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Analisi Matematica 1
Venticinquesima lezione
Integrale di Riemann (cont.)
prof. Claudio Saccon
Dipartimento di Matematica Applicata, Via F. Buonarroti 1/C
email: [email protected]
web: http://www2.ing.unipi.it/ d6081/index.html
Ricevimento: ogni lunedı̀, dalle 9.00 alle 12.00
5 marzo 2010
Claudio Saccon (D.M.A.)
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5 marzo
(cont.)2010
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Proprietà dell’integrale
Teorema (linearità)
Siano f e g due funzioni integrabili su [a, b] e siano c, d due numeri reali.
Allora cf + dg è integrabile su [a, b] e
Z b
Z b
(cf + dg)(x) dx = c
a
Z b
f (x) dx + d
a
g(x) dx
a
Teorema (additività rispetto all’intervallo)
Sia f una funzione integrabile su [a, b] e sia r un numero con a ≤ r ≤ a.
Allora f è integrabile su [a, r] e su [r, b] e si ha:
Z b
Z r
f (x) dx =
a
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Z b
f (x) dx +
a
f (x) dx.
(add)
r
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Proprietà dell’integrale
Convenzione
Se b < a conveniamo di porre
Z b
f (x) dx := −
Z a
f (x) dx.
b
a
Allora la formula (add) vale indipendentemente dall’ordine di a, b ed r.
Teorema (Monotonia)
Se f è integrabile su [a, b] e se f ≥ 0 allora
Z b
f (x) dx ≥ 0
a
DIM
Notiamo che da quanto sopra si deduce che, se f , g sono integrabili:
f ≥g⇒
Z b
a
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f (x) dx ≥
Z b
g(x) dx
a
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Proprietà dell’integrale
Teorema (Prodotto)
Se f e g sono integrabili su [a, b] allora il prodotto fg è integrabile su [a, b].
Teorema (Composizione con una lipschitziana)
Se f è integrabile su [a, b] e se G : R → R è lipschitziana, cioè se per
un’opportuna costante L
|G(y1 ) − G(y2 )| ≤ L|y1 − y2 |
∀y1 , y2 ∈ R,
allora G ◦ f è integrabile su [a, b].
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Conseguenza
Dato che G(y) = |y|, y+ e y− sono lipschiziane si deduce
f integrabile su [a, b] ⇒ |f |, f + , f − integrabili su [a, b]
±
Inoltre
Z b
f (x) dx = ±
a
Z b
Z b
f (x)+ dx ∓
a
f (x)+ dx +
Z b
f (x)− dx ≤
a
f (x)− dx =
Z b
|f (x)| dx.
a
a
a
Z b
Ne segue che se f è integrabile su [a, b] si ha:
Z b
Zb
f (x) dx ≤
|f (x)| dx .
a
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a
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Classi di funzioni integrabili
Teorema (integrabilità delle monotone)
Se f : [a, b] → R è monotona, allora f è integrabile.
DIM
Teorema (integrabilità delle continue)
Se f : [a, b] → R è continua, allora f è integrabile.
DIM. nel caso lipschitziano
Esercizio (funzione non integrabile)
La funzione di Dirichlet f : R → R definita da
(
0 se x è razionale,
f (x) :=
1 se x è irrazionale,
non è integrabile su nessun intervallo [a, b]. Infatti per qualunque n si ha
sn = 0 e Sn = b − a e quindi Sn − sn non tende a zero.
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Teorema (della media)
Se f è integrabile su [a, b] allora vale
1
inf f ≤
b−a
[a,b]
Ricordiamo che il numero
1
b−a
Z b
f (x) dx ≤ sup f .
a
[a,b]
Z b
f (x) dx
a
si chiama media integrale di f in [a, b].
Se inoltre f è continua (e quindi l’integrabilità è automatica) allora esiste un
punto intermedio ξ in [a, b] in cui “f assume la sua media”, cioè:
1
f (ξ ) =
b−a
Z b
f (x) dx
a
DIM
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Antiderivata
Definizione (primitive)
Sia f : [a, b] → R una funzione. Diremo che un’altra funzione F : [a, b] → R è
una primitiva di f (o è un’antiderivata di f ) se F è derivabile in [a, b] e vale
F 0 (x) = f (x)
∀x ∈ [a, b].
Teorema
Supponiamo che f : [a, b] → R abbia una primitiva F. Allora l’insieme di tutte
le primitive di f è individuato dalla formula:
F1 primitiva di f ⇔ F1 = F + c,
c ∈ R.
DIM
Notazione È uso indicare con il simbolo
Z
f (x) dx
(integrale indefinito di f ) l’insieme di tutte le primitive di f .
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Dunque se sappiamo che F 0 = f (conosciamo una primitiva), si ha:
Z
f (x) dx = {F + c : c ∈ R}
(se f è definita su un intervallo !!). Per esempio:
Z
2
2x dx = x + c : c ∈ R .
Teorema (Teorema fondamentale del calcolo integrale)
Supponiamo che f : [a, b] → R sia continua e che F : [a, b] → R sia una
primitiva di f (cioè che F 0 = f ). Allora
Z b
a
f (x) dx = F(b) − F(a) =: [F]ba = [F(x)]x=b
x=a
DIM
Notiamo che per ora NON SAPPIAMO quali funzioni ammettano primitiva –
vedremo poi che tutte le funzioni continue lo fanno.
Sappiamo però che, se troviamo esplicitamente una primitiva, allora siamo in
grado di calcolare esplicitamente l’integrale “definito”.
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Esercizio
Se α ≥ 0 la funzione x 7→ xα è continua e si ha (basta la verifica):
α+1
Z
x
α
x dx =
+c : c ∈ R
α +1
da cui
Z 1
0
1
x dx =
.
α +1
α
È MOLTO PIÙ SEMPLICE COSÌ che ricavarlo dalla definizione di integrale.
Conviene allora fabbricarci una tabella di primitive.
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Primitive notevoli
Funzione
xα (α =
6 −1)
1
x
sin(x)
cos(x)
1
√
1 − x2
1
1 + x2
Primitive
xα+1
+c
α +1
ln(|x|) + c
− cos(x) + c
sin(x) + c
arcsin(x) + c
arctan(x) + c
Funzione
Primitive
ex
1
cos2 (x)
sinh(x)
cosh(x)
1
√
1 + x2
1
√
x2 − 1
ex + c
tan(x) + c
cosh(x) + c
sinh(x) + c
arcsinh(x) + c
arccosh(x) + c
Andrebbe notato che la costante c “dipende dall’intervallo”.
Ricordiamo anche che
ex − e−x
sinh(x) :=
,
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ex + e−x
cosh(x) :=
.
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