ESERCIZI SU DIVISIBILITA` NEI NATURALI E NEGLI INTERI. PRIMI

ESERCIZI SU DIVISIBILITA’ NEI NATURALI E NEGLI
INTERI. PRIMI ESERCIZI SULLE CONGRUENZE
Divisibilità
(1) Siano a, b naturali e b > 0.
Si ha:
(a) b|a ⇔ il resto della divisione di a per b è zero;
V F
(b) se il numero a ha resto r nella divisione per b, allora
il resto della divisione di a + 1 per b è r + 1;
V F
(c) se r è il resto della divisione di a per b, allora un qualsiasi
V F
numero che divida sia a che b deve dividere anche r;
(2) Dimostrare che, per ogni k, fra k numeri consecutivi ne esiste sempre
uno divisibile per k. (suggerimento: considerare i possibili resti nella
divisione per k).
(3) Dato un numero n, dimostrare che la sua fattorizzazione in numeri
primi contiene al massimo log2 (n) fattori.
(4) Dimostrare che, per ogni k, esistono k numeri consecutivi di cui
nessuno è primo.
(suggerimento: considerare i numeri
(k + 1)! + 2 (k + 1)! + 3 . . . (k + 1)! + (k + 1)).
(5) Determinare quoziente e resto della divisione di a per b, dove
(a) a = 26, b = 3;
(b) a = 26, b = −3;
(c) a = −26, b = 3;
(d) a = −26, b = −3;
Congruenze
(6) Si ha:
V F
V F
V F
15 + 27 ≡ 0 modulo 14;
15 − 27 ≡ 0 modulo 14;
−5 è congruo a 7 modulo 12;
(7) Per ogni numero a ∈ {0, 1, 2, . . . , 9} trovare un numero b ∈ {0, 1, 2, . . . , 9}
tale che a + b ≡ 0 modulo 9.
Per quali numeri a ∈ {0, 1, 2, . . . , 9} esiste un b ∈ {0, 1, 2, . . . , 9} tale
che ab ≡ 1 modulo 9?
(8) Sia ≡12 la congruenza modulo 12 sugli interi . Il seguente insieme A
è un insieme di rappresentanti per le classi d’equivalenza di ≡12 su
Z:
V F
A = {0, 1, . . . , 12};
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V F
V F
A = {12, 13, . . . , 23};
A = {−12, −11, . . . , −1}.