CAPITOLO 2 FUNZIONI e INSIEMI NUMERICI FUNZIONI Dati due insiemi A e B, si dice funzione da A a B ogni legge che ad ogni elemento di A fa corrispondere o associa un solo elemento di B. Scriveremo f : A → B o anche f A ⎯ ⎯→ B. Se A , B ⊆ R , possiamo dare una rappresentazione grafica alla funzione. Ad esempio fi : R → R i = 1 , 2 f1 ( x ) = 2 x f2 ( x ) = x2 L’insieme A è detto dominio e si indica con D f, mentre l’insieme { y∈ B }, : y = f ( x) , x ∈ A ossia l’insieme dei valori f ( x ) al variare di x in A, è detto codominio e si indica con C f. Se ad elementi distinti di A corrispondono elementi distinti di B, la funzione si dice iniettiva (la funzione f1 è iniettiva, f2 non lo è). Se C f = B, la funzione si dice suriettiva su B ( f1 è suriettiva su R, f2 non lo è). Se f : A → B è iniettiva e suriettiva si dice biunivoca o biiettiva (o corrispondenza biunivoca). INSIEMI NUMERICI Gli insiemi numerici sono i seguenti: {1 , 2 , 3 , ... , n , ... } { 0 , ± 1, ± 2 , ... , ± n , ...} • numeri naturali N = • numeri interi Z = • numeri razionali ⎧ m ⎫ Q = ⎨ con m , n ∈ Z , n ≠ 0⎬ . ⎩ n ⎭ Osserviamo che per i numeri razionali si può dare una rappresentazione decimale e che vale la uguaglianza 0 , 999999999….. = 1. Presa una retta r, fissati su essa due punti distinti O ed A (si è così individuato il verso positivo da O verso A e il segmento unitario OA), 5 è possibile associare ad ogni numero razionale un punto di r, il punto B corrisponde al numero m m > 0 se la misura di OB è . Ma su r rimangono dei punti che non corrispondono a n n nessun numero razionale, infatti il punto P tale che il segmento OP è congruente alla diagonale OC del quadrato di lato OA non corrisponde a nessun numero razionale ossia non esiste m m ∈Q : = OP con m e n primi tra loro. n n Infatti dovrebbe essere OP = OC : OC2 = OA2 + AC2 = 2 o anche m2 = 2 , n2 m 2 = 2 n 2 ma questa uguaglianza è impossibile. Si introduce allora un nuovo insieme numerico che contenga Q e che consenta di riempire i buchi, tale insieme è l’insieme dei numeri reali R. Definizione assiomatica di R Sull’insieme R sono definite due operazioni (addizione e moltiplicazione) che godono delle proprietà : a + b = b + a , a ⋅b = b⋅a , ∀ a ,b∈ R 1) commutativa 2) associativa a + (b + c ) = ( a + b ) + c , a ⋅ (b ⋅ c ) = ( a ⋅ b ) ⋅ c , ∀ a ,b,c ∈ R 3) distributiva a ( b + c ) = a ⋅ b + a ⋅ c , ∀ a ,b,c ∈ R 4) esistenza elementi neutri a+0= a , a ⋅1 = a , ∀ a ∈ R 5) esistenza opposto e reciproco a + (− a ) = 0 , ∀ a ∈ R ; a ⋅ a − 1 = 1 , ∀ a ≠ 0 . Su R è definita una relazione d’ordine ( ≤ ) che gode delle proprietà: 6) di ordine totale ∀ a , b ∈ R si ha a ≤ b oppure b ≤ a a≤b e b≤c ⇒a≤c 7) transitiva 8) antisimmetrica a≤beb≤a ⇒a= b 9) a ≤ b ⇒ a + c ≤ b + c 10) a≤bec>0 ⇒ a⋅c≤b ⋅c Vale l’assioma di completezza 11) ∀ A , B ⊆ R con A , B ≠ Φ e a < b , ∀ a ∈ A e ∀ b ∈ B e ∀b ∈B. 6 allora ∃ c ∈ R : a ≤ c ≤ b ∀ a ∈ A (osserviamo che il precedente assioma può essere proposto anche in formulazioni diverse da quella qui data). Osservazioni : • in N non c’è lo zero ne’ l’opposto • in Z non c’è il reciproco • in Q non vale l’assioma di completezza (esempio A= { x ∈Q + } : x2 ≤ 2 , B = { x ∈Q + } : x2 > 2 non esiste c ∈Q : a ≤ c ≤ b , ∀ a∈ A e ∀ b ∈ B ) . E’ possibile definire una corrispondenza biunivoca tra l’insieme R ed i punti di una retta r . Ora ci occupiamo del seguente problema : quanti sono gli elementi di N , Z , Q , R ? Per rispondere al precedente quesito ricorriamo al concetto di corrispondenza biunivoca. Definizione di infinità numerabile : si dice che l’insieme A è una infinità numerabile (o semplicemente numerabile o che ha la potenza del numerabile) se esiste una corrispondenza biunivoca tra l’insieme N ed A. Sono insiemi numerabili : P (insieme dei pari) , D (insieme dei dispari) , Z , Q. Si dimostra che R non è numerabile. Definizione di insieme continuo : si dice che l’insieme A è un continuo ( o che ha la potenza del continuo) se esiste una corrispondenza biunivoca tra l’insieme R ed A. Ad esempio A = {x ∈ R : − 1 < x < 1} è continuo f : R → A è biunivoca 1 Intervalli e semirette -1 Introduciamo ora particolari sottoinsiemi di R. Dati a , b ∈ R con a < b chiamiamo intervalli di estremi a e b gli insiemi 7 {x [ a , b ] = ∈ R : a ≤ x ≤ b} {x ]a , b ] = (intervallo chiuso) ∈ R : a < x ≤ b} ] a , b [ = {x ∈ R : a < x < b} (intervallo aperto) [ a , b [ = {x ∈ R : a ≤ x < b} e semirette gli insiemi [a , +∞[ = {x ∈ R : x ≥ a} ]a , +∞[ = {x ∈ R : x > a} ]−∞,b[ = {x ∈ R : x < b} ]− ∞ , b ] = {x ∈ R : x ≤ b} CAPITOLO 3 L’ INSIEME C DEI NUMERI COMPLESSI I NUMERI COMPLESSI Si dice insieme dei numeri complessi, e si indica con C, la totalità delle coppie ordinate ( a , b ) con a,b ∈R con le seguenti regole di calcolo (a , b ) + ( c , d ) = ( a + c , b + d ) ( a , b) ⋅ ( c , d ) = ( a c − b d , a d + b c) . Si dimostra che valgono le usuali proprietà delle operazioni. Osserviamo che è possibile definire una corrispondenza biunivoca tra C e l’insieme dei punti di un piano sul quale sia stato considerato un sistema di riferimento cartesiano P b a (al numero ( a , b ) si associa il punto P di coordinate cartesiane ( a , b ) ) dunque come R è rappresentato dai punti di una retta, C è rappresentato dai punti di un piano che viene detto piano di Gauss. Vediamo ora alcune importanti conseguenze delle regole di calcolo date su C. Si ha ( a , b ) = ( a , 0 ) + ( 0 , b ), dunque studiamo anzitutto i numeri del tipo ( a , 0 ). 8 Essi vengono rappresentati sulla retta orizzontale r inoltre somma e prodotto di numeri con seconda coordinata nulla è ancora un numero con seconda coordinata nulla infatti, per le regole date, si ha (a,0) + (c,0) = ( a + c , 0) ( a,0) (c,0) = ( ac - 0,a0+0c) = ( ac,0) (sono gli unici punti che stanno su una retta del piano di Gauss a godere di questa proprietà). Per tali punti è allora sufficiente dare la prima coordinata, possiamo dunque introdurre la seguente identificazione (a,0) ≡a (tramite questa identificazione possiamo affermare che vale la proprietà R ⊆C ). Consideriamo ora i numeri del tipo ( 0 , b ) . Essi stanno sulla retta verticale i. Per le regole date si ha ( 0 , b ) = ( 0 , 1 ) (b , 0) 123 ≡b dunque il numero ( 0 , 1 ) genera tutti gli altri, per questo viene indicato con un simbolo particolare, si pone (0,1) = i (unità immaginaria) e si ha allora ( 0 , b ) = ( 0 , 1 ) ( b , 0) = i b, dunque, ricordando le uguaglianze precedenti, otteniamo a , b ∈ R (forma algebrica di un numero ( a , b ) = ( a , 0 ) + ( 0 , b ) = a + i b con complesso). Proprietà dell’unità immaginaria : i2 = (0,1)(0,1) = (-1,0) = -1 i3 = (-1,0)(0,1) = (0,-1) = -i i4 = 1 i5 = i … Per eseguire i calcoli con numeri in forma algebrica si usano le usuali regole dell’ algebra trasformando le eventuali potenze del numero i nei rispettivi valori. Esempi : 1) ( a + i b ) ( c + i d ) = a c + i a d + i b c + i 2 b d = (poiché i 2 = - 1) = ac+iad+ibc–bd = (ac - bd) + i(ad+bc) 2) ( a + i b )2 = a2 + 2 i a b + i2 b2 = ( a2 - b2 ) + 2 i a b. Notazioni : dato il numero complesso z = ( a , b ) = a + i b si pone 9 a = R e z ( parte reale) (attenzione , b = I m z (coefficiente della parte immaginaria) a , b ∈ R !). Complesso coniugato : dato z = a + i b , si dice suo coniugato z , il numero ossia si ha z = a − i b, Re z = Re z , I m z = − I m z . z + z = 2a ∈ R , Proprietà : Reciproco di z ≠ 0 : dato z ⋅ z = a 2 − i 2 b 2 = a 2 + b 2 ∈ R. z = a + i b (con a e b non contemporaneamente nulli ossia a 2 + b 2 ≠ 0 ) cerchiamo a−ib 1 1 a b = = . = 2 −i 2 2 ( a + i b) ( a − i b ) z a + ib a + b a + b2 Forma trigonometrica Dato il numero z = a + i b, ad esso corrisponde un solo punto P ≡ ( a , b ) sul piano complesso (o piano di Gauss). La posizione del punto P può essere univocamente determinata non solo dalle sue coordinate cartesiane ma anche dalla sua distanza dal punto 0 (origine degli assi) e dall’angolo (a meno di multipli interi di 2 π) che la retta orizzontale r forma con la retta OP. P O r Distanza di P da O = modulo = ρ (numero reale non negativo, il modulo di z si indica con | z |), angolo = argomento = θ (a meno di 2 k π , ∀ k ∈ Z ) (sono le coordinate polari di P). Si dice argomento principale quello che sta in [ 0 , 2 π [ (abitualmente prenderemo questo). Formule di trasformazione : ⎧ a = ρ cos θ ⎨ ⎩ b = ρ sin θ , ⎧ ρ = a2 + b2 ⎪ a b ⎪ , sin θ = se ρ ≠ 0 ⎨ θ : cos θ = ρ ρ ⎪ ⎪ ⎩ se ρ = 0 , (cioè P ≡ O ) si pone θ qualunque. Potremo allora scrivere : z = a + i b = ρ ( cos θ + i sin θ ) (forma trigonometrica). Uguaglianza : dati zr = ρr ( cos θr + i sin θr ) , r = 1 , 2 si ha z1 = z2 sse ρ1 = ρ2 e ∃ k ∈ Z : θ1 - θ2 = 2 k π. Prodotto in forma trigonometrica 10 Dati zr = ρr ( cos θr + i sin θr ) , r = 1 , 2 si ha z1 z2 = ρ1 ρ2 [ cos ( θ1 + θ2 ) + i sin ( θ1 + θ2 ) ] (ossia il modulo di un prodotto è dato dal prodotto dei moduli e l’argomento di un prodotto è dato dalla somma degli argomento dei fattori) infatti z1 z2 = ρ1 ρ2 ( cos θ1 cos θ2 + i cos = θ1 sin θ2 + i sin θ1 cos θ2 - sin θ1 sin θ2) = ρ1 ρ2 [ cos ( θ1 + θ2 ) + i sin ( θ1 + θ2 ) ] (per le formule di addizione). FORMULE DI EULERO Per ogni x ∈ R vale la seguente identita’ e i x = cos x + i sin x . Da essa si deduce che e − i x = cos x − i sin x e, sommando e sottraendo membro a membro le due identita’ scritte, si ottengono le seguenti due formule cos x = ei x + e− i x ei x − e − i x , sin x = . 2 2i Dalla prima identita’ si ha pure la seguente uguaglianza e 2 k π = 1 , ∀ k ∈ Z . Ancora utilizzando la prima identita’, dato il numero complesso z scritto in forma trigonometrica ossia z=ρ ( cos θ + i sin θ ) , possiamo scrivere z = ρ e i θ ; questa e’ detta forma esponenziale del numero complesso z. FORMULA DI DE MOIVRE Dati z = ρ ( cos θ + i sin θ ) e n ∈ N, si ha la seguente formula (detta di De Moivre) z n = ρ n ( cos n θ + i sin n θ ). RADICI n – sime di un numero complesso Dati un numero complesso α = ρ0 ( cos θ0 + i sin θ0 ) ( con 0 ≤ θ0 < 2 π ) e n ∈ N ( n ≥ 2 ), cerchiamo z ∈ C (se ce ne sono! ) tali che z n = α . Scriviamo z in forma trigonometrica z = ρ ( cos θ + i sin θ ) (con ρ e θ incognite) allora z n = ρ n ( cos n θ + i sin n θ ) dunque zn = α ⇔ ρ n ( cos n θ + i sin n θ ) = ρ0 ( cos θ0 + i sin θ0 ) 11 ⇔ ⎧ ρn = ρ0 ⎨ ⎩nθ =θ 0 + 2 k π ⎧ ρ = n ρ0 ⎪ ⎨ θ0 + 2 k π . ⎪ θ = n ⎩ ⇔ Le soluzioni del precedente problema hanno stesso modulo ( n ρ 0 ). Si sono trovati infiniti argomenti, ma quanti di essi individuano numeri complessi distinti? Si dimostra che per k = 0 , 1 , …, n – 1 si ha 0 ≤ θ = θ0 ≥ 0 ⇒ θ0 + 2 k π θ0 + 2 k π n < 2 π infatti ≥ 0 ovviamente, mentre n θ 0 < 2 π , k ≤ n − 1 ⇒ θ 0 + 2 k π < 2 π + 2 ( n − 1 ) = 2 n π da cui θ0 + 2 k π 2n π = 2π . n < n Dunque, per tali valori di k, si hanno numeri complessi distinti (sono n valori). Si può provare che per gli altri valori di k si ottengono argomenti che differiscono da uno dei precedenti per un multiplo intero di 2 π . Consideriamo, ad esempio due casi : per k = 0 si ha per k = n si ha θ0 + 2 k = n θ0 + 2 k π n = θ0 , n θ0 n + θ 2nπ = 0 + 2π n n dunque i due argomenti differiscono per 2 π . In conclusione le radici n-sime del numero α = ρ0 ( cos θ0 + i sin θ0 ) sono i numeri complessi z = ρ ( cos θ + i sin θ ) : ρ = n ρ0 θ = , θ0 + 2 k π n , k = 0 ,1, .... , n − 1 . Proprietà del modulo 1) | z 1 z 2 | = | z 1 | | z2 | (dimostrata) 2) z1 z1 = z2 z2 1) z1 + z infatti se 2 ≤ se z2 ≠ 0 , z1 + z 2 (disuguaglianza triangolare) z 1 = a 1 + i b 1 e z 2 = a 2 + i b 2 , considerati i punti P i ≡ ( a i , b i ) , si ha 12 P P2 P1 P ≡ ( a 1 + a 2 , b 1 + b 2 ) poiché P1Q = OR e PQ = P1R , dunque | z 1 | = OP1 , | z 2 | = OP2 = P1P , | z1 + z 2 | = OP e nel triangolo OPQ si ha OP ≤ OP1 + P1 P da cui la tesi. 13