Analisi dei transitori

CAPITOLO 5 Analisi dei transitori
Paragrafo 5.2: Scrittura delle equazioni differenziali per circuiti
contenenti condensatori e induttori
Problema 5.1
Soluzione:
Quantità note:
L=0.9 mH, Vs=12 V, R1 = 6 kΩ, R2 = 6 kΩ, R3 = 3 kΩ
Trovare:
L’equazione differenziale per t>0 (interruttore aperto) del circuito di figura 5.21.
Analisi:
Applichiamo la LKC al nodo superiore (analisi nodale) per scrivere l’equazione circuitale. Notate
che la tensione al nodo superiore è la tensione sull’induttore, vL.
Ora, utilizziamo la definizione di tensione sull’induttore per eliminare la variabile vL
dall’equazione al nodo:
Sostituendo i valori numerici, otteniamo la seguente equazione differenziale:
Problema 5.2
Soluzione:
Quantità note:
V1=12 V, C= 0.5 F, R1 = 0.68 kΩ, R2 = 1.8 kΩ
Trovare:
L’equazione differenziale per t>0 (tasto chiuso) del circuito di figura 5.23.
Analisi:
Applichiamo la LKC al nodo superiore (analisi nodale) per scrivere l’equazione circuitale. Notate
che la tensione al nodo superiore è la tensione sul condensatore, vC.
Ora, utilizziamo la definizione di corrente nel condensatore per eliminare la variabile iC
dall’equazione al nodo:
G. Rizzoni, Elettrotecnica. Principi e applicazioni, 3e - McGraw-Hill Education Italy srl
© 2013 ISBN 978-88-386-66760-2
Sostituendo i valori numerici, otteniamo la seguente equazione differenziale:
_________________________________________________________________________
Problema 5.3
Soluzione:
Quantità note:
V1=12 V, R1 = 0.68 kΩ, R2 = 2.2 kΩ, R3 = 1.8 kΩ, C= 0.47 F
Trovare:
L’equazione differenziale per t>0 (interruttore chiuso) del circuito di figura 5.27.
Analisi:
Applichiamo la LKC al secondo nodo (analisi nodale) per scrivere l’equazione circuitale. Notate
che la tensione al nodo n. 1 è la tensione sul condensatore, vC.
Per il nodo n.1:
Per il nodo n.2:
Risolvendo il sistema:
Ora, utilizziamo la definizione di corrente nel condensatore per eliminare la variabile iC
dall’equazione al nodo:
G. Rizzoni, Elettrotecnica. Principi e applicazioni, 3e - McGraw-Hill Education Italy srl
© 2013 ISBN 978-88-386-66760-2
Sostituendo i valori numerici, otteniamo la seguente equazione differenziale:
________________________________________________________________________________
Problema 5.4
Soluzione:
Quantità note:
VS2=13 V, L= 170 mH , R2 = 4.3 kΩ, R3 = 29 kΩ
Trovare:
L’equazione differenziale per t>0 (interruttore aperto) del circuito di figura 5.29.
Analisi:
Applicando la LKT otteniamo:
Ora, utilizziamo la definizione di tensione sull’induttore per eliminare la variabile vL
dall’equazione al nodo
Sostituendo i valori numerici, otteniamo la seguente equazione differenziale:
Problema 5.5
Soluzione:
Quantità note:
Io=17 mA, C= 0.55 F, R1 = 7 kΩ, R2 = 3.3 kΩ,
Trovare:
L’equazione differenziale per t>0 del circuito di figura 5.32.
Analisi:
Applicando la definizione di corrente nel condensatore:
G. Rizzoni, Elettrotecnica. Principi e applicazioni, 3e - McGraw-Hill Education Italy srl
© 2013 ISBN 978-88-386-66760-2
Sostituendo i valori numerici, otteniamo la seguente equazione differenziale:
Problema 5.6
Soluzione:
Quantità note:
VS2=11 V, C= 0.5 nF, R1 = 14 kΩ, R2 = 13 kΩ, R3 = 14 kΩ,
Trovare:
L’equazione differenziale per t>0 (interruttore chiuso) del circuito di figura 5.34.
Analisi:
Applichiamo la LKC al nodo superiore (analisi nodale) per scrivere l’equazione circuitale.
Notiamo che la tensione nodale v1 è uguale a:
Sostituendo la tensione nodale v1 nella prima equazione:
Ora, utilizziamo la definizione di corrente nel condensatore per eliminare la variabile iC
dall’equazione al nodo:
Sostituendo i valori numerici, otteniamo la seguente equazione differenziale:
G. Rizzoni, Elettrotecnica. Principi e applicazioni, 3e - McGraw-Hill Education Italy srl
© 2013 ISBN 978-88-386-66760-2
Problema 5.7
Soluzione:
Quantità note:
VS= 20 V, R1 = 5 Ω, R2 = 4 Ω, R3 = 3 Ω, R4 = 6 Ω, C1= 4 F, C2= 4 F, IS= 4 A.
Trovare:
L’equazione differenziale per t>0 (interruttore chiuso) del circuito di figura 5.41
Analisi:
Applichiamo la LKC a due nodi (analisi nodale) per scrivere l’equazione circuitale. Notiamo che la
tensione del nodo n.1 è uguale a quelle ai capi dei due condensatori, vC1 = vC2 = vC.
Per il nodo n.1:
Per il nodo n.2:
Risolvendo il sistema:
Ora, utilizziamo la definizione di corrente nel condensatore per eliminare le variabili iCi
dall’equazione nodale:
Sostituendo i valori numerici, otteniamo la seguente equazione differenziale:
______________________________________________________________________
Problema 5.8
Soluzione:
Quantità note:
C1= 1 F, RS = 15 kΩ, R3 = 30 kΩ.
Trovare:
L’equazione differenziale per t>0 (interruttore chiuso) del circuito di figura 5.47.
G. Rizzoni, Elettrotecnica. Principi e applicazioni, 3e - McGraw-Hill Education Italy srl
© 2013 ISBN 978-88-386-66760-2
Ipotesi:
Assumiamo che VS= 9 V, R1 = 10 kΩ, R2 = 20 kΩ.
Analisi:
Applichiamo la LKC al nodo superiore (analisi nodale) per scrivere l’equazione circuitale.
1. Prima dell’apertura dell’interruttore. Applichiamo la LKC al nodo superiore (analisi nodale) per
scrivere l’equazione circuitale.
Ora, utilizziamo la definizione di corrente nel condensatore per eliminare la variabile iC
dall’equazione nodale:
Sostituendo i valori numerici, otteniamo la seguente equazione differenziale:
2. Dopo l’apertura dell’interruttore. Applichiamo la LKC al nodo superiore (analisi nodale) per
scrivere l’equazione circuitale.
Ora, utilizziamo la definizione di corrente nel condensatore per eliminare la variabile iC
dall’equazione nodale:
Sostituendo i valori numerici, otteniamo la seguente equazione differenziale:
______________________________________________________________________________
Problema 5.9
Soluzione:
Quantità note:
I valori della tensione del generatore di tensione, delle induttanze e delle resistenze
Trovare:
L’equazione differenziale per t>0 (interruttore aperto) del circuito di figura 5.49.
Analisi:
Applichiamo la LKC al nodo superiore (analisi nodale) per scrivere l’equazione circuitale.
G. Rizzoni, Elettrotecnica. Principi e applicazioni, 3e - McGraw-Hill Education Italy srl
© 2013 ISBN 978-88-386-66760-2
Osserviamo che la tensione del nodo v1 è uguale a:
Sostituendo il valore della tensione nodale v1 nella prima equazione:
Ora, adoperando la definizione di tensione sull’induttore per eliminare la variabile vL dall’equazione
nodale:
_______________________________________________________________________________________________________________________
Problema 5.10
Soluzione:
Quantità note:
IS= 4 A, L1 = 1 H, L2 = 5 H, R = 10 kΩ,
Trovare:
L’equazione differenziale per t>0 (interruttore aperto) del circuito di figura 5.52.
Analisi:
Applichiamo la LKC al nodo superiore (analisi nodale) per scrivere l’equazione circuitale.
Osserviamo che la tensione del nodo v1 è uguale a:
Sostituendo il valore della tensione nodale v1 nella prima equazione:
Ora, adoperando la definizione di tensione sull’induttore per eliminare la variabile vL dall’equazione
nodale:
Sostituendo i valori numerici, otteniamo la seguente equazione differenziale:
_______________________________________________________________________________
G. Rizzoni, Elettrotecnica. Principi e applicazioni, 3e - McGraw-Hill Education Italy srl
© 2013 ISBN 978-88-386-66760-2
Paragrafo 5.3: Soluzione stazionaria in DC di circuiti contenenti
induttori e condensatori. Condizioni iniziali e finali
Problema 5.11
Soluzione:
Quantità note:
L = 0.9 mH, VS= 12V, R1 = 6 kΩ, R2 = 6 kΩ, R3 = 3 kΩ.
Trovare:
Le condizioni iniziali e finali del circuito di figura 5.21.
Analisi:
Prima di essere aperto, l’interruttore è rimasto chiuso per un lungo intervallo di tempo. Abbiamo,
quindi, una condizione stazionaria, e trattiamo l’induttore come un corto circuito. La tensione ai
capi dei resistori R1 e R3 è uguale a zero, poiché essi sono in parallelo al corto circuito, sicché tutta
la corrente attraversa il resistore R2 :
Dopo che l’interruttore è rimasto aperto per un lungo intervallo di tempo, abbiamo una condizione
stazionaria e trattiamo l’induttore come un corto circuito. Quando l’interruttore è aperto, la sorgente
di tensione non è connessa al circuito. Quindi:
Problema 5.12
Soluzione:
Quantità note:
V1= 12V, C = 0.5 F, R1 = 0.68 kΩ, R2 = 1.8 kΩ
Trovare:
Le condizioni iniziali e finali del circuito di figura 5.23.
Analisi:
Prima di essere chiuso, l’interruttore è rimasto aperto per un lungo intervallo di tempo. Abbiamo,
quindi, una condizione stazionaria, e trattiamo il condensatore come un circuito aperto. Quando
l’interruttore è aperto, la sorgente di tensione non è connessa al circuito. Quindi:
Dopo che l’interruttore è rimasto chiuso per un lungo intervallo di tempo, abbiamo una condizione
stazionaria, e trattiamo il condensatore come un circuito aperto. La tensione ai capi del
condensatore è uguale e quella ai capi del resistore R2 :
G. Rizzoni, Elettrotecnica. Principi e applicazioni, 3e - McGraw-Hill Education Italy srl
© 2013 ISBN 978-88-386-66760-2
Problema 5.13
Soluzione:
Quantità note:
V1= 12V, R1 = 0.68 kΩ, R2 = 2.2 kΩ, R3= 1.8 kΩ, C = 0.47 F
Trovare:
Le condizioni iniziali e finali del circuito di figura 5.27.
Analisi:
Prima di essere chiuso, l’interruttore è rimasto aperto per un lungo intervallo di tempo. Abbiamo,
quindi, una condizione stazionaria, e trattiamo il condensatore come un circuito aperto. Quando
l’interruttore è aperto, la sorgente di tensione non è connessa al circuito. Quindi:
Dopo che l’interruttore è rimasto chiuso per un lungo intervallo di tempo, abbiamo una condizione
stazionaria, e trattiamo il condensatore come un circuito aperto. Poiché la corrente che attraversa il
resistore R2 è nulla, la tensione ai caoi del condensatore è uguale a quella ai capi del resistore R3 :
Problema 5.14
Soluzione:
Quantità note:
Vs2= 13V, L = 170 mH, R2 = 4.3 kΩ, R3= 29kΩ.
Trovare:
Le condizioni iniziali e finali del circuito di figura 5.29.
Analisi:
In condizioni stazionarie possiamo trattare l’induttore come un corto circuito. Prima della
commutazione dell’interruttore, applicando la LKT otteniamo:
Dopo un lungo intervallo di tempo dalla commutazione dell’interruttore, abbiamo una condizione
stazionaria, e trattiamo l’induttore come un corto circuito. Quindi, applicando la LKT abbiamo:
G. Rizzoni, Elettrotecnica. Principi e applicazioni, 3e - McGraw-Hill Education Italy srl
© 2013 ISBN 978-88-386-66760-2
Problema 5.15
Soluzione:
Quantità note:
I0= 17 mA, C = 0.55 F, R1 = 7 kΩ, R2 = 3.3 kΩ.
Trovare:
Le condizioni iniziali e finali del circuito di figura 5.32.
Analisi:
Prima della commutazione dell’interruttore, il condensatore è sconnesso dal circuito, per cui non
abbiamo alcuna informazione sulla sua condizione iniziale.
Dopo la commutazione dell’interruttore, la sorgente di corrente e il condensatore saranno in serie
così che la coreente attraverso il condensatore risulterà costante. Pertanto, la velocità di accumulo
della carica sulle armature del condensatore sarà anch’essa costante e, di conseguenza, la tensione ai
capi del condensatore crescerà ad un tasso costanre, senza mia raggiunfere un punto di equilibrio.
________________________________________________________________________________
Problema 5.16
Soluzione:
Quantità note:
Vs2= 11V, C = 0.5 nF, R1 = 14 kΩ, R2 = 13 kΩ, R3 = 14kΩ.
Trovare:
Le condizioni iniziali e finali del circuito di figura 5.34.
Analisi:
In condizioni stazionarie possiamo trattare il condensatore come un circuito aperto. Prima della
commutazione dell’interruttore, applicando la LKT abbiamo che la tensione ai capi del
condensatore è uguale alla tensione della sorgente Vs1 :
Dopo un lungo intervallo di tempo dalla commutazione, abbiamo una condizione stazionaria, e
trattiamo il condensatore come un circuito aperto. Poiché la corrente attraverso il resistore R2 è
uguale a zero, la tensione ai capi del condensatore è uguale a quella ai capi del resistore R3 :
Problema 5.17
Soluzione:
Quantità note:
Vs= 20V, R1 = 5Ω, R2 = 4Ω, R3 = 3Ω, R4 = 6Ω, C1 = 4F, C2 = 4F, IS = 4A.
Trovare:
Le condizioni iniziali e finali del circuito di figura 5.41.
G. Rizzoni, Elettrotecnica. Principi e applicazioni, 3e - McGraw-Hill Education Italy srl
© 2013 ISBN 978-88-386-66760-2
Analisi:
L’interruttore S1 è sempre aperto e quello S2 si chiude nell’istante t=0. Prima di chiudersi,
l’interruttore S2 è rimasto aperto per un lungo intervallo di tempo. Quindi abbiamo una condizione
stazionaria, e trattiamo i condensatori come circuiti aperti. Quando l’interruttore S2 è aperto, la
sorgente di corrente non è connessa al circuito. Allora,
Dopo che l’interruttore S2 è rimasto chiuso per un lungo periodo di tempo, abbiamo una condizione
stazionaria, e trattiamo i condensatori come circuiti aperti. Entrambe le tensioni ai capi dei
condensatori sono uguali alla tensione ai capi del resistore R3 :
Problema 5.18
Soluzione:
Quantità note:
C = 1 F, RS = 15 kΩ, R2 = 30 kΩ.
Trovare:
Le condizioni iniziali e finali del circuito di figura 5.47.
Ipotesi:
Assumiamo che VS= 9 V, R1 = 10 kΩ, R2 = 20 kΩ.
Analisi:
Prima della chiusura, l’interruttore è rimasto aperto per un lungo intervallo di tempo. Abbiamo,
quindi, una condizione stazionaria, e trattiamo il condensatore come un circuito aperto. La tensione
ai capi del condensatore è uguale a quella ai capi del resistore R1. Allora,
Dopo che l’interruttore è stato chiuso per un lungo periodo di tempo, abbiamo una condizione
stazionaria, e trattiamo il condensatore come un circuito aperto. La tensione ai capi del
condensatore è uguale a quella ai capi del resistore R1. Allora:
Problema 5.19
Soluzione:
Quantità note:
Tensione della sorgente, induttanze e resistenze del circuito.
Trovare:
Le condizioni iniziali e finali del circuito di figura 5.49.
G. Rizzoni, Elettrotecnica. Principi e applicazioni, 3e - McGraw-Hill Education Italy srl
© 2013 ISBN 978-88-386-66760-2
Analisi:
Prima della commutazione dell’interruttore, applichiamo la LKC al nodo superiore (analisi nodale)
per scrivere l’equazione del circuito.
Dopo la commutazione, applichiamo la LKC al nodo superiore (analisi nodale) per scrivere
l’equazione del circuito.
_________________________________________________________________________
Problema 5.20
Soluzione:
Quantità note:
IS= 5 A, L1 = 1H, L2 = 5H, R = 10 kΩ.
Trovare:
Le condizioni iniziali e finali del circuito di figura 5.52.
Analisi:
Prima della chiusura, l’interruttore è rimasto aperto per un lungo periodo di tempo. Qiundi,
abbiamo una condizione stazionaria, e trattiamo gli induttori come corto circuiti. I valori delle due
resistenze sono uguali così che la corrente che attraversa gli induttori è:
Dopo che l’interruttore è rimasto chiuso per un lungo intervallo di tempo, abbiamo una condizione
stazionaria, e trattiamo gli induttori come corto circuiti. In questo caso i resistori sono cortocircuitati
sicchè tutta la corrente attraversa gli induttori
Paragrafo 5.4: Risposta transitoria nei circuiti del primo ordine
Problema 5.21
Soluzione:
Quantità note:
L = 0.9 mH, VS= 12 V, R1 = 6 kΩ, R2 = 6 kΩ, R3 = 3 kΩ.
Trovare:
Se esistono, le condizioni stazionarie immediatamente prima dell’apertura dell’interruttore.
G. Rizzoni, Elettrotecnica. Principi e applicazioni, 3e - McGraw-Hill Education Italy srl
© 2013 ISBN 978-88-386-66760-2
Ipotesi:
iL = 1.70 mA appena prima dell’apertura dell’interruttore in t=0
Analisi:
Determiniamo le corrente stazionaria nell’induttore per t<0. Se questa corrente è uguale alla
corrente ipotizzato, si è in condizioni stazionarie; viceversa, l’apertura dell’interruttore interrompe
un transitorio in atto. Per determinare il valore della corrente stazionaria nell’induttore
immediatamente prima dell’apertura dell’interruttore, sostituiamo all’induttore il suo equivalente
stazionario, un corto circuito, e calcoliamo la corrente che lo attraversa.
In condizioni stazionarie, l’induttore è rappresentato da un corto circuito:
Allora, la corrente di corto circuito nell’induttore è semplicemente quella che attraversa R2 il cui
valore può essere determinato applicando le Leggi di Kirchhoff e la Legge di Ohm.
Applichiamo la LKT :
Applichiamo la LKC:
La corrente stazionaria reale che attraversa l’induttore è maggiore di quella ipotizzata. Pertanto,
appena prima dell’apertura dell’interruttore, il circuito non è in condizioni stazionarie.
Problema 5.22
Soluzione:
Quantità note:
VS1= 35V, VS2= 130V, C= 11 μF R1 = 17 kΩ, R2 = 7 kΩ, R3 = 23kΩ.
Trovare:
In t=0 la corrente iniziale che attraversa il resistore R3 subito dopo che l’interruttore ha cambiato
stato.
Ipotesi:
Nessuna
Analisi:
Per risolvare questo problema, determiniano la tensione di regime stazionario ai capi del
condensatore prima della comutazione. Poichè la tensione sul condensatore non può cambiare
istantaneamente, questa tensione sarà quela sul condensatore immediatamente dopo la
commutazione dell’interruttore. In quell’istante, il condensatore è rappresentato da un circuito
aperto:
Applichiamo la LKT:
Nell’istante t=0:
G. Rizzoni, Elettrotecnica. Principi e applicazioni, 3e - McGraw-Hill Education Italy srl
© 2013 ISBN 978-88-386-66760-2
Applichiamo la LKT:
Problema 5.23
Soluzione:
Quantità note:
V1= 12V, C= 0.5 μF, R1 = 0.68 kΩ, R2 = 1.8 kΩ.
Trovare:
La corrente attraverso il condensatore subito prima e subito dopo che l’interruttore venga chiuso
Ipotesi:
Il circuito è in regime stazionario per t<0.
Analisi:
Per t=0- ipotizziamo che sia verificata la condizione di regime stazionario. Se la carica elettrica è
accumulata sulle armature del condensatore, allora ci sarà energia immagazzinata nel campo
elettrico all’interno del condensatore e una d.d.p. ai suoi morsetti. Questo originerà una corrente
attraverso R2 che dissiperà energia fino a quanto ne sarà presente nel condensatore, esaurita la quale
la corrente e la tensione ai morsetti del condensatore saranno nulli. Queste sono le condizioni
stazionarie:
Per t=0, l’interruttore si chiude e inizia il transitorio. La continuità richiede:
In quest’istante, trattiamo il condensatore come una sorgente di tensione DC di valore nullo cioè
come un cortocircuito. Pertanto, tutta la tensione V1 è ai morsetti del resistore R1 e la corrente
risultante attraverso R1 è la corrente nel condensatore.
Applichiamo la LKC: (Somma delle correnti in uscita dal nodo superiore)
La CORRENTE attraverso il condensatore NON è continua ma cambia da 0 a 17.65 mA quando
l’interruttore si chiude. La tensione ai capi del condensatore è continua perché l’energia accumulata
NON PUO’ VARIARE ISTANTANEAMENTE.
G. Rizzoni, Elettrotecnica. Principi e applicazioni, 3e - McGraw-Hill Education Italy srl
© 2013 ISBN 978-88-386-66760-2
Problema 5. 24
Soluzione:
Quantità note:
V1= 12V, C= 150 μF, R1 = 400 mΩ, R2 = 2.2 kΩ.
Trovare:
La corrente attraverso il condensatore subito prima e subito dopo che l’interruttore venga chiuso.
Ipotesi:
Il circuito è in regime stazionario per t<0.
Analisi:
Per t=0- ipotizziamo che sia verificata la condizione di regime stazionario. Se la carica elettrica è
accumulata sulle armature del condensatore, allora ci sarà energia immagazzinata nel campo
elettrico all’interno del condensatore e una d.d.p. ai suoi morsetti. Questo originerà una corrente
attraverso R2 che dissiperà energia fino a quanto ne sarà presente nel condensatore, esaurita la quale
la corrente e la tensione ai morsetti del condensatore saranno nulli. Queste sono le condizioni
stazionarie:
Per t=0, l’interruttore si chiude e inizia il transitorio. La continuità richiede:
In quest’istante, trattiamo il condensatore come una sorgente di tensione DC di valore nullo cioè
come un cortocircuito. Pertanto, tutta la tensione V1 è ai morsetti del resistore R1 e la corrente
risultante attraverso R1 è la corrente nel condensatore.
Applichiamo la LKC: (Somma delle correnti in uscita dal nodo superiore)
La CORRENTE attraverso il condensatore NON è continua ma cambia da 0 a 30 A quando
l’interruttore è chiuso. La tensione ai capi del condensatore è continua perché l’energia accumulata
NON PUO’ CAMBIARE ISTANTANEAMENTE.
Problema 5. 25
Soluzione:
Quantità note:
V1= 12V, L= 0.9 mH, R1 = 6 kΩ, R2 = 6 kΩ, R3 = 3 kΩ.
Trovare:
La tensione ai capi di R3 subito dopo che l’interruttore è aperto.
Ipotesi:
iL = 1.70 mA prima dell’apertura dell’interruttore a t=0.
Analisi:
G. Rizzoni, Elettrotecnica. Principi e applicazioni, 3e - McGraw-Hill Education Italy srl
© 2013 ISBN 978-88-386-66760-2
Quando l’interruttore è aperto la sorgente di tensione è sconnessa dal circuito e non gioca alcun
ruolo. Poichè la corrente attraverso l’induttore non può cambiare istantaneamente la corrente
nell’induttore per t=0 è ancora 1.70 mA. In quest’istante, trattiamo l’induttore come una sorgente
DC di corrente e determiniamo la tensione su R3 con il partitore di corrente o la LKC e la Legge di
Ohm.
Assumiamo la polarità della tensione ai capi di R3
Applichiamo la LKC: (Somma delle correnti in uscita dal nodo superiore)
Problema 5. 26
Soluzione:
Quantità note:
V1= 12V, L= 100 mH, R1 = 22 kΩ, Rs = 0.7 kΩ.
Trovare:
La tensione ai capi dell’induttore subito prima e subito dopo che l’interruttore cambi stato.
Ipotesi:
Il circuito è in condizioni stazionarie per t<0.
Analisi:
In condizioni stazionarie l’induttore agisce come un cortocircuito e non presenta tensione ai suoi
capi per t<0. Comunque, la sua corrente non è nulla e coincide con quella erogata dalla sorgente Vs
e che attraversa Rs . Quando l’interruttore cambia stato la corrente attraverso l’induttore non muta
poiché essa non può cambiare istantaneamente. Osserviano, inoltre, che dopo la commutazione
dell’interruttore la corrente in R1 coincide sempre con quella nell’induttore e che la d.d.p. su R1 è
sempre uguale a quella ai capi dell’induttore. Allora, per t=0 la tensione sull’induttore deve essere
non nulla. Questo è possibile poiché la tensione ai capi di un induttore può mutare istantaneamente.
Assumiamo una polarità per la tensione ai capi dell’induttore.
t=0-: esistono le condizioni stazionarie. L’induttore può essere modellato come un cortocircuito con:
Applichiamo la LKT:
Per t=0, inizia il transitorio. La continuità richiede:
Applichiamo la LKT:
G. Rizzoni, Elettrotecnica. Principi e applicazioni, 3e - McGraw-Hill Education Italy srl
© 2013 ISBN 978-88-386-66760-2
Problema 5. 27
Soluzione:
Quantità note:
V1= 12V, R1 = 0.68 kΩ, R2 = 2.2 kΩ, R3 = 1.8 kΩ, C= 0.47 μF.
Trovare:
La corrente attraverso il condensatore a t=0, subito dopo la chiusura dell’interruttore.
Ipotesi:
Il circuito è in condizioni stazionarie per t<0.
Analisi:
Per t<0, l’interruttore è aperto e nessuna sorgente di potenza è connessa alla parte sinistra del
circuito. In condizioni stazionare, per definizione, tensione e corrente nel condensatore devono
essere costanti. In assenza di una sorgente di potenza che compensi l’energia dissipata dai resistori,
quei valori costanti devono essere zero. D’altra parte, se il condensatore erogasse corrente, la sua
tensione decrescerebbe al diminuire della carica immagazzinata, e l’energia associata verrebbe
dissipata dai resistori. Il processo continuerebbe fino alla scomparsa della carica sulle armature
corrispondente ad un livello di tensione pari a zero. In condizioni stazionarie, allora, la tensione sul
condensatore è nulla
Per t=0, la tensione ai capi del condensatore è ancora nulla in quanto essa non può cambiare
istantaneamente. In quell’istante, il condensatore può essere considerato come un generatore di
tensione di valore nullo (cortocircuito). Comunque, la corrente attraverso il condensatore può
mutare istantaneamente da zero ad un nuovo valore. In questo problema essa cambierà quando
l’interruttore si chiude perché il generatore di tensione V1 erogherà corrente attraverso R1 e il
parallelo di R2 e R3 . La corrente in R2 coincide con quella nel condensatore.
Applichiamo la LKT:
Ricordiamo che le tensione sul condensatore (Volts = Jouls/Coulombs) rappresenta l’energia
immagazzinata nel campo elettrico compreso fra le armature del condensatore. Il campo elettrico è
determinato dalla quantità di carica immagazzinata nel condensatore e non è possibile rimuovere
istantaneamente carica elettrica dalle armature del condensatore. Pertanto, la tensione sul
condensatore non può cambiare istantaneamente quando l’interruttore si chiude.
Comunque, la velocità con la quale la carica elettrica è rimossa dalle armature del condensatore
(cioè la corrente nel condensatore) può cambiare istantaneamente quando il circuito è sede di
commutazione.
G. Rizzoni, Elettrotecnica. Principi e applicazioni, 3e - McGraw-Hill Education Italy srl
© 2013 ISBN 978-88-386-66760-2
Notiano anche che queste condizioni sono valide solo per t=0. Per t>0, durante la carica del
condensatore, tutte le tensioni e le correnti tendono esponenzialmente al loro valore finale o valore
stazionario.
Applichiamo la LKT:
Problema 5. 28
Soluzione:
Quantità note:
VS1= 35V, VS2= 130V, R1 = 17 kΩ, R2 = 7 kΩ, R3 = 23 kΩ, C= 11 μF.
Trovare:
La costante di tempo del circuito per t>0.
Ipotesi:
Il circuito è in condizioni stazionarie per t<0.
Analisi:
Per t>0, il transitorio è in corso. La costante di tempo è una misura relativa dellla velocità alla quale
le tensioni e le correnti stanno variando durante la fase transitoria. La costante di tempo di un
sistema con una sola capacità è ReqC dove Req è la resistenza equivalente di Thevenin vista dal
condensatore, cioè rispetto alla porta o ai morsetti del condensatore. Per calcolare Req si spegne (si
pone a zero) il generatore ideale indipendente di tensione e si risponde alla domanda “ Qual è la
resistanza complessiva equivalente incontrata procedendo all’interno del circuito da un morsetto del
condensatore all’altro?”. Allora:
Problema 5. 29
Soluzione:
Quantità note:
VS1= 13V, VS2= 13V, L= 170 mH, R1 = 2.7 kΩ, R2 = 4.3 kΩ, R3 = 29 kΩ..
Trovare:
La costante di tempo del circuito per t>0.
Ipotesi:
Il circuito è in condizioni stazionarie per t<0.
Analisi:
Per t>0, il transitorio è in corso. La costante di tempo è una misura relativa dellla velocità alla quale
le tensioni e le correnti stanno variando durante la fase transitoria. La costante di tempo di un
sistema con una sola capacità è ReqC dove Req è la resistenza equivalente di Thevenin vista dal
G. Rizzoni, Elettrotecnica. Principi e applicazioni, 3e - McGraw-Hill Education Italy srl
© 2013 ISBN 978-88-386-66760-2
condensatore, cioè rispetto alla porta o ai morsetti del condensatore. Per calcolare Req si spegne (si
pone a zero) il generatore ideale indipendente di tensione e si risponde alla domanda “ Qual è la
resistanza complessiva equivalente incontrata procedendo all’interno del circuito da un morsetto del
condensatore all’altro?”. Allora:
Problema 5. 30
Soluzione:
Quantità note:
V1= 12V, C= 0.47 μF, R1 = 680 Ω, R2 = 2.2 kΩ, R3 = 1.8 kΩ..
Trovare:
La costante di tempo del circuito per t>0.
Ipotesi:
Il circuito è in condizioni stazionarie per t<0.
Analisi:
Per t>0, il transitorio è in corso. La costante di tempo è una misura relativa dellla velocità alla quale
le tensioni e le correnti stanno variando durante la fase transitoria. La costante di tempo di un
sistema con una sola capacità è ReqC dove Req è la resistenza equivalente di Thevenin vista dal
condensatore, cioè rispetto alla porta o ai morsetti del condensatore. Per calcolare Req si spegne (si
pone a zero) il generatore ideale indipendente di tensione e si risponde alla domanda “ Qual è la
resistanza complessiva equivalente incontrata procedendo all’interno del circuito da un morsetto del
condensatore all’altro?”. Allora:
Problema 5. 31
Soluzione:
Quantità note:
VS = 12V, L= 0.9 mH, R1 = 6 kΩ, R2 = 6 kΩ, R3 = 3 kΩ..
Trovare:
La costante di tempo del circuito per t>0.
Ipotesi:
La corrente nell’induttore è iL = 1.70 mA prima dell’apertura dell’interruttore per t=0.
Analisi:
Per t>0, il transitorio è in corso. La costante di tempo è una misura relativa dellla velocità alla quale
le tensioni e le correnti stanno variando durante la fase transitoria. La costante di tempo di un
sistema con una sola capacità è ReqC dove Req è la resistenza equivalente di Thevenin vista dal
condensatore, cioè rispetto alla porta o ai morsetti del condensatore. Per calcolare Req si spegne (si
G. Rizzoni, Elettrotecnica. Principi e applicazioni, 3e - McGraw-Hill Education Italy srl
© 2013 ISBN 978-88-386-66760-2
pone a zero) il generatore ideale indipendente di tensione e si risponde alla domanda “ Qual è la
resistanza complessiva equivalente incontrata procedendo all’interno del circuito da un morsetto del
condensatore all’altro?”. Allora:
Problema 5. 32
Soluzione:
Quantità note:
Vc(0–) = - 7 V, Io=17 mA, C= 0.55 μF, R1 = 7 kΩ, R2 = 3.3 kΩ,
Trovare:
La tensione Vc(t) ai capi del condensatore per t>0.
Ipotesi:
Appena prima che l’interruttore cambi stato la tensione sul condensatore è - 7 V.
Analisi:
Il generatore di corrente ed il condensatore saranno in serie in modo che la corrente nel
condensatore sarà costante e pari a Io. Pertanto, la velocità di accumulo della carica sul
condensatore sarà anch’essa costante e, di consequenza, la tensione ai capi del condensatore
crescerà a velocità costante. La forma integrale del legame i-V sul condensatore esprime al meglio
la dinamica di questo processo di accumulo della carica. La continuità della tensione ai capi del
condensatore richiede:
Problema 5. 33
Soluzione:
Quantità note:
VS1= 23V, VS2= 20V, L= 23 mH, R1 = 0.7 kΩ, R2 = 13 kΩ, R3 = 330 kΩ..
Trovare:
La corrente iR3(t) attraverso il resistore R3 per t>0.
Ipotesi:
Il circuito è in condizioni stazionarie per t<0. Esso è di natura resistiva con un solo componente
conservativo (l’induttore) per cui una soluzione possibile è della forma
G. Rizzoni, Elettrotecnica. Principi e applicazioni, 3e - McGraw-Hill Education Italy srl
© 2013 ISBN 978-88-386-66760-2
Analisi:
L’approccio alla risoluzione richiede d’apprima di determinare la condizione iniziale dell’induttore
in t=0+ al fine di adoperarla per calcolare la corrente iniziale attraverso il resistore R3. In seguito, di
determinare la condizione stazionaria di regime del circuito per t>0. Per fare questo, si fa uso
semplicemente dell’analisi circuitale in regime DC per determinare la corrente in R3 sostituendo
l’induttore con un cortocircuito. Infine, determinare la costante di tempo del circuito per t>0.
Ciascuno di questi tre risultati è necessario per ricavare la soluzione completa del transitorio.
Per t = 0- :
Ipotizziamo che esista la condizione stazionaria. In tal caso, l’induttore è modellato da un
cortocircuito. Applichiamo la LKT:
Questa corrente fluisce nella direzione che va dall’induttore all’interruttore.
Determiniamo Io per t = 0+:
La continuità della corrente attraverso l’induttore richiede:
Determiniamo ISS per t → :
Ipotizziamo che sia passato un tempo sufficiente per il raggiungimeto delle condizioni di regime
stazionario. In tal caso l’induttore è modellato da un cortocircuito; pertanto la tensione ai suoi
morsetti è zero. Ne risulta una semplice connessione serie fra i resistori R2 ed R3.
La corrente che scorre in R3 si determina utilizzando direttamente la Legge di Ohm.
Determiniamo  per t > 0:
Per determinare la costante di tempo  è dapprima necessario determinare la resistenza equivalente
di Thevenin vista dai morsetti dell’induttore. Per fare questo, si pongono a zero tutte le sorgenti
ideali indipendenti e si determina la resistenza equivalente “vista” dall’induttore, cioè valutata
rispetto ai morsetti dell’induttore:
Ora la risposta completa può essere scritta facendo uso della soluzione per i transistori di tensione e
corrente nei circuiti del primo ordine.
G. Rizzoni, Elettrotecnica. Principi e applicazioni, 3e - McGraw-Hill Education Italy srl
© 2013 ISBN 978-88-386-66760-2
___________________________________________________________________________________________________________________
Problema 5. 34
Soluzione:
Quantità note:
VS1= 17V, VS2= 11V, R1 = 14 kΩ, R2 = 13 kΩ, R3 = 14 kΩ., C= 70 nF.
Trovare:
a.
V(t) per t>0.
b.
Il tempo necessario affinchè la tensione V(t) raggiunga il 98% del suo valore di regime
Ipotesi:
Il circuito è in condizioni stazionarie per t<0. Esso è di natura resistiva con un solo componente
conservativo (il condensatore) per cui una soluzione possibile è della forma
Analisi:
In generale, l’approccio a problemi di questo tipo richiede d’apprima la determinazione della
condizione iniziale del condensatore in t=0+ al fine di adoperarla per calcolare la tensione iniziale ai
capi del resistore R3. In seguito, è necessario ricavare la condizione stazionaria di regime del
circuito per t>0. Per fare questo, si fa uso semplicemente dell’analisi circuitale in regime DC per
determinare la tensione sul resistore R3 (sostituendo il condensatore con un circuito aperto). Infine,
determinare la costante di tempo del circuito per t>0 trovando la resistenza equivalente di Thevenin
RTH vista ai morsetti del condensatore. Ciascuno di questi tre risultati è necessario per ricavare la
soluzione completa del transitorio.
a.
Per t = 0–:
La condizioni di regime stazionario sono specificate. A regime, il condensatore si può
schematizzare come un circuito aperto:
Applichiamo la LKT:
Per t = 0+:
La tensione ai capi del condensatore rimane la stessa:
G. Rizzoni, Elettrotecnica. Principi e applicazioni, 3e - McGraw-Hill Education Italy srl
© 2013 ISBN 978-88-386-66760-2
Applichiamo la LKC:
Per t > 0:
Determiniamo le resistenza equivalente vista dal condensatore, cioè rispetto ai morsetti el
condensatore. Sopprimendo le sorgenti ideali indipendenti di tensione:
Per t → :
Il circuito ha raggiunto il regime. In tale condizione il condensatore è schematizzabile con un
circuito aperto:
Poiché le corrente che attraversa il lato capacitivo è nulla, a regime la tensione ai capi di R3 può
essere immediatamente ricavata facendo uso del partitore di tensione
La risposta completa per t>0 è allora:
b.
Il tempo necessario affinché V(t) ragginga il 98% del suo valore fianle si ricava da:
G. Rizzoni, Elettrotecnica. Principi e applicazioni, 3e - McGraw-Hill Education Italy srl
© 2013 ISBN 978-88-386-66760-2
Ovvero
___________________________________________________________________________________________________________________
Problema 5. 35
Soluzione:
Quantità note:
VG = 12V, RG = 0.37Ω, R = 1.7 kΩ..
Trovare:
Il valore di L e di R1.
Ipotesi:
La tensione VR fra gli elettrodi della candela subito dopo lo scatto dell’interruttore è 23 kV e tale
tensione decresce esponenzialmente con una costante di tempo  = 13 ms.
Analisi:
Per t = 0–:
Ipotizziamo che esista la condizione di regime stazionario. In tale condizione l’induttore è
schamatizzabile con un cortocircuito:
La corrente attraverso l’induttore a questo punto è espressa direttamente dalla Legge di Ohm:
Per t = 0+:
La continuità della corrente attraverso l’induttore richiede che:
G. Rizzoni, Elettrotecnica. Principi e applicazioni, 3e - McGraw-Hill Education Italy srl
© 2013 ISBN 978-88-386-66760-2
Notiamo che la tensione fra gli elettrodi VR è stata scritta come -23 kV in quanto la corrente
nell’induttore ha un verso opposto a quello associato alla polarità assunta per VR; cioè la polarità
reale della tensione ai capi di R è opposta a quella mostrata in figura.
Per t > 0:
Determiniamo la resistenza equivalente di Thevenin come “vista” dall’induttore, cioé rispetto alla
porta o ai morsetti dell’induttore:
_______________________________________________________________________________
Problema 5. 36
Soluzione:
Quantità note:
Quando iL≥ + 2 mA, il relè entra in funzione.
VS= 12V, L = 10.9 mH, R1 = 3.1 kΩ.
Trovare:
R2 tale che il relè funzioni nell’istante t = 2.3 s.
Ipotesi:
Il circuito è in condizioni stazionarie per t<0.
Analisi:
In questo problema la corrente attraverso l’induttore è chiaramente nulla prima della commutazione
dell’interruttore. Lo scopo del problema è determinare il valore della resistenza R2 tale che la
corrente attraverso l’induttore possa raggiungere in 2.3 secondi il valore di 2 mA. Di nuovo,
dobbiamo trovare la soluzione transitoria completa, questa volta per la corrente attraverso
l’induttore. Assumiamo una soluzione della forma:
Per t = 0–:
La corrente attraverso l’induttore è nulla in quanto nessuna sorgente è connessa al circuito.
G. Rizzoni, Elettrotecnica. Principi e applicazioni, 3e - McGraw-Hill Education Italy srl
© 2013 ISBN 978-88-386-66760-2
Per t = 0+:
Per t > 0:
Determiniamo la resistenza equivalente di Thevenin come “vista” dall’induttore, cioé rispetto alla
porta o ai morsetti dell’induttore:
E quindi,
Per t → :
La condizione di regime stazionaria è stata raggiunta. In tale condizione l’induttore è
rappresentabile come un cortocircuito. Allora, la corrente attraverso R2 è zero e la
correnteattraverso l’induttore è data da
Sostituiamo la precedente quantità nella espressione della soluzione completa ed imponiamo che la
corrente nell’induttore sia pari a 2 mA per un tempo di 2.3 s.
O
O
 = 3.16 secondi
risolvendo rispetto a R2:
O
G. Rizzoni, Elettrotecnica. Principi e applicazioni, 3e - McGraw-Hill Education Italy srl
© 2013 ISBN 978-88-386-66760-2
Problema 5. 37
Soluzione:
Quantità note:
V1= 12V, C= 150 μF, R1 = 400 mΩ, R2 = 2.2 kΩ.
Trovare:
La corrente attraverso il condensatore subito prima e subito dopo che l’interruttore venga chiuso.
Ipotesi:
Il circuito è in regime stazionario per t<0.
Analisi:
Per t=0- ipotizziamo che sia verificata la condizione di regime stazionario. Se la carica elettrica è
accumulata sulle armature del condensatore, allora ci sarà energia immagazzinata nel campo
elettrico all’interno del condensatore e una d.d.p. ai suoi morsetti. Questo originerà una corrente
attraverso R2 che dissiperà energia fino a quanto sarà presente energia nel condensatore, esaurita la
quale la corrente e la tensione ai morsetti del condensatore saranno nulli. Pertanto, in questo
circuito, e negli altri simili che non presentano sorgenti prima del cambiamento di stato
dell’interruttore, la condizione stazionaria è rappresentata da correnti e tensioni nulle.
Per t=0, l’interruttore si chiude e inizia il transitorio. La continuità richiede:
Poiché la tensione ai capi del condensatore è nulla in quest’istante, la tensione sul resistore R2 è
ancora nulla e questo comporta che nessuna corrente attraversa il resistore in t=0. Pertanto, per
t=0, la corrente erogata dalla sorgente coincide con quella nel condensatore.
La CORRENTE attraverso il condensatore NON è continua ma cambia da 0 a 17.65 mA quando
l’interruttore è chiuso. La tensione ai capi del condensatore è continua perché l’energia accumulata
NON PUO’ CAMBIARE ISTANTANEAMENTE.
Problema 5. 38
Soluzione:
Quantità note:
VS= 12V, RS = 0.24Ω, R1 = 33 kΩ, L = 100 mH.
Trovare:
La tensione ai capi dell’induttore subito prima e subito dopo che l’interruttore cambi stato.
Ipotesi:
Il circuito è in condizioni stazionarie per t<0.
Analisi:
La soluzione di questo problema può essere visualizzata notando che prima della commutazione
dell’interruttore il circuito si trova presumibilmente in condizioni di regime DC. Pertanto prima
della commutazione dell’interruttore l’induttore può essere rappresentato come un cortocircuito
G. Rizzoni, Elettrotecnica. Principi e applicazioni, 3e - McGraw-Hill Education Italy srl
© 2013 ISBN 978-88-386-66760-2
avente una tensione ai morsetti pari a zero. Di conseguenza, la corrente nell’induttore prima del
cambiamento di stato dell’interruttore è data semplicemente dall’espressione VS/RS.
Immediatamente dopo la commutazione, la corrente attraverso l’induttore deve rimanere la stessa in
quanto una corrente in un induttore non può cambiare istantaneamente. Comunque, dopo la
commutazione dell’interruttore questa corrente coincide con quella che attraversa R1 in quanto
l’induttore ed il resistore risultano in serie fra loro. Infine, la tensione ai capi dell’induttore è sempre
uguale a quella ai capi del resistore R1, che è semplicemente pari al prodotto di iL e R1. allora, la
tensione ai capi dell’induttore immediatamente dopo la commutazione dell’interruttore deve essere
iL (t = 0+) per R1.
In termini quantitativi, in t = 0-:
Per t = 0+,
e
L’elevato valore di questa tensione è riferito al terminale di massa a causa del verso di percorrenza
assunto dalla corrente che attraversa R1.
RISPOSTA: 0V, - 1.65 MV
Problema 5. 39
Soluzione:
Quantità note:
V1= 12V, C= 150 μF, R1 = 4 MΩ, R2 = 80 MΩ, R3 = 6 MΩ.
Trovare:
La costante di tempo del circuito per t > 0.
Ipotesi:
Il circuito è in regime stazionario per t<0.
Analisi:
Per t=0+, immediatamente dopo che l’interruttore si è chiuso, inizia il transitorio. Poiché questo è in
circuito del primo ordine (esiste una singola capacità indipendente) il transitorio evolverà in
maniera esponenziale con una data costante di tempo. Tale costante di tempo è il prodotto della
capacità del condensatore e della resistenza equivalente di Thevenin vista ai morsetti del
condensatore.
Per trovare la resistenza equivalente di Thevenin, sopprimiamo la sorgente ideale indipendente di
tensione il che equivale a sostituirla con un cortocircuito. Allora, ai morsetti del condensatore:
La costante di tempo è data semplicemente da
G. Rizzoni, Elettrotecnica. Principi e applicazioni, 3e - McGraw-Hill Education Italy srl
© 2013 ISBN 978-88-386-66760-2
Notiamo che questo valore è del tutto indipendente dall’entità della sorgente di tensione.
RISPOSTA: 2.36 ks = 206.0 min = 3.433 hr.
________________________________________________________________________________
Problema 5. 40
Soluzione:
Quantità note:
VS= 12 V, L= 100 mH, R1 = 400Ω, R2 = 400Ω, R3 = 600Ω..
Trovare:
La costante di tempo del circuito per t > 0.
Ipotesi:
iL = 1.70 mA immediatamente prima che l’interruttore venga aperto in t = 0.
Analisi:
Per t=0+, immediatamente prima che l’interruttore sia aperto, inizia il transitorio. Poiché questo è in
circuito del primo ordine (esiste una singola induttanza indipendente) il transitorio evolverà in
maniera esponenziale con una data costante di tempo. Tale costante di tempo è il prodotto
dell’induttanza dell’indutttore e della resistenza equivalente di Thevenin vista ai morsetti
dell’induttore. In questo problema la determinazione della resistenza equivalente di Thevenin è
particolarmente facile in quanto non ci sono sorgenti connesse. Rispetto ai morsetti dell’induttore:
La costante di tempo è data semplicemente da
RISPOSTA: 291.7 ns.
_____________________________________________________________________________
Problema 5. 41
Soluzione:
Quantità note:
VS= 20V, R1 = 5Ω, R2 = 4Ω, R3 = 3Ω., C1= 4F, C2= 4F, IS= 4A.
Trovare:
a. La tensione sul condensatore VC(t) per t=0.
b. La costante di tempo  per t ≥0.
c. L’espressione di vC(t) e disegnare la funzione.
d. Trovare vC(t) per ciascuno dei seguenti valori di t: 0, , 2, 5, 10.
Ipotesi:
L’interruttore S1 è sempre aperto e che l’interruttore S2 si chiuda per t = 0.
G. Rizzoni, Elettrotecnica. Principi e applicazioni, 3e - McGraw-Hill Education Italy srl
© 2013 ISBN 978-88-386-66760-2
Analisi:
a.
Senza generatori applicati, le tensioni stazionarie di regime nel circuito sono nulle
indipendentemente dalla dissipazione energetica nei resistori.
Quando la condizione iniziale da cui si origina un transitorio è nulla, la soluzione generale del
transitorio si semplifica in
b.
I due condensatori in parallelo possono essere combinati in un condensatore equivalente di 8
F. La resistenza equivalente di Thevenin vista da tale condensatore si trova sopprimendo il
generatore di corrente (cioè sostituendolo con un circuito aperto) e calcolando R2 + R3 // R4.
c.
La tensione di lungo termine di regime ai capi dei condensatori si determina sostituendoli
con circuiti aperti e calcolando la tensione ai capi di R3. Questa tensione si trova immediatamente
applicando il partitore di tensione
Sostituendo nell’espressione generale data precedentemente si ottiene
d.
********************************************************************************
Problema 5. 42
Soluzione:
Quantità note:
VS= 20V, R1 = 5Ω, R2 = 4Ω, R3 = 3Ω., R4 = 6Ω., C1= 4F, C2= 4F, IS= 4A.
Trovare:
a. La tensione sul condensatore VC(t) per t=0.
b. La costante di tempo  per t ≥0.
G. Rizzoni, Elettrotecnica. Principi e applicazioni, 3e - McGraw-Hill Education Italy srl
© 2013 ISBN 978-88-386-66760-2
c. L’espressione di vC(t) e disegnare la funzione.
d. Trovare vC(t) per ciascuno dei seguenti valori di t: 0, , 2, 5, 10.
Ipotesi:
L’interruttore S1 è rimasto aperto per un lungo intervallo di tempo e si chiude in t = 0; invece
l’interruttore S2 è rimasto chiuso e si apre per t = 0.
Analisi:
a.
La tensione sui condensatori immediatamente dopo che S1 si chiuda e S2 si apra è uguale a
quella esistente sugli stessi quando il primo era aperto ed il secondo chiuso. Poiché il secondo
interruttore è rimasto chiuso per un lungo periodo di tempo si può ipotizzare che la tensione sui
condensatori abbia raggiunto il valore di regime stazionario. Questo valore si trova sostituendo
entrambi i condensatori con circuiti aperti e calcolando la tensione ai capi di R3. Questa tensione si
trova immediatamente applicando il partitore di tensione
b.
La resistenza equivalente di Thevenin vista dal parallelo dei condensatori è (R2 + R3 ) // R1.
c.
La soluzione dinamica generale del transitorio è
La tensione di regime stazionario ai capi dei condensatori si determina sostituendoli con circuiti
aperti e calcolando la tensione ai capi di R3. Questa tensione si trova immediatamente applicando il
partitore di tensione. Allora,
Sostituendo nell’espressione generale data precedentemente si ottiene
d.
________________________________________________________________________
Problema 5. 43
Soluzione:
Quantità note:
VS= 20V, R1 = 5Ω, R2 = 4Ω, R3 = 3Ω., R4 = 6Ω., C1= 4F, C2= 4F, IS= 4A.
G. Rizzoni, Elettrotecnica. Principi e applicazioni, 3e - McGraw-Hill Education Italy srl
© 2013 ISBN 978-88-386-66760-2
Trovare:
a. La tensione sul condensatore VC(t) per t=0.
b. L’espressione di vC(t) e disegnare la funzione.
Ipotesi:
L’interruttore S2 è rimasto sempre aperto; l’interruttore S1 è rimasto chiuso per un lungo intervallo
di tempo e si apre in t = 0. L’interruttore S1 si chiude ancora per t = t1 = 3 (NOTA mia: 3 s)
Analisi:
L’approccio al problema consiste quì nel trovare la soluzione transitoria nell’intervallo 0 < t <3
secondi e far uso di quella soluzione per determinare le condizioni iniziali (tensione sul
condensatore) esistenti all’inizio del nuovo transitorio originato dalla richiusura di S1.
a. S1 è rimasto chiuso per lungo tempo e in regime stazionario i condensatori possono essere
sostituiti da circuiti aperti. Allora, per il partitore di tensione
b.
Come detto in precedenza, per determinare la soluzione transitoria completa per t > 0 è
necessario trovare la tensione sui condensatori quando S1 si chiude a t = 3 s. Per fare questo, è
d’apprima necessario trovare la soluzione transitoria completa quando l’interruttore è aperto.
La tensione di regime stazionario sui condensatori quando l’interruttore è aperto è zero. La costante
di tempo è semplicemente RTH CEQ = 56 s. Allora, la soluzione transitoria completa per i primi 3
secondi è
Per t = 3 s, la tensione sul condensatore è
Quando t = 3 s l’interruttore S1 si richiude. La continuità della tensione sui condensatori fa si che
Con l’interruttore chiuso la tensione di regime stazionario sui condensatori è la stessa calcolata al
punto a.
La nuova costante di tempo si trova sopprimendo la sorgenti indipendenti di tensione (cioè
sosstituendole con cortocircuiti) e determinando la resistenza equivalente di Thevenin vista dai
condensatori.
e
secondi
Infine, la soluzione transitoria per t > 3 s è
G. Rizzoni, Elettrotecnica. Principi e applicazioni, 3e - McGraw-Hill Education Italy srl
© 2013 ISBN 978-88-386-66760-2
Si noti l’uso della traslazione nella scala dei tempi (t-3) nell’esponenziale.
_____________________________________________________________________________
Problema 5. 44 (Questo problema è uguale a quello P5.42. assumiamo che
entrambi gli interruttori chiudano a t=0)
Soluzione:
Quantità note:
VS= 20V, R1 = 5Ω, R2 = 4Ω, R3 = 3Ω., R4 = 6Ω., C1= 4F, C2= 4F, IS= 4A.
Trovare:
a. La tensione sul condensatore VC(t) per t=0.
b. La costante di tempo  per t ≥0.
c. L’espressione di vC(t) e disegnare la funzione.
d. Trovare vC(t) per ciascuno dei seguenti valori di t: 0, , 2, 5, 10.
Ipotesi:
Entrambi gli interruttore S1 e S2 si chiudono in t = 0.
Analisi:
Senza alcuna sorgente di potenza connessa al circuito le tensioni di regime stazionario sono zero a
causa della completa dissipazione di tutta l’energia del circuito nei resistori.
Quando le condizioni iniziali del transitorio sono nulle, la soluzione generale del transitorio si
semplifica così
b. I due condensatori in parallelo possono essere combinati in un unico condensatore equivalente
di 8 F. La resistenza equivalente di Thevenin vista da tale condensatore si trova sopprimendo le
sorgenti indipendenti (cioè sostituendo il generatore di corrente con un circuito aperto e quello di
tensione con un corto circuito) e calcolando R1 // ( R2 + R3 // R4 ).
c. A questo punto solo la tensione di regime stazionario del condensatore è necessaria per
esprimere la soluzione transitoria completa. In regime DC il condensatore si può modellare con un
circuito aperto. Inoltre, il parallelo R3 // R4 può essere sostituito da un’unica resistenza equivalente.
Tale resistenza è in parallelo con un generatore di corrente per cui facendo uso del equivalente di
Thevenin possiamo sostituire ad essi la serie di un appropriato generatore di tensione con in serie la
stessa resistenza. Effetuata la sostituzione è agevole con il partitore di tensione determinare la
tensione sul condensatore.
G. Rizzoni, Elettrotecnica. Principi e applicazioni, 3e - McGraw-Hill Education Italy srl
© 2013 ISBN 978-88-386-66760-2
La trasformazione equivalente della sorgente assegna un valore di 8 V al generatore di tensione in
serie con questa resistenza. Allora, usando il partitore di tensione
Ora sostituendo nell’espressione generale della soluzione transitoria si ottiene
d.
______________________________________________________________________________
Problema 5. 45
Soluzione:
Quantità note:
VS= 20V, R1 = 5Ω, R2 = 4Ω, R3 = 3Ω., R4 = 6Ω., C1= 4F, C2= 4F, IS= 4A.
Trovare:
a. La tensione sul condensatore VC(t) per t=0.
b. La costante di tempo  per 0 ≤ t ≤ 48 s.
c. L’espressione di VC(t) valida per 0 ≤ t ≤ 48 s.
d. La costante di tempo  per t > 48 s.
e. L’espressione di VC(t) valida per t > 48 s.
f. Disegnare VC(t) per tutti gli istanti di tempo.
Ipotesi:
L’interruttore S1 apre a t = 0; l’interruttore S2 apre per t = 48 s.
Analisi: L’approccio al problema consiste quì nel trovare la soluzione transitoria nell’intervallo 0 <
t < 48 secondi e far uso di quella soluzione per determinare le condizioni iniziali (tensione sul
condensatore) esistenti all’inizio del nuovo transitorio originato dalla apertura di S2.
a. S1 e S2 sono stati chiusi per lungo tempo e in condizioni di regime stazionario i condensatori
possono essere sostituiti con circuiti aperti. Allora, facendo uso dell’analisi nodale
G. Rizzoni, Elettrotecnica. Principi e applicazioni, 3e - McGraw-Hill Education Italy srl
© 2013 ISBN 978-88-386-66760-2
b. I due condensatori in parallelo possono essere combinati in un unico condensatore equivalente
di 8 F. La resistenza equivalente di Thevenin vista da tale condensatore si trova sopprimendo le
sorgenti indipendenti (cioè sostituendo il generatore di corrente con un circuito aperto) e calcolando
( R2 + R3 // R4 ).
c. Come detto in precedenza, per trovare la soluzione transitoria completa per t > 0 è necessario
trovare la tensione sul condensatore quando S2 apre per t = 48 s. per far ciò occorre prima trovare la
soluzione transitoria completa
riferita alla sistuazione in cui solo S1 è aperto (cioè come se l’interruttore S2 non si aprisse mai) .
La soluzione generalizzata per il transitorio è
La tensione di regime stazionario ai capi dei condensatori si trova sostituendo ad essi circuiti aperti
e calcolando la tensiona ai capi di R3. questa tensione si trova per mezzo del partitore di corrente.
Allora,
Ora sostituendo nella soluzione generalizzata data in precedenza si trova
Per t = 48 s, la tensione sul condensatore è
La continuità della tensione sul condensatore fa si che
d. I due condensatori in parallelo possono essere combinati in un unico condensatore equivalente
di 8 F. Quando entrambi gli interruttori sono aperti, non ci sono sorgenti indipendenti connesse al
circuito. Allora, la resistenza equivalente di Thevenin vista da tale condensatore si trova calcolando
(R2 + R3 ).
e. La soluzione generalizzata del transitorio è
La tensione di regime stazionario sul condensatore dopo l’apertura dell’interruttore è zero poiché
non ci sono sorgenti indipendenti connesse al circuito e tutta l’energia iniziale nel circuito è stata
eventualmente dissipata dia resistori. Allora,
Sostituendo nella soluzione generalizzata data in precedenza si trova
G. Rizzoni, Elettrotecnica. Principi e applicazioni, 3e - McGraw-Hill Education Italy srl
© 2013 ISBN 978-88-386-66760-2
f. L’andamento della VC(t) per tutti gli istanti è mostrato nella figura seguente.
Problema 5. 46
Soluzione:
Quantità note:
VS= 20V, R1 = 5Ω, R2 = 4Ω, R3 = 3Ω., R4 = 6Ω., C1= 4F, C2= 4F, IS= 4A.
Trovare:
a.
La tensione del condensatore
b.
La costante di tempo
c.
L’espressione per
d.
La costante di tempo
e.
L’espressione per
f.
Disegna
per
valida per
per
valida per
per ogni istante di tempo.
Ipotesi:
Switch S 1 apre at t = 0; switch S 2 apre a t =48s.
Analisi: L’approccio è trovare la soluzione transitoria nell’intervallo 0 < t < 48 secondi e usare quella soluzione per
determinare la condizione iniziale (tensione sul condensatore) per il nuovo transitorio dopo che lo switch S2 apre.
G. Rizzoni, Elettrotecnica. Principi e applicazioni, 3e - McGraw-Hill Education Italy srl
© 2013 ISBN 978-88-386-66760-2
a. S 1 e S 2 sono stati chiusi per un lungo tempo e in DC il condensatore può essere sostituito con un circuito
aperto. Quindi, dall’analisi nodale
b. I due condensatori in parallelo possono essere combinati in un condensatore equivalente da 8 F. la resistenza
equivalente di Thevenin vista dalla capacità di 8F può essere trovata eliminando le sorgenti indipendenti e
calcolando (R2 + R3||R4).
c.
Come menzionato sopra, per trovare la risposta completa per for t > 0 è necessario trovare la tensione del
condensatore quando lo switch S2 apre a t = 48 s. A tal fine è necessario trovare la soluzione transitoria
completa quando il solo switch S1è aperto. La soluzione generalizzata per il transitorio è:
La tensione a regime sui condensatori è trovata sostituendoli con Circuiti aperti e determinando la tensione su R3.
Questa tensione può essere determinate col partitore.
Utilizzando tale espressione per quella precedente
A t=48sec, la tensione sul condensatore è:
Dalla continuità per la tensione:
d. I due condensatori in parallelo possono essere combinati in uno equivalente da 8F. Quando entrambi gli switch
sono aperti, non ci sono sorgenti indipendenti connesse al circuito. Quindi, la resistenza equivalente di
Thevenin vista dal condensatore equivalente può essere determinata come (R2 + R3).
e.
La soluzione generalizzata è:
f.
La tensione sul condensatore a regime dopo l’apertura dello switch è zero poichè non ci sono sorgenti
indipendenti connesse e tutta l’energia inziale nel circuito è eventualmente dissipata dai resistori. Quindi
Mettendo nella soluzione generale :
g. Il diagramma di VC(t) è riportato nella figura seguente
G. Rizzoni, Elettrotecnica. Principi e applicazioni, 3e - McGraw-Hill Education Italy srl
© 2013 ISBN 978-88-386-66760-2
Problema 5. 47
Soluzione:
Quantità note:
Trovare:
Il valore dei resistori R1 e R2
Analisi:
Prima che lo switch apra:
Dopo che lo switch ha aperto:
Risolvendo il sistema si ottiene:
Problema 5. 48
Soluzione:
Quantità note:
Trovare:
Il valore della tensione sul condensatore dopo t = 2.666 ms.
G. Rizzoni, Elettrotecnica. Principi e applicazioni, 3e - McGraw-Hill Education Italy srl
© 2013 ISBN 978-88-386-66760-2
Analisi:
Prima di aprire, lo switch è stato chiuso per un lungo period. Quindi si ha una condizione di regime, e il condensatore
può essere considerato come un circuito aperto. La tensione sul condensatore è uguale alla tensione su resistore R1.
Quindi:
Dopo che lo switch ha aperto, la costante di tempo del circuito è:
La soluzione generale per il transitorio è:
La tensione a regime sui condensatori è trovata sostituendoli con circuiti aperti e determinando la tensione su R1. Questa
tensione può essere determinata col partitore di tensione. Quindi
Mettendo nella soluzione generale :
Infine:
Problema 5. 49
Soluzione:
Quantità note:
come descritto in Fig. P5.49
Trovare:
L’istante in cui la corrente di induttore è uguale a 5°, e l’espressione iL (t) per t ≥ 0.
Analisi:
A t < 0:
Usando il partitore di corrente:
A t > 0:
Usando il partitore di corrente:
Per trovare la costante di tempo del circuito dobbiamo trovare la resistenza di Thevenin vista dall’induttore:
G. Rizzoni, Elettrotecnica. Principi e applicazioni, 3e - McGraw-Hill Education Italy srl
© 2013 ISBN 978-88-386-66760-2
La soluzione è:
Risolvendo l’equazione:
Il diagramma di iL(t) è riportato nella figura seguente
Problema 5. 50
Soluzione:
Quantità note:
come descritto in Fig. P5.49
Trovare:
L’espressione di iL (t) per
La massima tensione tra i morsetti durante i 5 ms.
Ipotesi:
L’azione meccanica dello switch richiede 5 ms.
Analisi:
a. A t < 0:
Usando il partitore di corrente:
Per
:
G. Rizzoni, Elettrotecnica. Principi e applicazioni, 3e - McGraw-Hill Education Italy srl
© 2013 ISBN 978-88-386-66760-2
La corrente di induttore a regime dopo che lo switch è stato aperto è zero poichè nessuna sorgente indipendente è
connessa al circuito e tutta l’energia iniziale nel circuito è eventualmente dissipata dal resistore. Quindi,
Per trovare la costante di tempo del circuito dobbiamo trovare la resistenza di Thevenin vista dall’induttore:
La soluzione è:
b. La tensione tra i morsetti durante i 5 ms è uguale a:
Dove,
Quindi,
La massima tensione tra i morsetti durante i 5 ms è:
Problema 5. 51
Soluzione:
Quantità note:
Come descritto in P 5.51. lo switch chiude quando la tensione sul condensatore raggiunge
Lo switch apre quando la tensione sul condensatore raggiunge
200 ms.
.
. Il periodo della forma d’nda della tensione è
Trovare:
La tensione
Ipotesi:
La tensione iniziale sul condensatore è V 1 e lo switch ha appena aperto.
Analisi:
Con lo switch aperto:
Ora dobbiamo determinare l’istante in cui
Usando l’espressione per la tensione sul condensatore:
G. Rizzoni, Elettrotecnica. Principi e applicazioni, 3e - McGraw-Hill Education Italy srl
© 2013 ISBN 978-88-386-66760-2
Con lo switch chiuso, il condensatore vede l’equivalente di Thevenin definito da:
(partitore di tensione)
Il valore iniziale di questa parte del transitorio è
l’espressione:
a t = t0. Con questi valori possiamo scrivere
La fine di un intero ciclo della forma d’onda sul resistore da 10Ω accade quando il secondo transitorio
raggiunge
. Detto t1 l’istante al quale accade tale evento, allora:
e così
Graficamente, le soluzione è l’intersezione tra le seguenti funzioni:
G. Rizzoni, Elettrotecnica. Principi e applicazioni, 3e - McGraw-Hill Education Italy srl
© 2013 ISBN 978-88-386-66760-2
che corrisponde a
Problema 5. 52
Soluzione:
Quantità note:
Come descritto in P 5.52. A t=0 lo switch chiude.
Trovare:
a. iL (t) per t ≥ 0.
b. VL1 (t) per t ≥ 0.
Ipotesi:
Analisi:
a. A regime DC dopo che lo switch è chiuso gli induttori possono essere modellati come corto circuiti e così tutta la
corrente dalla sorgente atraverserà gli induttori.
Dopo aver soppresso la sorgente di corrente (trattata come un circuito aperto) la resistenza equivalente di Thevenin vista
dagli induttori in serie e la costante di tempo associata sono:
b. La tensione sugli induttori è derivata direttamente dalla relazione differenziale tra corrente e tensione per un
induttore.
Problema 5. 53
Soluzione:
Quantità note:
Come descritto in P 5.52. A t=0 lo switch chiude.
Trovare:
La tensione su resistore da 10-kΩ in parallelo con lo switch for t ≥ 0.
G. Rizzoni, Elettrotecnica. Principi e applicazioni, 3e - McGraw-Hill Education Italy srl
© 2013 ISBN 978-88-386-66760-2
Analisi:
Quando lo switch chiude a t = 0, il resistore da 10-kΩ è in parallelo con un corto-circuito, così la sua tensione è uguale
a zero per tutti gli istanti (t ≥0).
Paragrafo 5.5: Risposta transitoria dei circuiti del secondo ordine
Problema 5.54
Soluzione:
Quantità note:
Trovare:
Tensione sul condensatore e corrente nell’induttore e in RS2 per t→ ∞.
Ipotesi:
Il circuito è a regime per t < 0.
Analisi:
La condizione a t < 0 non ha effetti sulle condizioni a regime a lungo termine. A regime DC l’induttore si comporta
come un corto circuito e il condensatore come un circuito aperto. In questo caso, l’induttore corto-circuita il ramo R1 e il
ramo R2 C. Quindi, la tensione su questi lati e la corrente in essi sono zero. In altre parole, tutta la corrente prodotta
dalla sorgete da 9V attraversa l’induttore.
Naturalmente questa corrente è anche la corrente attraverso il resistore da 290 Ω.
E poiché la tensione sull’induttore a regime DC è zero (corto-circuito)
Problema 5.55
Soluzione:
Quantità note:
Trovare:
Tensione sul condensatore e corrente nell’induttore per t→ ∞.
Ipotesi:
Il circuito è a regime per t < 0.
Analisi:
La condizione a t < 0 non ha effetti sulle condizioni a regime a lungo termine. A regime DC l’induttore si comporta
come un corto circuito e il condensatore come un circuito aperto. In questo caso, l’induttore corto-circuita il ramo R1 e il
ramo R2 C. Quindi, la tensione su questi lati e la corrente in essi sono zero. In altre parole, tutta la corrente prodotta
dalla sorgete da 12V attraversa l’induttore.
G. Rizzoni, Elettrotecnica. Principi e applicazioni, 3e - McGraw-Hill Education Italy srl
© 2013 ISBN 978-88-386-66760-2
Naturalmente questa corrente è anche la corrente attraverso il resistore da 290 Ω.
E poiché la tensione sull’induttore a regime DC è zero (corto-circuito)
Problema 5.56
Soluzione:
Quantità note:
Trovare:
Corrente nell’induttore e tensione sul condensatore su R1 per t→ ∞.
Analisi:
Per t→ ∞, il circuito tornerà in condizioni di regime DC. A regime DC l’induttore si comporta come un corto circuito
e il condensatore come un circuito aperto. Quindi, la corrente in R2 è zero e la tensione sul condensatore dev’essere
uguale alla tensione su R1. Inoltre, la corrente nell’induttore e in R1 è semplicemente VS/(RS + R1).
E
Problema 5.57
Soluzione:
Quantità note:
Trovare:
Corrente nell’induttore e tensione sul condensatore e su R1 per t→ ∞.
Analisi:
Per t→ ∞, il circuito tornerà in condizioni di regime DC. A regime DC l’induttore si comporta come un corto circuito
e il condensatore come un circuito aperto. Quindi, la tensione sul condensatore dev’essere uguale alla tensione su R2.
Inoltre, la corrente nell’induttore e in R2 è semplicemente VS/(R1 + R2).
G. Rizzoni, Elettrotecnica. Principi e applicazioni, 3e - McGraw-Hill Education Italy srl
© 2013 ISBN 978-88-386-66760-2
E
Tutte le risposte sono positive indicando che le direzioni delle correnti e le polarità delle tensioni assunte inizialmente
sono corrette
Problema 5.58
Soluzione:
Quantità note:
Trovare:
Corrente nell’induttore e tensione sul condensatore per t→ ∞.
Analisi:
Per t→ ∞, il circuito tornerà in condizioni di regime DC. A regime DC l’induttore si comporta come un corto circuito
e il condensatore come un circuito aperto. Quindi, la tensione sul condensatore dev’essere uguale alla tensione su R2.
Inoltre, la corrente nell’induttore e in R2 è semplicemente VS/(R1 + R2).
E
In teoria, quando lo switch è aperto, la corrente nell’induttore deve continuare a fluire, almeno momentaneamente.
Comunque, l’induttore è in serie con un interruttore aperto attraverso il quale la corrente non può fluire. Ciò che la
teoria non predice è che una tensione molto elevata si manifesta ai capi del circuito aperto e ciò crea un arco con cuna
corrente. L’energia immagazzinata nel campo magnetico dell’induttore è rapidamente dissipata nell’arco. Lo stesso
effetto sarà importante più tardi quando si discuterà dei transistors come interruttori.
Problema 5.59
Soluzione:
Quantità note:
Trovare:
Tensione iniziale su R2 subito dopo la commutazione dello switch.
Ipotesi:
A t < 0 il circuito è a regime e la tensione sul condensatore è + 7V .
Analisi:
É importante ricordare solo per i valori della tensione sul condensatore e della corrente nell’induttore è garantita la
continuità dall’istante immediatamente prima a quello immediatamente successivo alla commutazione.
G. Rizzoni, Elettrotecnica. Principi e applicazioni, 3e - McGraw-Hill Education Italy srl
© 2013 ISBN 978-88-386-66760-2
Quindi, per determinare la tensione iniziale su R2 è necessario prima determinare la tensione iniziale sul condensatore e
la corrente iniziale nell’induttore. Assumi che prima della commutazione dello switch si era in condizioni stazionarie. A
regime DC l’induttore può essere modellato come un corto-circuito e il condensatore come un circuito aperto. La
tensione iniziale su C vale +7V. La corrente iniziale nell’induttore è uguale alla corrente in R3, che è data dalla legge di
Ohm.
e
Applica la LKC
É possibile anche determinare VR2 con il principio di sovrapposizione
Problema 5.60
Soluzione:
Quantità note:
Trovare:
Corrente e tensione di induttore e condensatore e corrente in Rs2 a t=0.
Ipotesi:
A t < 0 il circuito è a regime DC.
Analisi:
Since this was not done in the specifications above, you must note on the circuit the assumed polarities of
voltages and directions of currents.
At t = 0-:
Assumi che ci siano le condizioni a regime. Induttore modellato come un corto-circuito e condensatore come un circuito
aperto. Fissa un nodo di riferimento. Note che non c’è caduta di tensione dal nodo in alto rispetto a massa (a causa
dell’induttore).
G. Rizzoni, Elettrotecnica. Principi e applicazioni, 3e - McGraw-Hill Education Italy srl
© 2013 ISBN 978-88-386-66760-2
Applica la LKC
Applica la LKT
A t=0+
Applica la LKT
Applica la LKC
Applica la LKT di nuovo
Problema 5.61
Soluzione:
Quantità note:
G. Rizzoni, Elettrotecnica. Principi e applicazioni, 3e - McGraw-Hill Education Italy srl
© 2013 ISBN 978-88-386-66760-2
Trovare:
Tensione su condenstaore e corrente nell’induttore per t tendente all’infinito.
Ipotesi:
A t < 0 il circuito è a regime DC.
Analisi:
Le condizioni per t < 0 non hanno affetto sulle condizioni all’infinito. Poiché a regime DC l’induttore può essere
modellato come un corto-circuito e il condensatore come un circuito aperto, l’induttore corto-circuita i lati R1 e R2 C.
Quindi, la tensione su questi lati e la corrente in essi sono nulle. In altre parole tutta la corrente erogata dalla sorgente a
12 V scorre nell’induttore.
Applica la LKC
Applica la LKT
Problema 5.62
Soluzione:
Quantità note:
Come descritto in Fig. P5.62.
Trovare:
L’espressione per la corrente di induttore per t ≥ 0 .
Ipotesi:
Lo switch è stato chiuso per lungo tempo; è aperto repentinamentea t=0 e qundi richiuso a t=5s
Analisi:
Per 0 ≤ t ≤ 5 :
Definisci le correnti di maglia in senso orario. Le equazioni di maglia sono:
Dalle quali si determina che:
La corrente nell’induttore è della forma:
Dalle condizioni iniziali:
G. Rizzoni, Elettrotecnica. Principi e applicazioni, 3e - McGraw-Hill Education Italy srl
© 2013 ISBN 978-88-386-66760-2
Risolvi le seguenti equazioni:
La tensione sul condensatore avrà la stressa forma:
Dalle condizioni iniziali:
Risolvi le seguenti equazioni:
Dai risultati:
Queste sono le condizioni iniziali per la soluzione dopo che lo switch è richiuso.
Per t > 5
Le equazioni di maglia sono:
Dalle quali si determina che
La corrente nell’induttore è della forma:
Dalle condizioni iniziali:
Risolvendo le equazioni:
Da cui si ottiene la soluzione completa.
G. Rizzoni, Elettrotecnica. Principi e applicazioni, 3e - McGraw-Hill Education Italy srl
© 2013 ISBN 978-88-386-66760-2
Problema 5.63
Soluzione:
Quantità note:
Come descritto in Fig. P5.63.
Trovare:
determina se il circuito è sovra o sotto-smorzato e il valore della capacità per ottenere lo smorzamento critico.
Ipotesi:
Il circuito inizialmente non immagazzina energia. Lo switch è chiuso a t=0.
Analisi:
a. Per t ≥ 0 :
Il polinomio caratteristico è:
Il rapporto di smorzamento:
Il sistema è sotto-smorzato, infatti:
b. il valore del condensatore è:
Problema 5.64
Soluzione:
Quantità note:
Come descritto in Fig. P5.63.
Trovare:
La tensione sul condensatore per t tendente all’infinito, la tensione sul condensatore dopo 20 μs e il valor massimo della
sua tensione.
Ipotesi:
Il circuito inizialmente non immagazzina energia. Lo switch è chiuso a t=0.
Analisi:
a. Per t ≥ 0 :
Il polinomio caratteristico è:
La soluzione è della forma:
G. Rizzoni, Elettrotecnica. Principi e applicazioni, 3e - McGraw-Hill Education Italy srl
© 2013 ISBN 978-88-386-66760-2
Dalle condizioni iniziali:
Risolvendo le equazioni:
a.
la tensione sul condensatore per t tendente all’infinito è:
b. la tensione sul condensatore dopo 20 μs
c.
graficamente la tensione massima è:
Problema 5.65
Soluzione:
Quantità note:
Come descritto in Fig. P5.65.
Trovare:
L’espressione per la tensione sul condensatore per t ≥ 0 .
Ipotesi:
Il circuito inizialmente nonimmagazzina energia, lo switch S1 è aperto e S2 chiuso. Il primo si chiude a t=0 mentre il
secondo si apre a t=5s.
Analisi:
Il circuito nell’intervallo 0 ≤ t ≤ 5s ha la stessa configurazione del circuito del problema 5.39 per t>5s. Le radici del
polinomio caratteristico saranno le stesse: sono:
Per 0 ≤ t ≤ 5s
Le condizioni iniziali sono:
Risolvendo le equazioni:
Nota che
Per t > 5s
Semplice decadimento RC:
G. Rizzoni, Elettrotecnica. Principi e applicazioni, 3e - McGraw-Hill Education Italy srl
© 2013 ISBN 978-88-386-66760-2
Problema 5.66
Soluzione:
Quantità note:
C = 1.6nF ; Dopo che lo switch è chiuso a t=0, la tensione del condensatore raggiunge un valore di picco iniziale di
70V quando
ed eventualmente a regime raggiunge 50V
Trovare:
Valori di R e L .
Analisi:
Risolvendo per
Il periodo è:
Le caratteristiche polinomiali del circuito sono:
Confrontando con la forma standard di un polinomio caratteristico di un circuito RLC
Problema 5.67
Soluzione:
Quantità note:
Come P5.66, ma i primi due picchi accadono a
e
Trovare:
Spiega come modificare il circuito per soddisfare le specifiche
Ipotesi:
Il valore di C non può essere cambiato
Analisi:
Assumendo doi voler avere la stessa ampiezza, procediamo così:
Il nuovo periodo è:
Da cui la nuova frequenza
G. Rizzoni, Elettrotecnica. Principi e applicazioni, 3e - McGraw-Hill Education Italy srl
© 2013 ISBN 978-88-386-66760-2
In questo caso il valore di  è dato da:
Il polinomio caratteristico è:
Da cui:
troviamo
Nota che la frequenza per questo problema è un terzo di quella del problema 5.66, l’induttanza è 3 volte così come la
resistenza.
Problema 5.68
Soluzione:
Quantità note:
Trovare
Analisi:
La condizione iniziale per la tensione su C è
. Applicando LKC
Dove
Quindi
Dove
Quindi
Risolvendo l’equazione differenziale:
Risolvendo per k1 e k 2 si ottiene
G. Rizzoni, Elettrotecnica. Principi e applicazioni, 3e - McGraw-Hill Education Italy srl
© 2013 ISBN 978-88-386-66760-2
Problema 5.69
Soluzione:
Quantità note:
Come in fig. P5.69
Trovare:
Valor massimo di V .
Ipotesi:
Il circuito è a regime a t = 0− .
Analisi:
Applicando LKT
Risolvendo l’equazione differenziale:
Dalle condizioni iniziali:
Il valor massimo di V è
Problema 5.70
Soluzione:
Quantità note:
Come in fig. P5.70
Trovare:
Valore di t tale che i = 2.5 A.
Ipotesi:
Il circuito è a regime a t = 0− .
Analisi:
A regime l’induttore si comporta da corto circuito. Applicando il metodo degli anelli, possiamo trovare le condizioni
iniziali.
Dopo che lo switch è chiuso, il circuito è modificato.
Applicando l’analisi nodale:
G. Rizzoni, Elettrotecnica. Principi e applicazioni, 3e - McGraw-Hill Education Italy srl
© 2013 ISBN 978-88-386-66760-2
Risolvendo l’equazione differenziale:
Dalle condizioni iniziali:
Quindi,
Problema 5.71
Soluzione:
Quantità note:
Come in fig. P5.71
Trovare:
Valore di t tale che i =6 A.
Ipotesi:
Il circuito è a regime a t = 0− .
Analisi:
A regime l’induttore si comporta da corto circuito. Applicando il metodo degli anelli, possiamo trovare le condizioni
iniziali.
Dopo che lo switch è chiuso, il circuito è modificato.
Applicando l’analisi nodale:
Risolvendo l’equazione differenziale:
Dalle condizioni iniziali:
Quindi,
Problema 5.72
Soluzione:
Quantità note:
Come in fig. P5.72
Trovare:
Valore di t tale che V = 5.72 V.
G. Rizzoni, Elettrotecnica. Principi e applicazioni, 3e - McGraw-Hill Education Italy srl
© 2013 ISBN 978-88-386-66760-2
Ipotesi:
Il circuito è a regime a t = 0− .
Analisi:
A regime il condensatore si comporta da circuito aperto.
Dal partitore di corrente:
Dopo che lo switch è aperto, applicando LKC:
Applicando LKT
Applicando LKC
Risolvendo l’equazione differenziale:
Dalle condizioni iniziali:
Quindi,
Problema 5.73
Soluzione:
Quantità note:
Come in fig. P5.73
Trovare:
Massimo valore di V e massima tensione tra i contatti degli interruttori.
Ipotesi:
Il circuito è a regime a t = 0− . L = 3 H.
G. Rizzoni, Elettrotecnica. Principi e applicazioni, 3e - McGraw-Hill Education Italy srl
© 2013 ISBN 978-88-386-66760-2
Analisi:
A t = 0- :
Dopo che lo switch è chiuso, applicando LKT:
L’integrale particolare è zero per t > 0 perchè nell circuito non ci sono sorgenti.
Dalle condizioni iniziali:
+
Sostituisci la soluzione nell’equazione di partenza LKC e valuta per t = 0 :
Valore massimo assoluto di V:
Valore massimo della tensione tra i morsetti degli interruttori:
La tensione tra i contatti è costane.
______________________________________________________________________________________
Problema 5.74
Soluzione:
Quantità note:
Come in fig. P5.74
G. Rizzoni, Elettrotecnica. Principi e applicazioni, 3e - McGraw-Hill Education Italy srl
© 2013 ISBN 978-88-386-66760-2
Trovare:
V per t>0.
Ipotesi:
Il circuito è a regime a t = 0− .
Analisi:
A t = 0- :
Per t>0.
Risolvendo l’equazione differenziale:
Quindi
G. Rizzoni, Elettrotecnica. Principi e applicazioni, 3e - McGraw-Hill Education Italy srl
© 2013 ISBN 978-88-386-66760-2