Diapositiva 1 - Università degli Studi di Messina

Teoria delle perturbazioni indipendenti dal tempo
In molte occasioni la soluzione analitica dell’equazione di Schröedinger non è possibile,
in tal caso si ricorre a metodi approssimati che consentono con una certa precisione di
ottenere le soluzioni al problema in oggetto. Un esempio di questi metodi approssimati è
la teoria delle perturbazioni, quest’ultima consiste nello studiare il sistema pensandolo
come se fosse costituito da un sistema noto descritto da una Hamiltoniana H0 a cui si
applica una perturbazione di modo che l’Hamiltoniana del problema in esame possa
essere scritta come la somma di un Hamiltoniana nota e di una perturbazione. E’ diverso
il caso in cui l’Hamiltoniana dipenda dal tempo ovvero non vi dipenda ed inoltre si deve
distinguere se il sistema possieda livelli degeneri o no. Consideriamo prima il caso di un
sistema non degenere indipendente dal tempo. Supponiamo che per tale sistema sia
stata risolta l’equazione di Schröedinger e che quindi sia noto lo spettro di autovaloriE0n
e l’insieme completo di autofunzioni Y0n ; valgono quindi le relazioni:
H 0 n0  En0 n0
 n0  m0   nm
Cerchiamo di risolvere il problema descritto dall’equazione: H n  En n
La teoria delle perturbazioni consiste in una procedura sistematica che consente di
ottenere le soluzioni approssimate del problema a partire dalle soluzioni note del
problema imperturbato. In questo senso, quindi, si può scrivere:
H  H 0  H '
Dove H’ è al perturbazione e  rappresenta un parametro che identifica l’ordine della
perturbazione: primo, secondo etc. a seconda che si consideri la correzione
all’Hamiltoniana non perturbata con un coefficiente pari a , 2 etc. Se  = 1 si
otterrebbe la soluzione non approssimata.
Nell’ipotesi di livelli non degeneri, possiamo scrivere le Yn e le En in serie di potenze
del parametro :
0
1
2 2
 n   n   n    n  ....
En  En0  En1  2 En2  ....
Il termine E1n è la correzione al primo ordine dell’ennesimo autovalore dell’energia
mentre la Y1n è la correzione al primo ordine all’ennesima autofunzione . Sostituendo
questi sviluppi in serie nell’equazione di Schröedinger si trova:
H 0  H ' n0   n1  2 n2  ...  En0  En1  2 En2  .... n0   n1  2 n2  ....
Moltiplicando e raccogliendo i termini con la stessa potenza di  si ottiene:

 
 E     E 

 ....
H 0 n0   H 0 n1  H ' n0  2 H ' n1  H 0 n2  ... 

 En0 n0   En0 n1
1
n
0
n
2
2
n
0
n
 En0 n2
L’ordine zero è l’equazione di Schröedinger per il sistema imperturbato, trascurando i
termini di ordine superiore al primo si ottiene:
H 0 n1  H ' n0  En0 n1  En1 n0
Moltiplicando quest’ultima a sinistra per la Y0n complessa coniugata ed integrando su
tutto il volume, con al notazione di Dirac si può ottiene:
 n0 H 0  n1   n0 H '  n0  En0  n0  n1  En1  n0  n0
Ricordiamo adesso che H è Hermitiano, per cui con ovvio significato dei simboli, si
può scrivere:
 n0 H 0 n1   n0 H 0  n1  En0  n0  n1
Sostituendo nell’equazione precedente e ricordando che le funzioni d’onda del
sistema non perturbato sono normalizzate, si ottiene:
 n0 H '  n0  En1
Quindi la correzione al primo ordine dell’autovalore dell’energia non è altro che
il valore di aspettazione della perturbazione sullo stato non perturbato.
Per trovare le autofunzioni consideriamo l’equazione:




H 0 n1  H ' n0  En0 n1  En1 n0  H 0  En0  n1   H ' En1  n0
Dato che E1n è stato calcolato, il secondo termine dell’equazione è una funzione nota,
per cui si tratta di risolvere un’equazione differenziale non omogenea per la funzione
incognita Y1n . Tuttavia sappiamo che l’insieme delle Y0n è completo, per cui
possiamo scrivere la Y1n come una combinazione lineare di queste funzioni:
 n1   cmn n0
m n
Il termine della somma con m=n deve essere escluso, perché se la Y1n soddisfa
l’equazione, anche la (Y1n )’ = Y1n +a Y0n la soddisferà con qualunque valore scelto per a,
per cui possiamo sottrarre il termine in Y0n . Infatti:
H
0

 





 En0  n1  a n0  H 0  En0  n1  a H 0  En0  n0  H 0  En0  n1
Si devono, in ultima istanza, calcolare i coefficienti della combinazione lineare. Si trova:
H
0

 E
mn



 En0  n1   H ' En1  n0  H 0  En0



 c 
m n
n
m
0
m


  H ' En1  n0
 En0 cmn n0   H ' En1  n0
0
m
Moltiplicando a sinistra per Y0l ed integrando si ottiene:
 E
0
m
m n

 En0 cmn  l0  m0    l0 H '  n0  En1  l0  n0
Se l=n si ottiene ancora la correzione al primo ordine dell’energia, perché il primo
membro si annulla. Negli altri casi si trova:
E
0
l

 En0 cln    l0 H '  n0  cln 
 l0 H '  n0
E
0
n
 El0

 n1  
Per cui la Y1n è:
m n
 m0 H '  n0
E
0
n
 Em0

Il denominatore di quest’ultima non sarà mai nullo perché per ipotesi il sistema non
possiede livelli degeneri. Quest’ultimo caso va trattato in maniera diversa. Supponiamo,
per semplicità di considerare un sistema due volte degenere, in questo caso:
H 0 a0  E 0 a0
 a0  b0  0
H 0 b0  E 0 b0
Inoltre ogni combinazione lineare di questi stati è ancora autostato di H0 corrispondente
all’autovalore E0:
 0  a a0   b0
H 0 0  E 0 0
Mostreremo che l’effetto della perturbazione consiste nella rimozione della
degenerazione: all’aumentare del valore di l si otterranno due valori per E, lo stato ad
energia maggiore tenderà ad una combinazione lineare di Y0a ed Y0b ,lo stato ad
energia inferiore ad un’altra. Queste combinazioni non sono a priori determinabili, per
cui consideriamo uno stato generico con a e  da determinare. Come nel caso
precedente si vuole risolvere l’equazione:
H  E
Con
H  H 0  H '
Come nel caso non degenere scriviamo:
   0   1  2 2  ....
E  E 0  E1  2 E 2  ....
Sostituendo nell’equazione di Schröedinger e raccogliendo i termini con la stessa
potenza di  si ottiene:
H 0 0   H 0 1  H ' 0   2 H ' 1  H 0 2   ... 
 E 0 0   E 0 1  E1 0   2 E 2 0  E 0 2   ....
Quindi al primo ordine in  vale la relazione:
H 0 1  H ' 0  E 0 1  E1 0
Moltiplicando a sinistra per Y0a ed integrando si trova:
 a0 H 0  1   a0 H '  0  E 0  a0  1  E1  a0  0
Poiché H è Hermitiano il primo termine a destra ed il primo termine a sinistra
dell’eguaglianza sono uguali, quindi:
 a0 H '  0  E1  a0  0
Sostituendo nell’ultima equazione la combinazione lineare  0  a a0   b0
si ottiene:

a  a0 H '  a0    a0 H '  b0  E1 a  a0  a0    a0  b0

Ricordando le condizioni di ortonormalità quest’ultima si semplifica :
'
'
aH aa
 H ab
 aE1
Avendo indicato con H’aa ed H’ab gli elementi di matrice della perturbazione negli stati
a e b:
'
H aa
  a0 H '  a0
'
H ab
  a0 H '  b0
Con un processo algebricamente analogo ma moltiplicando per Y0b prima di
integrare si ottiene:
'
'
aH ba
 H bb
 E 1
Quindi possiamo comporre il sistema:
'
'
a H aa
 E1   H ab
0
'
'
aH ba
  H bb
 E1   0
La soluzione non banale per a e  si ottiene ponendo a zero il determinante dei
coefficienti:
H  E H
E   E H

'
aa
1
'
bb
'
'
 E 1  H ab
H ba
0
1 2
1
'
aa
'
'
'
'
'
 H bb
 H aa
H bb
 H ab
H ba
E1 
1 '
'
H

H

aa
bb

2

H
'
aa

' 2
'
' 
 H bb
 4 H ab
H ba

Come si vede la presenza della perturbazione rimuove la degenerazione e l’energia ha
due valori possibili che dipendono dai valori degli elementi di matrice della
perturbazione.