Le equazioni di Maxwell

Indice dei temi svolti di fisica:
Autore: Antonio Pierro
Giochi matematici
Le equazioni di Maxwell.
Le equazioni di Maxwell sono un sistema di quattro equazioni differenziali e sono utilizzate nello
studio dei fenomeni elettromagnetici.
Nel sistema di unità di misura internazionale:
∇ ·
∇×
∇ ·
∇×
E
E
B
B
= ρ / ε0
= - ∂B/∂t
=0
= μ0 (J + ε0 ∂E/∂t )
dove ∇· e ∇× sono rispettivamente gli operatori differenziali divergenza e rotore espressi tramite
l'operatore ∇, E è il campo elettrico, B il campo magnetico (o di induzione magnetica), ρ la densità
di carica e J il vettore densità di corrente. Le costanti ε0 e μ0 sono dette rispettivamente costante
dielettrica del vuoto e permeabilità magnetica del vuoto, e sono legate dalla relazione 1/c2 = ε0 μ0,
dove c è la velocità della luce. La quarta equazione di Maxwell può dunque essere scritta
c2 ∇ × B = J/ε0 + ∂E/∂t
Le equazioni di Maxwell scritte sopra, permettono di calcolare l'evoluzione dei campi
elettromagnetici nel vuoto: E(r,t) , B(r,t)
conoscendo la densità di carica e la densità di corrente: ρ(r,t); J(r,t)
La forza di Lorentz, invece, è la legge che esprime l'effetto che il campo elettrico e quello
magnetico hanno su di una carica elettrica q:
F = q(E+v×B)
Le equazioni di Maxwell, insieme alla forza di Lorentz, descrivono completamente l'interazione
elettromagnetica classica, ovvero come una carica in movimento interagisce con un'altra carica in
movimento. Le stesse equazioni possono anche essere scritte in forma integrale.
Correzioni nei materiali
Per una corretta descrizione dei campi elettromagnetici all'interno dei mezzi materiali, è necessario
tenere conto del fatto che questi interagiscono con i campi polarizzandosi e magnetizzandosi.
Poiché la polarizzazione e la magnetizzazione della materia generano a loro volta campo
elettromagnetico, diviene praticamente intrattabile il problema di un aggregato di un gran numero di
molecole in interazione con il campo; risulta preferibile approssimare il mezzo come un continuo, e
dare una descrizione macroscopica dei campi, che vanno intesi come valori medi misurati in una
zona di spazio che contenga un numero significativamente elevato di molecole. Le equazioni di
Maxwell in forma macroscopica divengono
∇ ·
∇×
∇ ·
∇×
D
E
B
H
= ρ
= - ∂B/∂t
=0
= J + ∂D/∂t )
dove i nuovi campi D (induzione o spostamento elettrico) e H (campo magnetico) tengono conto
dei contributi delle cariche di polarizzazione e delle correnti di magnetizzazione nella materia:
D = ε0 E + P
B = μ0 (H+M)
dove i vettori P (polarizzazione) e M (magnetizzazione) rappresentano valor medio del momento di
dipolo elettrico e magnetico per unità di volume.
Indubbiamente, per risolvere le equazioni di Maxwell macroscopiche, è necessario conoscere il
valore dei campi P e M: nel caso più semplice di mezzi lineari e isotropi, in cui i vettori
polarizzazione e magnetizzazione sono direttamente proporzionali rispettivamente ai campi elettrico
e magnetico, le relazioni fra D ed E e fra B ed H (note come relazioni costitutive) divengono le
seguenti:
D = εo εr E
B = μo μr H
dove le costanti di proporzionalità εr e μr sono chiamate rispettivamente costante dielettrica e
permeabilità magnetica del mezzo. In realtà, tali costanti esprimono solamente l'autointerazione dei
campi nelle particelle materiali, come valore medio. Se si guardasse alle singole particelle,
sarebbero valide le equazioni generali.
Soluzioni delle equazioni - il potenziale vettore e il potenziale scalare
La terza equazione stabilisce che la divergenza di è nulla. Poiché la divergenza di un rotore è
sempre nulla, esiste un campo vettoriale per cui
è detto potenziale vettore. Allora possiamo riscrivere la seconda equazione di Maxwell come
che può anche essere espressa come
Poiché il rotore di un gradiente è sempre nullo, possiamo introdurre il potenziale scalare φ nel modo
seguente
da cui segue
Riassumendo abbiamo definito un potenziale vettore ed un potenziale scalare legati ai campi
vettoriali e dalle equazioni
Con queste nuove definizioni, la prima equazione di Maxwell diventa
cioè
La quarta equazione di Maxwell, invece, si trasforma come segue
ossia, usando la proprietà
Sfruttando ancora una volta il fatto che il rotore di un gradiente è nullo, si scopre facilmente che,
eseguendo una sostituzione come questa qui di seguito (Ψ è un qualsiasi campo scalare)
allora le espressioni per i campi elettrico e magnetico rimangono invariate. Per verificarlo basta
sostituire i nuovi potenziali nelle espressioni di E e di B ricavate sopra. Questa operazione è detta
operazione di gauge, ossia calibrazione, dal termine inglese gauge per calibro. Sfruttando
l'invarianza di Gauge, possiamo scegliere ∇·A a piacere. Scegliendo un opportuno valore per ∇ ·A,
ad esempio
e sostituendo in (1) e (2), si ottengono due equazioni disaccoppiate:
Similmente nella (2), eliminando i termini opposti, ottengo
Entrambe queste espressioni sono dei quadrivettori, che descrivono delle onde sferiche che
avanzano nello spaziotempo con velocità c.
Riassumendo: per risolvere le equazioni di Maxwell ho introdotto il potenziale vettore e quello
scalare che, inseriti nelle equazioni di Maxwell e sfruttando l'invarianza di Gauge diventano un
sistema di quattro equazioni differenziali in quattro campi scalari incogniti. Esplicitando, il sistema
assume la forma
Questo permise di enunciare la teoria secondo cui le onde elettromagnetiche e luce sono aspetti
differenti della stessa cosa, in quanto mostrano lo stesso comportamento e la stessa velocità. Inoltre,
come si vede, erano le prime leggi corrette secondo la teoria della relatività di Einstein, e quindi
andavano ad aggiungere un'altra crepa all'edificio già scricchiolante della fisica classica.