo dai numeri interi ed entrando nei numeri decimali, ovvero
nei numeri razionali, stiamo cioé rispondendo a una diversa domanda: non é piú ”‘la migliore
approssimazione possibile, con resto tra un numero -il divindendo- e un multiplo di un numero
dato - il divisore - nel tentativo di misurare il ”‘rapporto intero”’ (con l’approssimazione misurata
dal valore del resto), ma si cerca il ”‘rapporto esatto”’ tra due grandezze. dati a = 17, b = 3, allora
la divisione euclidea con resto di a con b fornisce l’espressione 17 = 5.3 + 2, dunque
17/3 = 3 + 2/3 = 3 + (1/10)(10 ∗ 2/3)
che corrisponde, nellalgoritmo della divisione, allazione di aggiungere una cifra decimale 0 in coda
al dividendo, e la virgola nel quoziente. Posso iterare il procedimento e dividere per il divisore 3 il
resto 2 moltiplicato per 10, poi continuare a dividere ogni volta il resto che trovo. Il procedimento
puó terminare, se nell’iterazione incontro un resto nullo, ma anche non terminare, come nel nostro
esempio, perché il resto 2 compare ad ogni passo della procedura, all’infinito: in effetti 2/3 =
0, 666666... = 0, 6.
VIII) Tempo fa abbiamo fatto cenno al Soroban, l’abaco giapponese,vi ricordo che potete vedere
qualcosa a riguardo qui:
www.giocomania.org/Legno/soroban/soroban.htm
www.sorobancymru.co.uk
Inoltre, ci sono molti video su youtube (spesso in inglese).
2.2
ESERCIZI DI RIEPILOGO
(alcuni esercizi sono stati giá indicati in classe, altri sono nuovi, gli esercizi non seguono esattamente l’ordine delle lezioni)
– Usando il principio di induzione, dimostrare che la cardinalitá dell’insieme delle parti di un
insieme X con n elementi vale 2n .
– Usando il principio di induzione, dimostrare che: 1 + 2 + .. + n = n(n + 1)/2 (Gauss)
– 1 + 3 + 5 + ..(2n − 1) = n2
– 2 + 4 + .. + 2n = n(n + 1)
– 12 + 22 + .. + n2 = n(n + 1)(2n + 1)/6
– 13 + 23 + .. + n3 = n2 (n + 1)2 /4
– n2 > 2n + 1 per ogni intero maggiore o uguale a 3
– 2n > n2 per ogni intero maggiore o uguale a 5
– se x 6= 1, allora:
x0 + x1 + ..xn = (1 − xn+1 )/(1 − x) (”serie geometrica di ragione x”)
– Usando il principio di induzione, dimostrare che la cardinalitá dell’insieme delle parti di un
insieme X con n elementi vale 2n .
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– dimostrare col principio di induzione che in un poligono di n lati, la somma degli angoli
interni misura (n − 2)180o
– Verificare che l’ordine alfabetico delle parole é una relazione di ordine, totale o parziale (non
totale)?
– Nei casi che seguono verificare quali delle proprietá riflessive, simmetriche, antisimmetriche,
transitive valgono e dedurre se sono relazioni dequivalenza o dordine:
1) X = N, aRb se e solo se b = a2 .
2) X = N, aRb se e solo se esiste k ∈ N tale che a = b + k 3 .
3) X = N, aRb se e solo se a + b ‘e pari.
4) X = N, aRb se e solo se a2 ≥ b2 .
5) X = N, aRb se e solo se a2 ≥ b2 .
5) X = P ({1, 2, 3}), ARB se e solo se A e B sono equipotenti.
6) X = P (N), ARB se e solo se A e B sono equipotenti.
– Scegliere due insiemi finiti e esibirne il prodotto cartesiano.
– Costruire un esempio di funzione iniettiva, uno di funzione suriettiva, uno di corrispondenza
biunivoca.
– Presentare gli assiomi di Peano.
– Presentare diverse formulazioni del principio di induzione.
– Esibire un sottoinsieme proprio di N dotato di una corrispondenza biunivoca con N stesso.
– Scrivere una successione (infinita) di numeri naturali diversi tra loro.
– Che cosa é il procedimento diagonale di Cantor?
– verificare, applicando il principio di induzione che per n ≥ 1
1 + 2 + .. + n = n(n + 1)/2.
– Verificare, applicando il principio di induzione che che se a é un numero reale con (a + 1) > 0,
allora, per ogni numero naturale n, si ha:
(1 + a)n ≥ 1 + na
– Dimostrare che per ogni n > 0
13 + 23 + .. + n3 = (1 + 2 + .. + n)2
– Sia X un insieme di 4 elementi {a, b, c, d}. Descrivere l’insieme delle parti di X.
– Sia X = {a, b, c, d, e}, e sia Y = {a, c, e}, scrivere esplicitamente la funzione caratteristica di
Y rispetto ad X.
– Che cosa vuol dire definire una relazione su un insieme dato.
– Costruire un esempio di relazione di ordine e uno di relazione di equivalenza.
– Costruire un esempio di relazione non simmetrica, costruire un esempio di relazione antisimmetrica.
– Sull’insieme A dei calciatori titolari di serie A, verificare che l’appartenenza ad una stessa
squadra é una relazione di equivalenza, descrivere la partizione da essa definita, individuare
la cardinalitá dell’insieme, quella delle classi, e quella della partizione. Costruire una funzione
f sull’insieme A che non possa essere coerentemente definita sulla partizione, e una funzione
g che induca una funzione g0 sull’insieme partizione.
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– verificare che ”essere multiplo di ” é una relazione di ordine non totale sull’insieme dei numeri
naturali.
– Dare la definizione di gruppo. Fare esempi e controesempi.
– Che cosa é un anello? Fare esempi e controesempi.
– Dimostrare che le classi resto modulo 4 costituiscono un gruppo con l’operazione di somma.
– Dimostrare che 5 divide 5 e divide 15, ma non divide 12.
– E’ vero che se a|bc allora a|b oppure a|c? se si, dimostrarlo, altrimenti esibire un controesempio.
– Nei numeri interi, se accade che a|b e b|a cosa si puó concludere su i numeri a e b?
– Operare le seguenti divisioni euclidee con resto:
235 : 27;
−2463 : 43;
235 : (−27);
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−2543 : (−11)