PROGRAMMA DI PS5, SVOLTO NELL’ A.A. 20014/2015, DOCENTE A.CALZOLARI
Spazi di probabilità e sigma-algebre. Indipendenza di sigma-algebre. Variabili aleatorie
come funzioni misurabili. Densità e aspettazione. Media condizionata di X dato Y=y. Media
condizionata di X data Y discreta. Media condizionata di X data la sigma-algebra generata
da partizione discreta. Media condizionata di X data una sigma-algebra. Probabilità
condizionata di un evento a una sigma-algebra. Proprietà della media condizionata.
Martingale: prime proprietà, martingala trasformata. Condizione necessaria e sufficiente
affinché un processo adattatato e integrabile sia martingala. Sub e super martingale.
Teorema di Doob. Tempi d’arresto. Processo arrestato. Teorema d’arresto.
Modello di mercato discreto: portafoglio, strategia, valore del portafoglio. Modello di Cox,
Ross e Rubinstein (CRR): costruzione. Strategie autofinanzianti, ammissibili e
d’arbitraggio. I teorema dell’Asset Pricing.
Opzioni e contratti Forward. Prezzo di consegna. Prezzo d’esercizio di un’opzione
replicabile. Formula di parità call-put. II teorema dell Asset Pricing.
Proprietà del mercato CRR: condizione necessaria sulla variazione percentuale del prezzo
del titolo rischioso affiché il mercato sia libero da arbitraggio; se a<r<b il mercato è libero
da arbitraggio e completo. Payoff funzione soltanto del prezzo finale dell’asset: prezzo
esatto dell’opzione e formula ricorsiva della funzione prezzo. Unicità della strategia di
replica.
Non completezza del modello trinomiale e mercato trinomiale completato (pp. 17-20 in [2]).
Richiami sulla convergenza in legge. Convergenza del prezzo di call e put di una
sequenza di mercati CRR al prezzo Black-Sholes. Metodo di estrapolazione di Romberg.
Opzioni Americane: Inviluppo di Snell del payoff scontato, tempo d’esercizio ottimo, prezzo
al tempo 0. Prezzo al tempo n (senza dim) . Strategia di replica del payoff nel tempo
d’esercizio ottimo. Confronto del prezzo dell’opzione americana con quello dell’opzione
europea.
Opzioni americane nel modello CRR: la funzione prezzo della put e il suo comportamento
al tempo 0 al variare del prezzo iniziale dell’asset.
Non unicità del tempo d’esercizio ottimo e determinazione dell’intervallo che contiene tutti i
tempi d’esercizio ottimo (pp 157-159 in [2]).
Il metodo Monte Carlo per approssimare il prezzo delle opzioni.
Prezzaggio e copertura di una lookback call europea (pp. 28-29 in [2]).
ESERCIZIO NUMERICI DA PORTARE ALL’ESAME
1. Calcolo con la formula diretta del prezzo al tempo 0 in CRR di una put con parametri da
assegnare in ingresso.
2. Calcolo con la formula ricorsiva del prezzo al tempo 0 in CRR di una put con parametri
da assegnare.
3. Calcolo della strategia di replica in CRR per una put con parametri da assegnare in
ingresso.
4. Determinazione della velocita’ di convergenza al prezzo Black-Scholes ovvero calcolo
del coefficiente angolare della relazione lineare in scala logaritmica tra il parametro N e
l’errore.
5. Calcolo della funzione prezzo della put americana nel mercato CRR e studio empirico
del suo grafico al tempo 0 come funzione della variabile prezzo iniziale.
6. Verifica empirica del metodo di estrapolazione di Romberg nel caso
dell’approssimazione del prezzo Black-Scholes.
7. Stima intervallare al 95% del prezzo della put europea nel mercato CRR, per
S_0=K=100;T=1, N=3,4,12,365, R=5%; sigma=20%; studio empirico della convergenza al
prezzo esatto.
8.Per lo stesso mercato CRR dell’ Esercizio 7 verifica empirica della coincidenza del
prezzo della put americana con la media sotto la m.m.e. del payoff scontato al tempo
d’esercizio ottimo.
TESTI DI RIFERIMENTO
[1] Appunti del corso do Probabilità e Finanza, A.A. 2007/2008, P.Baldi, L.Caramellino
http://www.mat.uniroma2.it/~calzolar/appuntiPF15.pdf
[2] Finanza Matematica, A.Pascucci, W.J.Runggaldier, Springer.
