Esercizi

Esercizi di Algebra 1
12.
13. Dimostrare che il quoziente di un gruppo ciclico è ciclico.
14. Siano R il gruppo additivo dei numeri reali e Z il sottogruppo additivo dei numeri interi:
a. Provare che a+Z in R/Z è periodico se e solo se a è un numero razionale;
b. Si consideri il gruppo additivo Zn, dove n è un intero positivo, e f da Zn in R/Z
definita f([a])=a/n+Z. Dimostrare che f è un’applicazione, è iniettiva ed è un
omomorfismo di gruppi.
15. Sia Uk = U(Z k) il gruppo delle unità dell'anello Z k.
a) Verificare se U18 è ciclico.
b) Determinare tutti i sotto gruppi propri di U18 , se esistono;
c) Dire se U18 possiede elementi di periodo 5;
d) Per un opportuno naturale n , U18 è isomorfo al gruppo additivo Z n ?
e) Per un opportuno naturale n , U18 è isomorfo al gruppo simmetrico S n ?
f)
Dimostrare che per ogni [a]18  U18 si ha [a]6  U6;
g)
Dimostrare che f : U18  U 6 definita da f( [a]18)=[a]6 , è un'applicazione ed un
omomorfismo di gruppi;
h) Calcolare Kerf; Kerf è ciclico? In caso di risposta positiva determinare tutti i generatori di
Kerf;
i)
Determinare [U18 : Kerf];
16.
Dimostrare che G è isomorfo a Z_pXZ_p.
17.
18.
19.
Si consideri il gruppo G=Z_6XZ_8 e il suo sottogruppo H=<(2,2),(3,3)>. Dire se H è ciclico e
calcolarne l’ordine. Quanti elementi di ordine 2 ci sono in G? Quali di questi appartengono ad H?
Quanti elementi di ordine 8 ci sono in G? Quali di questi appartengono ad H?