Analisi Matematica I Calcolo integrale INTEGRALI Test di

Analisi Matematica I
Calcolo integrale
INTEGRALI
Test di autovalutazione
1. Sia f una funzione continua su R, e F una primitiva di f tale che F (2) = 5.
Allora necessariamente:
(a)
(b)
esiste k ∈ R tale che F (x) − f (x) = k , ∀x ∈ R
Zx
F (x) =
f (t) dt
2
(c)
(d)
non è detto che F sia derivabile in x0 = 2
Zx
f (t) dt
F (x) = 5 +
2
2. Sia F (x) = x2 + ex + 1 una primitiva di f (x). Allora necessariamente:
Z x
(a)
f (x) =
F (t) dt
1
Z x
(b) F (x) =
f (t) dt
1
Z x
(c) non esiste nessun valore di a ∈ R per cui F (x) =
f (t) dt
a
(d)
f (x) = 2x + ex + c ,
∀c ∈ R
Z x√
t2 − 9 dt. Allora:
3. Si consideri la funzione integrale F (x) =
5
(b)
1
(F −1 ) ′(0) =
4
la tangente al grafico di F nel punto x0 = 5 ha equazione y = 5+4(x−5)
(c)
F ha un punto critico in x0 = 5
(a)
(d)
F è invertibile su R
Z 1 √
3
x5 dx, allora:
4. Se A =
−1
(a)
A=2
Z
1
√
3
x5 dx
0
(b)
(c)
(d)
A=0
3 8
A = x3
8
Z 1 √
3
A=x
x2 dx
−1
c
2006
Politecnico di Torino
Analisi Matematica I
Calcolo integrale
5. L’area A compresa tra il grafico di f (x) = √
x ∈ [−2, 0], vale:
(a)
(c)
A = −1
Z −2
x
√
A=
dx
1 + 2x2
0
non è limitata
(d)
A=0
(b)
x
e l’asse delle x, per
1 + 2x2
6. Sia f (x) = x + 1, e sia µ la media integrale di f su [0, 2]. Allora:
(a)
la funzione g(x) = f (x) + 3 ha la stessa media integrale su [0, 2]
(b)
µ=4
(c)
se c = 1 si ha f (c) = µ
(d)
esiste un punto c ∈ (0, 2) tale che f (c) =
7. Sia f (t) =
sin t se 0 ≤ t < π4
cos t se π4 ≤ t ≤ π2
f (2) − f (0)
2−0
Z x
f (t) dt . Allora:
e sia F (x) =
π
4
π
4
(a)
F è continua e derivabile in
(b)
F è continua ma non derivabile in
(c)
f non è né continua né derivabile in
π
4
π
4
f è continua e derivabile in π4
Z 1
8. L’integrale improprio
log x dx
(d)
0
(a) diverge a − ∞ = lim+ log x
x→0
(b) è positivo
(c) converge a 1
(d) è uguale al valore del seguente limite:
c
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lim (t − t ln t − 1)
t→0+
Analisi Matematica I
9. L’integrale
Z
Calcolo integrale
9
0
√
1
dx
x−3
(a) ha un valore finito
(b) diverge
(c) rappresenta l’area compresa tra il grafico della funzione √
1
e l’asse
x−3
delle x, per x ∈ [0, 9)
Z 9
1
√ dx converge, converge anche l’integrale
(d) poiché l’integrale
x
0
Z 9
1
√
dx
x−3
0
Z +∞
sin t
dt
10. L’integrale improprio
1 + t2
0
(a) è convergente, ma non assolutamente convergente
(b) è assolutamente convergente
(c) è oscillante
(d) è divergente
11. Sia f una funzione continua sull’intervallo I= [2, +∞[.
(a) Se lim f (x) = 0 allora f è integrabile impropriamente su I
x→+∞
(b) Se f non è integrabile impropriamente su I, neppure |f | lo è
(c) Se f è integrabile impropriamente su I, anche |f | lo è
(d) Se f è integrabile impropriamente su I, allora f ha ordine di infinitesimo
k > 1 per x → +∞
12. Sia f una funzione derivabile infinite volte su R, positiva e limitata su R, il cui
sviluppo di Maclaurin di ordine 3 è f (x) = 5x3 +o(x3 ). Allora necessariamente:
Z 1
f (x)
√
(a) l’integrale improprio
dx è convergente
5
0 x x
Z 1
f (x)
√
(b) l’integrale improprio
dx è nullo
5
0 x x
Z +∞
f (x)
√
dx è divergente
(c) l’integrale improprio
x x5
1
Z +∞
f (x)(2 + 3 sin x)
√
dx è oscillante
(d) l’integrale improprio
x x5
1
c
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Analisi Matematica I
Calcolo integrale
1. Sia f una funzione continua su R, e F una primitiva di f tale che F (2) = 5.
Allora necessariamente:
(a)
(b)
esiste k ∈ R tale che F (x) − f (x) = k , ∀x ∈ R
Zx
F (x) =
f (t) dt
2
(c)
(d)
non è detto che F sia derivabile in x0 = 2
Zx
F (x) = 5 +
f (t) dt
2
RISPOSTA ESATTA: (d).
La risposta (a) è errata: si ha f (x) = F ′ (x); non è detto pertanto che la differenza F (x) − F ′ (x) sia costante: come controesempio, è sufficiente considerare
le funzioni f (x) = 1 e F (x) = x + 3.
La risposta (c) è errata in quanto, essendo f continua su R, per definizione
di primitiva, si ha F ′ (x) = f (x), ∀x ∈ R; dunque F è derivabile con derivata
continua su R.
Rx
La risposta (b) è errata in quanto, se F (x) = 2 f (t)dt, si ha F (2) = 0.
Questa osservazione
mostra anche che la risposta (d) è esatta, in quanto, se
Rx
F (x) = 5 + 2 f (t)dt, si ha F (2) = 5, e inoltre F ′ (x) = f (x), per il Teorema
fondamentale del calcolo integrale.
c
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Calcolo integrale
2. Sia F (x) = x2 + ex + 1 una primitiva di f (x). Allora necessariamente:
Z x
(a)
f (x) =
F (t) dt
1
Z x
(b) F (x) =
f (t) dt
1
Z x
(c) non esiste nessun valore di a ∈ R per cui F (x) =
f (t) dt
a
(d)
x
f (x) = 2x + e + c ,
∀c ∈ R
RISPOSTA ESATTA: (c).
La risposta (a) è errata: per definizione di primitiva, si ha F ′ (x) = f (x),
mentre dalla (a) si avrebbe (per il Teorema fondamentale) f ′ (x) = F (x).
Rx
La risposta (b) è errata: infatti F (1) = 2+e, mentre se fosse F (x) = 1 f (t) dt
si avrebbe F (1) = 0.
La risposta (c) è esatta, in quanto F (x) non si annulla per nessun valore di
a ∈ R.
La (d) è errata, in quanto f (x) = F ′ (x) = 2x + ex .
c
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Analisi Matematica I
3. Si consideri la funzione integrale F (x) =
Calcolo integrale
Z x√
5
t2 − 9 dt. Allora:
(b)
1
(F −1 ) ′(0) =
4
la tangente al grafico di F nel punto x0 = 5 ha equazione y = 5+4(x−5)
(c)
F ha un punto critico in x0 = 5
(d)
F è invertibile su R
(a)
RISPOSTA ESATTA: (a).
√
1
Infatti (F −1 )′ (0) = ′ , in quanto F (5) = 0. Inoltre F ′ (x) = x2 − 9
F (5)
√
′
e dunque F (5) = 25 − 9 = 4. Dunque (a) è vera e (c) è falsa, perché
F ′ (5) 6= 0.
La tangente al grafico di F nel punto di ascissa x0 = 5 è la retta di equazione
y = F (5) + F ′ (5)(x − 5) ossia y = 4(x − 5). Pertanto la risposta (b) è errata.
√
La risposta (d) è errata: è vero che F ′ (x) = x2 − 9 > 0, ∀x ∈ dom F , ma
dom F 6= R.
c
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Analisi Matematica I
4. Se A =
(a)
Z
1
√
3
Calcolo integrale
x5 dx, allora:
−1
A=2
Z
1
√
3
x5 dx
0
(b)
(c)
(d)
A=0
3 8
A = x3
8
Z 1 √
3
x2 dx
A=x
−1
RISPOSTA ESATTA: (b).
√
3
La funzione f (x) = x5 è dispari. Dunque (b) è esatta, mentre (a) è errata.
La (c) è palesemente errata: si pensi al solo fatto che A è un numero reale e
non una funzione!
La (d) è errata, perché x non può essere portata fuori dal segno di integrazione
(e, nuovamente, A non è una funzione!).
c
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Analisi Matematica I
5. L’area A compresa tra il grafico di f (x) = √
x ∈ [−2, 0], vale:
(a)
(c)
A = −1
Z −2
x
√
A=
dx
1 + 2x2
0
non è limitata
(d)
A=0
(b)
Calcolo integrale
x
e l’asse delle x, per
1 + 2x2
RISPOSTA ESATTA: (b).
x
La funzione f (x) = √
è continua. Dunque l’area cercata ha un valore
1 + 2x2
finito, e (c) è falsa.
Si osservi che f (x) assume valori negativi se x ∈ [−2, 0]. Pertanto l’area
richiesta è data da
Z −2
Z 0
x
x
√
√
dx =
dx .
A=−
2
1 + 2x
1 + 2x2
0
−2
Dunque (b) è vera.
Eseguendo il calcolo, si trova:
Z −2
i−2
1 h√
x
√
A=
dx =
= 1.
1 + 2x2
2
0
1 + 2x2
0
Dunque (d) è falsa. Si poteva asserire che (d) è falsa anche per il solo fatto
che la funzione f (x) ha segno costante su I=[−2, 0] e non è nulla. Dunque il
suo integrale definito su I non può essere nullo.
La risposta (a) è errata, in quanto un’area per definizione è un numero positivo.
c
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Calcolo integrale
6. Sia f (x) = x + 1, e sia µ la media integrale di f su [0, 2]. Allora:
(a)
la funzione g(x) = f (x) + 3 ha la stessa media integrale su [0, 2]
(b)
µ=4
(c)
se c = 1 si ha f (c) = µ
(d)
esiste un punto c ∈ (0, 2) tale che f (c) =
f (2) − f (0)
2−0
RISPOSTA ESATTA: (c).
Per definizione
1
µ=
2
Z
0
2
1
(x + 1) dx = 2 = f (1) 6=
2
Z
2
(x + 4) dx .
0
Dunque (c) è vera mentre (a) e (b) sono false.
f (2) − f (0)
= 1. Ora f (x) = 1 se e solo se
La risposta (d) è falsa in quanto
2−0
x = 0, ma 0 ∈
/ (0, 2) .
Si ricordi che, per il Teorema di Lagrange, esiste invece un punto c ∈ (0, 2)
f (2) − f (0)
tale che f ′ (c) =
.
2−0
c
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7. Sia f (t) =
sin t se 0 ≤ t < π4
cos t se π4 ≤ t ≤ π2
Calcolo integrale
e sia F (x) =
Z
x
f (t) dt . Allora:
π
4
π
4
(a)
F è continua e derivabile in
(b)
F è continua ma non derivabile in
(c)
f non è né continua né derivabile in
(d)
f è continua e derivabile in
π
4
π
4
π
4
RISPOSTA ESATTA: (a).
h πi
π
ma non è derivabile in x = . Dunque
La funzione f (t) è continua su 0,
2
4
(c) e (d) sono false.
Essendo f (t) continua, per il Teorema fondamentale del calcolo
h π iintegrale la
funzione integrale F (x) è derivabile (e dunque continua) in 0, .
4
Dunque (a) è vera mentre (b) è falsa.
c
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8. L’integrale improprio
Calcolo integrale
Z
1
log x dx
0
(a) diverge a − ∞ = lim+ log x
x→0
(b) è positivo
(c) converge a 1
(d) è uguale al valore del seguente limite:
lim (t − t ln t − 1)
t→0+
RISPOSTA ESATTA: (d)
Infatti
Z
1
log x dx
=
lim+
t→0
0
=
Z
1
log x dx
t
lim [x log x − x]1t = lim+ (−1 − t log t + t).
t→0+
t→0
Si osservi che le risposte (b) e (c) sono da scartare perché f (x) = log x ≤ 0 su
(0, 1], e dunque l’integrale definito tra 0 e 1 non può essere positivo.
c
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9. L’integrale
Z
0
Calcolo integrale
9
√
1
dx
x−3
(a) ha un valore finito
(b) diverge
(c) rappresenta l’area compresa tra il grafico della funzione √
1
e l’asse
x−3
delle x, per x ∈ [0, 9)
Z 9
1
√ dx converge, converge anche l’integrale
(d) poiché l’integrale
x
0
Z 9
1
√
dx
x−3
0
RISPOSTA ESATTA: (b)
Infatti
9
√
1
x+3
6
√
=
∼
,x → 9.
x−3
x−9
x−9
6
dx diverge, per il Criterio del confronto asintotico anche
0 Zx − 9
9
1
√
l’integrale
dx diverge.
x−3
0
Poiché
Z
Pertanto (a) è errata e (b) è esatta.
√
√
(d) è errata perché x −3 non è equivalente a x, né per x → 0 né per x → 9.
(c) è errata perché l’integrale improprio è divergente (e comunque è una
quantità negativa).
c
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10. L’integrale improprio
Calcolo integrale
Z
+∞
0
sin t
dt
1 + t2
(a) è convergente, ma non assolutamente convergente
(b) è assolutamente convergente
(c) è oscillante
(d) è divergente
RISPOSTA ESATTA: (b)
Studiamo la convergenza assoluta dell’integrale improprio. Si ha
sin t 1
1 + t2 ≤ 1 + t2
Z +∞
1
e
dt è convergente.
1 + t2
0
Z +∞
sin t
dt è assolutamente convergente, e quindi è convergente.
Dunque
1 + t2
0
Pertanto la risposta (b) è esatta, mentre le risposte (a), (c) e (d) sono errate.
c
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Analisi Matematica I
Calcolo integrale
11. Sia f una funzione continua sull’intervallo I= [2, +∞[.
(a) Se lim f (x) = 0 allora f è integrabile impropriamente su I
x→+∞
(b) Se f non è integrabile impropriamente su I, neppure |f | lo è
(c) Se f è integrabile impropriamente su I, anche |f | lo è
(d) Se f è integrabile impropriamente su I, allora f ha ordine di infinitesimo
k > 1 per x → +∞
RISPOSTA ESATTA: (b)
La risposta (a) è errata: ad esempio la funzione f (x) =
impropriamente su I, anche se lim f (x) = 0.
1
non è integrabile
x
x→+∞
La risposta (b) è esatta in quanto è la contronominale della proprietà che
lega la assoluta integrabilità impropria con l’integrabilità impropria semplice,
e afferma:
Se |f | è integrabile impropriamente su un intervallo I, allora f è integrabile
impropriamente su I.
sin x
è integrabile improLa risposta (c) è errata: ad esempio la funzione
x
sin x non lo è.
priamente su I, mentre la funzione x sin x
La risposta (d) è errata: ad esempio la funzione
è integrabile improx
priamente su I, ma non ha ordine di infinitesimo k > 1 per x → +∞.
c
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Calcolo integrale
12. Sia f una funzione derivabile infinite volte su R, positiva e limitata su R, il cui
sviluppo di Maclaurin di ordine 3 è f (x) = 5x3 +o(x3 ). Allora necessariamente:
Z 1
f (x)
√
(a) l’integrale improprio
dx è convergente
5
0 x x
Z 1
f (x)
√
dx è nullo
(b) l’integrale improprio
5
0 x x
Z +∞
f (x)
√
(c) l’integrale improprio
dx è divergente
x x5
1
Z +∞
f (x)(2 + 3 sin x)
√
(d) l’integrale improprio
dx è oscillante
x x5
1
RISPOSTA ESATTA: (a)
Dallo sviluppo di Maclaurin di f (x), si ha f (x) ∼ 5x3 , per x → 0. Pertanto
5x3
5
f (x)
√ ∼ 7 =√ ,
x → 0.
x
x x5
x2
Z 1
5
√ dx converge, allora (per il Criterio del
Poiché l’integrale improprio
x
0
Z 1
f (x)
√
confronto asintotico) l’integrale improprio
dx converge.
5
0 x x
Pertanto la risposta (a) è esatta.
La risposta (b) è errata in quanto la funzione integranda è
identicamente nulla su I=(0, 1] e quindi l’integrale improprio
nullo.
Z +∞
La risposta (c) è errata, in quanto l’integrale improprio
positiva e non
non può essere
f (x)
√
dx conx x5
1
verge assolutamente. Infatti, poiché f (x)
esiste una costante k > 0
è limitata,
f (x) k
per cui |f (x)| ≤ k , ∀x ∈ R, e pertanto √ ≤ √ , e l’integrale improprio
x x5
x x5
Z +∞
k
√
dx converge.
x x5
1
La risposta (d) è errata in quanto anche questo integrale improprio è assolutamente convergente; infatti, analogamente a quanto detto a proposito della
risposta (c), poiché |2 + 3 sin x| ≤ 5, si ha
f (x)(2 + 3 sin x) 5k
≤ √
√
.
x x5
x x5
c
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