Corsi di Laurea in Ingegneria Prova scritta di Fisica Generale 1 (Prof. G. Naletto) Corsi estivi a Bressanone - Bressanone, 12 Agosto 2011 Cognome .............................................................. Nome ........................................... Matricola ....................... Docente di riferimento a Padova: Prof. ................................................................... Problema 1 Un corpo A di dimensioni trascurabili e massa mA = 1.2 kg giace su un piano orizzontale liscio appoggiato ad una molla ideale di costante elastica k = 400 N/m parallela al piano, l vincolata ad un estremo e compressa di ∆x = 0.15 m. Ad un certo istante la molla viene sbloccata ed il corpo inizia a muoversi sul piano. Dopo essersi staccato dalla molla, il corpo A attraversa un tratto scabro di lunghezza l del piano; il coefficiente di attrito dinamico tra corpo e piano è µ = 0.08 e l’intervallo di tempo impiegato dal corpo ad attraversare il tratto scabro è pari a ∆t = 0.5 s. Dopo aver superato questo tratto scabro, quindi nuovamente sul piano liscio, il corpo A urta in modo completamente anelastico un corpo B di massa mB = 2mA inizialmente fermo sul piano. I due corpi uniti, infine, vanno a comprimere un’altra molla identica alla precedente, parallela al piano e vincolata all’estremo opposto rispetto ai corpi. Determinare: a) la lunghezza l del tratto scabro di piano; b) il modulo v della velocità del sistema dei corpi A+B dopo l’urto. A B Problema 2 A θ B Un corpo A di dimensioni trascurabili e massa mA = 5 kg giace su un piano liscio inclinato di un angolo θ = 30°. Il corpo è collegato verso l’alto ad una molla ideale parallela al piano, vincolata ad un estremo ed estesa di ∆x = 0.2 m, e verso il basso ad una fune ideale, tesa parallelamente al piano. All’altro estremo della fune, per mezzo di una carrucola ideale, è collegato un corpo B di massa mB = 3mA soggetto alla forza peso. Inizialmente tutto il sistema è fermo. Ad un certo istante, si stacca la molla ed il sistema dei due corpi inizia a muoversi. Determinare: a) il valore della costante elastica k della molla; b) l’altezza h di cui è sceso il corpo B quando il modulo della sua velocità è v = 3 m/s. Problema 3 v B l R z A –v l Una corpo rigido è costituito da una sfera omogenea di raggio R = 0.2 m e massa M = 5m = 5 kg e da due sbarrette di sezione trascurabile, lunghezza l = R e massa m = 1 kg; le due sbarrette hanno entrambe un estremo in contatto con la superficie della sfera, sono orientate radialmente e disposte simmetricamente rispetto al centro della sfera. Il corpo, che può ruotare senza attrito attorno ad un asse fisso z passante per il centro della sfera e perpendicolare alle sbarrette, inizialmente è fermo. Ad un certo istante, due corpi A e B di dimensioni trascurabili, di uguale massa mA = mB = m/4 e aventi velocità opposte di modulo v = 5 m/s e direzione perpendicolare al piano contenente l’asse di rotazione z e le sbarrette, urtano in modo completamente anelastico le sbarrette stesse ai loro estremi liberi (vedi figura) rimanendovi attaccate. Determinare: a) il momento di inerzia Iz rispetto all’asse di rotazione del corpo rigido prima dell’urto; b) il modulo ω della velocità angolare del sistema dopo l’urto. Problema 4 Tre moli di gas ideale biatomico contenute in un cilindro adiabatico chiuso da un pistone adiabatico che può muoversi senza attrito si trovano nello stato iniziale A in equilibrio alla pressione pA = 105 Pa e occupano un volume VA = 0.1 m3. Per mezzo di un rapido spostamento del pistone, il gas viene espanso; quando il volume del gas è VB = 2VA e corrispondentemente la sua energia interna è variata di ∆UAB = –6000 J, si blocca il pistone e si attende che il gas raggiunga l’equilibrio. Con il pistone bloccato, si rimuove l’isolamento adiabatico e si pone il gas in contatto termico con un serbatoio alla temperatura TC = 280 K. Raggiunto il nuovo stato di equilibrio C, si ripristina la parete adiabatica del cilindro, si sblocca il pistone e si comprime reversibilmente il gas fino allo stato D in cui VD = VA. Infine, dopo aver nuovamente bloccato il pistone, per mezzo di un riscaldatore posto internamente al cilindro, si fa tornare il gas reversibilmente nello stato iniziale A. Determinare: a) il valore della pressione pB del gas nello stato B; b) il lavoro totale WTOT compiuto dal gas nel ciclo. Problema 5 Due moli di gas ideale monoatomico si trovano nello stato A, di volume VA = 0.04 m3, pressione pA = 105 Pa e temperatura TA. Il gas viene compresso reversibilmente mantenendo il contatto termico con un serbatoio alla temperatura TA fino a raggiungere lo stato B. Dallo stato B il gas giunge per mezzo di una trasformazione adiabatica reversibile allo stato C, con TC = TB/2 e VC = VA/2. Infine, il gas viene messo in contatto termico con il serbatoio alla temperatura TA fino a raggiungere lo stato iniziale A. Determinare: a) il lavoro WAB scambiato dal gas nella trasformazione AB; b) la variazione ∆SU di entropia dell’universo nel ciclo. Problema 4bis (per chi non svolge la parte di termodinamica) Un corpo rigido è costituito da una sbarretta AB di lunghezza l = 0.8 m e massa trascurabile, e da un anello omogeneo di massa m = 2 kg e raggio R = 0.1 m attaccato A in B alla sbarretta su un punto della sua circonferenza, avente il suo centro sul prolungamento di AB. Il sistema può ruotare senza attrito attorno ad un asse θ orizzontale passante per A perpendicolare al piano dell’anello. La sbarretta AB giace inclinata di un angolo θ = 40° rispetto alla verticale sostenuta da una fune ideale attaccata alla sbarretta nel suo punto medio tesa perpendicolarmente alla sbarretta C stessa (vedi figura). All’altro estremo della fune, per mezzo di una carrucola ideale, è appeso un corpo C di massa mC soggetto alla forza peso. Inizialmente tutto il sistema è B fermo. Ad un certo istante si taglia la fune ed il corpo inizia a ruotare attorno all’asse passante per A. Determinare: a) il valore della massa mC del corpo C; b) il modulo α dell’accelerazione angolare del corpo rigido nell’istante del taglio della fune. Problema 5bis (per chi non svolge la parte di termodinamica) Un disco omogeneo A di massa mA = 15 kg e raggio R = 0.15 m si muove di puro rotolamento su un piano orizzontale scabro grazie all’azione di un B A momento interno di modulo M = 10 Nm. Un altro corpo B di massa mB = mA è collegato al centro di massa del disco per mezzo di un opportuno supporto rigido di massa trascurabile parallelo al piano; il corpo B si trova “davanti” ad A (nel verso del moto del centro di massa di A, per cui B è spinto da A), ed è soggetto ad una forza di attrito radente dinamico con coefficiente µ = 0.22. Determinare: a) il modulo a dell’accelerazione del centro di massa del disco; b) il valore minimo µs,min del coefficiente di attrito statico tra disco e piano perché possa avvenire il moto di puro rotolamento. Soluzioni Problema 1 a) 1 1 2 k∆x 2 = m A v oA 2 2 b) v A = v oA + (−µg )∆t = 2.35 m/s; mA v A = (m A + mB )v ⇒ v = ⇒ voA = ∆x k = 2.74 m/s; a = −µg mA ⇒ l= 1 ( −µg )∆t 2 + voA ∆t = 1.27 m 2 mA v v A = A == 0.78 m/s m A + mB 3 Problema 2 a) T = mB g; k∆x = m A g sin θ + T = mA g (sin θ + 3) ⇒ k = b) ∆E k , A+ B + ∆E p, A+ B = 0 ⇒ ⇒ h= mA g (sin θ + 3) = 857.5 N/m ∆x 1 (mA + mB )v 2 = mA gh sin θ + mB gh ⇒ 2mA v 2 = mA gh(sin θ + 3) 2 2v 2 = 0.52 m g (sin θ + 3) oppure mA g sin θ + mB g = (m A + mB )a ⇒ a = g (sin θ + 3); v 2 = vo2 + 2ah = g (sin θ + 3)h 4 2 Problema 3 a) b) 2 1 2 l 20 MR 2 + 2 m l 2 + m R + = mR 2 = 0 .267 kg m 2 5 12 2 3 r r 26 I z ' = I z + 2 m A (R + l )2 = mR 2 ; Li ,CM = L f ,CM ⇒ 2[(R + l )m A v ] = I z ' ω 3 3v ⇒ ω= = 2. 88 rad/s 26 R Iz = ⇒ 4R m 26 v= mR 2ω 4 3 Problema 4 p a) A ∆U AB = −W AB = B oppure p V ∆U AB TA = A A = 401 K; ∆U AB = ncV (TB − TA ) ⇒ TB = TA + = 304.47 K nR ncV C ⇒ D V b) 1 ( p BVB − p AV A ) ⇒ p B = 1 [ p AV A + (γ − 1)∆U AB ] = 3.8 ⋅ 104 Pa γ −1 VB pB = nRTB = 3.8 ⋅ 104 Pa VB γ −1 V TCVC = TDV D ⇒ TD = TC C = 369 .5 K VD W AB = −∆U AB ; WBC = 0; WCD = −∆U CD = ncV (TC − TD ) = −5578 J; WDA = 0 γ −1 γ −1 ⇒ WTOT = WAB + WCD = 421.6 J Problema 5 pC = p nRTC nRTB / 2 nRTA = = = pA VC VA / 2 VA Quindi la trasformazione CA è isobara irreversibile. 1 B a) T p T TA = A A = 240.6 K; TBVBγ −1 = TCVCγ −1 ⇒ VB = VC C nR TB ⇒ WAB = nRTA ln C A b) γ −1 = 0.0071 m 3 VB = −6931J VA Q AB = W AB ; QCA = ncP (TA − TC ) = 5000 J ∆S U = ∆S amb = V Problema 4bis r a) ∑MA =0 b) ∑ M A = I Aα r ⇒ ( l + R ) mg sin θ = ⇒ l mC g 2 [ ⇒ −Q AB −QCA + = 8.03 J/K TA TA l+R = 2 .89 kg l ( l + R ) g sin θ ⇒ α= 2 = 6.9 rad/s R + (l + R )2 m C = 2 m sin θ ] ( l + R ) mg sin θ = mR 2 + m (l + R )2 α Problema 5bis a) −T M T fas fad M 1 − f as mA a A = ⇒ R 2 2mA a A = f as − µmA g b) 1 2 aCM , A M − Rf as = Iα = mA R 2 R f − T = m a as A CM , A T − f ad = mB aCM ,B ⇒ T − µmA g = mAaCM , A 5 M 2 M mA a A = − µmA g ⇒ a A = − µg = 0.92 m/s2 2 R 5 mA R f as = mA (2a A + µg ) ≤ µ s mA g ⇒ µ s ≥ 2a A + µ = 0.41 g