L`ultimo teorema di Fermat per i polinomi

L’ultimo teorema di Fermat per i polinomi
(Sandro Mattarei, lezione del 12/10/2005)
L’equazione x2 + y 2 = z 2 ha infinite soluzioni negli interi, le
cosiddette terne pitagoriche. Quelle primitive, cioè con x, y, z
coprimi (e non tutti nulli), si ottengono dalla formula
(x, y, z) = (u2 − v 2, 2uv, u2 + v 2),
al variare di u, v interi coprimi e di parità diversa (a meno di
scambiare x e y).
Una fra varie dimostrazioni sfrutta la fattorizzazione unica nell’anello degli interi di Gauss Z[i] = Z[e2πi/4].
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Congettura. (L’Ultimo Teorema di Fermat) Se n ≥ 3, l’equazione xn + y n = z n non ha soluzioni negli interi positivi.
Fermat formula la congettura (che tale è rimasta fino al 1995)
intorno al 1636, sostenendo (in un’annotazione a margine di un
libro) di averla dimostrata. Ci lascia però solo una dimostrazione
del caso n = 4.
Si vede facilmente che è sufficiente dimostrare la congettura per
n = 4 e per n primo dispari.
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1770: Eulero dimostra il caso n = 3. Si può fare sfruttando il fatto
che vale la fattorizzazione unica in Z[e2πi/3].
1825: Dirichlet e Legendre dimostrano il caso n = 5.
1847: Kummer dimostra la congettura per n = p un primo regolare
(una certa condizione sulla fattorizzazione in Z[e2πi/p]). Purtroppo, non si sa ancora se esistano infiniti primi regolari...
1993: Raffinamenti del lavoro di Kummer, e calcoli al computer,
provano la cong. per tutti i valori di n fino a quattro milioni.
1995: Andrew Wiles dimostra l’ultimo teorema di Fermat, come
conseguenza di profondi risultati sulle curve ellittiche.
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Notiamo che trovare le soluzioni intere di x2 +y 2 = z 2 è essenzialmente equivalente a trovare le soluzioni razionali di X 2 + Y 2 = 1,
avendo posto X = x/z e Y = y/z. Queste ultime, con l’eccezione di (X, Y ) = (−1, 0), sono in una (facile) biiezione con la retta
razionale tramite
Ã
t2
!
−1
2t
,
.
2
2
t +1 t +1
Questo dà una determinazione alternativa delle terne pitagoriche.
Q 3 t 7→ (X, Y ) =
In particolare, vediamo che l’equazione X 2 + Y 2 = 1 ammette
soluzioni non banali (cioè non composte di funzioni costanti)
nell’anello C(t) delle funzioni razionali. Equivalentemente, x2 +
y 2 = z 2 ha soluzioni non banali nell’anello dei polinomi C[t] (anzi,
Z[t]), ad esempio
(x, y, z) = (t2 − 1, 2t, t2 + 1).
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Ciò non può avvenire per l’equazione di Fermat di grado superiore
a due.
Teorema. Se n ≥ 3, l’equazione di Fermat xn + y n = z n non ha
alcuna soluzione con x, y, z polinomi coprimi e non tutti costanti.
Segue facilmente dal teorema che l’equazione di Fermat non ha
nemmeno soluzioni con x, y, z funzioni razionali, cioè nel campo
C(t), non tutte costanti.
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Per dimostrare la versione del teorema di Fermat per i polinomi
ci serve il seguente teorema.
Teorema di Mason. (1984) Se a, b, c ∈ C[t] sono primi fra loro,
non tutti costanti, e se
a + b = c,
allora
max{deg(a), deg(b), deg(c)} ≤ N0(abc) − 1,
dove N0(abc) indica il numero di zeri distinti del polinomio abc.
Che non si possa togliere l’ipotesi che a, b, c siano primi fra loro
si vede prendendo, ad esempio, a = b = tn.
Inoltre, il teorema non è migliorabile, infatti vale l’uguaglianza
prendendo, ad esempio, a = tn e b = −1 (e quindi c = tn − 1).
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Teorema. (Congetturato da Catalan nel 1844, dimostrato da
Mihăilescu nel 2004) L’unica soluzione dell’equazione di Catalan
xm −y n = 1 con x, y, m, n interi maggiori di 1 è data da 32 −23 = 1.
Usando il teorema di Mason possiamo dimostrare un’analogo per
i polinomi.
Teorema. L’equazione di Catalan xm − y n = 1 non ha soluzioni
con x, y ∈ C[t] polinomi non costanti e m, n ≥ 2.
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Congettura. (La congettura abc) Per ogni numero ε > 0 esiste
un numero K(ε) tale che, se a, b, c sono interi coprimi non nulli
con a + b = c, allora
max{|a|, |b|, |c|} ≤ K(ε)rad(abc)1+ε,
dove rad(abc) indica il prodotto dei fattori primi distinti di abc.
Teorema. La congettura abc implica che esiste un intero n0
tale che l’equazione di Fermat non abbia come soluzioni interi
coprimi non nulli per alcun esponente n ≥ n0.
Teorema. La congettura abc implica che per n ≥ 4 fissato
l’equazione di Fermat abbia al piú un numero finito di soluzioni.
Teorema. La congettura abc implica che l’equazione di Catalan
abbia un numero finito di soluzioni.
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