Analisi circuito RC

Analisi del Circuito RC
Il circuito RC è formato da un generatore di tensione, una resistenza ed un condensatore in serie.
R
C
V1
Vo
Il corrente in circolo sulla resistenza e sul condensatore è la stessa. L'uscita del nostro circuito è la
caduta di tensione sul condensatore. Una volta che il circuito è alimentato, il condensatore C
inizierà a caricarsi verso V1. Nostro obiettivo è determinare la legge che descrive l'andamento di
carica del condensatore in funzione del tempo.
La corrente in circolo, vale, per ogni istante di tempo:
i (t ) = C
d vo (t )
dt
(1)
Applicando la seconda legge di Kirchhoff si ha inoltre:
V1 = R ⋅ i (t ) + vo (t )
(2)
Da cui, sostituendo la (1) nella (2), si ha
V1 = R ⋅ C
d vo (t )
+ vo (t )
dt
Il prodotto RC assume il nome di costante di tempo del circuito e si indica con la lettera greca τ .
τ = R ⋅C
(3)
Nella (2), dividiamo ambo i membri per τ .
V1
τ
=
d vo (t ) vo (t )
+
dt
τ
(4)
A questo punto possiamo L-Trasformare il circuito:
⎡ d v (t ) v (t ) ⎤
⎡V ⎤
L⎢ 1 ⎥ = L⎢ o + o ⎥
τ ⎦
⎣τ ⎦
⎣ dt
V1
⎡ d v (t ) v (t ) ⎤
⎛1
⎞ ⎡V ⎤
= (sVo (s ) − Vo (0 )) + ⎜ Vo (s )⎟ L ⎢ 1 ⎥ = L ⎢ o + o ⎥
τ ⋅s
τ ⎦
⎝τ
⎠ ⎣τ ⎦
⎣ dt
V1
1
= sVo (s ) − Vo (0 ) + Vo (s )
τ ⋅s
τ
(5)
Separiamo adesso l'uscita dagli altri addendi:
V1
= sVo (s ) − Vo (0) + Vo (s )
τ ⋅s
1⎞ V
⎛
Vo (s ) ⋅ ⎜ s + ⎟ = 1 + Vo (0)
⎝ τ ⎠ τ ⋅s
⎛ 1 + τ ⋅ s ⎞ V1 + τ ⋅ s ⋅ Vo (0)
V o (s ) ⋅ ⎜
⎟=
τ ⋅s
⎝ τ ⎠
da cui
V1 + τ ⋅ s ⋅ Vo (0)
τ ⋅s
Vo (s )⋅ =
=
1+τ ⋅ s
τ
=
V1 + τ ⋅ s ⋅ Vo (0)
V + τ ⋅ s ⋅ Vo (0)
τ
⋅
= 1
τ ⋅s
1+τ ⋅ s
s (1 + τ ⋅ s )
Spezzando la frazione si ha
τ ⋅ s ⋅ Vo (0)
V1
=
+
s (1 + τ ⋅ s ) s (1 + τ ⋅ s )
1
1
= V1
+ τ ⋅ Vo (0 )
s (1 + τ ⋅ s )
1+τ ⋅ s
Vo (s )⋅ =
Per antitrasformare facilmente i due addendi, è necessario che i denominatori delle frazioni
assumano la forma s + k. Per fare ciò, dividiamo numeratore e denominatore per la costante di
tempo:
1
Vo (s )⋅ = V1
τ
s (1 + τ ⋅ s )
1
+ τ ⋅ Vo (0)
τ
τ
1+τ ⋅ s
=
τ
V
1
1
1
τ
+ Vo (0 )
+ ⋅ Vo (0)
= 1
=
1 τ ⎛
1
1⎞
τ ⎛ 1⎞ τ
s+
s+
s⎜ s + ⎟
s⎜ s + ⎟
τ
τ
⎝ τ⎠
⎝ τ⎠
V1
1
A questo punto, ricordando che
⎡ 1 ⎤ 1 − e − at
L−1 ⎢
⎥= a
⎣ s (s + a ) ⎦
⎡ 1 ⎤
L−1 ⎢
= e − at
⎥
⎣s + a⎦
possiamo procedere con l'antitrasformazione di entrambi i membri.
(6)
⎡
⎤
⎢V
1
1 ⎥
−1
−1
1
⎢
⎥
L [Vo (s )]⋅ = L
+ Vo (0)
1⎥
1⎞
⎢τ ⎛
s+
⎢ s⎜⎝ s + τ ⎟⎠
τ ⎥⎦
⎣
V 1− e
vo (t ) = 1
1
τ
−
t
τ
+ Vo (0) ⋅ e
−
t
τ
=
τ
t
−
⎛
= V1 ⎜⎜1 − e τ
⎝
t
−
V1 ⎛
⋅ ⎜⎜1 − e τ
τ ⎝
t
−
⎞
⎟ ⋅ τ + Vo (0) ⋅ e τ =
⎟
⎠
(7)
t
t
t
−
−
−
⎞
⎟ + Vo (0) ⋅ e τ = V1 − V1 ⋅ e τ + Vo (0 ) ⋅ e τ
⎟
⎠
A questo punto, raccogliendo a fattor comune, si ha
vo (t ) − V1 = −V1 ⋅ e
vo (t ) − V1 = e
−
t
τ
−
t
τ
+ Vo (0 ) ⋅ e
−
t
τ
(8)
(Vo (0) − V1 )
Se moltiplichiamo per (-1) ambo i membri, e indichiamo con Vfinale la tensione a cui tende a
caricarsi il condensatore (ossia V1) e con Viniziale la tensione a cui è caricato il condensatore all'inizio
dell'analisi (ossia Vo(0)), possiamo scrivere:
V1 − vo (t ) = (V1 − V0 )e
−
t
τ
(9)
Quest'ultima formula descrive, in generale, l'andamento esponenziale della carica (ma anche della
scarica) di un condensatore, posto all'interno di un gruppo RC.
Andrea Asta