Prova scritta di Fisica Generale I Corso di studio in Astronomia – 24 giugno 2014 Problema 1 Una locomotiva di massa 2m = 400 kg traina lungo un tratto rettilineo di binario due carrozze, C1 e C2, ciascuna di massa m. La carrozza C1 è collegata direttamente alla locomotiva tramite una molla di costante elastica k = 3 × 104 N/m, mentre la carrozza C2 è collegata a C1 per mezzo di una fune inestensibile e di massa trascurabile. Alla locomotiva è applicata una forza esterna costante di modulo F = 8 × 103 N, diretta parallelamente alla direzione del moto. Sapendo che il coefficiente d’attrito dinamico tra il convoglio e il binario vale µ = 0.05, si calcoli la tensione T della fune, l’allungamento della molla rispetto alla sua lunghezza a riposo, ∆x, e l’accelerazione a con cui si muove il convoglio. Soluzione Consideriamo le forze che hanno componente diversa da zero lungo la direzione del moto. Sulla locomotiva (L) agiscono la forza esterna, F , la forza elastica, −k∆x, e la forza di attrito, −µ2mg. Sulla carrozza C1 agiscono la forza elastica, +k∆x, la tensione della fune, −T , e l’attrito, −µmg; su C2 la tensione della fune , +T , e l’attrito, −µmg. Scrivendo la legge di Newton per i singoli componenti del sistema (L, C1 e C2) si ottiene 2maL = F − k∆x − 2µmg ma1 = k∆x − T − µmg ma2 = T − µmg , (1) Se la fune è tesa e la molla ha raggiunto la massima deformazione, la tre accelerazioni devono essere uguali, aL = a1 = a2 ≡ a. Sommando le tre equazioni si ottiene 4ma = F − 4µmg , (2) da cui segue subito F − µg = 9.5 m/s2 . 4m La tensione della fune si ricava dalla terza equazione a= T = ma + µmg = F/4 = 2000 N e la deformazione della molla dalla prima, ∆x = F/(2k) = 0.13 m . 1 (3) (4) Problema 2 Si consideri un corpo rigido formato da un disco omogeneo di raggio R = 20 cm e massa M = 1.4 kg e da una sbarretta sottile e omogenea di massa m = 300 g, lunga R, fissata lungo un raggio del disco. Il sistema è disposto su un piano verticale ed è in grado di ruotare intorno ad un asse orizzontale passante per il centro del disco, O. Esso viene abbandonato da fermo con la sbarretta disposta orizzontalmente. Trascurando tutti gli attriti, si determini 1. la posizione del centro di massa nella configurazione iniziale; 2. la velocità angolare del sistema quando la sbarretta è disposta verticalmente. In realtà, a causa degli inevitabili attriti, l’ampiezza del moto del sistema si riduce e dopo un certo tempo viene raggiunto un regime di piccole oscillazioni. Si calcoli 3. il periodo delle piccole oscillazioni. Soluzione La posizione iniziale del centro di massa (CM) del corpo si calcola facilmente, dato che sono note le posizioni dei centri di massa del disco e della sbarretta. Introdotto un sistema cartesiano con orgine nel centro del disco (O), asse x orizzonatale e asse y verticale, sarà mR 2(m + M ) = (myCM,sbarretta + M yCM,disco )/(m + M ) = 0 . xCM = (mxCM,sbarretta + M xCM,disco )/(m + M ) = yCM (5) (6) Il CM del corpo si trova quindi lungo il diametro orizzontale, ad una distanza d = mR/[2(m+ M )] = 0.018 m dal centro del disco. Se gli attriti sono trascurabili, l’energia meccanica è conservata. Assumendo come livello zero dell’energia potenziale gravitazionale la quota del CM quando la sbarretta è verticale, l’energia meccanica all’istante iniziale è E0 = (m + M )gd. Dato che il moto è una pura rotazione con asse fisso, l’energia finale vale E1 = Iω 2 /2, dove I è il momento d’inerzia del corpo rispetto all’asse di rotazione; I = Isbarretta +Idisco = mR2 /3+M R2 /2= (3M +2m)R2 /6. Segue immediatamente 1 2 mR/2 Iω = (m + M )g 2 m+M (7) ed infine s ω= 6g = 4.3 rad/s . (3M/m + 2)R 2 (8) Si tratta di calcolare il periodo delle piccole oscillazioni per un pendolo composto, in cui il CM dista d dall’asse di rotazione. Ricordando che la pulsazione è data dalla relazione s Ω= (m + M )gd , I (9) il periodo risulta s 2π (3M/m + 2)R P = = 2π = 2.1 s . Ω 3g (10) Problema 3 Un recipiente cilindrico a pareti adiabatiche, disposto orizzontalmente, è separato in due parti, A e B, da un setto mobile, di massa trascurabile, anch’esso adiabatico e libero di scorrere senza attrito. Il setto si trova inizialmente in condizione di equilibrio statico. Il comparto A contiene n = 1 mole di un gas ideale biatomico, in equilibrio termodinamico alla temperatura iniziale TA = 300 K. Il comparto B contiene n = 1 mole di vapor d’acqua saturo in equilibrio termodinamico alla temperatura TB = 373 K e pressione PB = 1 atm. Per mezzo di una resistenza elettrica, una quantità complessiva di calore Q viene fornita al gas in A, in modo che questo si espanda molto lentamente. Al termine dell’espansione si hanno nuovamente condizioni di equilibrio termodinamico sia in A che in B, e una quantità m = 9 g di acqua si è formata in B. Trattando il vapore in B come un gas ideale, e ricordando che la massa molare e la densità dell’acqua valgono rispettivamente MH2 O = 18 g/mol e ρH2 O = 1000 kg/m3 , si calcoli: 1. Il lavoro fatto dal gas in A. 2. La variazione di temperatura del gas in A. 3. La variazione di entropia del gas in A. Soluzione Il volume iniziale del vapore in B è pari a: VBi = nRTB = 0.03 m3 PB (11) Per definizione di massa molare, se x è la frazione di moli del vapore che viene liquefatta durante la compressione, si ha m = nxMH2 O , con n = 1. Pertanto x = 0.5. Il volume di vapore all’equilibrio finale in B, ricordando che il cambiamento di fase è un processo isotermo e isobaro, è quindi pari a: VBf = n(1 − x)RTB = 0.015 m3 , PB 3 (12) Il volume di acqua formatasi è pari a VH2 O = m/ρH2 O ∼ 10−5 m3 , ed è pertanto del tutto trascurabile rispetto al volume di vapore. Dato che la trasformazione parte all’equilibrio meccanico, e procede in modo quasi statico, il gas in A si mantiene anch’esso a pressione costante PA = PB = 1 atm durante l’espansione. Il lavoro fatto dal gas in A è pari a: WA = PA (VBi − VBf ) = 1549 J (13) Possiamo ora applicare il primo principo della termodinamica alla trasformazione del gas in A, ricordando che in una trasformazione isobara del gas si ha Q = nCP ∆T , e che, per un gas ideale, ∆U = nCV ∆T . nCV ∆TA = nCP ∆TA − W . (14) Dalla relazione di Mayer si trova quindi la consueta formula, per le isobare, W = nR∆T . Quindi, per la nostra mole di gas in A si ha ∆T = W/R = 186 K. La temperatura finale in A è quindi TAf = 486K . La variazione di entropia nell’isobara è (gas biatomico, CP = 7R/2): TAf ∆SA = nCP log = 14 JK . TA 4 (15)