STATISTICA (2) – ESERCITAZIONE 3
12.02.2014
Dott.ssa Antonella Costanzo
Esercizio 1. Distribuzioni doppie di probabilità: applicazioni
E’ stata svolta un’indagine per studiare la relazione tra abitudine a praticare uno sport e
spesa per tabacchi tra giovani studenti. La seguente tabella a doppia entrata riporta la
distribuzione congiunta relativa ai caratteri Y=spese mensili per tabacchi (valori centrali
delle classi in centinaia di euro) e X= abitudine a praticare uno sport (Si=1, No=0):
2
2.75
3.25
4
0
0.12
0.15
0.15
0.19
0.61
1
0.16
0.09
0.08
0.06
0.39
0.28
0.24
0.23
0.25
1
X=Sport| Y=Spesa
Calcolare:
a) Calcolare i valori attesi condizionati della Y , per X = 0 e X = 1, e confrontarli
con il valore atteso marginale (verificare la proprietà di associatività);
b) calcolare le varianze condizionate della Y e verificare la proprietà di
scomposizione della varianza;
c) Valutare se le variabili casuali X e Y sono indipendenti.
Soluzione
a) Valore atteso della distribuzione marginale di Y
= = = . = 20.28 + 2.750.24 + 3.250.23 + 40.25 = . 1
Distribuzione condizionata di Y per X=0,1
2
2.75
3.25
4
0
0.197
0.246
0.246
0.311
1
1
0.410
0.231
0.205
0.154
1
X=Sport| Y=Spesa
Valore atteso condizionato di Y per X=0,1
|! = 0 = = "! = 0
|! = 0 = 0.197 ∗ 2 + 0.246 ∗ 2.75 + 0.246 ∗ 3.25 + 0.311 ∗ 4 = 3.114
|! = 1 = = "! = 1
|! = 1 = 0.410 ∗ 2 + 0.231 ∗ 2.75 + 0.205 ∗ 3.25 + 0.154 ∗ 4 = 2.7375
Verifica della proprietà del valore atteso reiterato (Equivalente della proprietà di
associatività della media aritmetica)
|! = ! = 0|! = 0 + ! = 1|! = 1
= 0.61 ∗ 3.114 + 0.39 ∗ 2.7375 = . b) Le varianze condizionate risultano le seguenti:
-
'()|! = 0 = * − |! = 0, = |! = 0
'()|! = 0 = 2 − 3.114- ∙ 0.197 + 2.75 − 3.114- ∙ 0.246 + 3.25 − 3.114- ∙ 0.246
+4 − 3.114- ∙ 0.311 = 0.53
2
-
'()|! = 1 = * − |! = 1, = |! = 1
'()|! = 1 = 2 − 2.7375- ∙ 0.410 + 2.75 − 2.7375- ∙ 0.231 +
+3.25 − 2.7375- ∙ 0.205 + 4 − 2.7375- ∙ 0.154 = 0.52
Nota: in analogia al caso non condizionato, la varianza condizionata può essere espressa
come la seguente differenza:
'()| = / = 0 - |! = /1 − 0|! = /1-
Verifica della proprietà di scomposizione della varianza:
'() = '()2 + '()3
dove:
'() = - − 01- = 4. 56
-
'()2 = '()|! = /7 ∗ ! = / = 0.53 ∗ 0.61 + 0.52 ∗ 0.39 = 0.5261
7
-
'()3 = 0|! = /7 − 1- ! = /
7
Verificare che:
= 3.114 − 2.9675- ∗ 0.61 + 2.7375 − 2.9675- ∗ 0.39 = 0.033
0.5261 + 0.033 = 4. 56 = '()
c) In caso di indipendenza tra X e Y dovrebbe verificarsi che:
= "! = 0 e = "! = 1 sono uguali alla distribuzione marginale P(Y).
Nel nostro caso non vale la relazione, per cui X e Y non sono indipendenti.
Nota: Alternativamente è possibile verificare l’indipendenza tra X e Y sfruttando
l’interpretazione probabilistica dell’indice 8 - .
3
Esercizio 2. TLC: Approssimazione della v.c. binomiale relativa alla normale
Una fabbrica di scatole di cartone evade il 96% degli ordini entro un mese. Estraendo
300 campioni casuali di 300 consegne, in quale proporzione di campioni la percentuale
di ordini evasi entro questo termine:
a) E’ compresa fra il 96% e il 99%
b) È superiore al 99%
Soluzione
a) La proporzione di ordini evasi segue una distribuzione binomiale (relativa)
9: =
~=>;;, ;
con Y=numero di ordini evasi e parametri n=300 e = 0.96
Occorre determinare:
0.96 ≤ 9: ≤ 0.99
essendo n sufficientemente grande, per il TLC, è possibile sfruttare un’approssimazione
normale, per cui:
9: DEF G,
ABC
0.96 ≤ 9: ≤ 0.99 = I
H
1 − ;
0.96 − 0.96
J0.961 − 096
300
≤K≤
0.99 − 0.96
M=
J0.961 − 096
L
300
= 0 ≤ K ≤ 2.65 = K ≤ 2.65 − K ≤ 0 = 0.9960 − 0.5 = 0.4960
b)
IK ≥ H
0.99 − 0.96
M = 1 − K ≤ 2.65 = 1 − 0.9960 = 0.0040
J0.961 − 096
L
300
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Esercizio 3 (Scozzafava). Applicazioni del T.L.C.
Una ferrovia metropolitana è servita da treni costituiti da 5 carrozze non comunicanti.
Alla partenza 150 passeggeri scelgono a caso una delle carrozze. Determinare il numero
(minimo) di posti a sedere che devono essere disponibili su ciascuna carrozza affinché
la probabilità che restino viaggiatori in piedi sia minore di 0.01.
Soluzione
Si indichi con C una qualunque delle 5 carrozze e sia 7 l’evento il passeggero >-esimo
sale sulla carrozza C > = 1,2, … ,5. La scelta a caso corrisponde a supporre
indipendenti ed equiprobabili, con probabilità = P questi 150 eventi. Il numero di
successi, cioè il numero di passeggeri che sale su C è dato da:
QPR = + - + ⋯ + PR
Indichiamo con x il numero di posti a sedere. Quindi restano viaggiatori in piedi se per
il numero x di posti a sedere, si ha / < QPR .
Si richiede quindi che:
QPR > / < 0.01
Equivalentemente:
QPR ≤ / ≥ 0.99
Le variabili 7 sono indipendenti e identicamente distribuite come Bernoulli con i
momenti:
7 = = P e '()7 = 1 − = -P
per cui:
QPR = 7 ~=>;;, 7
infatti la somma di n v.c. i.i.d. bernoulliane con lo stesso parametro p è una v.c.
binomiale di parametri n e p.
5
Tuttavia, essendo n sufficientemente grande, per il T.L.C. è ulteriormente possibile
approssimare QPR ad una Normale:
QPR DEEF G
V = ;, W - = ;1 − A.B.C.
QPR DEEF G30, 24
A.B.C.
Risolvere QPR ≤ / ≥ 0.99 equivale a determinare, dalle tavole della Normale
standardizzata, il percentile della distribuzione che lascia a destra una probabilità di
0.01.
Sfruttando la proprietà di simmetria della v.c. Normale dalle tavole risulta che il valore z
che si lascia a destra una probabilità 0.01 è, approssimando:
XR.YY = 2.335
Infine si ricava il valore di x:
/ = V + XR.YY W = 30 + 2.335 ∙ √24 ≅ 42
Su ogni carrozza devono essere disponibili almeno 42 posti a sedere.
6
