Statistica e Applicazioni – Esercitazione 2

Statistica e Applicazioni – Esercitazione 2
Esercizio 1. Si dimostri che uno stimatore di massima verosimiglianza è funzione di una statistica
sufficiente. [Si sfrutti il criterio di fattorizzazione]
Esercizio 2. Indichiamo con T il tempo di servizio di un macchinario, cioè il tempo di funzionamento
sino a che non avviene la prima rottura e supponiamo che questa variabile aleatoria ha funzione di
ripartizione continua F con funzione di densità f .
Diciamo rischio di rottura istantaneo o tasso di rottura la funzione
h(t) := lim
s↓0
1
P (t < T ≤ t + s|T > t) ,
s
cioè la derivata destra della funzione di ripartizione condizionata. Diciamo che il macchinario è soggetto
a usura o a rodaggio, rispettivamente se la funzione h è crescente o decrescente.
1. Rappresentare il tasso di rottura in funzione della densità di T supposto che P (T > t) > 0 per
ogni t > 0.
Rt
2. Dimostrare che P (T ≤ t) = 1 − e−Λ(t) in cui Λ(t) = 0 h(s) ds.
3. Calcolare lo SMV del tasso di rottura in un modello esponenziale.
4. Dimostrare che un modello è soggetto a usura se e solo se
P (T ≤ t + s|T > t) ≥ P (T ≤ s) .
5. Sia T ∼ Gamma(α, β), verificare (al variare di α) se il modello è soggetto a rodaggio oppure
a usura.
i.i.d.
Esercizio 3. Sia M il modello statistico associato al campione casuale Xi ∼ U − 2θ , 2θ , θ > 0
con i = 1, . . . , n.
1. Si costruisca il modello statistico M.
2. Si trovi una statistica sufficiente per il modello.
3. Si calcolino gli stimatori di massima verosimiglianza e dei momenti per il parametro incognito.
4. Si verifichi se lo stimatore di massima verosimiglianza è corretto e se ne calcoli l’errore quadratico medio.
5. Si dimostri che la statistica S = min X(1) , −X(n) è sufficiente.
6. Si verifichi se la successione di stimatori è consistente.
Esercizio 4 (*). In una regione si devono svolgere le elezioni e si presenteranno tre liste, che indichiamo con A, B e C. La lista A commissiona un’indagine pre–elettorale che si svolge come segue:
si intervistano n gruppi di persone, ognuno composto da N individui a cui si chiede di esprimere, ad
ognuno, anonimamente il proprio voto e, relativamente ad ogni gruppo, si ha a disposizione il numero
totale di voti per ogni gruppo.
1. Indicati con X i = (Xi,A , Xi,B ) i voti espressi per la prima e la seconda lista nell’i–esimo gruppo
e con p1 , p2 le relative proporzioni di elettori a favore, si costruisca il modello M associato
all’indagine statistica (assumendo che i gruppi siano omogenei e indipendenti tra loro).
2. Si trovi lo stimatore di massima verosimiglianza per p1 , si calcolino la distribuzione, il valore
atteso e la varianza.
3. Si individui una statistica sufficiente per il modello.
4. Si trovi lo stimatore di massima verosimiglianza per il vettore (p1 , p2 ) e se ne calcolino la
distribuzione, il valore atteso e la correlazione.
5. Si svolgano i primi due punti dell’esercizio, nel caso in cui i campioni (gruppi) hanno numerosità
diversa, che indichiamo con N1 , N2 , . . . , Nn .
Esercizio 5. Sia X1 , X2 , . . . , Xn un campione con osservazioni indipendenti estratte dalle seguenti
distribuzioni
Xi ∼ Gauss(µ, σi2 ), i = 1, . . . , n
in cui σi2 > 0, i = 1, . . . , n sono costanti positive note, mentre µ è il parametro incognito, quindi
Θ = {µ : µ > 0}. Sia τ (µ) = µ la funzione oggetto della stima.
1. Costruire il modello statistico associato all’esperimento e calcolare la verosimiglianza del campione;
2. Trovare lo stimatore di massima verosimiglianza di µ e calcolarne valore atteso, varianza e
distribuzione;
3. Basandosi sul momento primo delle osservazioni, si determini lo stimatore dei momenti di τ e
si calcolino media, varianza e distribuzione;
4. Dimostrare che lo stimatore di massima verosimiglianza è migliore di quello dei momenti nel
senso della varianza;
5. Si dimostri che il modello
appartiene della famiglia esponenziale e che la relativa statistica è
P
T (X1 , X2 , . . . , Xn ) = ni=1 σx2i ;
i
6. Si dimostri che lo stimatore di massima verosimiglianza è uno stimatore a varianza uniformemente minima tra i non distorti;
7. La statistica X̄ è sufficiente? É una statistica sufficiente e minimale?
Esercizio 6. Un’azienda di farmaci deve testare un nuovo farmaco per la malattia A, a tal fine viene
costruito un campione di n topi, i quai presentano le stesse condizioni di salute. Ogni topo viene
infettato con la malattia A, dopo di che il nuovo farmaco viene somministrato ad ognuno di essi. Una
volta somministrato il farmaco si osserva il tempo del decesso. É noto che, indicato con Xi il tempo
del decesso per la malattia A, Xi ha distribuzione esponenziale con valore attesto 1/θ, θ > 0.
Durante l’esperimento gli individui possono anche decedere per altre cause ed assumiamo noto
che il tempo di decesso per queste cause, indicato con Ui , ha distribuzione esponenziale di parametro
λ noto. Nel momento in cui avviene il decesso di un individuo non è possibile distinguere la causa
di morte, quindi per l’i–esimo individuo, indicato con Yi il tempo di morte osservato, si ha che Yi è
uguale a Xi , se Xi ≤ Ui o è uguale a Ui se Ui ≤ Xi .
1. Si costruisca il modello statistico associato alle osservazioni Yi e se ne calcoli la verosimiglianza.
2. Si calcolino gli stimatori di massima verosimiglianza e dei momenti per τ (ϑ) = ϑ.
3. Inidicato con T lo stimatore di massima verosimiglianza, si calcolino il valore atteso e la
varianza di T .
4. Si calcoli la distorsione di T per ϑ. Si costruisca lo stimatore corretto, indicandolo con T1 , che
è funzione di T , e se ne calcoli la varianza.
5. Si verifichi se lo stimatore T1 è a varianza uniformemente minima.
6. Si dimostri che il modello statistico associato all’esperimento è regolare, si calcoli l’informazione
di Fisher e sis stabilisca se lo stimatore T1 raggiunge il limite inferiore di Cràmer–Rao.
Esercizio 7. Dimostrare che una statistica S è sufficiente se e solo se dati due punti dello spazio
campionario x e y, S(x) = S(y) implica Lθ (x) = Lθ (y) per ogni θ ∈ Θ.