1
L’analisi matematica è il ramo della matematica che studia il comportamento locale di una funzione
utilizzando gli strumenti del calcolo differenziale e del calcolo integrale. In analisi matematica per
studio di funzioni si intende quell’insieme di procedure che ci permette infine di tracciare il grafico
della funzione.
FUNZIONE REALE DI VARIABILE REALE
Dati due insiemi non vuoti, A e B, si chiama funzione di A in B una qualsiasi legge che fa
corrispondere ad ogni elemento x di A uno ed un solo elemento y di B.
Il dominio della funzione è l’insieme degli elementi di A che hanno un’immagine in B, il codominio
è il sottinsieme di B costituito da elementi che sono immagini di elementi di A, e in genere
f(A) B
Se gli insiemi A e B sono costituiti da numeri reali si parlerà di funzione reale di variabile reale.
A
B
x
y=f(x)
Per indicare una funzione si scrive:
f: A B
oppure
x y=f(x)
o più semplicemente
y = f(x).
Si dice che:
f è definita in A e prende i suoi valori in B
x è la variabile (indipendente) in A
y, cioè f(x), è l’immagine della x in B e si chiama variabile dipendente perché dipende dal
valore dato alla x.
Esempi:
∙ y = 2x2 +1 è una funzione poiché ad ogni valore di x corrisponde uno ed un solo valore di y.
Il dominio della funzione è l’insieme dei numeri reali e il codominio è l’insieme dei numeri dispari.
x2+y2=4 non è una funzione. Infatti
y 2= 4 - x2 da cui
𝑦 = ∓√4 − 𝑥 2
Ad ogni valore di x corrispondono due valori opposti di y perciò tale legge non è una funzione.
∙
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2
CLASSIFICAZIONE DELLE FUNZIONI
Le funzioni analitiche si possono classificare in base alla natura dell’espressione nella quale
compare la variabile indipendente x; si hanno così le funzioni algebriche ( razionali o irrazionali,
intere o fratte) e le funzioni trascendenti (esponenziali, logaritmiche, goniometriche ecc.)
La funzione è irrazionale quando la x compare sotto segno di radice, è fratta quando la x compare al
denominatore, è esponenziale quando la x compare come esponente, logaritmica quando compare
come argomento ecc. ecc.
Esempi:
y x 2 2 x 4 è una funzione algebrica, razionale, intera
y
x 4 log 2 x
è una funzione trascendente logaritmica, razionale, fratta
x
y
3x 2 x
è una funzione algebrica, irrazionale, intera
2
y
e2x x
è una funzione trascendente esponenziale, razionale, fratta
x2 1
y
ex 3
è una funzione algebrica, irrazionale, intera
2
y
ex 3
è una funzione algebrica, irrazionale, fratta
x2
1
y 2 x è una funzione trascendente esponenziale, razionale. fratta
y 2 log 3 5 x 3 è una funzione algebrica, razionale, intera.
DOMINIO DI UNA FUNZIONE
Si è già detto che il dominio di una funzione (o campo di esistenza della funzione) è l’insieme dei
valori della x che hanno una immagine, mentre il codominio è l’insieme dei valori che la funzione,
cioè la y, può assumere.
Per ricercare il dominio della funzione y=f(x) bisogna prima classificare la funzione stessa e in base
alle sue caratteristiche ricercare il campo di esistenza.
Bisogna vedere dove esiste la funzione considerata e porre quindi le condizioni di esistenza
denominate C.E. (oppure D).
Distinguiamo vari casi:
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3
① Se la f(x) è algebrica razione intera, il suo dominio è tutto R poiché la x può assumere
qualsiasi valore, quindi D=R. Graficamente questo significa che il grafico della funzione,
senza interruzioni, può esistere ovunque negli assi cartesiani, da -∞ a +∞.
Esempi:
y x 2 2x 4
D: R
y
3x 2 5
2
D: R
② Se la f(x) è algebrica razionale fratta, bisogna escludere dal dominio i valori che
annullano il denominatore. Graficamente questo significa che il grafico della funzione si
interrompe in prossimità di questi punti per poi riprendere.
Esempi:
x2 4
y 2
Il denominatore si annulla per x=±1 e quindi D: R-{-1,+1}oppure D: x≠±1
x 1
x2 x
y 2
Il denominatore non si annulla mai e quindi D: R
x 1
③ Se la f(x) è algebrica irrazionale con radice ad indice pari bisogna porre il radicando
positivo. Se l’indice è dispari non ci sono problemi.
Esempi:
x2 4
2
Il radicando deve essere positivo. Ponendo 𝑥 2 − 4 ≥ 0 e discutendo la disequazione di secondo
grado si otterranno come soluzioni i valori esterni, cioè 𝑥 ≤ −2 𝑒 𝑥 ≥ 2. Graficamente questo
significa che nell’intervallo che va da -2 a +2 la funzione non esiste.
x 1
y3
x
D: x≠0 poiché tale valore annulla il denominatore. Non ci interessa che la funzione sia irrazionale
dal momento che l’indice della radice è dispari.
y
④ Se la f(x) è trascendente logaritmica, bisogna ricordare che l’argomento del logaritmo
deve essere sempre positivo.
Esempi:
y log 3 x 2
Per definizione deve essere x+2>0, da cui D: x>-2
y InInx 1
Ricordiamo che il simbolo In indica i logaritmi in base e. Per definizione deve essere In(x-1)>0, e
ricordando che un logaritmo è positivo quando il suo argomento è maggiore di 1,otteniamo x-1>1
da cui D: x>2.
⑤Se la f(x) è trascendente esponenziale, cioè del tipo 𝑦 = [𝑓(𝑥)] 𝑔(𝑥) , occorre porre f(x)>0 e
discutere nuovamente g(x).
Esempi:
1
y 2x
La base è sempre positiva. Discutendo l’esponente ricaveremo D: x≠0.
y x 1
Discutendo la base otteniamo x>-1 e discutendo l’esponente otteniamo x≠2, per cui D: x>-1 e x ≠2.
1
x 2
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4
Ci sono vari modi per rappresentare il dominio di una funzione. Si possono dare le soluzioni
algebriche, grafiche, per intervalli ecc.
Le soluzioni algebriche sono quelle viste negli esempi precedenti.
Per le soluzioni grafiche bisogna considerare una retta su cui i punti vengono rappresentati con delle
palline vuote se il punto è escluso, piene se il punto è incluso. La retta sarà continua dove ci sono le
soluzioni, tratteggiata dove non ci sono soluzioni.
Per le soluzioni ad intervalli vengono utilizzate le parentesi tonde se il punto è escluso, quadre se il
punto è compreso. Per i simboli ±∞ si usano sempre le tonde.
Esempio:
D: −2 ≤ 𝑥 < 1 𝑒 1 < 𝑥 ≤ 3
soluzione algebrica
D:
………●_____________○___________●……………………
-2
D:
1
soluzione grafica
3
[−2, 1) ∪ ( 1, 3]
soluzione ad intervalli
Esempio:
D: x>-1 e x ≠2
soluzione algebrica
D: ………○_____________○__________________________
soluzione grafica
-1
D:
2
(−1, 2) ∪ (2, +∞)
soluzione ad intervalli
Se la f(x) è somma di più funzioni bisogna determinare il dominio di tutti gli addendi e
rappresentare graficamente e separatamente tutti questi domini. Il dominio della f(x) è dato dal
dominio comune a tutte le funzioni.
Esempio:
2
1
y Inx 3 3 x 4
6 x
Determiniamo separatamente il dominio dei tre addendi.
Primo addendo: In(x+3)≥0, x+3≥1, x≥-2.
Secondo addendo: x2-4≥0 da cui x≤-2 e x≥2
Terzo addendo: x≠6
……… ………●_________________________________________________________________________
-2
____________●……………………………….●______________________________________
-2
2
_____________________________________________________○___________________
6
D: [2, 6) ∪ (6, +∞)
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5
FUNZIONI PARI E DISPARI
Una funzione si dice pari quando f(-x)= f(x). Graficamente le funzioni pari sono simmetriche
rispetto all’asse y.
Una funzione si dice dispari quando f(-x)= -f(x). Graficamente le funzioni dispari sono
simmetriche rispetto all’origine degli assi.
Esempi:
y
7 x2
è una funzione dispari, infatti
x
7 x
7 x2
7 x2
f ( x)
x
x
x
x2 4
y 2
è una funzione pari, infatti
x 1
2
f ( x)
f ( x)
( x) 2 4 x 2 4
f ( x)
( x) 2 1 x 2 1
y
x3 4
non è né pari né dispari, infatti
x2 1
( x) 3 4 x 3 4
x3 4
da cui f(-x ) ≠f(x) e f(-x) ≠-f(x)
f ( x)
2
2
( x) 2 1
x 1
x 1
SEGNO DI UNA FUNZIONE
Studiare il segno della funzione y=f(x) assegnata serve a capire dove la funzione è positiva o
negativa, e quindi a capire in quali intervalli del suo dominio il grafico si trova al di sopra dell’asse
delle ascisse e dove al di sotto di essa.
Per conoscere il segno della funzione basta risolvere la disequazione f(x)>0 e ricordare che bisogna
prendere in considerazione solamente le soluzioni che rientrano nel dominio della funzione.
Esempi:
x 2 5x 4
D: x≠0 e x≠3
x 2 3x
x 2 5x 4
0
f(x)>0 per
x 2 3x
Ricordando come si risolvono le disequazioni fratte, separiamo il numeratore dal denominatore
ponendoli entrambi maggiori di zero, risolviamo separatamente le due disequazioni, tracciamo il
grafico di entrambe le disequazioni, moltiplichiamo i segni.
Le soluzioni della disequazione fratta si otterranno in corrispondenza del segno +.
y
N) x 2 5 x 4 0
D)
per x<1 e x>4
x 2 3x 0
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per x<0 e x>3
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6
Passiamo al grafico
N) _____________________○……………………………….○____________________
1
4
D) ____________○…………………………………………○_________________________
0
3
+
+
+
Segno della funzione:
f(x)>0 per x<0, 1<x<3, x>4
x 1
x 3
x 1
f(x)>0 per log
0
x 3
y log
x 1
1 0
x 3
;
cioè per
x 1 x 3
0
x 3
x 1
1 Risolviamo la disequazione fratta
x 3
;
2
0
x 3
Risolviamo numeratore e denominatore separatamente. Il numeratore è sempre positivo. Il
denominatore è maggiore di zero quando x>3. Passiamo al grafico.
N) _________________________________________________________
D)
……………………………………………………………………○_________________________
3
+
Segno della funzione:
f(x)>0 per x>3
3x
3x 3
Risolviamo numeratore e denominatore separatamente. Il numeratore è sempre positivo. Il
y
denominatore è maggiore di zero quando
3x 3 da cui le soluzioni x>1. Passiamo al grafico.
N) _________________________________________________________
D)
……………………………………………………………………○_________________________
1
+
Segno della funzione:
f(x)>0 per x>1
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7
LIMITI
In matematica il limite di una funzione non è altro che un nuovo tipo di operazione.
Consideriamo la funzione y = f(x) e supponiamo che il suo grafico sia il seguente
Come si vede dal grafico, più scegliamo x vicino al valore x0
appartenente al dominio e più la sua immagine f(x) si avvicina
ad un certo valore l=f(x0).
Si dice che il limite per x che tende ad x0 della funzione f(x) è
uguale ad l e si scrive:
lim f ( x) l
x x0
Se x0 non fa parte del dominio si procederà in maniera diversa.
I numeri x0 ed l possono essere finiti o infiniti.
Definizione
Si dice che la funzione f(x), per x tendente a x0, ha per limite il numero l, se lim f ( x) l ,
x
x0
Definizione
Si dice che la funzione f(x), per x tendente a x0, ha per limite l’infinito, se lim f ( x)
x
x0
Definizione
Si dice che la funzione f(x), per x tendente all’infinito, ha per limite il numero l, se
lim f ( x) l ,
x
Definizione
Si dice che la funzione f(x), per x tendente all’infinito, ha per limite l’infinito,
lim f ( x)
se
x
DA RICORDARE
𝒏
=𝟎;
∞
±𝒏
= ±∞
𝟎
TEOREMA DELL’UNICITÀ DEL LIMITE
Se esiste il limite della funzione f(x), per x che tende a x0 ( o a infinito), tale limite è unico.
Esempi:
1
1
1
2x 1 6 1 7
cos 2 x 1 1 1 0
lim
0
x
x
0 3 2
1 2 1
e x e
1
1
1
lim
0
x
x
e
lim
x 3
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8
5
lim x 0
x
x
Per risolvere algebricamente questi limiti abbiamo applicato
LE OPERAZIONI SUI LIMITI
Se lim f ( x) l
e
x
a
lim g ( x) m , allora:
x
a
lim f ( x) + lim g ( x) = l+m
x
a
x
a
lim f ( x) ∙ lim g ( x) = l∙m
x
a
x
a
g ( x)
m
lim f ( x)
x
a
l
f ( x) l
x a g ( x)
m
lim
Esempio:
con m≠0
senx
0
x
x
lim
Infatti, ricordando che -1<senx<1 per ogni valore di x, e calcolando separatamente il limite del
numeratore e il limite del denominatore, otteniamo:
senx
1
lim senx lim
l∙0=0
x
x
x
x
x
lim
LIMITE DESTRO E LIMITE SINISTRO
Se il punto x0 non fa parte del dominio della funzione, è bene studiare l’andamento della funzione
per x che tende ad x0 sia da destra che da sinistra.
Definizione
Si dice che il numero l è il limite “destro” della funzione f(x), per xx0, se
lim f ( x) l
x
x0
Si dice che il numero l è il limite “sinistro” della funzione f(x), per xx0, se
lim f ( x) l
x x0
Si può dimostrare che se i limiti “destro” l1 e “sinistro” l2 di f(x), per xx0, esistono e coincidono,
cioè
l1=l2=l,
allora l è il limite di questa funzione per xx0.
Vale anche il viceversa.
Esempi:
lim
x 3
1
1
1
x 3 3 3 0
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9
lim
x
3
1
1
1
x 3 3 3 0
2
2
x
0
2
x
0
lim e e
x 0
lim e e
e
2
x 0
e
1
1
0
e
INFINITESIMI E INFINITI
Si dice che una funzione f(x) è un infinitesimo per x→a quando lim f ( x) 0
x
a
Si dice che una funzione f(x) è un infinito per x→a quando lim f ( x)
x
a
Se f(x) e g(x) sono entrambi degli infinitesimi (o infiniti) per x→a , si dice che f(x) e g(x) sono
infinitesimi (o infiniti) simultanei.
In questo caso è interessante vedere quale dei due infinitesimi (o infiniti) tende a 0 (oppure a ∞) più
rapidamente. Possiamo stabilire ciò determinando il limite, se esiste, del loro rapporto per x→a .
Se
∙
f ( x)
l
x a g ( x)
∙
f ( x)
0 , si dice che f(x) è un infinitesimo di ordine superiore.
x a g ( x)
∙
f ( x)
, si dice che f(x) è un infinitesimo di ordine inferiore.
x a g ( x)
∙
f ( x)
0 , si dice che f(x) è un infinito di ordine inferiore.
x a g ( x)
∙
f ( x)
, si dice che f(x) è un infinito di ordine superiore.
x a g ( x)
lim
(finito) , si dice che f(x) e g(x) infinitesimi (o infiniti) dello stesso ordine.
Se
lim
Se
lim
Se
lim
Se
lim
FORME INDETERMINATE
I teoremi enunciati precedentemente perdono significato quando i limiti considerati si presentano
sotto una delle forme:
0
+ - ;
;
0 ;
; 1∞ ; 00 ;
∞0
0
che si dicono forme indeterminate ( o di indecisione).
Quando dal calcolo di un limite si ottiene una di queste forme indeterminate si deve cercare,
attraverso diversi procedimenti, di uscirne.
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10
Consideriamo qualche caso.
+∞ - ∞
FORMA INDETERMINATA
Se la funzione è razionale basta mettere in evidenza la x con esponente più grande.
Se la funzione è irrazionale basta razionalizzare.
Esempi:
lim
x
x
2x 5
3
Otteniamo la forma indeterminata +∞-∞. Mettiamo in evidenza la x con esponente maggiore.
2
5
lim x 3 2 x 5 = lim x 3 1 2 3 = +∞∙(1-0+0) = +∞
x
x
x
x
lim
x
x
2
2 x
Sostituendo otteniamo la forma indeterminata +∞-∞. Razionalizziamo:
lim
x
x
2
2 x =
lim
x2 2 x
x2 2 x
x2 2 x
x
FORMA INDETERMINATA
=
lim
x
x2 2 x2
x2 2 x
=
2
=0
Basta mettere in evidenza la x con esponente più grande sia al numeratore che al denominatore,
semplificare e poi sostituire.
Esempi.
1
1
x 2
2
2x 1
x
x 2
lim
lim
lim
2
2
x
x
x
1
x 1
x 1
1
x
x2
x2
3
x 2 1 4
x 1 0 +∞
lim
2
x
50
5
x
3
x 4 1 4
x 3
x
lim
lim
2
x 5 x 2 x
x
2
x2 5
x
1
1
x 2 1 2
1 2
x 1
1
x
x
lim 2
lim
lim
x x 2 x 3
x 2
2 3
2
2 3 x
2 2
x 2 2
x x
x x
2
x2 5
5x 2 x
x
lim
lim
3
x x 4
x
4
3
x 1 3
x
4
2
2
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2
50
x
=0
lim
x
4 1 0
x 1 3
x
5
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11
Osservando gli esempi precedenti si giunge alla conclusione che in questa forma indeterminata il
valore finale del limite può essere 0, oppure ∞, oppure un numero. In pratica possiamo arrivare al
risultato finale senza eseguire calcoli.
Consideriamo
f ( x)
lim
che si presenta nella forma indeterminata
x g ( x )
Consideriamo i tre casi possibili :
f ( x)
=0
x g ( x )
f ( x)
2) Se il grado del numeratore è maggiore del grado del denominatore si avrà: lim
x g ( x )
f ( x)
3) Se il grado del numeratore è uguale al grado del denominatore si avrà: lim
=l
x g ( x )
dove l è dato dal rapporto fra i coefficienti della x con esponente più grande.
1) Se il grado del numeratore è minore del grado del denominatore si avrà: lim
FORMA INDETERMINATA
0
0
0
basta scomporre numeratore e denominatore e poi
0
semplificare. Se questo non è possibile basterà razionalizzare oppure applicare qualche sostituzione.
Esempi:
Per uscire dalla forma indeterminata
x2 1
( x 1)( x 1)
lim
lim ( x 1) -2
x 1
x 1 x 1
x
1
x 1
3
2
x x
x2 1
x( x 1)
1
lim 2
lim
lim
x 0 x 2 x
x
0
x 0 x( x 2)
2
x2
lim
lim
x 2
2 x
x2
(scomponiamo il denominatore e semplifichiamo )
= lim
x 2
2 x
( x 2 )( x 2 )
= lim
x 2
1
x 2
=∞
1 cos x
Non potendo scomporre e ricordando che sen2x = 1 – cos2x , moltiplichiamo
x 0
senx
numeratore e denominatore per 1+ cosx
lim
1 cos x
=
x 0
senx
lim
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(1 cos x)(1 cos x)
sen 2 x
senx
0
= lim
= lim
= =0
x
0
x 0
x 0 senx (1 cos x)
1 cos x 2
senx(1 cos x)
lim
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12
x 1 x2 x 2
Non potendo scomporre, proviamo a razionalizzare
x 1
x 1
lim
( x 1 x 2 x 2 )( x 1 x 2 x 2 )
x 1 x2 x 2
= lim
=
x 1
x 1
x 1
( x 1)( x 1 x 2 x 2 )
lim
= lim
x 1
= lim
x 1
( x 1) 2 ( x 2 x 2 ) 2
( x 1)( x 1 x 2 x 2 )
x 2 2x 1 x 2 2x 2
( x 1)( x 1 x x 2 )
2
= lim
x 1
=
( x 1) 2 ( x 2 x 2 ) 2
( x 1)( x 1 x 2 x 2 )
lim
x
1
=
x 1
( x 1)( x 1 x x 2 )
2
= lim
x 1
1
x 1 x2 x 2
=
1
1
2 4 4
FORMA INDETERMINATA 0
Per uscire da questa forma indeterminata non esiste un procedimento standard, bisogna
semplicemente studiare i singoli esercizi e ricordare varie formule.
Esempio:
senx cos x
senx senx cos x
=
lim
lim
lim tagx(1 cot agx)
1
=
x 0 cos x
x 0 cos x
x
0
senx
senx
senx cos x
= -1
x 0
cos x
Esempio:
lim
lim sen2 x cot agx = lim 2 senx cos x
x 0
x
0
cos x
senx
=
lim 2 cos 2 x = 2
x
0
ALCUNI LIMITI PARTICOLARI
Alcuni limiti fondamentali per l’analisi sono i seguenti:
senx
lim
1
1)
x 0
x
x
2)
3)
4)
5)
1
lim 1 e
x
x
log( 1 x)
lim
1
x
0
x
e x 1
lim
1
x 0
x
a x 1
lim
log a
x 0
x
Esempi:
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13
1 cos x
x 0
x
lim
0
. Cerchiamo di ricondurlo al limite notevole n.1 moltiplicando numeratore
0
e denominatore per 1+cosx
(1 cos x)(1 cos x)
1 cos x
senx senx
0
sen 2 x
= lim
= lim
= lim
= 1 0
lim
x 0
x 0
x 0
x
0 x(1 cos x)
x
x 1 cos x
2
x(1 cos x)
3x senx
lim
x 0 9 x cos x
0
Forma indeterminata
. Cerchiamo di ricondurlo al limite notevole n.1 dividendo numeratore e
0
denominatore per x.
senx
3
3x senx
x 3 1 4
= lim
lim
x 0 9 cos x
x 0 9 x cos x
9
9
sen5 x
lim
x 0
x
0
Forma indeterminata
. Cerchiamo di ricondurlo al limite notevole n.1 moltiplicando numeratore
0
e denominatore per 5
sen5 x
sen5 x
lim
5 1 5
= lim 5
x 0
x
0
x
5x
Forma indeterminata
x
1
lim 1
x
3x
Forma indeterminata 0 . Cerchiamo di ricondurlo al limite notevole n.2
1
3x
x
1
1 3
1
lim 1 = lim 1 = e 3 3 e
x
x
3 x
3x
log( 1 3 x)
lim
x 0
x
0
Forma indeterminata
. Cerchiamo di ricondurlo al limite notevole n.3
0
log( 1 3 x)
log( 1 3 x)
lim
= lim 3
= 3 1 3
x 0
x 0
x
3x
e2x 1
lim
x 0
3x
0
Forma indeterminata
. Cerchiamo di ricondurlo al limite notevole n.4
0
1
e y 1 1
e2x 1
1
e2x 1
e y 1
lim
lim
=
Posto 2x=y otteniamo lim
= lim 2
=
x 0
3 y 0 y
3 x 0 x
3x
3 y 0
y
2
1
2
2
3
3
Prof. Rosa Anna Bruzzese
Analisi matematica
14
3x 1
lim x
x 0 e 1
Forma indeterminata
0
. Cerchiamo di ricondurlo ai limiti notevoli n.4 e n.5
0
1
3x 1 e x 1
3x 1
3x 1 x
= log 3 11 log 3
x
lim x
= lim
= lim
x
0
x 0
x 0 e 1
x x
x
e 1
ex 1
1 ex 1 2 1
= lim
x 1 0 0
lim
x
0 2
x 0
x3
2
2x
LA FUNZIONE ESPONENZIALE
3
3
Si dice funzione esponenziale elementare ogni funzione f: R → R che si può scrivere nella forma
y = ax
,
con a 0
Distinguiamo due casi :
0<a<1
a>1
a 1
Al crescere della x cresce anche la y e
viceversa, cioè la funzione è crescente.
0 a 1
Quando x assume valori crescenti, i valori
di y decrescono e viceversa. La funzione
è quindi decrescente.
In base al grafico si deduce:
In base al grafico si deduce:
lim a x
x
lim a x 1
x 0
lim a x 0
x
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lim a x 0
x
lim a x 1
x 0
lim a x
x
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15
LA FUNZIONE LOGARITMICA
Si dice funzione logaritmica ogni funzione del tipo
y log a x
Relativamente alle funzioni logaritmiche si possono fare le seguenti considerazioni:
Il suo dominio è R
Tutte le curve logaritmiche passano per il punto ( 1, 0 )
0<a<1
La funzione è crescente
Se 0 a 1 Assume valori positivi se 0 x 1
Assume valori negativi se x 1
Se a 1
La funzione è decrescente
Assume valori negativi se
0 x 1
assume valori positivi se x 1
0 a 1
a 1
In base al grafico si deduce:
lim log x
x
lim log x
x
0
a>1
In base al grafico si deduce:
lim log x
x
lim log x
x
0
FUNZIONI CONTINUE
Si dice che la funzione f(x), definita in tutti i punti di un intervallo [a,b] è continua nel punto x o
( interno a questo intervallo), se risulta
lim f ( x) f ( x0 )
(numero finito)
x x0
Intuitivamente una funzione si dice continua se il suo grafico non presenta interruzioni.
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16
DISCONTINUITA’
Un punto x 0 si dice punto di discontinuità di prima specie per la funzione f (x ) quando, per 𝑥 →
𝑥0 , il limite destro e il limite sinistro di f (x ) sono entrambi finiti ma diversi fra loro.
lim f ( x) l1 ≠
lim f ( x) l2
x x0
x
x0
La differenza |𝑙2 − 𝑙1 | si dice salto della funzione.
Esempio:
2 x 7
f ( x)
2 x 7
se x≤5
se x>5
Ovviamente x=5 è punto di discontinuità.
lim 2 x 7 3
x
5
lim 2 x 7 17
x
5
Poiché limite destro e limite sinistro sono finiti e diversi fra loro, x=5 è punto di discontinuità di
prima specie. Il salto della funzione per 𝑥 → 5 vale |17 − 3| = 4
Un punto x 0 si dice punto di discontinuità di seconda specie per la funzione f (x ) quando, per x →
x0 , almeno uno dei due limiti destro o sinistro è infinito oppure non esiste.
x2 2x 4
x2
La funzione non è definita per x=2
Esempio: f ( x)
lim
x
2
x2 2x 4
x2
e
lim
x
2
x2 2x 4
x2
Il punto x=2 è punto di discontinuità di seconda specie.
Un punto x 0 si dice punto di discontinuità di terza specie (o eliminabile) per la funzione f (x )
quando, per x → x0 ,
lim
x x0
f ( x) f ( x0 )
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17
ASINTOTI
Gli asintoti sono le tangenti alla curva all’infinito.
Rispetto ad un sistema di assi cartesiani ortogonali un asintoto può essere:
a) parallelo all’asse y ( o verticale)
Sono del tipo x = a , dove a è un valore che annulla il denominatore.
b) parallelo all’asse x ( o orizzontale)
Sono del tipo y = b ( con b numero finito ), dove b = lim f ( x) .
x
È da ricordare che questo limite è finito solo quando il grado della funzione al numeratore è
al grado della funzione al denominatore.
c) obliquo rispetto agli assi
Se non ci sono asintoti orizzontali, la curva può ammettere asintoto obliquo.
L’asintoto obliquo, se esiste, è dato da una equazione del tipo
y=mx+q
dove
f ( x)
m = lim
e
q = lim f ( x) mx
x
x
x
Esempi
Determinare, se esistono, gli asintoti delle funzioni:
x 1
y
x2
Asintoto verticale:
x=2
poiché il valore 2 annulla il denominatore
x 1
1
Asintoto orizzontale:
y=1
poiché lim
x x 2
Dal momento che esiste l’asintoto orizzontale non potrà esistere l’asintoto obliquo.
1
y e 2x
Asintoto verticale:
x=0
Asintoto orizzontale:
y=1
poiché il valore 0 annulla il denominatore
poiché
lim e
x
1
2x
1
e e0 1
Non esiste l’asintoto obliquo
x2 3
y
x 1
Asintoto verticale:
x=1 poiché il valore 1 annulla il denominatore
Poiché non esiste l’asintoto orizzontale potrebbe esserci l’asintoto obliquo
x2 3
f ( x)
lim 2
m = lim
1
x
x
x x
x
x2 3
x2 3 x2 x
x3
1
x = lim
q = lim f ( x) mx = lim
= lim
x
x 1
x x 1
x
x 1
x
Asintoto obliquo:
y=x
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18
DERIVATA DI UNA FUNZIONE IN UN PUNTO
Sia y= f(x) una funzione definita in un intervallo [a,b] e sia x0 un punto interno a questo intervallo.
Se da x0 si passa ad un altro punto qualunque x0+h dell’intervallo [a,b], si dice che si è dato alla
variabile x l’incremento (positivo o negativo) h.
La differenza f(x0+h)-f(x0) tra i valori che la funzione assume quando la variabile x passa dal valore
x0 al valore x0+h si chiama incremento della funzione.
f ( x0 h) f ( x0 )
si chiama rapporto incrementale della funzione f(x) relativo al
h
punto x0 e all’incremento h.
Il rapporto
DEFINIZIONE
Si chiama derivata della funzione f(x) nel punto x0 il limite, se esiste ed è finito, del rapporto
incrementale della funzione al tendere a zero dell’incremento h della variabile.
La derivata si indica con uno qualunque dei simboli : f ' (x0) , y' (x0) , ecc.
Pertanto la derivata f 1(x0) della funzione f(x ) è definita dalla relazione :
f ' (x0) = lim
h
0
f ( x0 h) f ( x0 )
h
nell’ipotesi che il limite del secondo membro esista e sia finito.
La derivata f 1(x0) della funzione f(x ) si può anche scrivere :
f ( x) f ( x0 )
f
lim
x 0 x
x x 0
x x0
f ' (x0)= lim
L’operazione con la quale si calcola derivata f(x) è detta la derivazione di questa funzione.
Se una funzione è derivabile in un punto, allora è necessariamente continua in quel punto. Il
viceversa non sempre è vero.
Se una funzione è discontinua in un punto, in quel punto non è derivabile.
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19
ESEMPI :
a) Calcolare nel punto x=2 la derivata della funzione f(x) = x3
Si avrà:
Incremento della funzione f =f(2+h)-f(2) = (2+h)3 – 8 = h3 +6h2 +12h
f ( 2 h ) f ( 2)
f
Rapporto incrementale
= h2+ 6h+ 12
h
x
f ( 2 h ) f ( 2)
Risulterà: lim
= 12
h
0
h
Il che prova che la funzione x3 è derivabile nel punto x=2, e la derivata vale 12.
b) Calcolare la derivata di f(x) = x3 – 4x nel punto x0 =1
Si avrà:
Incremento della funzione f =f(1+h) –f(1) = [(1+h)3 –4(1+h)] +3= h3 +3h2 –h
f (1 h) f (1)
f
Rapporto incrementale
= h2 +3h –1
h
x
f (1 h) f (1)
= lim ( h2 +3h –1)= -1
h
0
h
0
h
La derivata della funzione data, nel punto 1, è f ' (1) = -1
Risulterà : lim
DERIVATE DI ALCUNE FUNZIONI ELEMENTARI
1. Derivata di una funzione costante
Se f(x) = k, allora f ' (x) = 0 : la derivata di una costante vale zero.
Infatti f ' (x) = lim
h
0
k k
= lim 0 = 0
h
0
h
2. Derivata della funzione f(x) = x
Se f(x) = x, allora f ' (x) = 1 : la derivata della variabile x vale 1
Infatti f ' (x) = lim
h
0
( x h) x
h
= lim
= lim 1 = 1
h
0 h
h
0
h
3. Derivata della funzione potenza f(x) = xn
Se f(x) = xn , con n 0, allora f ' (x) = nxn-1
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20
TEOREMI SULLE DERIVATE
Siano f(x) e g(x) due funzioni definite e derivabili nello stesso intervallo I .
Sussistono i seguenti teoremi:
Derivata della funzione somma
La funzione s(x) = f(x) + g(x), somma di due funzioni derivabili in I , è anch’essa derivabile in I , e
la sua derivata è uguale alla somma delle derivate delle due funzioni. Cioè:
s ' (x) = f ' (x) + g ' (x)
Esempio:
D (x5 +2x3 + 3x +9 ) = 5x4 +6x2 +3
Derivata della funzione prodotto
La funzione s(x) = f(x) g(x), prodotto di due funzioni derivabili in I , è anch’essa derivabile in I ,
e la sua derivata è data da :
s ' (x) = f ' (x) g (x) + f (x) g ' (x)
Esempio:
D( x2senx) = 2xsenx +x2cosx
Derivata della funzione quoziente
f ( x)
La funzione q ( x)
, quoziente delle due funzioni derivabili f e g ( con g 0 ) , è una
g ( x)
funzione derivabile nell’intervallo I comune, e la sua derivata è data da :
q ' ( x)
f ' ( x) g ( x) f ( x) g ' ( x)
[ g ( x)]2
Esempio:
D
3 x 1 3x 2 2 x 3
=
2
x2 1
x2 1
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21
ALCUNE REGOLE DI DERIVAZIONE
1. DERIVATA DI UNA FUNZIONE COMPOSTA
Se y = f[g(x)] , si avrà y ' = g ' (x) f ' [g(x)].
Esempio:
Da y = sen(x 2+x+1) si avrà : y ' = (2x+1) cos(x 2+x+1)
2. DERIVATA DELLA FUNZIONE LOGARITMICA
f ' ( x)
Se y = log f(x) , si avrà : y ' =
f ( x)
3. DERIVATA DI UNA POTENZA
g(x)
Se y = f(x)
f ' ( x)
[ g' (x)log f(x) + g(x)
]
f ( x)
g(x)
, si avrà : y' = f(x)
SIGNIFICATO GEOMETRICO DELLA DERIVATA
Il valore della derivata f ' (x), in un dato punto x0 , è uguale al coefficiente angolare m della
tangente alla curva y = f(x) nel punto P[x0 , f(x0)].
In altri termini, se è l’angolo che l’asse x forma con la retta t tangente alla curva di equazione
y=f(x) , nel punto P di ascissa x0 , si ha :
f ' (x0) = m = tg
EQUAZIONE DELLA TANGENTE E DELLA NORMALE A UNA CURVA
L’equazione della tangente a una curva y = f(x) nel punto P0 (x0 , y0) è :
y - y0 = f ' (x0)(x – x0)
L’equazione della normale a una curva y = f(x) nel punto P0 (x0 , y0) è :
y - y0 =
1
(x – x0)
f ( x0 )
'
( La normale alla curva nel punto P0 è la retta perpendicolare alla tangente alla curva nel punto P0 ).
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22
DERIVATE DI ORDINE SUPERIORE
La funzione derivata , finora considerata, è detta anche derivata prima.
Se la derivata prima f ' (x) di una funzione f (x) è derivabile, la sua derivata si chiama derivata
seconda di f (x) e si indica con uno dei simboli :
f '' (x) ; y '' ; D2f(x)
Se la derivata seconda f 11(x) di una funzione f (x) è derivabile, la sua derivata si chiama derivata
terza di f (x) e si indica con uno dei simboli :
f''' (x) ; y''' ; D3 f(x)
Le derivate prima, seconda, terza ecc. si chiamano anche derivate del primo ordine, del secondo
ordine, del terzo ordine ecc. Esse sono dette anche derivate successive.
ESEMPI
1) Calcolare le derivate successive della funzione y = senx
Si trova:
y' = cosx , y'' = -senx , y''' = -cosx , y'v =senx , ……………
2) Calcolare le derivate successive della funzione y =2x3+3x2-6x+5
Si trova:
y' =6x2+6x-6 , y'' =12x+6 , y''' =12 , y'v = 0
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23
TABELLA DELLE DERIVATE DI ALCUNE FUNZIONI
y' = 0
y = cost
y=x
y' = 1
y = xn
y' = nxn-1
y = [f(x)] n
y' = n [f(x) n-1] f ' (x)
y =n x
y=
n
f ( x)
y' =
y' =
1
n n x n 1
f ' ( x)
n n [ f ( x)] n 1
y = ex
y' = ex
y = ef(x)
y' = f ' (x) ef(x)
y = ax
y' = ax loge a
y = af(x)
y' = af(x)f ' (x) loge a
y' =
y = log x
1
x
y = xx
y' = xx( logx+1)
y = log f(x)
f ' ( x)
y' =
f ( x)
y = logax
y = logaf(x)
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y' =
y' =
1
logae
x
f ' ( x)
logae
f ( x)
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24
TABELLA DELLE DERIVATE DI ALCUNE FUNZIONI GONIOMETRICHE
y = sen x
y' = cos x
y = sen f(x)
y' = f ' (x) cos f(x)
y = cos x
y' = -sen x
y = cos f(x)
y' = - f ' (x) sen f(x)
y = tag x
y' =
1
= 1+tag2x = sec2x
cos 2 x
y' =
y = tag f(x)
y' = -
y = cotag x
1
= - ( 1+cotag2x)
sen 2 x
y' = -
y = cotag f(x)
f ' ( x)
cos 2 f ( x)
f ' ( x)
sen 2 f ( x)
TEOREMI FONDAMENTALI DEL CALCOLO DIFFERENZIALE
Teorema di Lagrange ( o del valore medio, o dell’aumento finito)
Se f(x) è continua e derivabile sull’intervallo [ a, b] , allora esiste almeno un punto x0(a, b) tale che
f (b) f (a)
f ' ( x0 )
ba
Teorema di Rolle
Se f(x) è continua e derivabile sull’intervallo [ a, b], e se f(a)=f(b)= 0 , allora f ' (x)=0 per almeno
un x0(a, b) .
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25
Teorema di Cauchy
Se f(x) e g(x) sono continue e derivabili sull’intervallo [ a, b] e se g ' (x) 0 per ogni x(a, b) ,
allora esiste almeno un x0(a, b) tale che
f (b) f (a) f ' ( x0 )
g (b) g (a) g ' ( x0 )
Teorema di De L’Hospital
Se f(x) e g(x) sono continue e derivabili e se il limite del loro quoziente si presenta sotto la forma
0
indeterminata
o
, allora
0
lim
x
a
f ( x)
=
g ( x)
lim
x
a
f ' ( x)
g ' ( x)
Le forme indeterminate del tipo 0 e possono essere trasformate in uno dei tipi
0
e
0
dopo di che si può applicare Hospital.
Le forme indeterminate 0 0, 0, 1
si trasformano, mediante i logaritmi naturali (Inx), in una
0
forma trasformabile a sua volta nelle
e
.
0
ESEMPI
1.
1
1
lim x
=
x
0 x
e 1
ex 1 x
=
= lim
x
x
0
x(e 1)
ex 1
=
= lim x
x
x
0 e 1 xe
(del tipo + - )
( del tipo
0
)
0
1
ex
=
lim x
x
x
x
0 e e xe
2
1
2.
lim x x 1 è del tipo 1 .
x
1
Posto y= x
lim
x
1
1
x 1
, si avrà lg y =
1
lg x , quindi
x 1
1
0
lg x (forma
) =
x 1
0
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lim
x
1
1
/1 = 1
x
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26
FUNZIONE CRESCENTE E DECRESCENTE
Nello studio di una funzione, i punti per cui essa è crescente si hanno per f ' (x)0, mentre per
f ' (x)0 si hanno i punti per cui la y è decrescente.
MASSIMI E MINIMI RELATIVI
- Criterio della derivata seconda
1) Si risolve la f ' (x)=0 per trovare i punti critici (compresi i valori che annullano il denominatore).
2) Per un valore critico x = x0 , f(x) ha un
Max se f ' ' (x)0
Min se f ' ' (x)0
Il criterio viene meno se f ' ' (x)=0 o diventa infinita. In questo caso si deve usare il criterio della
derivata prima.
-Criterio della derivata prima
1) Si risolve la f ' (x)=0 per trovare i punti critici.
2) Si localizzano i punti critici sulla retta orientata.
3) Si determina il segno di f ' (x) in ogni intervallo della retta ( funzione crescente o decrescente)
4) Si avrà : f (x) ha un
Max quando si cambia da + a
Min quando si cambia da a +
f (x) non ha né max né min se non si cambia di segno.
CONCAVITA’
Un arco di una curva y = f(x) è concavo verso l’alto (concavità positiva) se, in ciascuno dei suoi
punti, l’arco sta sopra alla tangente nel punto.
Un arco di una curva y = f(x) è concavo verso il basso (concavità negativa) se, in ciascuno dei suoi
punti, l’arco sta sotto alla tangente nel punto.
- Concavità positiva per f ' ' (x)0
- Concavità negativa per f ' ' (x)0
FLESSI
I flessi sono i punti della curva in cui la stessa passa da una fase di concavità positiva ad una fase di
concavità negativa e viceversa, e si ottengono ponendo f ' ' (x)=0.
Geometricamente si dice che la f(x) ha un punto di flesso in x0 se la retta tangente alla curva in x0
la attraversa.
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27
STUDIO DI UNA FUNZIONE
Per studiare una funzione y = f(x), cioè per esaminare l’andamento senza ricorrere
alla costruzione per punti, si procede nel modo seguente ( non è rigoroso l’ordine che
segue), stabilendo:
1. L’intervallo di esistenza della funzione .
2. Gli eventuali punti di intersezione della curva con gli assi coordinati.
3. I valori di x per cui f (x)0. (positività della funzione)
4. Le equazioni degli asintoti paralleli agli assi e obliqui, che possono essere del tipo
x = a, y = b, y = mx+q (ed eventualmente si calcolano le intersezioni, se esistono,
della curva con questi asintoti).
5. I valori della x per cui la funzione è crescente o decrescente
( f ' (x)>0 oppure f ' (x)<0 )
6. I punti di massimo e minimo relativi. ( f ' (x)=0 )
7. I punti di flesso. ( f ' ' (x)=0 )
8. Si costruisce la curva immagine della funzione, tenendo conto dell’eventuale
simmetria della curva rispetto agli assi o all’origine ( funzione pari o dispari ), e i
limiti della funzione nei punti di “frontiera”.
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28
CALCOLO INTEGRALE
INTEGRALI INDEFINITI
Ogni funzione F(x) la cui derivata è f (x) si dice funzione primitiva della f (x) o integrale indefinito
di f (x) e si scrive f ( x)dx F ( x) c .
È necessario aggiungere la costante arbitraria c, detta costante di integrazione, perché l’integrale
indefinito di una data funzione non è unico.
Per esempio x2, x2+5 , x2-4 ….. ecc. sono integrali indefiniti di f(x) = 2x perché
d 2
d 2
d 2
x 4 2 x
x
x 5
dx
dx
dx
Tutti gli integrali indefiniti di f(x) =2x sono quindi inclusi in x2+c , per cui potremo scrivere
2
2 xdx x c
In pratica l’integrale si può definire come operazione inversa della derivata.
In base alla definizione si avrà:
1
x dx log x c
2
perché
d
1
(logx+c) =
x
dx
1
dx x c
x
x
x
e dx e c
cos xdx senx c
ecc.
TEOREMA
Ogni funzione continua su un certo intervallo ammette primitive.
Le funzioni che ammettono primitive si dicono integrabili, pertanto le funzioni continue sono
integrabili.
PROPRIETA’ DELL’INTEGRALE INDEFINITO
1)Se f(x) è continua e k è una costante, si ha:
kf ( x)dx k f ( x)dx
Esempio:
3 cos xdx 3 cos xdx 3senx c
2) Se f1(x), f2(x)……… fn(x) sono funzioni continue, si ha:
f1 ( x) f 2 ( x) ........ f n ( x)dx f1 ( x)dx f 2 ( x)dx ......... f n ( x)dx
Esempio:
3x 2senx 3 cos x dx 3 xdx 2 senxdx 3 cos xdx 2 x
3
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2
2 cos x 3senx c
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29
TABELLA DELLE PRIMITIVE
1)
1
x dx n 1 x
n
n 1
c
(n -1)
14)
1 x
15)
16)
a
17)
18)
19)
a
20)
x
21)
22)
senx dx In tg 2 c = In cos ecx ctgx c
23)
cos x dx In tg
24)
sen xdx 2 x senx cos x c
In particolare:
dx x c
xdx 2 x
1
x dx 2 x c
1
1
x 2 dx x c
1
2)
3)
x dx
2
c
2 3
x c
3
1
x dx In x c
e dx e
x
4) a x dx
x
c
1 x
a c
Ina
5) senxdx cos x c
6) cos xdx senx c
1
a
7) senaxdx cos ax c
8) cos axdx
9)
1
cos
10)
2
x
1
senax c
a
dx tgx c
1
sen x dx ctgx c
2
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1 x2
1
2
dx arcsenx c
dx arctgx c
1
a2 x2
dx arcsen
x
x a
2
x
ax
2
dx
26)
, ( a>0 )
1
1
ax
dx
In
c
2
x
2a a x
2
2
1
1
xa
dx
In
c
2
a
2a x a
1
x a
2
2
dx In x x 2 a 2
c
x
1
2
( a 0 )
x2 a c
dx a x 2 c
1
x
c ( a 0 )
a
1
1
x
dx arctg c
2
x
a
a
2
25) cos 2 xdx
11) tgxdx In cos x c
12) ctgxdx In senx c
1
13)
x
2 4
c = In|secx+tgx|+c
1
1
x senx cos x c
2
a 2 x 2 dx
1 2
x
2
2
a arcsen x a x c
2
a
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30
INTEGRAZIONE PER SCOMPOSIZIONE
Se è possibile esprimere la funzione integrando f(x) come somma di un numero finito di funzioni
f1(x), f2(x), ……… fn(x) che sono singolarmente integrabili, allora
f ( x)dx f ( x) f ( x) ........ f
1
2
n
( x)dx f1 ( x)dx f 2 ( x)dx ..... f n ( x)dx
ESEMPI
2x2 3
3
1
2
x dx 2x x dx 2 xdx 3 x dx x 3lg x c
x 1 dx
1
sen 2 x cos 2 x
senx
cos x
dx
senx cos x
senx cos x dx cos x dx senx dx lg cos x lg senx c
INTEGRAZIONE PER SOSTITUZIONE
x2
x 1 3 dx
x 1
1
dx 3 x 1 dx x 3 lg x 1 c
Questa regola ha lo scopo di ricondurre il calcolo dell’integrale di una funzione a quello di un’altra
funzione, dedotta dalla prima mediante un opportuno cambiamento di variabile.
Esempio: Calcolare l’integrale x 1 x dx
Ponendo 1 x = t , si avrà
1-x = t2 ,
x = 1-t2 ,
dx = - 2t dt
x
per cui
1 x dx =
= 1 t 2 t 2tdt =
= 2t 2 4t 4 dt
2
2
= - t3 t5 c =
3
5
=-
2
3
1 x 3 2 1 x 5 c
5
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31
INTEGRAZIONE PER PARTI
Vale la formula
f ( x) g ( x)dx
'
f ( x) g ( x) f ' ( x) g ( x)dx
dove f(x) è detto fattore finito e g '(x) fattore differenziale.
ESEMPI:
Calcolare lg xdx
Posto f(x) = lgx e g '(x) = 1 , si avrà :
1
lg xdx = x lg x x xdx = x lgx – x + c
Calcolare x cos xdx
Posto f(x) = x e g '(x)dx = cosxdx , da cui
f '(x) = 1 e g(x) = senx , si avrà :
x cos xdx = xsenx - 1 senxdx = xsenx + cosx +c
INTEGRALI DEFINITI
b
Se f(x) è una funzione continua nell’intervallo [a,b], il simbolo
f ( x)dx
viene detto l’integrale
a
definito di f(x) rispetto ad x da x=a ad x=b.
La funzione f(x) viene chiamata funzione integranda, mentre a e b sono chiamati, rispettivamente,
limite inferiore e limite superiore di integrazione.
PROPRIETA’ DEGLI INTEGRALI DEFINITI
Se f(x) è continua sull’intervallo [a,b], allora:
a
1.
f ( x)dx = 0
a
b
2.
a
f ( x)dx = - f ( x)dx
a
b
b
3.
c
c
f ( x)dx +
b
f ( x)dx =
a
f ( x)dx
a
Teorema fondamentale del calcolo integrale
Se f(x) è continua sull’intervallo [a,b], e se
b
f ( x)dx F ( x) c , allora
f ( x)dx = F ( x)
b
a
= F(b) – F(a)
a
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32
CALCOLO DI AREE
b
Negli intervalli in cui f(x) è positiva l’integrale definito
f ( x)dx (con a b ) è positivo e viceversa.
a
Ogni integrale definito rappresenta l’area della regione piana limitata dalla curva e dalle rette x = a
e x = b.
b
Se le curve sono due, cioè f(x) e g(x), l’integrale
f ( x) g ( x)dx rappresenta l’area della regione
a
piana racchiusa fra i due archi di curva e le rette x = a e x = b.
ESEMPIO
Determinare l’area della regione piana limitata dalle due parabole di equazioni y = 2x2-4x+4 e
y = x2-2x+4.
Le parabole si intersecano nei punti A(0;4) e B(2;4), per cui
2
S
0
2
x3
x 2x 4 2x 4x 4 dx x 2xdx 3 x2 43
0
0
2
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2
2
2
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