Compito in classe di matematica: la retta nel piano

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Compito in classe di matematica: la retta nel piano cartesiano
1. Dato il fascio  di rette di equazioni (k + 1)x + 2 (k - 1)y + k - 7 = 0, determinare:
a) il centro di 
b) la retta di  passante per l'origine O del sistema di riferimento
c) disegnare tale retta
2
d) le rette di  che distano
dall'origine O
2
e) se esiste, la retta di  parallela alla retta di equazione y = 2x
f) se esiste, la retta di  perpendicolare alla retta di equazione y = 2x
2. Determinare l'equazione cartesiana del luogo geometrico dei punti del piano descritti, al
variare di k nei numeri
reali, dal punto P(2k-1, k2 + 1).
3. Scrivi il procedimento che utilizzeresti per determinare perimetro e area di un triangolo di
cui conosci solo due
vertici A e B e l'ortocentro H.
Punteggio, indicativo, per i vari esercizi: 1 punti 6; 2 punti 2; 3 punti 2
Compito di recupero: la retta nel piano cartesiano
4. Dato il fascio  di rette di equazioni (3k - 1)x - (1-2k)y + 3k - 1 = 0, determina:
a) il centro di 
b) la retta di  passante per il punto (1,2)
c) disegnare tale retta
d) le rette di  , se esistono, che formano un angolo di 45° con il semiasse positivo
delle ascisse (l'ampiezza dell'angolo è misurata a partire dal semiasse positivo delle
x, in verso antiorario)
2
e) se esiste, la retta di  perpendicolare alla retta di equazione y = x
3
f) la retta del fascio che passa per il punto di ascissa 3 della retta descritta dalle
 x  2t  1
seguenti equazioni parametriche 
y  1 t
2. Determina l'equazione cartesiana del luogo geometrico dei punti del piano che sono
equidistanti dal punto P(2,4) e dalla retta di equazione y = 6
3. Scrivi il procedimento che utilizzeresti per determinare perimetro e area di un triangolo di
cui conosci solo due
vertici A e B e il baricentro M.
Punteggio, indicativo, per i vari esercizi: 1 punti 6; 2 punti 2; 3 punti 2
Compito di geometria analitica sulla retta
Prima fascia (fino a 7/10)
Dati i punti A(2,3) B(-1,1) C(5,-3) determinare:
1. I punti P del piano aventi ascissa doppia dell’ordinata e tali che PA = 2
punti 2
2. Le equazioni dei lati del triangolo ABC
punti 2
3. Le equazioni delle mediane del triangolo, verificando che passano per uno stesso punto punti 2
4. Il circocentro
punti 1
Seconda fascia (fino a 8/10)
Dati i punti A(-4,2) e B(2,-6), determinare
1. il punto C della retta di equazione 2x-y-5=0 equidistante da A e da B. punti 2
Dopo aver verificato che il triangolo ABC è rettangolo isoscele,
punti 1
determinare il quarto vertice D del quadrato ACBD.
punti 2
Trovare inoltre le rette parallele alla retta AB e aventi distanza 1 da essa. punti 2
Infine determinare la simmetrica della retta AB rispetto al punto C.
punti 1
Terza fascia (fino a 10/10)
I punti A(-2,1) B(1,4) C(2,-3) sono vertici di un triangolo.
1. verificare che ABC è un triangolo rettangolo
punti 1
2. determinare l’area di ABC
punti 1
3. determinare il centro della circonferenza circoscritta al triangolo
punti 2
4. determinare la simmetrica della retta passante per A e per B rispetto al punto C
punti 1
5. determinare il punto P del lato AB che divide AB in due parti tali che PB = 3PA
punti 2
6. Generalizzare il precedente problema discutendo il problema di determinare P in modo tale che
PB = kPA
punti 3
Compito di geometria analitica sulla retta
Prima fascia (fino a 7/10)
Determinare:
1. l’equazione della retta r passante per A(-2,-1/2) e B(0,1/2);
punti 1
2. l’equazione della retta n passante per C(0,3) e perpendicolare a r;
punti 2
3. il punto D di dintersezione tra r e n;
punti 1
4. l’area del triangolo ADC;
punti 2
5. Il quarto vertice del rettangolo ADCE
punti 1
Seconda fascia (fino a 8/10)
Dato il triangolo di vertici A(-2,3) B(-2,-1) e C(3,4), determinare:
1. le equazioni dei lati
punti 2
2. il perimetro e l’area del triangolo
punti 2
3. detta t la retta passante per C e perpendicolare alla retta BC (punti 1)
e detto D il punto di intersezione di t con l’asse x (punti 1) , l’area del quadrilatero ACDB (punti 2)
Terza fascia (fino a 10/10)
I punti A(-2,1) B(1,4) C(2,-3) sono vertici di un triangolo.
1. verificare che ABC è un triangolo rettangolo
punti 1
2. determinare l’area di ABC
punti 1
3. determinare il centro della circonferenza circoscritta al triangolo
punti 2
4. determinare la simmetrica della retta passante per A e per B rispetto al punto C
punti 1
5. determinare il punto P del lato AB che divide AB in due parti tali che PB = 3PA
punti 2
6. Generalizzare il precedente problema discutendo il problema di determinare P in modo tale che
PB = kPA
punti 3
Compito di geometria analitica sulla retta
Le equazioni dei lati di un triangolo sono
AB : x-2y+4=0 BC: 3x+y-2=0
AC: x+5y+4=0
a) determina le coordinate dei vertici A,B,C
punti 3
b) determina l’equazione della retta t parallela alla retta AB e passante per C
c) determina l’equazione della retta n perpendicolare ad AB e passante per B
d) determina il punto D di intersezione tra t e n
e) determina l’area del trapezio ABCD
f) determina il perimetro del trapezio ABCD
g) determina il punto P della retta BC equidistante da A e da C
punti 1
punti 1
punti 1
punti 1
punti 1
punti 2
Compito di geometria analitica sulla retta
E’ dato il quadrilatero convesso ABCD, ove :
A( 3,3)
B è la proiezione di A sulla retta x-y+4=0
(punti 2)
D è la proiezione di A sulla retta 2x+3y-2=0
(punti 2)
C è l’intersezione tra x-y+4=0 e 2x+3y-2=0
(punti 1)
Determina l’area di ABCD
(punti 1)
Determina i punti medi M,N,K,H dei lati del quadrilatero ABCD (punti 1)
Verifica che il quadrilatero MNKH è un parallelogramma
(punti 1)
Determina l’area e il perimetro di MNKH
(punti 2)
Compito di geometria analitica sulla retta
NOME________________
COGNOME ______________________
Punteggio grezzo
Voto finale
Determinare l'equazione della circonferenza passante per O(0,0) A(0,4) B(6,0). Determinare poi le
equazioni delle bisettrici degli angoli formati dalle rette y = x e OA.
Determinare infine sull'arco di circonferenza giacente nel primo quadrante un punto P la cui
distanza dall'origine O sia k.
Il passaggio per O dà luogo all'equazione
punti 1
___________________________________________________________________
Il passaggio per A dà luogo all'equazione
punti 1
___________________________________________________________________
Il passaggio per B dà luogo all'equazione
punti 1
___________________________________________________________________
La circonferenza ha equazione
punti 1
___________________________________________________________________
Le equazioni delle bisettrici sono
punti 2
___________________________________________________________________
Se P appartiene all'arco AC di circonferenza, allora
punti 1
___________________________________________________________________
Il sistema misto risolvente è:
punti 1
___________________________________________________________________
Discussione del sistema misto
punti 2
COMPITO IN CLASSE DI MATEMATICA geometria
analitica
Esercizio
Punteggio
1. Determina le coordinate del baricentro (punto di incontro delle mediane) del
3
triangolo ABC, ove A(0,0), B(1,2), C(-3,4)
2. Determina l’equazione della retta passante per A(0,2) e B(-1, 8)
1
3. Dato il fascio di rette di equazione (k – 2 )x + (2k + 1 )y = 0 determina, se possibile:
a) la retta del fascio perpendicolare alla bisettrice del primo e secondo quadrante
1
b) la retta del fascio passante per il punto A(2,5)
1
4. Determina l'equazione cartesiana del luogo geometrico dei punti aventi coordinate
(2a +1, 3a2 - 2a)
2
5. Dimostra che congiungendo i punti medi dei lati di un quadrilatero si ottiene un
parallelogramma
2
COMPITO IN CLASSE DI MATEMATICA geometria
analitica
Esercizio
Punteggio
1. Determina le coordinate dell'ortocentro (punto di incontro delle altezze) del
3
triangolo ABC, ove A(0,0), B(1,2), C(-3,4)
2. Determina il punto di intersezione delle due rette di equazione y =3x e 2x – 4y = 1
1
3. Dato il fascio di rette di equazione (k – 1 )x + (2k + 3 )y = 4 determina, se possibile:
a) il centro del fascio
1
b) la retta del fascio parallela alla bisettrice del primo e terzo quadrante
1
4. Determina il luogo geometrico dei punti tali che la differenza delle distanze da
A(1,0) e B(-1,0) valga 2
2
5. Dimostra che ogni triangolo rettangolo è inscrittibile in una semicirconferenza
2
COMPITO IN CLASSE DI MATEMATICA geometria
analitica
Esercizio
Punteggio
1. Determina le coordinate del circocentro (punto di incontro degli assi) del triangolo
3
ABC, ove A(0,0), B(1,2), C(-3,4)
2. Determina m affinché le due rette di equazione mx + (m – 1) y = 0 e y = 3x siano
1
perpendicolari
3. Dato il fascio di rette di equazione (3k – 2 )x + (k + 1 )y = 3 determina, se possibile:
a) la retta del fascio passante per il punto (0, 3)
1
b) la retta del fascio perpendicolare alla retta di equazione 4y – 3x = 1
1
4. Determina il luogo geometrico dei punti che sono equidistanti dalla retta y = 4 e dal
punto (1,1)
2
5. Dimostra che ogni triangolo è inscrittibile in una circonferenza
2
COMPITO IN CLASSE DI MATEMATICA geometria
analitica
Esercizio
Punteggio
1. Determina le coordinate dell'incentro (punto di incontro delle bisettrici) del
3
triangolo ABC, ove A(0,0), B(1,1), C(-3,3)
2. Determina il perimetro del triangolo ABC del precedente esercizio
1
3. Dato il fascio di rette di equazione (3k + 2 )x + (2k + 1 )y = 1 determina, se
possibile:
1
a) la retta del fascio che taglia l'asse delle x in un punto di ascissa 3
1
b) la retta del fascio parallela alla retta di equazione 4y – x = 2
4. Determina il luogo geometrico dei punti per i quali il prodotto delle loro distanze
dagli assi è 4
2
5. Dimostra che il baricentro (punto di incontro delle mediane) divide ogni mediana in
due parti di cui una è doppia dell'altra
2
Compito in classe di geometria analitica
1. I punti A(– 3; – 2) B (2; 0) C(1; 3) sono tre vertici consecutivi del quadrilatero ABCD e i lati
AD e DC sono paralleli rispettivamente alle rette di equazione 3x – y – 2 = 0 e 2x – 3y – 12 = 0.
Determinare il punto H in cui si intersecano le diagonali del quadrilatero e il perimetro del triangolo
EDC ove E è il punto di intersezione dei prolungamenti dei lati AD e BC.
2. Scrivi la procedura per determinare, dati tre vertici di un parallelogramma, il quarto.
Compito in classe di geometria analitica
1. Dato il fascio proprio di rette rappresentato dall’equazione
(3k – 4)x – 2(k – 1)y + 1 = 0
determina, se possibile:
a) il centro del fascio
b) il valore di k per cui si ottiene la retta del fascio passante per l’origine degli assi
c) il valore di k per cui si ottiene la retta del fascio passante per il punto (1; 3)
d) il valore di k per cui si ottiene la retta del fascio parallela alla retta di equazione y = 1,5 x
e) il valore di k per cui si ottiene la retta del fascio perpendicolare alla retta di equazione y = 2x
f) il valore di k per cui si ottiene la retta del fascio che ha 5 come zero
2. Sulla retta di equazione 2x – y + 7 = 0 determina, se esistono, i punti P che hanno distanza 3 dalla
retta passante per l’origine degli assi e perpendicolare alla retta di equazione y = 3x – 1
3. Data la retta r di equazione 2x – 3y + 1 = 0, determina la retta r’ simmetrica di r rispetto alla retta
di equazione x – 2y + 2 = 0
COMPITO IN CLASSE DI MATEMATICA geometria analitica
Esercizio
Punteggio
1. Determina le coordinate dell’estremo B del segmento AB conoscendo le coordinate
1
di A e del punto medio M del segmento AB:
1
2
3
5
A( , 2 ) M(– 2,
)
Determina l’equazione della retta passante per A(1,4) e B(-5, 2)
Dato il fascio di rette di equazione (2k – 2 )x + (k + 1 )y = 0 determina, se possibile:
il centro del fascio
la retta passante per il punto (2, 1)
la retta perpendicolare alla retta di equazione 2y – 3x = 1
la retta parallela alla retta di equazione y – x = 0
1
4. Determina le coordinate dei punti aventi ascissa tripla dell’ordinata e aventi distanza
13 dal punto A(– 2, – 3)
2
5. Determina i punti P(3, h – 5) che hanno distanza 4 2 dalla bisettrice del primo e del
terzo quadrante
2
4.
5.
c)
d)
e)
f)
1
1
1
1
COMPITO IN CLASSE DI MATEMATICA geometria analitica
Esercizio
Punteggio
1. Determina le coordinate dell’estremo B del segmento AB conoscendo le coordinate
1
di B e del punto medio M del segmento AB:
1
2
8
5
B( , 2) M(2,
)
6. Determina il punto di intersezione delle due rette di equazione y = x e 2x – 3y = 1
1
7. Dato il fascio di rette di equazione (3k – 1 )x + (2k + 1 )y = 1 determina, se
possibile:
g) il centro del fascio
h) la retta passante per il punto (0, 0)
i) la retta parallela alla retta di equazione 2y – 3x = 1
j) la retta perpendicolare alla retta di equazione y + x = 0
1
1
1
1
4. Determina il luogo geometrico dei punti tali che la somma dei quadrati delle distanze
da A(1,0) e B(2,3) vale 5
2
5. Dividi il segmento AB, dove A (2, 5) e B( 2 ,1) in 5 parti congruenti
2
COMPITO IN CLASSE DI MATEMATICA geometria
analitica
Esercizio
Punteggio
1. Determina il perimetro del triangolo di vertici A(1,1) B(0, 0) C(1, 3)
1
8. Determina m affinché le due rette di equazione mx + (m – 1) y = 0 e y = x siano
1
parallele
9. Dato il fascio di rette di equazione (k – 1 )x + (3k + 1 )y = 5 determina, se possibile:
k) il centro del fascio
1
l) la retta passante per il punto (0, 3)
1
m) la retta parallela alla retta di equazione 2y – 3x = 1
1
n) la retta perpendicolare alla retta di equazione y + 3x = 6
1
4. Dimostra che due rette perpendicolari a una stessa retta r sono fra loro parallele
2
5. Disegna il grafico del luogo descritto dall’equazione y = |x – 1|
2
Compito in classe di geometria analitica
1. Le rette di equazione x – y + 4 = 0 ; x + y = 0; x + 4y + 4 = 0 individuano un triangolo ABC
a) dimostrare che ABC è rettangolo in B
(punti 1)
b) determinare la sua area
(punti 2)
c) determinare il suo circocentro (punto di incontro degli assi dei lati) (punti 2)
d) il luogo dei punti che dista 2 2 dal vertice B
(punti 1)
2. Di un parallelogramma ABCD sono noti i vertici A(2; –1 ), B(4; 2); C(1; 5).
a) determinare le coordinate del vertice D (punti 2)
b) dopo aver verificato che il vertice D ha coordinate ( – 1; 2), determinate i vertici del
parallelogramma simmetrico di ABCD rispetto al vertice D (punti 1)
c) determinare, se esiste, una retta verticale che divide il parallelogramma in due quadrilateri
equivalenti. Giustificare la risposta
(punti 1)
Compito di geometria analitica
1. Dato il fascio proprio di rette rappresentato dall’equazione
(3k – 4)x – 2(k – 1)y + 1 = 0
determina, se possibile:
g) il centro del fascio
h) il valore di k per cui si ottiene la retta del fascio passante per l’origine degli assi
i) il valore di k per cui si ottiene la retta del fascio passante per il punto (1; 3)
j) il valore di k per cui si ottiene la retta del fascio parallela alla retta di equazione y = 1,5 x
k) il valore di k per cui si ottiene la retta del fascio perpendicolare alla retta di equazione y = 2x
l) il valore di k per cui si ottiene la retta del fascio che ha 5 come zero
2. Sulla retta di equazione 2x – y + 7 = 0 determina, se esistono, i punti P che hanno distanza 3 dalla
retta passante per l’origine degli assi e perpendicolare alla retta di equazione y = 3x – 1
3. Data la retta r di equazione 2x – 3y + 1 = 0, determina la retta r’ simmetrica di r rispetto alla retta
di equazione x – 2y + 2 = 0
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