A.A. 2013-14
Fisica Generale
26-04-14
ESERCIZIO 1
Un blocco di massa m =70 kg viene spinto a velocità costante verso l'alto lungo un piano inclinato di un
angolo =30° rispetto all'orizzontale e lungo l = 8 m. Il coefficiente di attrito dinamico tra la cassa ed il
piano è d = 0.4. Sapendo che la direzione della forza applicata è parallela al piano, determinare:
a) il lavoro compiuto dalla forza applicata alla cassa;
b) il lavoro compiuto dalla forza di gravità;
c) il lavoro compiuto dalla forza di attrito.
Soluzione
a) Le forze sono: la forza applicata F, la forza di attrito fd, la forza peso Fp e la reazione normale N.
Prendendo un asse x diretto come il piano, verso l’alto, e un asse y perpendicolare, la proiezione della
seconda legge di Newton sui due assi fornisce (essendo la velocità costante e quindi l’accelerazione
nulla):
−
− =0
−
cos = 0
si ha quindi =
+
cos = 580.6
Il lavoro della forza applicata è quindi
= = 4645
b) Il lavoro della forza peso è
= − ℎ = − sin = − 2744
c) Con la relazione =
=
cos , infine si calcola il lavoro della forza di attrito, che è:
= − cos = −1901 .
ESERCIZIO 2
Un elemento materiale di massa m1 = 0.5 kg viene posto a contatto di una
molla di costante elastica k = 392 N m-1, che quindi viene compressa,
rispetto alla sua lunghezza di riposo, di un tratto x = 4 cm.
Quindi l’elemento viene lasciato andare e, muovendosi su un piano
orizzontale privo di attrito, urta una massa m2 = 0:5 kg appesa ad un filo inestensibile di massa
trascurabile, lungo l = 2 m. Si calcoli l'altezza raggiunta dalla seconda massa nei due seguenti casi:
a) urto perfettamente elastico;
b) urto completamente anelastico.
Soluzione
In entrambi i casi la velocità della massa
si determina tramite la conservazione dell’energia
⁄ .
meccanica: 1⁄2 ∆ = 1⁄2 , da cui:
=∆
a) Si conservano il momento della quantità di moto
=
+ , con =
(si noti che
la conservazione della quantità di moto porterebbe in questo caso agli stessi risultati) e l’energia
cinetica 1⁄2
= 1⁄2
+ 1⁄2
. Si ha
=
. Successivamente all’urto si
conserva l’energia meccanica: 1⁄2 ℎ= = =
∆
=
ℎ, da cui
= 6.4 ∙ 10
:
) , da cui
b) Si conserva solo il momento della quantità di moto:
= , con = ( +
⁄
(
)
=(
. La conservazione dell’energia meccanica dà ora:1 2 =
+
ℎ, da cui:
)
ℎ= ∆
= 1.6
.
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Fisica Generale
26-04-14
ESERCIZIO 3
E’ dato un sistema costituito da un anello di massa M e raggio R = 30 cm e da una
sbarretta, anch’essa di massa M, coincidente con un raggio dell’anello. Il sistema può
ruotare senza attrito attorno ad un asse orizzontale passante per il centro O dell’anello. Il
sistema viene lasciato libero, da fermo, da una posizione in cui la sbarretta è orizzontale
(vd. figura). Si calcoli:
a) la posizione del centro di massa del sistema;
b) il momento d’inerzia rispetto all’asse di rotazione;
c) la velocità angolare del sistema e la velocità lineare del centro di massa quando il raggio raggiunge la
posizione verticale.
Sapendo che quando la sbarretta è verticale la forza totale che agisce sull’asse di rotazione è 98 N,
d) calcolare il valore della massa M.
Soluzione
a) Il centro di massa del sistema si può facilmente calcolare sapendo che l’anello, per questo scopo, può
essere assimilato a una massa puntiforme posta nel suo centro. Dalla definizione si ha quindi:
⁄ x =
= , misurato a partire dal centro lungo la sbarretta.
b) Il momento d’inerzia rispetto all’asse di rotazione, si può calcolare come somma dei momenti
d’inerzia rispetto allo stesso asse dell’anello e della sbarretta; si ha dunque: I = MR + 1⁄3 MR =
4⁄3 MR ;
c) Il baricentro del sistema si abbassa di una quota pari all’altezza del centro di massa. Si conserva
l’energia
meccanica,
per
cui
si
ottiene:
= 1⁄2 da
cui:
=
2 =
2 3
44 =
3
=
8
3(9.8 )
= 3.5
8(0.3 )
d) La prima equazione cardinale proiettata su un asse radiale, nel momento in cui la sbarretta passa per la
verticale, fornisce: − 2
= , avendo chiamato R la reazione vincolare agente sull’asse
di rotazione, e proiettando i vettori su un asse verticale orientato verso l’alto. Quindi
=2
+ 2 =2
+ 2 (3 ⁄8 )( ⁄4) = 2 (1 + 3⁄32) = 70⁄32 , da cui:
= 32 ⁄70 = 32 (98 )⁄70 (9.8 ) = 4.6 .
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