Esercizi 1, 2 e

Prova scritta di Elettromagnetismo e Ottica (CCS Fisica), 9 dicembre 2014
Matricola N85 (10 CFU) o 567 (12 CFU): Esercizi 1, 2 e 3.
Studenti con matricola 567 (Mod. 1: 9 CFU) Esercizi 1, 2.
Studenti con matricola 567 (Mod. 2: 7 CFU) Esercizio 3
Studenti con matricola 567 (Mod. 1+2: 16 CFU) Esercizi 1, 2 e 3.
ESERCIZIO N◦ 1
Sia dato un anello conduttore di raggio R = 30 cm e carica Q = 3 µC. Calcolare il campo elettrico nei punti
dell’asse e il lavoro esterno necessario a portare una carica puntiforme q = 2 nC dall’infinito al centro dell’anello.
Si dispone concentricamente con l’anello una sfera conduttrice di raggio b = R/2 collegandola a terra. Calcolare
la densità di carica che si induce sulla sfera nei due punti in cui essa viene intersecata dall’asse dell’anello.
ESERCIZIO N◦ 2
Una lastra a forma di parallelepipedo con base quadrata di lato l = 30 cm e spessore a = 1 mm è magnetizzata
con magnetizzazione ortogonale alla base diretta lungo l’asse z e di modulo M = 0.1 A/m. La lastra è immersa nel
vuoto e il suo centro coincide con l’origine degli assi coordinati. Calcolare il vettore campo di induzione magnetica
prodotto sull’asse z nel punto di coordinata z = 2l.
ESERCIZIO N◦ 3
Un filo indefinito disposto lungo l’asse z è percorso da corrente I1 = 1 A orientata nel verso positivo dell’asse. Una
spira circolare di raggio r = 0.5 cm percorsa da corrente I2 = 0.3 A è disposta con il centro a distanza R = 1 m
dall’asse e il piano che la contiene è inclinato di un angolo ϑ = 3◦ rispetto al piano xz. La spira ha un momento
di inerzia IM = 0.01 kg m2 . Calcolare:
1. il periodo di piccole oscillazioni della spira;
2. la corrente massima indotta nella spira se la sua resistenza è Rs = 5 Ω.
ESERCIZIO N◦ 1
La carica si distribuisce in modo uniforme con densità λ = Q/2πR e il campo dell’anello in un punto dell’asse di
coordinata z è diretto lungo l’asse e vale
λR
z
E=
2ε0 [R2 + z 2 ] 23
Il lavoro da compiere contro il campo è
Z
−q
~ = −q
~ · dl
E
Z
0
∞
0
λR
zdz
1
qλR
qλ
= 1.8 × 10−4 J.
=
=
2ε0 [R2 + z 2 ] 23
2ε0 [R2 + z 2 ] 12 2ε0
∞
Il problema si risolve con il metodo delle cariche immagini. La soluzione prevede che per ciascuna carica
elementare dq = λRdϑ dell’anello ce ne sia una dq 0 = λ0 adϑ di segno opposto all’interno della sfera a distanza a
dal centro. Per avere potenziale nullo sulla sfera, deve essere aR = b2 da cui a = R/4 e dq 0 = − Rb dq, da cui
b
b
dq 0 = λ0 adϑ = − dq = − λRdϑ
R
R
da cui λ0 a = −λb. Il campo elettrico nel punto (0, 0, b) ha non nulla solo la componente Ez
(
)
bR
b2
λb 8 − 32
6λ
λ
=
=−
Ez (0, 0, b) =
3 −
3
3
3
2
2ε0 [b2 + R2 ] 2
2ε0 R 5 2
[b2 + a2 ] 2
ε0 5 2 R
3
Per il teorema di Coulomb la densità σ(0, 0, b) = ε0 Ez = −6λ/5 2 R = −2.85 µC/m2 .
Ez (0, 0, −b) = −Ez (0, 0, b). Visto che la normale alla sfera ha verso opposto, la densità rimane la stessa, ovvero
σ(0, 0, −b) = σ(0, 0, b).
ESERCIZIO N◦ 2
Essendo uniforme, la magnetizzazione non produce microcorrenti di volume ma solo di superficie lungo la superficie
~ ∧ n̂ dove n̂ è la normale alla superficie laterale. Dunque a
laterale di spessore a secondo la relazione J~ms = M
causa della magnetizzazione si genera una corrente I = M a che si avvolge in senso antiorario producendo un
campo diretto lungo l’asse z. Ciascun lato l fornisce lo stesso contributo lungo l’asse mentre i contributi ortogonali
~1 = (0, dy, 0), ~r = (0, 0, z),
all’asse si cancellano a due a due. Infatti se prendiamo i due lati paralleli all’asse y, dl
0
0
~2 = (0, −dy, 0) e r~2 = (−l/2, y, 0) da cui
r~1 = (l/2, y, 0), dl
~1 ∧ (~r − r~1 0 ) = ı̂zdy + k̂ l dy
dl
2
~2 ∧ (~r − r~2 0 ) = −ı̂zdy + k̂ l dy
dl
2
~ si calcola con la prima formula di Laplace. Se prendiamo il lato parallelo all’asse y si ha:
Il campo B
µ0 M a
Bz =
4π
Z
l/2
−l/2
µ0 M a
3 =
4π
2 [l2 /4 + y 2 + z 2 ] 2
Z
ϑ0
−ϑ0
l cos ϑdϑ
µ0 M a l sin ϑ0
=
2 [l2 /4 + z 2 ]]
4π l2 /4 + z 2
l
e sin ϑ0 = p
. Moltiplicando per 4 e calcolando in z = 2l si ha:
2
+
2 l /2 + z 2
√
√
µ0 M a 2l2
1
2 µ0 M a 2
2 2
p
B=
=
=
µ0 M a = 7.4 × 10−12 T esla
π l2 + 4z 2 l2 /2 + z 2
17 π
3l
51πl
avendo posto tgϑ = p
y
ldy
l2 /4
z2
ESERCIZIO N◦ 3
Il momento magnetico della spira ha una componente nella direzione tangente alla circonferenza passante per il
suo centro e centrata sul filo (coincidente con l’asse y) e una parallela all’asse z: m
~ = I2 S cos ϑ̂ + I2 S sin ϑk̂ dove
2
S = πr . Il momento delle forze agente sulla spira è
~ =m
~ = − I2 S sin ϑµ0 I1 ı̂
M
~ ∧B
2πR
dove l’asse x coincide con la direzione radiale. Dalla seconda equazione cardinale, approssimando sin ϑ ' ϑ e
tenendo conto del momento di inerzia si ha
µ0 I 1 I 2 S
d2 ϑ
=−
ϑ = −ω 2 ϑ
dt2
2πRIM
r
µ0 I 1 I 2 S
da cui si ricava T = 2π/ω = 2π/
= 2.9 × 105 s.
2πRIM
~ varia nel tempo e dunque si ha una forza
Vista l’oscillazione del piano che contiene la spire, il flusso di B
elettromotrice indotta e una corrispondente corrente:
is = −
1 dΦ
BS d(cos ωt)
Bπr2
=−
=
ω sin ωt
Rs dt
Rs
dt
Rs
da cui si ottiene la massima corrente come is =
µ0 I1 πωr2
= 68 × 10−18 A.
2πR Rs