Prova scritta dell` 8 Luglio 2009 S

Facoltá di Scienze Matematiche Fisiche e Naturali
Analisi Matematica 1 (c.l.t. in Fisica)
Prova scritta dell’ 8 Luglio 2009
Svolgere gli esercizi seguenti
1. La famiglia Fortunato, (papà, mamma e i due gemelli Felice e Letizia) è arrivata in villeggiatura.
Arrivati allo stabilimento balneare, scoprono che l’unica fila che ha ancora gli ombrelloni liberi
è l’ultima, che è posta a distanza `dall’ ingresso: ingresso che si trova in B = (L, 0) mentre i
servizi, il chiosco e l’area giochi si trovano in A = (0, 0). Mamma e papà prevedono di portare i
gemelli in spiaggia tutti i giorni sia al mattino che nel pomeriggio: e poichè i gemelli sono ancora
piccoli utilizzeranno per la discesa in spiaggia i passeggini a ruote, e quindi necessariamente le
passerelle in cemento BC e CD. Inoltre prevedono che sia al mattino che al pomeriggio sarà loro
necessario recarsi nella zona A (senza passeggini e quindi lungo la direzione più breve) almeno
3 volte.
Dove conviene loro scegliere il proprio ombrellone (nell’ipotesi che la fila sia tutta libera) per
percorrere ogni giorno la minor distanza possibile?
2. Determinare il valore dell’integrale
Z
0
1
1
dx.
√ √
x 1−x
3. Determinare il raggio di convergenza e l’insieme I di convergenza della serie
∞
X
(−3)n xn
√
.
n+1
n=1
Determinare se esiste un intervallo [−a, a] ⊂ I non degenere tale che, detta S la somma della
serie, risulti S ∈ C 2 ([−a, a].
Gli studenti esonerati possono svolgere solamente gli Esercizi 2 e 3.
Motivare tutte le risposte, altrimenti esse non verranno valutate.
Consegnare una sola copia, ordinata, numerando e contrassegnando col proprio nome e cognome e
corso di laurea tutti i fogli consegnati (non pi di due).
Compiti privi degli estremi di identificazione non verranno corretti.
Non riconsegnare la traccia del compito.
E’ ASSOLUTAMENTE VIETATO COPIARE!
1
Facoltà di Scienze Matematiche Fisiche e Naturali
Insegnamento di Analisi Matematica 1 - c.l. in Fisica
Prova teorica dell’ 8 Luglio 2009
Nome e Cognome .....................................................................................................
Svolgere i seguenti quesiti
1. Enunciato e dimostrazione del Teorema di continuità della funzione inversa
2. Enunciato e dimostrazione del Teorema di derivazione della funzione composta (Regola della
Catena)
3. (Facoltativo) Dimostrare la relazione
n
X
3
k =
k=1
n
X
!2
k
k=1
per n ∈ N+ .
Rispondere inoltre ai seguenti quesiti a risposta multipla compilando la tabella in
calce
1. Considerata l’applicazione
f (x) =
10x
se x ≥ 0
2x + c se x < 0
quale tra le seguenti affermazioni falsa?
A. se c ≤ 1 allora f iniettiva
B. se f iniettiva, allora c ≤ 1
C. f iniettiva se c ≤ 1
D. nessuna delle precedenti, sono tutte vere
2. Sia f : A → R con A convesso; date le affermazioni
I f è continua
II f è iniettiva
III f è monotòna
A. se vale II allora vale I
B. se vale II allora vale III
C. se valgono I e II allora vale III
D. se vale I allora valgono II e III
3. Sia f : R → R derivabile, con f 0 (x) ≥ 0 per ogni x ∈ R e supponiamo che f 0 (x) = 0 solo per
x = 1, x = 2 e x = 3. Allora
A. f é non decrescente, ma non strettamente crescente
B. f ha almeno un punto di minimo e un punto di massimo
C. f strettamente crescente
D. f non é integrabile in senso generalizzato in [0, +∞)
2
4. Quale tra i seguenti grafici rappresenta un controesempio per l’affermazione
Se f 0 (x) = 0 in infiniti punti =⇒ ci sono infiniti punti di massimo o di minimo?
5. La funzione f (x) = | log2 x|
A. non presenta punti critici
B. è invertibile
C. non verifica le ipoptesi del Teorema di Rolle in alcun intervallo, dunque non ha punti critici
D. ha un punto critico, pur non verificando le ipotesi del Teorema di Rolle in nessun intervallo
6. Data una serie geometrica
∞
X
∞
X
q n , se per ogni n ∈ N il resto n-esimo (cioè la somma della serie
n=1
q k ) è minore dell’(n − 1)-esimo termine, allora
k=n
A. |q| < 1 perchè basta che la serie converga
B. 0 < q < 1 perchè occorre che la serie converga e sia a termini positivi
C. non va bene nessuna delle risposte precedenti, perchè è impossibile che in una serie geometrica
il resto n-esimo non ecceda il termine precedente
D. nessuna delle precedenti risposte è corretta
7. Se (an )n é una successione in ]0, +∞) tale che
∞
X
an converge, detta (sn )n la successione delle
n=1
somme parziali, qual é il comportamento della serie
∞
X
sn an ?
n=1
A. converge
B. diverge
C. é indeterminata
D. non lo si puó stabilire in generale, dipende da (an )n .
3
8. Sia g : [a, b] → R una funzione a gradinata con g([a, b]) costuituito da almeno 4 punti. Qual è
l’affermazione giusta?
A. la funzione integrale G di g non è definita in tutto l’intervallo [a, b]
B. la funzione integrale G di g è definita in tutto l’intervallo [a, b], ma in alcuni punti non è
continua
C. la funzione integrale G di g è definita e continua in tutto l’intervallo [a, b], ma in alcuni punti
non è derivabile
D. la funzione integrale G di g è definita e derivabile in tutto l’intervallo [a, b], ma in alcuni
punti la derivata di G non è continua
9. Sia fn : A → R una successione di funzioni tali che
|fn (x)| ≤ cn
per ogni x ∈ A e per ogni n ≥ 3; quale delle seguenti condizioni non basta a garantire la
∞
X
convergenza totale della serie di funzioni
fn (x)?
n=1
A.
B.
C.
√
n
lim n cn = 0
√
lim n cn = 0
n→+∞
n→+∞
lim n · cn = 0
n→+∞
D. nessuna delle precedenti perchè serve una maggiorazione anche per n = 1 e n = 2.
10. In quale dei seguenti teoremi si utilizza il Teorema della Permanenza del Segno?
A. Primo Teorema delle Restrizioni
B. Secondo Teorema delle Restrizioni
C. Limite del Reciproco di un infinito
D. Teorema dei Carabinieri
4
Facoltà di Scienze Matematiche Fisiche e Naturali
Insegnamento di Analisi Matematica A - studenti immatricolati negli AA precedenti
Prova teorica dell’8 Luglio 2009
Nome e Cognome .....................................................................................................
Svolgere i seguenti quesiti
1. Enunciato e dimostrazione del Teorema di continuità della funzione inversa
2. Enunciato e dimostrazione del Teorema di derivazione della funzione composta (Regola della
Catena)
3. (Facoltativo) Dimostrare la relazione
n
X
k3 =
k=1
n
X
!2
k
k=1
per n ∈ N+ .
Rispondere inoltre ai seguenti quesiti a risposta multipla compilando la tabella in
calce
1. Considerata l’applicazione
f (x) =
10x
se x ≥ 0
2x + c se x < 0
quale tra le seguenti affermazioni falsa?
A. se c ≤ 1 allora f iniettiva
B. se f iniettiva, allora c ≤ 1
C. f iniettiva se c ≤ 1
D. nessuna delle precedenti, sono tutte vere
2. Sia f : A → R con A convesso; date le affermazioni
I f è continua
II f è iniettiva
III f è monotòna
A. se vale II allora vale I
B. se vale II allora vale III
C. se valgono I e II allora vale III
D. se vale I allora valgono II e III
3. Sia f : R → R derivabile, con f 0 (x) ≥ 0 per ogni x ∈ R e supponiamo che f 0 (x) = 0 solo per
x = 1, x = 2 e x = 3. Allora
A. f é non decrescente, ma non strettamente crescente
B. f ha almeno un punto di minimo e un punto di massimo
C. f strettamente crescente
D. f non é integrabile in senso generalizzato in [0, +∞)
5
4. Quale tra i seguenti grafici rappresenta un controesempio per l’affermazione
Se f 0 (x) = 0 in infiniti punti =⇒ ci sono infiniti punti di massimo o di minimo?
5. La funzione f (x) = | log2 x|
A. non presenta punti critici
B. è invertibile
C. non verifica le ipoptesi del Teorema di Rolle in alcun intervallo, dunque non ha punti critici
D. ha un punto critico, pur non verificando le ipotesi del Teorema di Rolle in nessun intervallo
6. Data una serie geometrica
∞
X
∞
X
q n , se per ogni n ∈ N il resto n-esimo (cioè la somma della serie
n=1
q k ) è minore dell’(n − 1)-esimo termine, allora
k=n
A. |q| < 1 perchè basta che la serie converga
B. 0 < q < 1 perchè occorre che la serie converga e sia a termini positivi
C. non va bene nessuna delle risposte precedenti, perchè è impossibile che in una serie geometrica
il resto n-esimo non ecceda il termine precedente
D. nessuna delle precedenti risposte è corretta
7. Se (an )n é una successione in ]0, +∞) tale che
∞
X
an converge, detta (sn )n la successione delle
n=1
somme parziali, qual é il comportamento della serie
∞
X
sn an ?
n=1
A. converge
B. diverge
C. é indeterminata
D. non lo si puó stabilire in generale, dipende da (an )n .
6
8. Sia g : [a, b] → R una funzione a gradinata, con g([a, b]) costuituito da almeno 4 punti. Qual è
l’affermazione giusta?
A. la funzione integrale G di g non è definita in tutto l’intervallo [a, b]
B. la funzione integrale G di g è definita in tutto l’intervallo [a, b], ma in alcuni punti non è
continua
C. la funzione integrale G di g è definita e continua in tutto l’intervallo [a, b], ma in alcuni punti
non è derivabile
D. la funzione integrale G di g è definita e derivabile in tutto l’intervallo [a, b], ma in alcuni
punti la derivata di G non è continua
9. Sia f : [1, +∞) → R continua e integrabile in senso generalizzato. Qual é l’affermazione falsa?
A. f é limitata
Z 2n
B. lim
f (x)dx = 0
n→+∞ n
C.
D.
lim f (n2 ) = 0
n→+∞
lim
x→+∞
f (x)
=0
x
10. In quale dei seguenti teoremi si utilizza il Teorema della Permanenza del Segno?
A. Primo Teorema delle Restrizioni
B. Secondo Teorema delle Restrizioni
C. Limite del Reciproco di un infinito
D. Teorema dei Carabinieri
7
Svolgimento della prova scritta del 18 Giugno 2009
Esercizio 1. Se la posizione dell’ombrellone prescelto è il punto P, la famiglia percorrerà 4 volte al
giorno il tratto BCP e 12 volte il tratto PA, che si può considerare rettilineo, dato che DC è l’ulima fila
di ombrelloni, e quindi si può supporre che la zona alle spalle di questa fila sia percorribile liberamente
lungo ogni percorso.
Detta quindi x l’ascissa del punto P, si ha per il tratto BCP la lunghezza
BC + CP = ` + (L − x)
e per il tratto AP la lunghezza
AP =
p
x2 + `2 ;
quindi la distanza quotidiana è
p
p
f (x) = 12 x2 + `2 + 4[` + (L − x)] = 4(3 x2 + `2 + ` + L − x),
con x ∈ [0, L]. Si ha
3x
−1
f 0 (x) = 4 √
x2 + `2
e quindi f è derivabile in tutto l’intervallo di definizione; quindi i punti di massimo e di minimo
possono essere trovati o tra gli zeri della
√ derivata prima o agli estremi dell’intervallo.
0
L’equazione f (x) = 0 conduce a 3x = x2 + `2 , ed essendo x ≥ 0 questa è a sua volta equivalente a
8x2 = `2 .
√
Inoltre lo studio della disequazione f 0 (x) > 0 fornisce 3x > x2 + `2 , e trattandosi di numeri positivi,
`2
si perviene alla formulazione x2 > .
8
`
Si debbono a questo punto distinguere due casi: se √ < L, allora si ha un punto di minimo in
2 2
`
`
x = √ e quindi conviene scegliere l’ombrellone a distanza L − √ da C (il problema sarà magari
2 2
2 2
`
spiegarlo al bagnino...), mentre se √ ≥ L allora f è tutta decrescente in [0, L] e quindi il minimo è
2 2
assunto in x = L.
Esercizio 2. Applicando il Teorema di Abel, si determina il raggio di convergenza attraverso il limite
lim
n→+∞
Si ha
lim
n→+∞
p
n
|an | = lim
n→+∞
√
n
3
.
n+1
√
1
n
n + 1 = lim e n log(n+1) .
n→+∞
L’esponente tende a 0 perchè è un noto rapporto tra infiniti simultanei, e quindi il limite converge a
1; perciò si trova
p
lim n |an | = 3
n→+∞
1
cioè ρ = .
3
1
Rimane da stablire se agli estremi dell’intervallo si ha o no convergenza; per x = − il termine generale
3
1
1
della serie diviene √
e quindi la serie diverge, mentre per x = si trova la serie a segni alterni
3
n+1
∞
X
(−1)n
√
n+1
n=1
1 1
che converge in virtù del Crirterio di Leibnitz. Quindi l’intervallo di convergenza è I = − , .
3 3
8
Esercizio 3. Si tratta di un integrale generalizzato, perchè l’integranda tende a +∞ in entrambe gli
estremi di integrazione; pertanto bisogna innanzitutto calcolare
Z
a
b
1
dx
√ √
x 1−x
con 0 < a < b < 1; è conveniente la sostituzione x = sin2 t √
per la quale si trova la trasformazione
√
dell’intervallo di integrazione, nell’intervallo [arcsin a, arcsin b] e quindi l’integrale diviene
Z
a
b
1
dx =
√ √
x 1−x
e quindi
Z
0
1
Z
arcsin
arcsin
√
√
a
b
√
√
√
1
√b = 2 arcsin b − 2 arcsin a
2 sin t cos tdt = [2t + c]arcsin
a
arcsin
sin t cos t
√
√
1
π
dx = lim 2 arcsin b − 2 arcsin a = 2 · = π.
√ √
a↓0,b↑1
2
x 1−x
9
Infine la tabella delle risposte corrette per i quesiti a risposta multipla é la seguente
10