Analisi del Circuito RC Il circuito RC è formato da un generatore di tensione, una resistenza ed un condensatore in serie. R C V1 Vo Il corrente in circolo sulla resistenza e sul condensatore è la stessa. L'uscita del nostro circuito è la caduta di tensione sul condensatore. Una volta che il circuito è alimentato, il condensatore C inizierà a caricarsi verso V1. Nostro obiettivo è determinare la legge che descrive l'andamento di carica del condensatore in funzione del tempo. La corrente in circolo, vale, per ogni istante di tempo: i (t ) = C d vo (t ) dt (1) Applicando la seconda legge di Kirchhoff si ha inoltre: V1 = R ⋅ i (t ) + vo (t ) (2) Da cui, sostituendo la (1) nella (2), si ha V1 = R ⋅ C d vo (t ) + vo (t ) dt Il prodotto RC assume il nome di costante di tempo del circuito e si indica con la lettera greca τ . τ = R ⋅C (3) Nella (2), dividiamo ambo i membri per τ . V1 τ = d vo (t ) vo (t ) + dt τ (4) A questo punto possiamo L-Trasformare il circuito: ⎡ d v (t ) v (t ) ⎤ ⎡V ⎤ L⎢ 1 ⎥ = L⎢ o + o ⎥ τ ⎦ ⎣τ ⎦ ⎣ dt V1 ⎡ d v (t ) v (t ) ⎤ ⎛1 ⎞ ⎡V ⎤ = (sVo (s ) − Vo (0 )) + ⎜ Vo (s )⎟ L ⎢ 1 ⎥ = L ⎢ o + o ⎥ τ ⋅s τ ⎦ ⎝τ ⎠ ⎣τ ⎦ ⎣ dt V1 1 = sVo (s ) − Vo (0 ) + Vo (s ) τ ⋅s τ (5) Separiamo adesso l'uscita dagli altri addendi: V1 = sVo (s ) − Vo (0) + Vo (s ) τ ⋅s 1⎞ V ⎛ Vo (s ) ⋅ ⎜ s + ⎟ = 1 + Vo (0) ⎝ τ ⎠ τ ⋅s ⎛ 1 + τ ⋅ s ⎞ V1 + τ ⋅ s ⋅ Vo (0) V o (s ) ⋅ ⎜ ⎟= τ ⋅s ⎝ τ ⎠ da cui V1 + τ ⋅ s ⋅ Vo (0) τ ⋅s Vo (s )⋅ = = 1+τ ⋅ s τ = V1 + τ ⋅ s ⋅ Vo (0) V + τ ⋅ s ⋅ Vo (0) τ ⋅ = 1 τ ⋅s 1+τ ⋅ s s (1 + τ ⋅ s ) Spezzando la frazione si ha τ ⋅ s ⋅ Vo (0) V1 = + s (1 + τ ⋅ s ) s (1 + τ ⋅ s ) 1 1 = V1 + τ ⋅ Vo (0 ) s (1 + τ ⋅ s ) 1+τ ⋅ s Vo (s )⋅ = Per antitrasformare facilmente i due addendi, è necessario che i denominatori delle frazioni assumano la forma s + k. Per fare ciò, dividiamo numeratore e denominatore per la costante di tempo: 1 Vo (s )⋅ = V1 τ s (1 + τ ⋅ s ) 1 + τ ⋅ Vo (0) τ τ 1+τ ⋅ s = τ V 1 1 1 τ + Vo (0 ) + ⋅ Vo (0) = 1 = 1 τ ⎛ 1 1⎞ τ ⎛ 1⎞ τ s+ s+ s⎜ s + ⎟ s⎜ s + ⎟ τ τ ⎝ τ⎠ ⎝ τ⎠ V1 1 A questo punto, ricordando che ⎡ 1 ⎤ 1 − e − at L−1 ⎢ ⎥= a ⎣ s (s + a ) ⎦ ⎡ 1 ⎤ L−1 ⎢ = e − at ⎥ ⎣s + a⎦ possiamo procedere con l'antitrasformazione di entrambi i membri. (6) ⎡ ⎤ ⎢V 1 1 ⎥ −1 −1 1 ⎢ ⎥ L [Vo (s )]⋅ = L + Vo (0) 1⎥ 1⎞ ⎢τ ⎛ s+ ⎢ s⎜⎝ s + τ ⎟⎠ τ ⎥⎦ ⎣ V 1− e vo (t ) = 1 1 τ − t τ + Vo (0) ⋅ e − t τ = τ t − ⎛ = V1 ⎜⎜1 − e τ ⎝ t − V1 ⎛ ⋅ ⎜⎜1 − e τ τ ⎝ t − ⎞ ⎟ ⋅ τ + Vo (0) ⋅ e τ = ⎟ ⎠ (7) t t t − − − ⎞ ⎟ + Vo (0) ⋅ e τ = V1 − V1 ⋅ e τ + Vo (0 ) ⋅ e τ ⎟ ⎠ A questo punto, raccogliendo a fattor comune, si ha vo (t ) − V1 = −V1 ⋅ e vo (t ) − V1 = e − t τ − t τ + Vo (0 ) ⋅ e − t τ (8) (Vo (0) − V1 ) Se moltiplichiamo per (-1) ambo i membri, e indichiamo con Vfinale la tensione a cui tende a caricarsi il condensatore (ossia V1) e con Viniziale la tensione a cui è caricato il condensatore all'inizio dell'analisi (ossia Vo(0)), possiamo scrivere: V1 − vo (t ) = (V1 − V0 )e − t τ (9) Quest'ultima formula descrive, in generale, l'andamento esponenziale della carica (ma anche della scarica) di un condensatore, posto all'interno di un gruppo RC. Andrea Asta