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Capitolo 9
Equazioni di grado superiore al II
9.1 Equazioni binomie
Definizione 9.1.1
Un’equazione di grado superiore al II si dice binomia se ha una sola incognita e nella forma
canonica si presenta come segue: ax n  c  0 , dove a e c sono numeri reali ( a  0 ) e n  2 .
Esempio 9.1.1
L’equazione 27 x 3  8  0 è un’equazione binomia. In tal caso: a  27 e c  8 .
9.2 Risoluzione di un’equazione binomia
Per risolvere un’equazione binomia si procede come segue:




si porta il temine noto al II membro cambiato di segno: ax n  c
c
n
si dividono ambo i membri per il coefficiente della x n : x  
a
c
se n è pari e   0 le due soluzioni dell’equazione si ottengono estraendo la radice di
a
c
c
indice n di  . Se n è pari e   0 l’equazione non ha soluzioni perché non esiste la
a
a
radice con indice pari di un numero negativo.
c
se n è dispari indipendentemente dal segno di  la soluzione è unica.
a
In definitiva se la soluzione c’è, è x   n 
c
c
se n è pari e x  n  se n è dispari.
a
a
Esempio 9.2.1
Risolviamo l’equazione 2 x 3  250  0 . Si ha che:
2 x 3  250  x 3 
250
 x 3  125  x  3 125  x  5
2
Esempio 9.2.2
Autore: Siano Roberto (docente di Matematica presso l’I.I.S. Arturo Prever di Pinerolo)
Risolviamo l’equazione 4 x 4  64  0 . Si ha che:
4 x4  64  x4 
64
 x4  16  x   4 16  x  2
4
Esempio 9.2.3
Risolviamo l’equazione x 3  8  0 . Si ha che:
x 3  8  x  3  8  x 3  2
Esempio 9.2.4
Risolviamo l’equazione x 6  64  0 . Si ha che:
x6  64 . Impossibile.
9.3 Equazioni trinomie
Definizione 9.3.1
Un’equazione di grado superiore al II si dice trinomia se ha una sola incognita e nella forma
canonica si presenta come segue: ax 2 n  bx n  c  0 , dove a ,b e c sono numeri reali ( a  0 ) e
n  2.
Esempio 9.3.2
L’equazione x 6  7 x 3  10  0 è un’equazione trinomia. In tal caso: a  1 , b  7 e c  10 .
9.4 Risoluzione di un’equazione trinomia
Per risolvere un’equazione trinomia si procede come segue:
 
2

si pone: x n  t  x 2n  x n
 t2


l’equazione di partenza diventa: at 2  bt  c  0
si risolve l’equazione di II grado in t

si risolvono le equazioni binomie che si ottengono ponendo x n uguale a ciascuna delle
soluzioni dell’equazione di II grado secondo le modalità indicate in precedenza.
Autore: Siano Roberto (docente di Matematica presso l’I.I.S. Arturo Prever di Pinerolo)
Esempio 9.4.1
Risolviamo l’equazione x 8  97 x 4  1296  0 . Si ha che: x 4  t e che l’equazione suddetta diventa
t 2  97t  1296  0 . Per tale equazione si ha che
  b 2  4ac   97   4  1  1296  9409  5184  4225  65 2 . Segue che
2
97  65
 b   97  65
 81 e

. Le soluzioni di quest’ultima equazione sono quindi t1 
2
2a
2
97  65
t2 
 16 . In definitiva le soluzioni dell’equazione di partenza sono le soluzioni delle
2
equazioni binomie seguenti: x 4  16 e x 4  81 .
t
9.5 Risoluzione di un’equazioni di grado superiore al II con l’uso della scomposizione.
Si precisa che non è possibile risolvere tutte le equazioni di grado superiore al II. In particolare, si
possiede la formula risolutiva per la risoluzione delle equazioni di III e IV grado, ma non per le
equazioni di grado superiore al IV. Quest’ultima affermazione costituisce l’enunciato di un celebre
teorema che va sotto il nome di Abel-Ruffini. Alcune di queste ultime, però, possono essere risolte
soltanto se si presentano in forme particolari. Alcune di queste forme le abbiamo esaminate
all’inizio del paragrafo, mentre l’altra grande tipologia la esamineremo qui di seguito. Si tratta delle
equazioni di grado superiore al II che si presentano nella forma di un polinomio di grado superiore
al II uguagliato a 0 e come risolvibili grazie alla scomposizione del polinomio presente al I
membro. Riportiamo i passi da compiere per trovarne le soluzioni:


si scompone il polinomio presente al I membro in polinomi di I e II grado.
si pone ciascun fattore uguale a 0 e si risolvono le equazioni così ottenute.
Tutte le soluzioni di queste equazioni prese nel loro complesso costituiscono le soluzioni
dell’equazione di partenza.
Autore: Siano Roberto (docente di Matematica presso l’I.I.S. Arturo Prever di Pinerolo)
Esempio 9.5.1
Risolviamo l’equazione 3x 3  2 x 2  4 x  5  0 . Intendiamo scomporre il polinomio di III grado
presente al I membro. Lo facciamo con il metodo di Ruffini. Si vede facilmente che il numero 1
sostituito alla x annulla il polinomio. Il polinomio presente al I membro può, quindi, essere scritto
come segue: 3x 3  2 x 2  4 x  5  x  1Q( x) dove il polinomio Q (x ) si ottiene usando la regola di
Ruffini. Si ha che
3
5
2
4
5
1
3
5
1
3
1
5
0


Q( x)  3x 2  x  5 . In definitiva: 3x 3  2 x 2  4 x  5  x  1 3x 2  x  5 . Segue che l’equazione


3x 3  2 x 2  4 x  5  0 è equivalente all’equazione x  1 3x 2  x  5  0 che si risolve ponendo
ciascun fattore presente al I membro uguale a 1. Quindi x  1  0 e 3x 2  x  5  0 . La prima ha
come soluzione 1 e la seconda non ha soluzioni perché   0 .
Autore: Siano Roberto (docente di Matematica presso l’I.I.S. Arturo Prever di Pinerolo)