Geodetiche di tipo luce e principio di Fermat
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giugno 2003 E. Fabri Geodetiche di tipo luce e principio di Fermat Posizioni Sia data una geometria statica, in cui esiste quindi un sistema di coordinate tale che (1) dτ 2 = g00 dt2 − gik dxi dxk con componenti del tensore metrico indipendenti dalla coordinata t. Le geodetiche si ottengono dalla lagrangiana L= 1 2 g00 ṫ2 − 1 2 gik ẋi ẋk = 1 2 g00 ṫ2 − S con l’ovvia abbreviazione S= 1 2 gik ẋi ẋk (i punti significano derivate rispetto al parametro affine λ). È noto che L è costante lungo ogni geodetica; in particolare L = 0 sulle geodetiche di tipo luce. Ne segue ṫ = p 2S/g00 . (2) Inoltre, essendo la metrica statica, è anche costante ∂L/∂ ṫ = g00 ṫ = K. Dunque S = K 2 /(2g00 ). Il teorema In una metrica statica le geodetiche di tipo luce soddisfano il principio di Fermat, nella forma: Z Z δ dt = δ ṫ dλ = δ Zs 2S dλ = 0. g00 (3) dove la variazione va fatta sulle traiettorie, ossia le proiezioni spaziali delle geodetiche, tra estremi fissi. Dimostrazione Le equazioni di Lagrange per la metrica (1), relative alle coordinate spaziali, si scrivono d ∂S ∂S − = 12 g00,i ṫ2 − i dλ ∂ ẋ ∂xi 1 o anche, per la (2): d − dλ ∂S ∂ ẋi = g00,i ∂S S− . g00 ∂xi Calcoliamo ora la variazione della (3): d dλ ∂ ∂ ẋi s S g00 ! = ∂ ∂xi s S . g00 Il primo membro si scrive: d dλ 1 ∂S √ 2 g00 S ∂ ẋi d ∂S = K 2 dλ ∂ ẋi 1 √ mentre il secondo: r g00 S,i g00 − S g00,i 1 g00,i ∂S = √ −S . 2 4S g00 g00 K 2 ∂xi Confrontando, si ritrova la (4), c.v.d. 2 (4)
