CALCOLO DEI LIMITI
1.
lim f ( x) = l
x → x0
2 x2 + x 0
= =0
x →0 2 x + 5
5
Sostituisci il valore di x0 in f ( x ) : esempio lim
2.
lim f ( x) = ∞
x → x0
Sostituisci il valore di x0 in f ( x ) e si ottiene un numero diviso 0. Ricorda che N = ∞
0
4 x + 3 4 ( −2 ) + 3 −5
=
=
=∞
x →−2 x 2 − 4
(−2)2 − 4
0
Esempio: lim
3. lim f ( x) = ∞
x →∞
A. Sostituisci il valore di ∞ in f ( x ) facendo attenzione ai segni dell’ ∞ e ricordando che
+∞ + ∞ = +∞
−∞ − ∞ = −∞
Esempi:
lim x 4 + x 2 + 9 = ( −∞ ) + ( −∞ ) + 9 = +∞ + ∞ + 9 = +∞
4
2
x →−∞
lim 2 x 3 + 3 x − 2 = 2 ( −∞ ) + 3 ( −∞ ) − 2 = −∞ − ∞ − 2 = −∞
3
x →−∞
B. Ricorda inoltre che
+∞ − ∞ = forma indeterminata
−∞ + ∞ = forma indeterminata
Esempio: lim − 2 x 4 + x 3 − 2 x 2 = −2 ( +∞ ) + ( +∞ ) − 2 ( +∞ ) = −∞ + ∞ − ∞ = −∞ + ∞ ( f .i.)
4
3
2
x →+∞
Si mette allora in evidenza la x di grado più alto:
−2 x 4 x 3 2 x 2
1 2
1
2
−
lim − 2 x 4 + x 3 − 2 x 2 = lim x 4 4 + 4 − 4 = lim x 4 −2 + 3 − 2 = +∞ −2 +
= +∞
x →+∞
x →+∞
x
→+∞
+∞ +∞
x
x
x x
x
4.
lim f ( x) =
x →∞
∞
∞
( forma indeterminata )
∞
N
= forma indeterminata e che
=0
∞
∞
3x 2 − 2 x + 1 ∞
Esempio: lim
=
metti in evidenza la x di grado più alto al numeratore (N) e al denominatore (D)
x →+∞ 6 x 2 − 3 x + 2
∞
2
2x 1
2 1
2 3x
x
3− + 2
2 − 2 + 2
2
x
x
x
3x − 2 x + 1
x x 3 1
lim 2
= lim 2
= lim
= =
x →+∞ 6 x − 3 x + 2
x →+∞
3 x 2 x →+∞ 6 − 3 + 2 6 2
2 6x
x 2 − 2+ 2
x x2
x
x
x
Ricorda che
A. Puoi evitare di fare i passaggi considerando che: se il grado di N è uguale al grado di D (N = D) è sufficiente
fare il rapporto dei
coefficienti delle x di grado più alto; nell’esempio basta fare quindi
3x 2 − 2 x + 1 3 1
= =
x →+∞ 6 x 2 − 3 x + 2
6 2
lim
B. Se invece il grado del numeratore è minore del grado del denominatore (N < D) il limite sarà uguale a 0
2 x2 − x + 1
=0
x →−∞ x 3 − 2 x + 3
Esempio: lim
C. Se viceversa il grado del numeratore è maggiore del grado del denominatore (N > D) il limite sarà uguale a ∞
2x4 − x + 3
= +∞
Esempio: lim 2
x →+∞ x − x + 2
5.
lim f ( x ) =
x → x0
Ricorda che
0
0
( forma indeterminata )
0
= forma indeterminata
0
Si devono scomporre i polinomi a numeratore e a denominatore (puoi mettere in evidenza la x oppure risolvere
l’equazione di secondo grado associata)
( x + 2 )( 3x + 5 ) = lim ( 3x + 5) = 1
3 x 2 + x − 10
= lim
2
x →−2 x − 5 x − 14
x →−2 ( x − 7 )( x + 2 )
x →−2 ( x − 7 )
9
A. Esempio: lim
Per scomporre i due polinomi risolvi l’equazione associata utilizzando la x1,2 =
−b ± b2 − 4ac
:
2a
−1 + 11 10 5
6 = 6 = 3
1
121
1
11
−
±
−
±
2
N: 3x + x − 10 = 0 → x1,2 =
=
=
=
6
6
6
−1 − 11 = −12 = −2
6
6
5
Applica quindi la a ( x − x1 )( x − x2 ) da cui ottieni: a ( x − x1 )( x − x2 ) = 3 x − ( x + 2 ) = ( 3 x − 5 )( x + 2 )
3
2
Lo stesso procedimento è stato usato per il D: x − 5 x − 14
−1 ± 1 − 4(3) ( −10 )
B. Esempio: lim
x →5
x ( x − 5)
x2 − 5x
x
5 1
= lim
= lim
=
=
2
x − 25 x →5 ( x − 5 )( x + 5 ) x →5 ( x + 5 ) 10 2
In questo esempio al N = x 2 − 5 x è stata messa in evidenza la x: x 2 − 5 x = x ( x − 5 )
Mentre al D = x 2 − 25 si è risolta l’equazione associata, isolando la x 2
x 2 − 25 = 0 → x 2 = 25 → x = ± 25 → x = ±5 quindi applicando la a ( x − x1 )( x − x2 ) si ottiene la
scomposizione del polinomio: ( x − 5 )( x + 5 )
C. Esempio: lim
x →1
x ( x − 1)
x2 − x
x
1
= lim
= lim
= =∞
2
2
x →1 ( x − 1)
x − 2 x + 1 x →1 ( x − 1)
0
Il denominatore (D) è stato scomposto considerando che:
2 ± 4 − 4(1) (1)
2± 0 2
= = 1 si hanno due soluzioni
2
2
2
2
x1 = 1 e x2 = 1 per cui utilizzando la a ( x − x1 )( x − x2 ) si ottiene: ( x − 1)( x − 1) = ( x − 1)
D: x 2 − 2 x + 1 = 0 → x1,2 =
=
coincidenti
