Geodetiche di tipo luce e principio di Fermat

giugno 2003
E. Fabri
Geodetiche di tipo luce e principio di Fermat
Posizioni
Sia data una geometria statica, in cui esiste quindi un sistema di coordinate
tale che
(1)
dτ 2 = g00 dt2 − gik dxi dxk
con componenti del tensore metrico indipendenti dalla coordinata t. Le geodetiche si ottengono dalla lagrangiana
L=
1
2
g00 ṫ2 −
1
2
gik ẋi ẋk =
1
2
g00 ṫ2 − S
con l’ovvia abbreviazione
S=
1
2
gik ẋi ẋk
(i punti significano derivate rispetto al parametro affine λ).
È noto che L è costante lungo ogni geodetica; in particolare L = 0 sulle
geodetiche di tipo luce. Ne segue
ṫ =
p
2S/g00 .
(2)
Inoltre, essendo la metrica statica, è anche costante ∂L/∂ ṫ = g00 ṫ = K. Dunque S = K 2 /(2g00 ).
Il teorema
In una metrica statica le geodetiche di tipo luce soddisfano il principio di
Fermat, nella forma:
Z
Z
δ dt = δ ṫ dλ = δ
Zs
2S
dλ = 0.
g00
(3)
dove la variazione va fatta sulle traiettorie, ossia le proiezioni spaziali delle geodetiche, tra estremi fissi.
Dimostrazione
Le equazioni di Lagrange per la metrica (1), relative alle coordinate spaziali,
si scrivono
d
∂S
∂S
−
= 12 g00,i ṫ2 −
i
dλ ∂ ẋ
∂xi
1
o anche, per la (2):
d
−
dλ
∂S
∂ ẋi
=
g00,i
∂S
S−
.
g00
∂xi
Calcoliamo ora la variazione della (3):
d
dλ
∂
∂ ẋi
s
S
g00
!
=
∂
∂xi
s
S
.
g00
Il primo membro si scrive:
d
dλ
1
∂S
√
2 g00 S ∂ ẋi
d ∂S
=
K 2 dλ ∂ ẋi
1
√
mentre il secondo:
r
g00 S,i g00 − S g00,i
1
g00,i
∂S
= √
−S
.
2
4S
g00
g00
K 2 ∂xi
Confrontando, si ritrova la (4), c.v.d.
2
(4)