SOLUZIONI
1. Passando dalla figura 1 alla 2 si devono aggiungere 5 bastoncini Per passare dalla figura 2 alla 3 se ne
devono aggiungere altri 5. Per passare dalla figura 3 alla 4 se ne devono aggiungere altri 5.E così via. Quindi
per passare dalla figura 1 alla figura 10, devo aggiungere per 9 volte 5 bastoncini, cioè 45 bastoncini. Quindi
6 + 45 = 51.
2. Facciamo questo ragionamento: notiamo che su entrambi i piatti abbiamo tre oggetti interi (pesi
da un kg o mattonelle) e un oggetto metà (mezzo kg o mezza mattonella) Per potersi bilanciare i due
piatti della bilancia devono essere identici i pesi delle cose intere o delle loro metà. Perciò una
mattonella dovrà pesare esattamente 1 kg.
3.
2
5
3
2
2
3
6
5
6
2
4.
5.. Partendo dal vertice, calcoliamo il numero massimo di punti che si possono fare per raggiungere ogni
casella
( compreso il valore di quest’ultima) E’ sufficiente, per calcolare tale valore , aggiungere al valore della
casella considerata il più grande dei totali contenuti in una casella immediatamente sopra quella considerata.
Marco totalizza al massimo 48 punti percorrendo 1-8- 8-4-8-6- 4 – 9
6. . La risposta è 6
Supponiamo che Concetta colori lo stato centrale A di rosso. A questo punto, poiché A confina con ogni
altro stato, non può colorare di rosso nessun altro stato e quindi ha a disposizione due soli colori per colorare
gli altri stati diversi da A. Supponiamo allora che colori lo stato B di verde; allora è obbligata a colorare C,
confinante con B, di giallo e successivamente deve colorare: D di verde, E di giallo, F di verde, G di giallo.
Altrimenti, sempre supponendo che abbia colorato A di rosso, può colorare B di giallo e di conseguenza deve
colorare tutti gli altri stati con colori alternati tra il giallo e il verde, ottenendo così una seconda colorazione.
Comunque, una volta scelto il colore di A, le possibili colorazioni sono solo due, ciascuna corrispondente
alla scelta del colore di B.
Poiché per il colore di A ci sono tre possibilità, si hanno in tutto 3 × 2 = 6 possibili colorazioni distinte.
7.
La risposta esatta è la 1/8. Infatti sovrapponendo la zona 2 sulla zona 3 notiamo che l’unione delle
zone 1 e 3 formano il triangolo DEF che rappresenta un ottavo del rettangolo ABCD.
8. Se il telefono avesse suonato ogni volta tre squilli , avremmo avuto 18squilli per 6 chiamate.
Allora il numero di chiamate del giorno deve essere inferiore e a 6. Se ogni volta il telefono avesse
squillato 4 volte avremmo avuto complessivamente 16 squilli ( e non 17!) . Il numero delle
chiamate delle giornate deve essere maggiore di 4. Esiste solo un numero maggiore di 4 e minore di
6 ed è 5 .
9..Se ogni perdente riceve N caramelle e ogni vincente ne riceve 2N, essendoci 6 vincitori e 24perdenti, il
totale delle caramelle distribuite deve essere 6 x 2N + 24 x N = 36N.
Ponendo36N = 540 si ha N = 15, quindi ogni vincitore riceve 30 caramelle.
10. Ogni ruota funge da scorta per un terzo del viaggio.
Mentre una ruota è di scorta le altre due compiono l’intero loro percorso. Quindi è 300 x2 = 600
11. . Prima soluzione.
Chiamiamo S la somma richiesta; osserviamo che il numero di termini della somma è 1 + 34 × 2 + 1 = 70.
Possiamo scrivere
S = 1 + 2 + . . . + 35 + 36
S = 36 + 35 + . . . + 2 + 1 .
Notiamo che la somma di ogni coppia di termini incolonnati è sempre uguale a 37. Quindi se sommiamo
termine a termine le due uguaglianze scritte sopra troviamo che 2S è pari alla somma di 70 termini tutti
uguali a 37.
Dunque 2S = 37 × 70 e quindi S = 37 × 35 = 1295.
Seconda soluzione.
Possiamo raggruppare i termini della somma richiesta S nel modo
seguente
S = (1 + 2) + (2 + 3) + (3 + 4) + ・・・ + (34 + 35) + (35 + 36)
= 3 + 5 + 7 + ・・・ + 69 + 71 = (1 + 3 + 5 + 7 + ・・・ + 69 + 71) − 1.
Quindi S è la somma di tutti i numeri dispari consecutivi da 1 a 71, diminuita di 1.
Osserviamo ora che quando si sommano i numeri dispari consecutivi compresi tra 1 e un certo numero
dispari, si trova sempre un quadrato perfetto, e più precisamente, se l’ultimo numero dispari che si è
sommato è (2k − 1), si trova k2.
In altre parole vale l’uguaglianza
1 + 3 + 5 + ・・・ + (2k − 1) = k2 .
Questa può essere facilmente verificata per i primi valori di k = 1, 2, 3, . . . , e può essere dimostrata per ogni
scelta di k usando il principio di induzione.
Nel caso del problema in questione abbiamo:
71 = 2×36−1 = 2k−1, con k = 36.
Utilizzando la formula riportata sopra troviamo
1 + 2 + 3 + ・・・ + (2 × 36 − 1) = 362 = 1296 ,
da cui segue S = 1296 − 1 = 1295.
12. Luca scrive alla lavagna 2010/2 = 1005 numeri.
Osserviamo inoltre che 2010 = 670 × 3 e quindi ci sono 670 multipli di tre compresi tra 2 e 2010 (di cui il
primo è 3).
Questi multipli di tre sono alternativamente uno pari e uno dispari, quindi quelli scritti da Luca, ovvero i
multipli pari di tre, sono la metà di 670, cioè 335.
Quindi Giovanni cancella 335 numeri e ne rimangono
1005 − 335 = 670
13.. Le facce sono in totale 750, quelle non incollate sono soltanto quelle esterne, il cui numero è pari alla
superficie totale del cubo cioè 150.
Pertanto ci sono 300 coppie di facce da incollare, e quindi occorrono 75 grammi di colla.
14. Conviene immaginare che la deposizione dei gettoni avvenga in due fasi.
Prima depositiamo su tutte le caselle un numero di gettoni pari al numero della riga cui appartengono, poi
depositiamo su tutte un numero di gettoni pari al numero della colonna.
In entrambi i casi depositiamo 8 volte 1 moneta, 8 volte 2 monete, 8 volte 3 monete fino a8 volte 8 monete
per l’ultima riga o colonna.
Quindi per ciascuna delle due fasi depositiamo
8 x (1 + 2 + ….. + 8) = 8 x 36 = 288 gettoni.
Il numero totale di gettoni depositati `e quindi
2 x 288 = 576.
15. .
L’osservazione di partenza è che i divisori di 1024 sono le potenze di 2, da quella di esponente 0, cioè 1, a
quella di esponente 10, cioè 1024 stesso.
Quindi i numeri scritti alla lavagna possono essere solo tra questi.
D’altra parte la somma di tali numeri è 83, da cui segue che i numeri scritti alla lavagna possono essere solo:
1, 2, 4, 8, 16, 32, 64.
Osserviamo ora che 83 è dispari, quindi 1 deve necessariamente essere uno dei numeri scritti sulla
lavagna,infatti qualsiasi numero ottenuto come somma di 2, 4, 8, 16, 32 e 64 è pari.
Quindi il più piccolo numero scritto sulla lavagna è 1.
Infine, una possibilità è che i numeri scritti sulla lavagna siano: 1, 1, 1, 16, 64.
16, . La risposta è 80°
Facendo riferimento alla figura, il triangolo ABC `e equilatero, poiché gli angoli in A e in B sono di 60°.
Inoltre:
ang. ADB = 180° − ( ang. DAB + ang .DBA) = 180° − 80° − 50° =
= 50° = ang. DBA.
Dunque il triangolo ABD è isoscele e quindi DA = AB = AC cioè anche il
triangolo ACD è isoscele.
Allora α = ang. ACD =1/2(180° − ang. CAD) =1/2(180° − 20°) = 80°.
