Il Modello di Solow (1956)
Prof. Giuseppe Rose
(Ph.D., M.Sc., University of London)
Università degli Studi della Calabria
Modelli Macroeconomici
a.a. 2011 - 2012
Iniziamo a studiare il modello di Solow (1956) il quale rappresenta il
benchmark di riferimento di tutta la teoria neo-classica della crescita economica. Il modello è anche noto come modello di Solow-Swan poiché sviluppato simultaneamente (ma separatamente) dai due autori. Come vedremo il
modello di Solow spiega il processo di accumulazione di capitale all’interno
di una determinata economia.
Università della Calabria, Dipartimento di Economia e Statistica; E-mail :
[email protected]; Homepage: www.ecostat.unical.it/Rose. Tel. 0984-492446.
1
1
Setup generale
1.1
La Funzione di Produzione Aggregata
Si consideri un’economia caratterizzata dalla seguente funzione di produzione:
Yt = F (Kt ; At Lt )
(1)
dove t indica il tempo,Y indica la produzione (output), F (:) indica una generica funzione implicita, K indica il capitale, A indica la tecnologia ed L indica
il lavoro. Si noti che tale funzione di produzione è detta "funzione di produzione con tecnologia neutrale nel senso di Harrod". Infatti la tecnologia
non è complementare al capitale o ad entrambi i fattori, ma essa è complementare solo al fattore lavoro. Il termine importante è quindi At Lt poiché
esso indica che ogni miglioramento della tecnologia (A ") rende il lavoro più
produttivo. Solitamente A L sono de…nite "unità e¤ettive di lavoro".
Si suppongano soddisfatte le seguenti ipotesi:
1. La funzione di produzione ha rendimenti di scala costanti. Questa
ipotesi implica che se si raddoppiano entrambi i fattori di produzione
si ottiene il doppio della produzione. Di conseguenza se prendiamo
2
l’equazione (1) e dividiamo entrambi i lati per At Lt otteniamo:
Yt
At L t
= F(
Kt
; 1)
At L t
(2)
Tale espressione può essere scritta in forma intensiva nel modo seguente:
yt = f (kt )
dove yt =
kt =
Kt
At Lt
Yt
At Lt
(3)
rappresenta l’output per unità e¤ettive di lavoro e
rappresenta il capitale per unità e¤ettive di lavoro.
2. Ogni fattore produttivo ha rendimenti decrescenti. Di conseguenza:
@F
@2F
> 0; 2 < 0
@K
@ K
e
@F
@2F
> 0; 2 < 0:
@L
@ L
Nella forma intensiva queste ipotesi implicano che:
@f
@2f
= f 0 (k) > 0; 2 = f 00 (k) < 0:
@k
@ k
3
Date queste ipotesi possiamo disegnare la funzione di produzione in
forma intensiva f (kt ) come illustrato nella Figura 1.
1.2
Ipotesi generali
1. L’economia è chiusa.
2. Il tasso di risparmio di questa economia è esogeno ed è indicato con la
lettera s:
In generale, si consideri una generica variabile xt : Durante tutto il nostro
corso, indicheremo con il simbolo x_ la derivata della variabile x rispetto al
tempo, ovvero x_ =
@x
:
@t
Più semplicemente, poiché la variabile x è funzione
del tempo t, la derivata rispetto al tempo (x)
_ ci indica come varia la variabile
x da un istante all’altro. In generale, se dividiamo x_ per il suo valore iniziale
xt otteniamo il tasso di crescita della variabile x :
Tasso di crescita =
x_
:
x
(4)
Alla luce di questa premessa, consideriamo il fattore lavoro Lt : Se assumiamo
che la popolazione lavorativa cresce da un anno all’altro ad un tasso costante
4
Figure 1: La funzione di produzione in forma intensiva.
5
(esogeno) n, noi sappiamo che:
Tasso di crescita della popolazione = n =
L_
:
L
(5)
Consideriamo adesso la tecnologia At . Se assumiamo la tecnologia progredisca ad un tasso costante (esogeno) g, possiamo scrivere:
Tasso di progresso tecnologico = g =
A_
:
A
(6)
Consideriamo adesso l’evoluzione del capitale Kt da un istante all’altro del
tempo ovvero K_ t :1 Si noti che il modello ha come obiettivo proprio quello di
spiegare il processo di accumulazione del capitale per cui questo non è esogeno, bensì endogeno ovvero deve essere spiegato dal modello e non imposto
a priori. In generale, l’evoluzione del capitale nel tempo è data da:
K_ t = It
1
Kt
(7)
In questo caso la derivata prima rispetto al tempo è indicizzata con il pedice t. Se
il pedice non ci fosse questo implicherebbe che la variazione della variabile considerata
è costante e quindi la derivata prima non è funzione del tempo (come per L ed A). In
questo caso, invece, poichè noi non sappiamo se la derivata prima del capitale è costante
nel tempo (la dobbiamo determinare nel modello) dobbiamo mantenere il pedice t:
6
dove It indicano gli investimenti fatti al tempo t (quindi indicano quanto
capitale si crea al tempo t): Il termine
indica il tasso di deterioramento
del capitale, quindi il termine Kt indica quanto capitale (esistente) diventa
inutilizzabile.
2
Soluzione del Modello
Poiché l’investimento è dato dalla parte del reddito Yt che viene risparmiata
e non è stata consumata (si ricorda che in una economia chiusa il risparmio
è pari all’investimento) possiamo scrivere l’equazione (7) nel modo seguente:
K_ t = sYt
(8)
Kt
ovvero
K_ t = sF (Kt ; At Lt )
Kt :
(9)
A questo punto si noti quanto segue. L’equazione sopradescritta è un’equazione
di¤erenziale poiché essa mette in relazione la variazione di una variabile (K_ t )
con il livello della variabile stessa (Kt ). Per studiare questa relazione - e
quindi capire cosa accade al processo di accumulazione del capitale con il
7
passare del tempo - è conveniente dividere entrambi i lati dell’eq. (9) per le
unità e¤ettive di lavoro. Così facendo, sfruttando le proprietà della funzione
F (:) che abbiamo descritto in precedenza otteniamo:
K_ t
= sf (kt )
At L t
E’ importantissimo notare che, sfortunatamente,
Kt
At Lt
(10)
kt :
_t
K
At Lt
6= k_ t : Infatti k_ t =
. A parole, il lato sinistro della relazione (10) fa la derivata del capitale
rispetto al tempo e poi la divide per le unità e¤ettive di lavoro. Questa
operazione è diversa da quella indicata con il termine k_ t poichè questa ci dice
"prendi il capitale per unità e¤ettive di lavoro e fai la derivata rispetto al
tempo" ovvero deriva rispetto al tempo l’intera espressione kt =
Kt
:
At Lt
Al …ne
di avere nell’eq. (10) soltanto termini che siano espressi come k dobbiamo
quindi fare degli ulteriori passaggi.
Consideriamo l’espressione kt =
Kt
At Lt
e facciamo la derivata rispetto al
tempo (così facendo otteniamo k_ t ). La derivata è data da:
_ t + LA
_ t)
K_ t (At Lt ) Kt (AL
k_ t =
(At Lt )2
8
(11)
ovvero:
K_ t
k_ t =
(At Lt )
Kt
(At Lt )
_ t + LA
_ t
AL
At L t
ovvero:
K_ t
k_ t =
(At Lt )
kt
A_
L_
+
At L t
!
!
(12)
(13)
ovvero:
k_ t =
K_ t
(At Lt )
kt (g + n) :
Così facendo abbiamo ottenuto un’espressione per
_t
K
(At Lt )
(14)
che possiamo sosti-
tuire nella relazione (10), infatti:
K_ t
= k_ t + kt (g + n) :
(At Lt )
(15)
Sostituendo l’eq. (15) nell’eq. (10) otteniamo:
k_ t + kt (g + n) = sf (kt )
kt
(16)
ovvero:
k_ t = sf (kt )
( + g + n)kt :
(17)
L’espressione che abbiamo ottenuto è l’equazione cruciale di tutto il modello
9
di Solow. Essa è sempre un’equazione di¤erenziale (questa volta espressa
_ Per risolvere questa equazione di¤erenziale dobbiamo domandarci se
in k).
esiste uno stato stazionario ovvero se esiste un qualche istante di tempo in
cui k_ t = 0: Se troviamo lo stato stazionario abbiamo trovato una situazione
in cui il capitale per unità e¤ettive di lavoro non si modi…ca nel tempo. Lo
stato stazionario si ha nel momento in cui è veri…cata la seguente condizione:
k_ t = 0
(18)
sf (kt ) = ( + g + n)kt :
(19)
ovvero:
La situazione può essere descritta nel seguente modo. Il lato sinistro della
precedente equazione è detto investimento richiesto o investimento necessario. Esso ci dice che il capitale per unità e¤ettive di lavoro si riduce sempre
col passare del tempo per tre ragioni che sono tutte incluse nel lato destro
dell’eq. (19). La prima è che lo stock do capitale K si deprezza ad un tasso
per cui il capitale per unità e¤ettive di lavoro k =
K
AL
diventa sempre più pic-
colo inquanto si riduce il numeratore. La seconda e la terza ragione risiedono
nel fatto che le unità e¤ettive di lavoro crescono sempre (per ipotesi) a causa
10
Figure 2: Lo stato stazionario
11
del progresso tecnologico (g) e della crescita della popolazione (n) e quindi
cresce il denominatore. Quindi il capitale per unità e¤ettive di lavoro si riduce
sempre con il passare del tempo e convergerebbe a zero. Di conseguenza, uno
stato stazionario può esistere solo se viene creato nuovo capitale, creato attraverso gli investimenti (sf (kt )) che nell’eq. (19) rappresentano l’investimento
e¤ettivo, e solo se l’investimento e¤ettivo è creato in misura tale da compensare la riduzione del capitale ovvero l’investimento necessario. Quando
questo si veri…ca siamo esattamente nella situazione descritta dall’eq. (19) e
questo è uno stato stazionario.
Gra…camente, la situazione è descritta nella Figura 2. In questa …gura è
facile vedere come lo stato stazionario sarà sempre raggiunto indipendentemente dal livello di capitale k da cui si parte. Infatti se k < k noi avremo che
l’investimento e¤ettivo (sf (k)) supera l’investimento richiesto a¢ nchè il capitale rimanga costante (( + n + g)k) e questo implica che il livello di capitale
che si accumula cresce e si avvicina a k : Poiche il capitale ha (per ipotesi)
rendimenti decrescenti, il fatto che si continui ad accumulare capitale genera aumenti sempre più piccoli della produzione e quindi, a parità di tasso
di risparmio, genera investimenti sempre più piccoli. In k l’investimento
e¤ettivo non è più in grado di spingere oltre il processo di occumulazione
12
del capitale poichè esso ha raggiunto una dimensione tale da far si che il
suo deprezzamento compensa esattamente il nuovo capitale creato. Appare
chiaro che se fossimo in un punto con k > k avremmo che l’investimento
richiesto supera l’investimento e¤ettivo, per cui il livello di capitale disponibile nell’economia si riduce …no ad arrivare ad un livello pari a k :
3
Considerazioni 1: La Crescita Esogena
Nello stato stazionario k si genera un così detto balanced growth path ovvero
un processo di crescita bilanciato in cui tutte le variabili crescono sempre
ad un tasso costante. In questo punto la nostra variabile endogena e cioè il
capitale K cresce ad un tasso costante che è pari al tasso a cui crescono le
unità e¤ettive di lavoro ovvero (n + g). Infatti poichè kt =
Kt
At Lt
noi abbiamo
che:
K t = k t At L t :
(20)
Prendendo i logaritmi di entrambi i lati della precedente espressione otteniamo:
log Kt = log kt + log At + log Lt
13
(21)
Facendo la derivata rispetto al tempo di entrambi i lati otteniamo che:
1
1 _
1
1 _
Kt = k_ t + A_ + L:
Kt
kt
At
Lt
(22)
Poichè nello stato stazionario k_ t = 0; noi avremo che il tasso di crescita del
_
Kt
) è dato da:
capitale ( K
t
K_ t
=g+n
Kt
(23)
Nello stato stazionario K cresce ad un tasso costante dato dalla somma dei
tassi di crescita di L e A. Poichè abbiamo supposto che la funzione di
produzione F (:) è caratterizzata da rendimenti di scala costanti, in virtù del
fatto che tutti i fattori produttivi (K ed A L) crescono con il passare del
tempo ad un tasso (n + g) noi avremo che l’output Y nello stato stazionario
cresce sempre e cresce ad un tasso che è proprio (n + g). Ne consegue che
l’output per lavoratore ovvero il Pil pro-capite di una economia cresce sempre
ad un tasso costante che è pari a g ovvero è determinato dal tasso di progresso
tecnologico. Infatti per sapere a quale tasso cresce il rapporto Y =L ovvero il
pil pro-capite non dobbiamo far altro che prendere i logaritmi del rapporto
e dericare rispetto al tempo. Il risoltato sara che il tasso di crescita del Pilprocapite è dato dal tasso di crescita del Pil (che è n + g) meno il tasso di
14
crescita della popolazione (che è n) per cui:
Tasso di crescita del Pil procapite =
Y
L
=g
(24)
Questo risultato ci dice che se un’economia vuole migliorare il tasso di crescita
del pil procapite deve far crescere il tasso di crescita della tecnologia ovvero
deve accellerare il suo progresso tecnologico. Si noti come questo risultato,
pur molto interessante, rappresenta il punto debole di tutto il modello poichè
dal modello non si capisce come fare ad anmentare g: Nel modello di Solow
g non è spiegato ma è esogeno (il modello è anche detto modello con con
crescita esogena) per cui non ricaviamo informazioni su quello che si può fare
per aumentare il livello di crescita del pil procapite in stato stazionario.
4
Considerazioni 2: Il Ruolo del Tasso di Risparmio
Nella Figura 2 è facile notare che il livello di output per unità e¤ettiva di
lavoro (yt ) che verrà prodotto nello stato stazionario dipende dal tasso di
risparmio s: Esso, infatti, determina la posizione nello spazio della curva
sf (kt ) e quindi determina lo stato stazionario k : Cosa accade ad una economia se cresce il tasso di risparmio e quindi il livello degli investimenti? E’
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possibile che risparmiando di più si generino maggiori investimenti e quindi
una maggiore produzione e, alla …ne, un maggiore tasso di crescita del Pilpro-capite? Vediamo.
Nella Figura 3 si illustra l’e¤etto di un aumento del tasso di risparmio che
passa da s ad s0 . Come si vede, quello che si modi…ca è il livello di output
per unità e¤ettive di lavoro (y 0 ) che si avrà nel nuovo stato stazionario. Allo
stesso tempo però si vede che nel nuovo stato stazionario nulla può essere
cambiato in termini di tasso di crescita di y. Infatti si tratta di un nuovo
stato stazionario che avrà le stesse caratteristiche del precedente in termini di
tassi di crescita delle variabili y; k ed Y =L: Ne consegue che un aumento del
tasso di risparmio non può in‡uenzare il tasso di crescita di un’economia nel
suo stato stazionario, ma ha solo un e¤etto sui livelli delle nostre variabili.
Quello che è interessante notare è l’e¤etto dell’aumento di s nel passaggio da
k a k : In questa fase infatti, come si vede dalla Figura 3, l’investimento
e¤ettivo supera l’investimento necessario quindi k cresce più di quanto si
deprezza, cioè k_ > 0: Se ritorniamo un attimo a guardare la nostra eq. (22)
vediamo che questo risultato implica che il capitale avrà un tasso di crescita
più grande di quello che è il suo valore nello stato stazionario, infatti sarà dato
_
da (n + g + k=k).
Se il capitale cresce ad un tasso maggiore, allora anche
16
Figure 3: E¤etti di un aumento di s sullo stato stazionario.
17
la produzione Yt crescerà ad un tasso maggiore del suo tasso precedente
che era (n + g). Ne consegue che il Pil-pro-capite non crescerà più ad un
tasso pari a g ma crescerà ad un tasso maggiore (pari a g+qualcosa). Il
risultato implica che un aumento permanente del tasso di risparmio genera
una maggiore crescita del pil-pro-capite solo nel breve periodo ovvero genera
un aumento temporaneo della crescita economica.
In generale gli e¤etti di un aumento del tasso di risparmio sono illustrati
gra…camente nella Figura 4. Tutti i singoli gra…ci rappresentano situazioni
già descritte, fatto salvo per l’ultimo gra…co che illustra gli e¤etti di un
aumento del tasso di risparmio sul consumo. Infatti noi sappiamo che se
in un istante di tempo aumenta il livello di risparmio di una economia, il
consumo si riduce. Ma, poichè col passare del tempo si converge ad uno
stato stazionario con maggiore output, cosa accadrà al consumo nel lungo
periodo? In particolare dobbiamo capire se esso supera il suo livello iniziale in virtù della crescita dell’output - oppure se rimane al di sotto del suo livello
iniziale a causa dell’aumento del risparmio.
Per capire bene cosa accade al consumo dobbiamo analizzare il concetto
di golden rule. La golden rule è de…nita come il livello di risparmio che
ci porta ad uno stato stazionario nel quale il consumo di una economia è
18
massimo. Infatti se per un attimo si suppone di risparmiare tutto l’output
che si crea (s = 1) è vero che si massimizza il livello di output per unità
e¤ettiva di lavoro, però è pur vero che in questa economia i lavoratori non
stanno consumando un bel niente e producono solo con lo scopo di produrre
sempre di più! Se si risparmiasse un po’ di meno si avrebbe meno output,
ma la soddisfazione degli individui sarebbe maggiore poichè in questo caso
il consumo aumenterebbe. Allo stesso tempo, però, se si risparmia troppo
poco e si consuma tanto si genera poco investimento e quindi poco output
per cui si rischia di avere comunque una situazione non ottimale nel senso
che se gli individui risparmiassero un po’ di più si avrebbe un maggiore
output e quindi un livello complessivo di consumo maggiore del precedente.
In termini matematici dobbiamo quindi trovare il tasso di risparmio che porta
l’economia ad un livello di stato stazionario nel quale il consumo è massimo.
Nello stato stazionario il consumo è dato da:
c = (1
s)f (k )
(25)
ovvero:
c = f (k )
19
sf (k )
(26)
Figure 4: E¤etti di un aumento del tasso di risparmio: riassumto gra…co.
20
Figure 5: La golden rule
21
poichè nello stato stazionario sf (kt ) = ( + g + n)kt avremo che:
c = f (k )
( + g + n)kt :
(27)
facendo la derivata rispetto a k e ponendola pari a zero troviamo il livello
di stato stazionario che massimizza il consumo ovvero il livello k nel quale
si veri…ca la seguente uguaglianza:
f 0 (k ) = + g + n:
(28)
Essendo la derivata prima della funzione di produzione la tangente alla funzione stessa, ed essendo
+ g + n la pendenza della retta dell’investimento
necessario, dalla Figura 5 si può vedere che esiste un unico stato stazionario
che massimizza il consumo. Questo stato stazionario è detto golden rule
steady state, ovvero stato stazionario che massimizza il consumo. A questo
punto possiamo ritornare alla nostra Figura 4 e dire che gli aumenti del tasso
di risparmio mi portano nel lungo periodo ad aumenti del consumo se lo stato
stazionario …nale è identi…cato in un k
(k golden rule). Diversamente,
se il livello di stato stazionario iniziale eccede il livello di stato stazionario
di golden rule (k
(k golden rule)) aumenti del tasso di risparmio mi
22
portano sicuramente a riduzioni del consumo nel lungo periodo. In generale,
per capire cosa accade al consumo se il tasso di risparmio aumenta devo
conoscere 1) lo stato stazionario iniziale; 2) lo stato stazionario …nale; 3) la
stato stazionario di golden rule.
5
Considerazioni 3: La Convergenza
Come abbiamo discusso in precedenza, il modello di Solow non ci aiuta a
capire come fare per aumentare il tasso di crescita del Pil-pro-capite nel
lungo periodo. Pur avendo questo elemento di debolezza, il modello di Solow
è in realtà un modello molto importante poiché pur essendo un modello relativamente semplice ha la capacità di spiegare alcuni fatti stilizzati molto
importanti. Il primo fatto stilizzato riguarda la così detta
convergence
ovvero il fatto che se la tecnologia è perfettamente trasferibe e ci sono simili tassi di crescita della popolazione, i diversi Paesi e le diverse economie
tendono a raggiungere lo stesso livello di crescita economica. Se infatti prendiamo la nostra equazione di¤erenziale (17) questa ci dice che:
k_ t = sf (kt )
( + g + n)kt
23
dividendo tutto per kt otteniamo un’espressione per il tasso di crescita del
capitale per unità e¤ettiva di lavoro che indichiamo con la lettera :
=
k_ t
sf (kt )
=
kt
kt
( + g + n)
Nella Figura 6 possiamo rappresentare in funzione di k le due curve
(29)
sf (kt )
kt
e
( + g + n) la cui di¤erenza mi da : La prima curva è decrescente poiché
al crescere di k il numeratore diventa più grande ma sempre di un ammontare più piccolo (rendimenti decrescenti del capitale) mentre il denominatore cresce sempre allo stesso tasso. La seconda funzione è una costante
poichè non dipende da k: Dalla …gura è facile notare come i paesi che sono
lontani dal loro stato stazionario k avranno un tasso di crescita del capitale
per unità e¤ettive di lavoro ( (P )) più grande dei paesi che sono vicini al
loro stato stazionario ( (R)). Questo implica che prima o poi i paesi più
avanzati saranno raggiunti in termini di accumulazione di capitale e tutti
convergeranno ad uno stesso tasso di accumulazione di capitale per unità
e¤ettive di lavoro il cui tasso di crescita sarà pari a zero (si ricorda che nello
stato stazionario
è pari a zero ma le variabili crescono tutte ad un tasso
costante).
24
Figure 6: La
convergence
25
Il secondo fatto stilizzato riguarda la cosi detta conditional
convergence:
Infatti nella realtà molti paesi possono avere diversi livelli di n, g, e ; ed
in aggiunta possono avere diversi tassi di risparmio. Come illustrato nella
Figura 7, nel caso di Paesi caratterizzati da diversi tassi di risparmio con
s(R) > s(P ) (o alternativamente pensate a due paesi con lo stesso tasso di
risparmio ma con un paese più ricco che, avendo migliori strutture …nanziarie,
attrae i risparmi del paesi più povero) la convergenza avverrà verso due stati
stazionari diversi (k (R) e k (P ) con k (R) > k (P )), per cui un Paese con
maggiore accumulazione di capitale può continuare ad avere un tasso di accumulazione del capitale (R) pari a quello di un Paese che si trova molto
più indietro in termini di accumulazione di capitale ( (P )). Ovviamente si
possono avere casi in cui le di¤erenze tra i paesi si ampliano poichè oltre a
diversi tassi di risparmio ci possono essere diversi tassi di progresso tecnologico (provate a fare il gra…co). La presenza di conditional
convergence
sembra caratterizzare e¤ettivamente i processi economici dei diversi Paesi ed
essa è pienamente spiegata dal modello di Solow.
26
Figure 7: La conditional
27
convergence
