Interazione delle particelle con la materia

Capitolo 4:
4:
Capitolo
Interazioni tra
tra particelle
particelle ee materia
materia
Interazioni
ee
Metodi di
di misura
misura
Metodi
Corso di Fisica Nucleare e
Subnucleare I
Professor Carlo Dionisi
A.A. 2004-2005
1
Interazione Particelle-Materia
L’ interazione particella-materia costituisce il presupposto
per tutte le tecniche di rivelazione in Fisica Nucleare e
Subnucleare.
Le interazioni tra campo elettrico della particella incidente
e mezzo attraversato danno luogo a diversi processi di
frenamento quali quelli di eccitazione/ ionizzazione degli
atomi. Come vedremo questi saranno utilizzati nei rivelatori
a gas, negli scintillatori, nei rivelatori a stato solido etc.
Per capire come il trasferimento di energia dipenda dal
materiale attraversato, dal tipo di particella e dalla sua
velocita’, e’ necessario descrivere come il campo
elettromagnetico associato alla sua carica TRASFERISCA
impulsi agli elettroni del mezzo NEI DIVERSI PROCESSI.
I vari fenomeni che si manifestano quando una particella
carica passa in prossimità di un atomo possono essere
descritti in funzione della distanza di avvicinamento al nucleo
atomico: b.
1) b > raggio atomico
:
Si ha ECCITAZIONE e/o IONIZZAZIONE del mezzo attraversato
( l’ atomo interagisce in blocco ) con perdita di energia della
particella incidente ( σ ≅10-17 cm2 ): NON VI E’ DEFLESSIONE
della particella incidente.
2)
b ≅ raggio atomico
:
Si ha ancora ECCITAZIONE e/o IONIZZAZIONE del mezzo
attraversato SENZA DEFLESSIONE. L’ elettrone atomico si
puo’ considerare libero
2
3) b < raggio atomico e b > raggio nucleare :
In questa situazione l’ effetto piu’ importante diventa
LA DEFLESSIONE della traiettoria della particella incidente
nel campo coulombiano del nucleo. Come vedremo, nel caso
degli elettroni incidenti si ha anche PERDITA DI ENERGIA PER
IRRAGGIAMENTO.
Le tecniche sperimentali per la RIVELAZIONE DELLE
PARTICELLE E DELLA RADIAZIONE si differenziano a
seconda della carica e della natura della particella
da rilevare:
A) Particelle Cariche
• IONIZZAZIONE DEGLI ATOMI ( gas/ liquido/ solido )
• EMISSIONE DI LUCE ( di scintillazione, radiazione
Cerenkov o di Transizione )
B) Particelle Neutre
• FOTONI ( effetto fotoelettrico, effetto compton,
produzione di coppie e+ e- )
• NEUTRONI ( urti con nuclei con protoni di rinculo )
• NEUTRINI ( diffusione su bersagli di decine e decine di
tonnellate )
• DECADIMENTI ( π0, K0, Z0 etc )
3
Perdita di Energia per Ionizzazione
Consideriamo un atomo, nucleo di carica Ze con Z elettroni,
ed una particella incidente di carica ze massa M >> me e
velocita’ tale da poter considerare fermo l’ elettrone
nell’ orbita attorno al nucleo.
Inoltre l’ impulso trasferito durante la collisione sia piccolo in
modo che la particella incidente non venga deflessa.
Per simmetria avremo :
dx '
e ' '
Δpe = p = ∫ e ⋅ ε dt = ∫ e ⋅ ε
ε ⊥ dx
∫
⊥
⊥ v
v
con v costante durante l' urto. Applicando Gauss :
ze
Φ ε ' = ∫ ε ' in ' dS ' = 2π b ∫ ε ⊥' dx ' =
'
'
e
( )
S'
'
'
ε0
Nota Bene : l' indice ( ' ) indica un sistema di
riferimento solidale con la particella di massa M.
e ze 1
ze 2
2b
2b
⋅ =
⋅
p = ⋅
dove
= Tempo d' urto ;
2
v 2πε 0 b
v
4πε 0b v
'
e
ze 2
e
= forza di Coulomb a distanza b
2
4πε 0b
4
L’ impulso trasferiro p’e e’ invariante difatti abbiamo che:
'
⊥
⊥
ε = γε
Δt '
γ
e quindi si contrae di γ ;
= Δt e quindi si espande di γ
⇒ il prodotto e' quindi invariante.
Nell’ ipotesi pe << me c :
Te =
2
⎛ ze ⎞
p
2
=⎜
=
⋅
⎟
2
2m e
⎝ 4πε 0b ⎠ me v
2
e
2
2
(
2
)
2
⎛
⎞ me c
e
⋅ 2
= 2z ⎜
2 ⎟
2
⎝ 4πε 0 me c ⎠ b me v
2
re2
2 z
Te = 2me c 2 ⋅ 2 = Energia perduta dalla particella
β b
di massa M in un singolo urto
2
2
2
e
re2 =
= raggio classico dell' elettrone
2
4πε 0 me c
Se ne e’ il numero di elettroni per unita’ di volume, in un tratto
dx con parametro di impatto tra b e b+db il numero di urti
sara’ :
numero di urti = n e ⋅ 2π bdbdx
5
L’ energia perduta sara’ allora :
2
d 2E
π
z
4
= n e ⋅ re2 ⋅ me c 2 ⋅ 2 ⋅ b ⋅ 2
dbdx
b
β
dE
=
dx
b max
2
bmax
z 2 db
2
2 z
∫b 4π n r mec β 2 b = 4π n e re mec β 2 ln bmin
min
2
e e
2
bmax : b grande corrisponde a Δturto grande.
Se Δturto e’ grande rispetto al tempo di rivoluzione
dell’ elettrone NON VI SARA’ TRASFERIMENTO DI
ENERGIA:
b
> Te
vγ
⇒
b max
vγ
ωe
= vγ Te
bmin : b NON puo’ essere inferiore della dimensione
dell’ elettrone vista dalla particella incidente:
λe =
pe
; pe = m e cβ γ : b min
m e cβγ
Se il materiale ha numero atomico Z, peso atomico A e
densita’ ρ :
ne = NAZρ/A
Ed otteniamo la formula ricavata da Bohr nel 1915:
2 2 2
2
m
c
β γ
N
Z
ρ
dE
z
2
2
e
A
⎡⎣eV cm -1 ⎤⎦
⋅ 2 ln
= 4π re me c
dx
A
β
ωe
Formula di Bohr
6
E’ conveniente esprimere lo spessore del materiale dx [ cm ]
come ρdx [ gr cm-2 ].
Ponendo :
C = 4π re2 me c 2 N A = 0.30
MeV
gr ⋅ cm -2
La PERDITA DI ENERGIA PER UNITA’ DI PERCORSO :
me c 2 β 2γ 2 ⎡ MeV ⎤
Z z2
dE
= C ⋅ ⋅ 2 ⋅ ln
⎢ gr ⋅ cm -2 ⎥
A β
ρ dx
I
⎣
⎦
dove I = ⋅ ωe = Potenziale medio di Ionizzazione
E’ conveniente esprimere lo spessore del materiale come
ρdx [ gr cm-2 ] perche’ otteniamo una perdita di energia quasi
indipendente dal tipo di atomo:
dE ⎛ Z ⎞ cos tan te
∝ ⎜ ⎟ ln
Z
ρ dx ⎝ A ⎠
Dalla relazione che lega l’ energia perduta in un singolo urto in
funzione di b abbiamo :
z 2 me c 2
b = 2r 2
β Ee
2
2 ⋅ b ⋅ db = 2r
2
e
2
e
z2
β2
me c 2
dEe
Ee2
La Probabilita’ che percorrendo un tratto unitario la particella
subisca una collisione con parametro d’ urto tra b e b+db sara’ :
z 2 dEe
dσ = ( 2π b ) ⋅ db ⋅ ne = 2π r me c ne 2 2
β Ee
2
e
2
z2 1
dσ
2
2
= 2π re me c ne 2 2
dEe
β Ee
vediamo quindi che : le collisioni con
trasferimento di energia E e elevato SONO RARE.
7
Se invece di considerare l’ urto con gli ELETTRONI ( carica = e;
massa = me; densita’ = ne ) avessimo considerato quello con i
NUCLEI ( carica = Ze; massa ≈ 1840 A me; ) dovremmo
moltiplicare la dE/dx per Z/(1840 A) ≈ 2.5 10-4 :
Il contributo dovuto alle collisioni con I nuclei puo’ essere del
tutto trascurato !
La formula di Bohr e’ derivata in modo classico ed e’ una
approssimazione molto buona per particelle di massa M >> me.
Un calcolo piu’ accurato e’ stato fatto da Bethe e Block nel 1930
tenendo conto degli effetti quantistici :
2
⎡ ⎛ 2me v 2γ 2Tmax ⎞
⎤
dE
2
2 z Z ρ NA
2
−
⋅ ⎢ln ⎜
= 2π re me c
⎟ - 2β - δ ⎥
β2 A ⎣ ⎝
dx
I2
⎠
⎦
Formula di Bethe e Block
Dove δ e’ il termine di correzione degli effetti di densita’ di
carica ( vedi di seguito );
E Tmax e’ la massima energia cinetica trasferita all’ elettrone in
un singolo urto.
Per ELETTRONI e POSITRONI il termine sotto logaritmo va
modificato per tener conto che in questo caso nell’ urto le masse
sono uguali.
INOLTRE nel caso dell’ urto elettrone-elettrone si deve tener
anche conto del fatto che le particelle sono IDENTICHE :
FORZE di SCAMBIO
8
2me c 2 β 2γ 2
Troviamo Tmax =
2
≈ 2me v 2γ 2 per M
me ⎛ me ⎞
+⎜ ⎟
M ⎝M ⎠
Con questa approssimazione otteniamo quindi:
2γ m e
1 + 2γ
⎡ ⎛ 2me v 2γ 2 ⋅ 2me v 2γ 2 c 2 ⎞
⎤
2
⋅ ⎢ln ⎜
2
β
δ
⎥
⎟
2
2
I
c
⋅
⎠
⎣ ⎝
⎦
2
⎡ ⎛ 2 m c 2 β 2γ 2 ⎞ 2
⎤
ρ
N
z
Z
dE
2
2
2
e
A
⋅ ⎢ln ⎜
= 2π re me c ⋅ 2 ⋅
−
⎟ - 2β - δ ⎥
β
dx
A ⎢ ⎝
I
⎥⎦
⎠
⎣
2
dE
2
2 z Z ρ NA
−
= 2π re me c ⋅ 2 ⋅
dx
A
β
2
dE
2
2 z Z ρ NA
ed infine: −
= 4π re me c ⋅ 2 ⋅
β
dx
A
⎡ ⎛ 2me c 2 β 2γ 2 ⎞
δ⎤
2
⋅ ⎢ ln ⎜
⎟ -β - ⎥
2⎦
I
⎠
⎣ ⎝
Per semplificare definiamo la costante
C = 4π re2 me c 2 N A
0.307 MeV ⋅ gr −1 ⋅ cm 2 e dividendo per ρ abbiamo:
1 dE
z 2 Z ⎡ ⎛ 2me c 2 β 2γ 2 ⎞
δ⎤
−1
2
2
= C ⋅ 2 ⋅ ⋅ ⎢ln ⎜
−
⎟ - β - ⎥ MeV ⋅ gr ⋅ cm
I
2⎦
ρ dx
β A ⎣ ⎝
⎠
Osserviamo che:
1 dE
a) − ⋅
∝ z 2 : allo stesso β e nello stesso mezzo
ρ dx
una particella α (z=2) perde 4 volte l' energia persa
da un protone (z=1);
Z 1
1 dE Z
∝ : a parte l' idrogeno,
b) − ⋅
per la
A 2
ρ dx A
maggior parte dei materiali.
9
Mass thickness
Ripetiamo che e’ molto utile introdurre la quantita’:
E’ utile per “ normalizzare “ lo spessore del
materiale alla sua densita’.
Normalmente “spessori di massa” uguali di
materiali diversi hanno lo stesso effetto sullo
stesso tipo di radiazioni.
10
Bethe-Block
•La formula di Bethe –Block e’precisa al livello di qualche
per cento per particelle pesanti fino a qualche centinaia di
GeV.
⇒ Ad energie molto elevate ( TeV ), la perdita di energia per
radiazione diviene importante e la formula deve essere
completata con termini supplementari.
⇒Ad energie molto basse, quando la velocita’ della particella
e’ paragonabile a quelle degli elettroni atomici, la formula
NON e’ valida
•Come detto δ e’ la correzione a dE/dx dovuta all’ effetto
densita’:all’ aumentare dl’ energia della particella incidente il
suo campo elettrico si estende nello spazio e la distanza di
interazione aumenta come lnβγ. Tuttavia il mezzo
11
attraversato in consegfuenza di questo si polarizza ed
elimina la crescita logaritmica
dE/dx
1 dE
ρ dx
dipende poco dal materiale
Per H 2 → Z = 1 ; In generale Z ≈ 1
A
A 2
Esempio:
Un protone di 10 MeV perde la stessa energia attraversando 1 g cm-2 di
rame, alluminio e ferro.
12
Ionizzazione al minimo Vs Z
♦La perdita di energia AL MINIMO vale 1
÷ 2 MeV g-1 cm-2
Le particelle al Minimo di Ionizzazione si chiamano
MIP: Minimum Ionizing Particle.
♦ La posizione del minimo passa da βγ=3.5 a βγ=3.0
per Z=7 a Z=100.
13
La costante di ionizzazione I, chiamato anche il potenziale medio
di eccitazione, raggruppa le proprieta’ globali degli atomi ( livelli di
eccitazione e le sezioni d’ urto relative a queste eccitazioni).
E’ un valore difficile da calcolare. Si e’ preferito
misurarlo per diversi materiali e poi parametrizzarlo in
funzione di Z:
I
7
= 12 + eV
per Z < 13
Z
Z
I
= 9.76 + 58.8 ⋅ Z −1.19 eV per Z ≥ 13
Z
14
Bethe-Bloch
♦ Per piccoli valori di βγ ( < 0.05 ) la teoria di Bethe-Block non
funziona piu’. La velocita’ della particella e’ confrontabile con
quella degli elettroni atomici ⇒ correzioni di shell: C/Z
♦ La particella tende a catturare elettroni riducendo il campo
elettrico e perdendo quindi meno energia
15
Bethe-Block in funzione dell’ energia
cinetica
In un dato materiale la perdita
di energia per dE/dx dipende solo
dalla caricae dalla velocita’ della particella incidente.
Questo immediatamente suggerisce la seguente “ Legge di Scala “ :
dE2
z 22 dE1 ⎛ M 1 ⎞
−
(T2 ) = - 2 ⋅ ⎜ T2 ⎟
dx
z1 dx ⎝ M 2 ⎠
A parita’ di energia cinetica, le particelle piu’ pesanti perdono
piu’ energia :
Vediamo che per energie minori del minimo ciascuna particella
ha una curva di dE/dx distinta dalle altre: questa caratteristica
puo’ essere usata per distinguere le varie particelle tra di loro.
E’ anche evidente che ad energie sempre piu’ basse l’ energia
persa per unita’ di lunghezza attraversata sara’ sempre
16
piu’grande : curve di Bragg.
Code di Landau
La granulita’ limitata dei rivelatori permette solo di
misurare le energie ΔE depositate in spessore finito
δx di materiale
Per spessori sottili ( e materiali a bassa densita’ ):
→ si hanno poche collisioni, alcune delle quali con grande
energia trasferita.
e-
<ΔE>
→ Le distribuzioni della perdita di energia
evidenziano grandi fluttuazioni per
le perdite di grandi quantita’ di energia:
”Landau tails”
Per grandi spessori e materiali ad alta densita’:
→ Molte collisioni.
→ Teorema del Limite Centrale → Distribuzioni Gaussiane.
ΔE
e<ΔE>
17
ΔE
Fluttuazioni Statistiche in dE/dx
♦Le collisioni sono indipendenti l’ una dall’ altra: il fenomeno e’
STATISTICO: particelle identiche attraversano uno stesso
spessore x con diverse ( dE/dx )ioniz.
♦ Le quantita’ calcolate rappresentano quindi solo valori medi !
♦ Abbiamo dimostrato che SONO MOLTO PIU’ PROBABILI gli
URTI CON PICCOLE E’ ( grandi b e piccoli Δp ) che producono
elettroni di qualche decine di Ev.
Le collisioni con grande Δp ( raggi delta ) sono piu’ rare e
producono elettroni di centinaia di eV.
18
Percorso Residuo: Range
Si definisce “RANGE” il cammino che una particella può compiere entro
un materiale prima di perdere tutta la sua energia cinetica.
Sia
−
R
dE
dE
= f ( E ) → dx = −
dx
f (E)
0
E
E
dE
dE
dE
∫ dx = − ∫ f ( E ) = ∫ f ( E ) = ∫ ⎛ dE ⎞ = R( E )
E
0
0
0 −
⎜
⎟
⎝ dx ⎠ ioniz.
Naturalmente R(E) ≥ x ed inoltre le fluttuazioni statistiche in dE/dx si
riflettono su R (straggling).
19
Range
♦Esempio: ricavare il range per dei K+ ( MK+ =494 MeV/c2) di
impulso p = 700 MeV/c nel piombo:
βγ = 1.42 e dal grafico per il piombo si ottiene R/M = 396 da
cui: R=396 MK+ =195 gr cm-1
R= ρpb 195 = 11.35 139 = 2213.25 cm
Naturalmente il K+ NON ha bisogno di 22 m per essere
assorbito: vedi le interazioni adroniche !
Il range e’ utile solo per adroni di bassa energia ( R≤λI)
e per muoni di energie inferiori a 200-300 GeV.
L’ energia per unita’ di lunghezza e’ depositata di piu’ verso la
fine del cammino nel materiale dipendendo la perdita di energia
da 1/β2.
Questo e’ utile nelle applicazioni mediche per la cura del
cancro:
⇒ Alte dosi sui tessuti maligni posizionati dentro il corpo
⇒ minima energia depositata nei tessuti sani che lo precedono.
20
Diffusione Coulombiana Multipla
Scattering
Una particella incidente con carica z interagisce
con una targhetta con nuclei di carica Z.
La sezione d’ urto per questo processo
elettromagnatico e’:
2
⎛m c⎞
1
dσ
= 4 zZre2 ⎜⎜ e ⎟⎟
4
dΩ
⎝ β p ⎠ sin θ 2
Rutherford formula
dσ/dΩ
• L’ angolo medio di diffusione e’ θ = 0
• La sezione d’ urto per θ → 0 e’ = infinito!
Multiple Scattering
θ
Per un materiale sufficientemente spesso
→ la particella subira’ diffusione multipla.
L
sia
Gaus
P
n
sin -4(θ
rplane
θplane
θ0 = θ
RMS
plane
=
θ plane
2
θ0
1 RMS 0
=
θ space
2
θ plane
21
/ 2)
Diffusione Coulombiana Multipla
♦Nella ipotesi che le successive collisioni siano tra loro
INDIPENDENTI e’ raggionevole assumere che la
distribuzione dell’ angolo medio di diffusione sia Gaussiana
e che sia centrata a zero con varianza data da:
dσ
∫ ϑ dΩ dΩ
; ϑ=
=
dσ
∫ dΩ dΩ
2
ϑ2
ϑ
2
= 21( MeV ) ×
z
cβ p
x
X0
♦Dove X0 e’ la Lunghezza di Radiazione definita come:
1
2
− ⎞
⎛
N
Z
1
ρ
ln⎜⎜183 × Z 3 ⎟⎟
= 4re2α A
X0
A
⎠
⎝
θ spazio = 2 × θ proiettato
22
Lunghezza di radiazione
ed Energia Critica
Nucleo
Z
H
1
X0
Ec
(g cm-2) (MeV)
63.1
340
He
2
94.3
220
C
6
42.7
103
Al
11
24.0
47
Fe
26
6.4
24
Pb
82
6.4
6.9
23
Diffusione Coulombiana Multipla
♦Esercizio:
elettroni da pe = 20 MeV attraversano uno spessore di
piombo di 0.5 mm. Sapendo che la densita’ del piombo e’
ρpb=11.35 g/cm3 ;
e che
X0(piombo) = 6.37 g/cm2,
calcolare l’ angolo quadratico medio di diffusione dovuto
allo scattering multiplo coulombiano.
Soluzione:
X0(piombo)=X0/ρpb=0.56 cm
θ
2
z
= 21×
βp
x
=6
X0
♦ In aria [ X (aria) = 330 m ] si ottengono 6 gradi per x = 3.3 m.
0
24
Effetto Cerenkov
Radiazione Cerenkov
Si ha emissione di radiazione Cerenkov
quando una particella carica passa in un
mezzo dielettrico con velocita’ tale che :
1
n
β ≥ β thr =
llight=(c/n)Δt
n : indice di rifrazione
w av
e fr
ont
θC
θ
lpart =βc Δ t
cos θ C
1
=
nβ
with n = n ( λ ) ≥ 1
1
→ θC ≈ 0
soglia
n
1
= arccos
Angolo ‘saturated’ (β=1)
n
β thr =
θ max
Numero di fotoni emessi per
unita’ di lunghezza e intervallo
unitario di lunghezza d’ onda:
2
2
d N 2π z α
=
dxd λ
λ2
d 2N
1
∝ 2
dxd λ λ
dN/dλ
λ
⎛
1 ⎞ 2π z α
2
⎜1 −
⎟=
sin
θC
2 2⎟
2
⎜
dN/dE
β n ⎠
λ
⎝
2
c
hc
with λ = =
E
ν
d 2N
= const .
dxdE
25
Ε
Effetto Cerenkov
♦parte dell’ energia persa da particelle cariche ad alto β per
polarizzare il dielettrico e’ riemessa coerentemente con uno
spettro di frequenza continuo e con fotoni linearmente polarizzati.
θ max = arccos
♦
1
⟩ θC ⟩ 0
n
p ⟩ psoglia = mvsogliaγ soglia = mβ soglia cγ soglia =
mβ soglia c
1
(1 − β
2
soglia
)
1
n
=m c
n
n2 − 1
da cui :
pc n 2 − 1⟩ mc 2
♦ La radiazione Cerenkov viene utilizzata per individuare quella
classe di particelle di dato momento p in grado di emettere
luce in un mezzo di indice di rifrazione n : in grado cioe’ di
selezionare particelle di massa tale da soddisfare la
seguente condizione:
mc 2 ⟨ pc n 2 − 1
♦Per identificare particelle di qualche GeV di impulso occorre
utilizzare materiale trasparente con indice di rifrazione piu’ vicino
possibile a 1:
Aerogel, Freon, miscele Ar-Ne, etc con I quali variando la
pressione e’ possibile lavorare con indice di rifrazione n
da 1.0001 a 1.002
26
Effetto Cerenkov
♦ L’ Energia Persa per effetto Cerenkov e’ data ( Frank e
Tamm 1937 ) da
4πz 2 e 2
⎛ dE ⎞
⎜−
⎟ =
2
c
⎝ dx ⎠Cer
⎛
1 ⎞
∫βn⟩1νdν ⎜⎜⎝1 − β 2 n 2 ⎟⎟⎠
♦Corrisponde a qualche keV per cm; quindi a circa un millesimo
della dE/dx per ionizzazione
♦ Esercizio: sia β=0.96 e ρ=1 gr/cm3 inoltre l’ energia media di
un fotone Cerenkov sia di circa 4 eV e supponiamo di
ottenere 500 fotoni. Avremo:
1/ρ×dE/dx)C = 500×4/1≅2 KeV/( gr cm-2 )
Mentre:
1/ρ×dE/dx)ioniz ≅ 2 MeV /( gr cm-2 ) ≅ 1000 (1/ρ×dE/dx)C
Nγ / cm ≅ 500×sin2θ
♦ quindi, essendo θ funzione di n, il numero di fotoni da
effetto Cerenkov dipende da n.
27
Perdita di energia per elettroni e
positroni
♦ La perdita di energia per radiazione,” bremsstrahlung” e’
data da
2
N A Z ρ ⎧ ⎡⎛ 183 ⎞ 1 ⎤ ⎫
⎛ dE ⎞
2
⎨ln ⎢⎜ 3 ⎟ + ⎥ ⎬ × E
⎜−
⎟ = 4re α
dx
A
⎝
⎠ rad
⎩ ⎣⎝ Z ⎠ 18 ⎦ ⎭
x
−
E
⎛ dE ⎞
; E = E0 e X 0
⎜−
⎟ ≅
⎝ dx ⎠ rad X 0
E
dove ⇒ E ( X 0 ) = 0
e
♦Ricordiamo che molti fenomeni fisici avvengono circa nello
stesso modo attraversando lo stesso spessore di materiale
espresso in unita’ di X0 ( la lunghezza di radiazione ) :
i) ΔE
in
ii) <θ> in
Pb ≅Cu per
“
iii) Prod di e+ e- da γ
Δx/X0 uguali
“
“
28
etc
Energia Critica
Materiale
En Critica
(MeV)
Pb
Cu
Fe
Al
Lucite
9.5
24.8
27.4
51.0
100.0
♦ L’ energia Critica e’ definita dalla condizione :
⎛ dE ⎞
⎛ dE ⎞
=⎜
⎜
⎟
⎟
⎝ dx ⎠ioniz . ⎝ dx ⎠ rad .
600
EC =
MeV
Z
♦ Ricordiamo che si tratta sempre di valori medi e che le
fluttuazioni sono molto importanti
29
Perdita di energia per elettroni e
positroni
♦Il campo elettrico di un nucleo accelera e decelera le particelle
cariche che attraversano il materiale causando la loro perdita di
energia per emissione di fotoni di “bremsstrahlung”.
Queste perdite sono trascurabili per particelle non relativistiche
e dominanti per quelle relativistiche.
♦ Inoltre elettroni e positroni tendono a “diffondersi” nel materiale
anziche’ ad attraversarlo, per cui il concetto di range perde per
essi molto del suo significato.
♦ Se il parametro di impatto b e’ grande rispetto al raggio del
nucleo rN, e piccolo rispetto a quello atomico ra, il campo che
agisce sulla particella durante il processo di radiazione e’ in
pratica il campo coulombiano di una carica puntiforme Ze al
centro del nucleo.
♦ Se invece b e’ dell’ ordine di ra o piu’ grande, si deve tener
conto dell’ effetto di schermo dovuto agli elettroni.
♦ Se b e’ dell’ ordine di rN, la carica del nucleo, come vedremo in
seguito, non si puo’ considerare puntiforme.
♦ Si dimostra che I processi di radiazione degli elettroni
avvengono a distanze grandi rispetto a rN, per cui il nucleo
puo’ sempre essere considerato una carica puntiforme mentre
l’ effetto di schermo degli elettroni e’ un effetto importante.
♦ σ(brems)
♦
∝ ( e2/M)2 da cui
ΔEμ(brems)≅ΔEelet(brems)/40000
30
Perdita di energia per elettroni e
positroni
♦ Spettro in energia dei fotoni di Bremsstrahlung
I fotoni uscenti hanno energia compresa tra
0 < Eγ < E0
con probabilita’ data da:
Prob.( Eγ ) = 1/ Eγ
♦ Distribuzione angolare dei fotoni di Bremsstrahlung
Ad energie E >>mc2, l’ angolo medio di emissione
di un fotone e’ :
<θ> ≅mc2/E0
ed e’ quindi indipendente dalla energia del quanto emesso.
31
Interazioni dei Fotoni
Abbiamo tre diversi fenomeni che predominano in diversi intervalli di
energia.
1) EFFETTO FOTOELETTRICO
Per Eγ compresa tra l’ energia di ionizzazione e 100 keV, l’ effetto
fotoelettrico domina :
γ + A → e- + A+
L’elettrone atomico NON è libero e il nucleo rincula per conservare
il momento. Questo NON e’ possibile per un elettrone libero :
l’ assorbimento di un fotone da parte di un elettrone richiede la presenza
di un TERZO partner nell’ urto. In questo caso : il nucleo atomico.
La sua massa e’ tale da NON assorbire energia !
Meno il nucleo rincula piu’ e’ facile assorbire il Δp : la
probabilita’ dell’ effetto fotoelettrico aumenta al diminuire di Eγ.
Se hν < ΔElegame
Probabilita’ dell’ effetto fotoelettrico = 0
Questo spiega I denti nella distribuzione.
T = hν - A = h( ν - ν0 ) ; dove A e’ l’ energia di estrazione e
ν0 e’ l’ energia di soglia.
Sezione d’ urto totale σph
a ) Eγ << m e ⋅ c 2
b) Eγ >> m e ⋅ c
2
:
:
1
Eγ3
σ ph
k ⋅ Z5 ⋅
σ ph
1
k⋅Z ⋅
Eγ
5
32
Effetto fotoelettrico
33
Effetto Compton
• Per fotoni con energie molto maggiori dell’ energia di legame
degli elettroni atomici, questi si possono considerare liberi. L’
effetto Compton descrive il processo elastico : γ e- → γ e-
γ
θ
E0, hν0, p0
E1, hν1, p1
γ
e E, me, T, p
1) p0 = p1 cosϑ + pcosφ ; 0 = p1 sin ϑ - pcosφ
( p0 − p1 cosϑ )
2
= p 2 ⋅ cos 2 φ ; p12 sin 2 ϑ = p 2cos 2φ
2) p02 + p12 − 2p0 p1 cosϑ = p 2 ; 3) E 0 + mec 2 = E1 + T + mec 2
4) E 0 − E1 = T ⇒ c ( p0 − p1 ) = T
Ricordiamo che vale la relazione : p=
E hν
=
c
c
1
2 2 2
Abbiamo al solito : m ec 2 + T = E = ( m e2c 4 + p c
)
da cui :
T 2 + 2Tmec 2 + me2c 4 = p 2c 2 + me2c 4 da cui dividendo per c 2 :
T2
2
2
2
2
2
Tm
=
p
dalla
2)
p
p
p
+
⇒
=
+
e
0
1 − 2p 0 p1 cos ϑ da cui :
2
c
c2 ( p0 − p1 )
+ 2c ( p0 − p1 ) me
2
c
2
=
p02 + p12 − 2p0 p1 cosϑ
34
Effetto Compton
p02 − 2 p0 p1 + p12 + 2c ( p0 − p1 ) me = p02 + p12 − 2 p0 p1 cosϑ ;
2c ( p0 − p1 ) me = 2 p0 p1 (1 − cosϑ )
2c ( p0 − p1 ) me = 2 p0 p1 (1 − cosϑ ) ;
( p0 − p1 ) =
p0 p1
1
(1 − cosϑ ) ;
me c
⎛1
1 ⎞
1
1
−
=
−
−
=
1
cos
ϑ
;
λ
λ
1 − cosϑ )
(
)
⎟
⎜
1
2
2 (
p
m
c
m
c
p
0 ⎠
e
e
⎝ 1
Possiamo ricavare tutto in funzione della energia del γ 0 :
1
1
1
1
1
1
1
cos
;
−
=
−
ϑ
−
=
(
)
(1 − cosϑ )
cp1 cp0 me c 2
Eγ 1 Eγ 0 mec 2
Eγ 0 mec 2
Eγ 1 mec 2
mec 2
; Eγ 1 Eγ 0 =
=
Eγ 0 − Eγ 1 (1 − cosϑ )
(1 − cosϑ ) (1 − cosϑ )
Eγ 1 Eγ 0
⎛
Eγ 0 mec 2
mec 2 ⎞
Eγ 1 ⋅ ⎜ Eγ 0 +
⎟⎟ =
ϑ
1
cos
−
(
)
⎝
⎠ (1 − cosϑ )
Eγ 0 mec 2
1
Eγ 1 =
⋅
(1 − cosϑ ) ⎛
me c 2 ⎞
⎟
⎜ Eγ 0 +
1
cos
ϑ
−
(
)
⎝
⎠
Eγ 0
Eγ
Eγ 1 =
; poniamo ε = 0 2 e otteniamo quindi :
Eγ 0
mec
⎞
⎛
1
1
cos
ϑ
+
⋅
−
(
)
⎟
⎜
2
⎝ me c
⎠
Eγ 0
Eγ 1 =
(1 + ε ⋅ (1 − cosϑ ) )
Notiamo che : per cosϑ = 1 ⇒ Eγ 1 ha il valore MASSIMO
per cosϑ = -1 ⇒ Eγ 1 ha il valore MINIMO
35
Compton Edge
♦ Energia massima rilasciata all’ elettrone
hν 0
Ee = hν 0 − hν 1 = hν 0 −
=
1 + ε (1 − cosϑ )
=
hν 0 ⎡⎣1 + ε (1 − cosϑ ) ⎤⎦ − hν 0
1 + ε (1 − cosϑ )
ε hν 0 (1 − cosϑ )
Ee =
1 + ε (1 − cosϑ )
2hν 0ε
2ε
= hν 0
Per ϑ = 180 ⇒ E
=
1 + 2ε
1 + 2ε
2
2
2
2
h
m
c
2
ε
m
c
ν
ε
e
e
0
⋅
Compton Edge : E eMax =
=
mec 2 1 + 2ε
1 + 2ε
Max
e
36
Compton Edge
37
Effetto Compton: sezioni d’ urto
Per Eγ << me c 2
l’elettrone atomico oscilla irradiando come un oscillatore:
σ Th ≈ Z (
DIFFUSIONE THOMPSON.
8π 2
r0 )
3
Se l’impulso ceduto è piccolo rispetto all’impulso incidente allora si ha :
SCATTERING COERENTE (Rayleigh):
Distribuzione Angolare dei
γ
σ Ray ≈ Z 2 r02
emessi nell’Effetto Compton :
Formula di Klein-Nishina (1928)
dσ c
1 2 Z Eγ
(ϑγ ) = r0
2 A Eγ
dΩ γ
'
⎡ ⎛ Eγ'
⎢1 + ⎜⎜
⎢⎣ ⎝ Eγ
⎞ 2 ⎛ Eγ'
⎟+⎜
⎟ ⎜ Eγ
⎠-⎝
⎞ 2 ⎤
⎟ sin ϑγ ⎥
⎟
⎥⎦
⎠
Sezione d’ urto Totale
1)
2)
Eγ
m ec
2
Eγ
m ec
2
<1:
σc
>> 1 : σ c
Eγ ⎞
Z 8π ⋅ r02 ⎛
⋅
⋅ ⎜1 − 2 ⋅
2 ⎟
A
3
m ec ⎠
⎝
Z 8π ⋅ r02 1
⋅
k⋅ ⋅
Eγ
A
3
38
Effetto Compton: distribuzioni
angolari
39
Esercizio: la scoperta del neutrone
Già nel 1920, per superare alcune delle difficoltà create dalla ipotesi,
vedi esercizio nel capitolo della cinematica, che il nucleo fosse costituito
di elettroni e protoni, Rutherford suggerisce che nel nucleo coppie di
elettroni e protoni potessero essere combinate a “formare” una particella
neutra che chiamo’ “ NEUTRONE “.
Nel 1928 Bothe e Becker osservarono che bombardando con particelle α,
emesse dal Polonio di circa 5.4 MeV, dei nuclei di Berillio si producevano
atomi di Carbonio insieme ad una radiazione NON ionizzante, neutra e
molto penetrante: pensarono si trattasse di raggi X.
Nel 1931 Irene Curie e Joliot, studiando le stesse reazioni, mostrarono che
questi processi erano capaci di “sbattere fuori” dei protoni di energia fino a
5.3 MeV da assorbitori ricchi di idrogeno come la paraffina.
Spiegarono il fenomeno con:
He + 49 Be→136 C + γ
γ + p→γ + p
4
2
Nel 1931 Chadwick notò che un γ capace di causare questo reazione
doveva avere un’energia di almeno 52 MeV (fare come esercizio)
in palese contrasto con i γ osservati sperimentalmente che arrivano al
40
massimo ad energie di qualche MeV.
Esercizio: la scoperta del neutrone
Chadwick utilizzo’ camere ad ionizzazione nelle quali poteva misurare la
ionizzazione, numero di ioni, prodotte da una particella carica e la lunghezza
della traccia. Egli inoltre utilizzo’ DIVERSI materiali (idrogeno, elio, berilio,
carbonio ed argon) come bersaglio per la radiazione sconosciuta prodotta dagli
urti delle particelle α sul berilio. Le particelle “sbattute fuori” dall’ idrogeno si
comportavano come protoni con velocita’ fino a 3.2×109 cm/s. Mentre le
particelle espulse dai bersagli piu’ pesanti avevano un potere di ionizzazione
piu’ grande e, per ciascun caso, erano l’ ione di rinculo dell’ elemento.
Tutto viene spiegato da una particella di massa circa uguale a quella del
protone e senza carica elettrica:
4
2
He + 49Be→126 C + n
Chadwick la chiamo’ NEUTRONE in una lettera
a Nature del 17, febbraio 1932. Nel 1935 prese il
Premio Nobel.
Chadwick misurò la sua massa con una precisione del 10%.
Qualche mese dopo venne scoperto il nucleo di Deuterio (Deutone),
2
l’isotopo 1 H dell’idrogeno. Il Deutone è uno stato legato
m p = 938.27231 ± 0.00028 MeV / c 2
protone-neutrone. Valori recenti:
mn = 939 .56563 ± 0.00028 MeV / c 2
Nota bene: il neutrone risolve il problema
md = 1875 .61339 ± 0.00057 MeV / c 2
dell’azoto : 7p + 7n = spin intero.
Inoltre risolve il problema quantistico
41
e quello legato al momento magnetico.
Creazione di coppie
• La produzione di coppie elettrone positrone nel campo Coulombiano del
nucleo e’ possibile SOLO se l’ energia del fotone supera una certa soglia.
Questa energia di soglia e’ data dalle masse a riposo dei due elettroni piu’
la energia di rinculo che e’ trasferita al nucleo o, nel caso di urto con gli
elettroni atomici, a questi ultimi. Il rinculo assicura la conservazione dell’
impulso.
γ +N
γ +
→ ( e+ e- ) + N
e- → ( e+ e- ) + e-
Il nucleo controbilancia Ptot
anche energia.
senza prendere energia. L’elettrone prende
Il processo è a SOGLIA:
EγMin ≈ 2me ≈ 1.02MeV
su nucleo
EγMin ≈ 4me c 2
su elettrone
Distribuzione in energia di e+ e- :
dσ = Formula di Bethe-Heitler
dE'
Distribuzione angolare degli elettroni :
me c 2
< θ ± >≈
Eγ
La distribuzione e' indipendente da E '±
42
Produzione di coppie in camera a
bolle
43
Produzione di coppia
- → ( e+ e- ) + e-
γ + e
γ +N
→ ( e+ e- ) + N
44
Creazioni di coppie: sezione d’urto totale
1)
mec < hν <<
2
σ pair
2)
137
Z
1
3
⋅ mec 2
2 Eγ 218 ⎞
Z
2 ⎛ 28
⋅ r0 ⋅ ⎜ ⋅ ln
−
=
⎟
2
137
9
m
c
27
e
⎝
⎠
2
hν >> m e c 2
σ pair
( senza schermo )
( schermo completo )
Z2 2 ⎛⎜ 28 183 2 ⎞⎟
=
ln 1 −
⋅ r0
137
27 ⎟
⎜ 9
3
Z
⎝
⎠
Ad alte energie abbiamo : σ pair ≈ cost ⋅ Z 2
σ pair ≅
7 1 A
⋅
9 X0 N A
μ = σ ⋅ n = (σ fotoelettrico + σ compton + σ creazione di coppie ) ⋅
ρ ⋅ NA
A
ATTENUAZIONE DEI FOTONI :
I = I0 e− μ x
45
Sezioni d’ urto per fotoni Vs Eγ
46
Memento:
interazioni elettromagnetiche di base
γ
e+ / eIonisation
ƒ
dE/dx
ƒ
Photoelectric effect
σ
E
E
Bremsstrahlung
ƒ
Compton effect
σ
dE/dx
ƒ
E
E
ƒ
Pair production
σ
E
47
Sciami Elettromagnetici
Ee ≥ Energia Critica
Eγ ≥ Soglia per la Creazione di coppia
Il processo è statistico :
1 X0
± 1 X0
E0
2
γ E → e → e 2γ
0
dopo t ⋅ X 0
'±
' 1 X0
E0
4
→ N
→ e''± 2γ '' 2e'''E±0 ......etc
8
2
t
; E(t)
E0
2t
E0
E ( tmax ) = t max = E c da cui :
2
E0
ln
Ec
E0
tmax =
⇒ N max
ln2
Ec
48
Caratteristiche degli sciami Elettromagnetici
180 ⋅
i ) X0
A
Z2
( gr cm )
-2
550
Z
; ii) Energia Critica: ε
21 ⋅ X 0
( MeV )
A
gr cm -2 :
ε
Z
da' la distribuzione laterale dello sciame che dipende
dallo scattering multiplo e dai fotoni di bassa energia.
iii) Raggio di Moliere : R M =
7⋅
(
)
e' funzione della profondita' dello sciame
( sviluppo longitudinale ).
iv) posizione del massimo dello sciame :
t max = t med - 1,5 dove :
t med = ln
t=
E
ε
+ a ; dove:
a = 0.4 per e ±
a = 1.2 per γ
x
X0
v) Lcontenimento ( 98 % ) ∼ 3 ⋅ t med
dE
vi)
= E0 ⋅
dt
bα +1
(α + 1)
⋅ tα − e-bt
dove b = 0.5 e α = t max ⋅ 5
vii) T = somma di tutte le lunghezze delle tracce
cariche della cascata elettromegnetica.
Per Esensibile = 0 , dove E sensibile e' l' energia
sotto la quale il rivelatore non e' sensibile, si ha :
E
T
=
ε
X0
viii)
ΔE
∝
E
N
N
49
Electromagnetic cascades
Electromagnetic Cascades (showers)
Electron
shower in a
cloud
chamber
with lead
absorbers
Simple qualitative model
Consider only
Bremsstrahlung
and pair
production.
γ
Assume:
X0 = λpair
N (t ) = 2 t
E (t ) / particle = E 0 ⋅ 2 − t
Process continues until E(t)<Ec
t max
ln E 0 E c
=
ln 2
N
total
t max
= ∑ 2 t = 2 ( t max +1) − 1 ≈ 2 ⋅ 2 t max = 2
t =0
After t = tmax the dominating processes are ionization,
Compton effect and photo effect → absorption.
50
E0
Ec
Interazioni Nucleari
Le interazioni degli adroni energetici (carichi e
neutri) sono determinati dai processi nucleari
inelastici.
hadron
p,n,π,K,…
Z,A
multiplicity ∝ ln(E)
π
+
n
πp
π0
pt ≈ 0.35 GeV/c
Eccitazione e poi frammentazione dei nuclei →
→ frammenti nucleari + produzione di particelle
secondarie
Per energie elevate (>1 GeV) le sezioni d’ urto
dipendono molto poco dall’ energia e dal tipo di
particella incidente (p, π, K…).
σ inel ≈ σ 0 A 0.7
σ 0 ≈ 35 mb
In analogia con X0 possiamo definire una
lunghezza di assorbimento adronica (hadronic
absorption length)
λa =
A
N Aσ inel
51
Cascata Adronica
Vi sono implicati vari processi. E la situazione e’ molto piu’
complicata di quella delle cascate elettromagnetiche.
Componente adronica
+
charged pions, protons, kaons ….
Breaking up of nuclei
(binding energy),
neutrons, neutrinos, soft γ’s
Componente Elettromagnetica
neutral pions → 2γ →
electromagnetic cascade
( )
n π 0 ≈ ln E (GeV ) − 4 .6
muons …. → invisible energy
example 100 GeV: n(π0)≈18
Grandi fluttuazioni di energia
risoluzione in energia limitata
52
Interazioni di particelle cariche
Material
Z
Hydrogen (gas)
Helium (gas)
Beryllium
Carbon
Nitrogen (gas)
Oxygen (gas)
Aluminium
Silicon
Iron
Copper
Tungsten
Lead
Uranium
1
2
4
6
7
8
13
14
26
29
74
82
92
A
1.01
4.00
9.01
12.01
14.01
16.00
26.98
28.09
55.85
63.55
183.85
207.19
238.03
ρ [g/cm3 ]
X 0 [g/cm2 ]
λ a [g/cm2 ]
63
94
65.19
43
38
34
24
22
13.9
12.9
6.8
6.4
6.0
50.8
65.1
75.2
86.3
87.8
91.0
106.4
106.0
131.9
134.9
185.0
194.0
199.0
0.0899 (g/l)
0.1786 (g/l)
1.848
2.265
1.25 (g/l)
1.428 (g/l)
2.7
2.33
7.87
8.96
19.3
11.35
18.95
For Z > 6: λa > X0
λa and X0 in cm
100
10
X0, λa [cm]
λa
X0
1
Z
53
0.1
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Calorimetri omogenei
Due categorie importanti: cristalli scintillanti o
“glass” blocks
→ Fotoni . Letti con fotomoltiplicatori,-diodi/triodi
Scintillatori (cristalli)
Scintillator
Density
[g/cm3]
X0 [cm]
NaI (Tl)
3.67
2.59
CsI (Tl)
4.51
1.86
CSI pure
4.51
1.86
BaF2
4.87
2.03
BGO
PbW04
7.13
8.28
1.13
0.89
Light
Yield
γ/MeV
(rel. yield)
4×104
τ1 [ns] λ1 [nm]
Rad.
Dam.
[Gy]
Comments
230
415
≥10
5×104
(0.49)
4×104
(0.04)
104
(0.13)
8×103
≈100
1005
565
≥10
10
36
0.6
620
300
10
10
310
310
220
310
480
≈440
≈530
103
hydroscopic,
fragile
Slightly
hygroscopic
Slightly
hygroscopic
105
10
104
light yield =f(T)
Relative light yield: rel. to NaI(Tl) readout with PM (bialkali PC)
Radiatori Cherenkov
Material
Density X0 [cm] n
[g/cm3]
SF-5
Leadglass
SF-6
Leadglass
PbF2
4.08
2.54
5.20
1.69
7.66
0.95
Light yield
[p.e./GeV]
(rel. p.e.)
1.67 600
(1.5×10−4)
1.81 900
(2.3×10−4)
1.82 2000
(5×10−4)
λcut [nm] Rad. Comments
Dam.
[Gy]
102
350
350
102
103
Not available
inquantity
54
Relative light yield: rel. to NaI(Tl) readout with PM (bialkali PC)
Interazioni dovute a : n, π0, η’ K0, Λ, … e
neutrini
Neutroni
Le interazioni forti hanno sezioni d’ urto σ ≅ 10 – 100 mbarn
E’ possibile rendere “misurabili” gli effetti di urti dovuti a
neutroni con I metodi seguenti :
i) Scattering nucleare con rinculo dei nucleoni carichi
urtati;
ii) Reazioni Nucleari:
a) da neutroni lenti : termici ( T < 0.5 eV )
epitermici ( T < 100 KeV )
b) da neutroni veloci : ( 10 keV < T < 100 MeV )
c) neutroni di alta energia : ( 100 MeV < T )
iii) Processi secondari in cui abbiamo emissione di
particelle cariche :
a) neutroni veloci : scattering elastico su protoni
reazioni nucleare
b) fissione : n + U235 → frammenti carichi
π0 → γγ ; η → 2γ ; K0 → π+π- etc
I neutrini interagiscono SOLO via interazioni deboli con
sezioni d’ urto σ ≅ 10-40 cm2
55
Rivelatori di Particelle
▬ Lo scopo dei rivelatori è quello di misurare :
1) l’energia Ei ,
2) l’ impulso pi ,
3) i vertici delle interazioni e/o dei decadimenti,
di TUTTE le particelle dello stato finale della reazione.
La misura dell’energia mancante permette di
rilevare la presenza di neutrini tra le particelle
dello stato finale della reazione
56
Processi fisici per la rivelazione di particelle
IONIZZAZIONE: indotta da particelle cariche: il passaggio delle particelle
e’ rivelato dalle coppie elettrone-ione prodotte lungo il
percorso della particella stessa.
-
⎛ dE ⎞
⎜
⎟ per unita' di percorso
dx
⎝
⎠ion
Ionizzazione Specifica =
E ( per produrre una coppia e-ione )
L' energia necessaria per produrre una coppia e-ione dipende
dal materiale ed e' tipicamente di 20-30 eV.
ECCITAZIONE: Indotta da fotoni su materiali scintillanti ( stati
metastabili con tempi di risposta da 10-9 a 10-6 secondi )
che emettono fotoni di qualche eV
( FLUORESCENZA ).
i) Scintillatori inorganici : X0 ≅ 2.6 cm ; ρ = 3.7 gr cm-3;
risposta ≅ 10-7 s; resa energetica ; 1γ / 25 eV.
ii) Scintillatori organici : X0 ≅ 30-40 cm; ρ = 1 gr cm-3;
risposta ≅ 10-9 s; resa energetica : 1 γ / 100-500 eV.
ESEMPIO : In Argon ( ρ =10-3 gr cm-3 ) si ottiene una coppia e-ione
ogni 30 eV. Calcoliamo l’ energia persa per ionizzazione in 1 cm di
Argon.
2 MeV
2 keV
ΔE =
⋅ρ =
-2
gr cm
cm
Numero di coppie e-ione in Argon :
2000
66 coppie per cm
30
57
Rivelatori di Tracce
A) Tecniche Visualizzanti
1) Camera a Nebbia ( Wilson – 1912 ) :
un gas con vapore sovrasaturo produce goccioline dove sono presenti
ioni a causa di una rapida espansione. Si illumina e fotografa la camera
subito dopo l’espansione. Tipica risoluzione : ≅ 0.5 mm.
2) Camera a Bolle (Glaser– 1952):
un liquido (idrogeno, deuterio, elio….) in cui la pressione idrostatica è
mantenuta per qualche millisecondo più bassa della sua tensione di
vapore. Si formano delle bollicine lungo la traiettoria delle particelle a
causa della presenza delle coppie e-ione.
Risoluzione spaziale da 300 a 20 μm.
3) Emulsioni Nucleari (Powell– 1939):
costituite da grani di AgBr (bromuro di argento) immersi in gelatine con
densità di alcuni grani / μm . La particella produce elettroni che trasformano
i grani in Argento metallico.
Risoluzione spaziale ≅ 1 μm .
.
dE
Inoltre dal
dx
si misura : β
e da ϑSc mult si ricava β ⋅ p
58
Rivelatori di Tracce
4) Camera a Scintille (1950)
lastre conduttrici separate di 1 cm connesse a tensione ed a massa in
modo alternato ad un generatore IMPULSIVO di tensione.
Tra le lastre vi è un gas NOBILE (He, Ne) che viene ionizzato dal
passaggio della particella carica. Dopo il passaggio viene impulsato un
campo elettrico di ?10KV/cm che accelerando gli elettroni innesca una
scarica lungo tutta la traccia di ionizzazione lasciata dalla particella. Le
scintille sono nel visibile e vengono fotografate.
Risoluzione spaziale ≤ 1 mm.
Le Camere a Streamer hanno elettrodi piu’ lontani tra loro e
campi ≅ 20 KV/cm . Si ottengono risoluzioni spaziali simili a quelle
delle camere a scintilla.
59
Camera di Wilson :
Scoperta del Positronio
60
Camera a nebbia:
la nascita dell’ antineutrino
61
Emulsioni: scoperta del pai carico
62
Rivelatori di Tracce
B) Tecniche Elettroniche
In questo tipo di rivelatori la carica elettrica, prodotto della ionizzazione
dovuta al passaggio della particella, viene raccolta con opportuni campi
elettrici. Il materiale può essere GAS, LIQUIDO o SOLIDO.
I parametri importanti sono la velocita’ di deriva delle cariche e
la resa in coppie e-ioni prodotte
I gas tipici sono costituiti da miscele di gas nobili (He, Ne, Ar, Xe) con
idrocarburi (metano, etano) o CO2 .
vione = ve 10-4. Dove ve dipende dal tipo di gas, dalla pressione
e dal campo elettrico.
Tipicamente si ha : ve ≅ 5 cm / μs ; pressione atmosferica; E ≅ 1 KV / cm .
Varie tipologie:
1) camere a fili: risoluzione spaziale ≅ 0.3 – 0.5 mm
2) camere a deriva in gas: risoluzione spaziale ≅ 50 – 200 μm
.
3) camere a deriva in liquido: ve ≅ 0.5 cm / μm
con una resa maggiore : ≅ 10 eV
4) Camere a deriva in semiconduttori: resa 3 eV per coppia;
risoluzione spaziale ≅ 10 μm.
63
Multi wire proportional chambers
(G. Charpak et al. 1968, Nobel prize 1992)
field lines and equipotentials around anode wires
Parametri tipici:
L=5mm, d=1mm,
awire=20mm.
Lettura digitale: la
risoluzione spaziale e’
limitata a:
σx ≈
d
12
( d=1mm,
σx=300 μm )
Gli indirizzi dei fili che hanno sparato danno solo
una informazione unidimensionale. Coordinate
secondarie…
64
Multi wire proportional chambers
♦Coordinate secondarie
Piani incrociati di fili. Ghost hits.
Solo per basse moltiplicita’ di tracce.
Anche piani di fili stereo (a piccolo angolo
di intersezione).
♦Divisione di carica. Fili resistivi (Carbon,2kΩ/m).
y
track
QB
QA
L
y
QB
=
L Q A + QB
⎛ y⎞
⎝L⎠
σ ⎜ ⎟ up to 0 .4 %
♦1 piano di fili + 2 piani catodici segmentati
Lettura
analogica dei
piani catodici:
→ σ ≈ 100 μm
65
Camere a deriva
(First studies: T. Bressani, G. Charpak, D. Rahm, C. Zupancic, 1969
First operation drift chamber: A.H. Walenta, J. Heintze, B. Schürlein,
NIM 92 (1971) 373)
DELAY
scintillator
drift
Stop
TDC
Start
anode
x
low field region
drift
high field region
gas amplification
♦Misura il tempo di arrivo
degli elettroni al filo a
tensione relativo a t0
x = ∫ v D (t ) dt
♦Che cosa accade durante la deriva verso il filo anodico ?
) Diffusion ?
) Drift velocity ?
66
Deriva e diffusione nel gas
♦Senza campo elettrico esterno:
Gli elettroni e gli ioni perderebbero la loro energia
collidendo con gli atomi del gas→ termalizzazione
3
ε = kT ≈ 40 meV
2
L’ insieme di cariche, inizialmente localizzate, a
causa delle collisioni multiple diffondera’ nel gas
dN
=
N
1
−( x 2
e
4π Dt
σ x (t ) = 2 Dt
4 Dt )
D: coefficiente di Diffusione
dx
or D =
σ x2 (t )
dN
2t
Ν
σx
t
♦ Con un campo elettrico esterno:
Ε
Traffico “stop and go” dovuto allo
Scattering con gli atomi del gas
→ drift
v D = μE
μ=
eτ
(mobility)
m
e-
67
Metodi di Misura delle Variabili
Cinematiche
1) Misura della carica elettrica
dE
2
2
∝ z = ( ze )
dx
1)
2) il segno è dato da : B e/o E .
2) Misura dell’Energia
N = ∑ ntracce
Calorimetri:
= kE
sec ondarie
δE
E
=
δN
N
=
1
1
=
N
kE
è un fenomeno STATISTICO!. La misura migliora all’ aumentare di E.
dP
p
Calorimetro
Misura da traccia in campo
magnetico.
p
68
Misura della Energia
• Risoluzione in energia di un
calorimetro (limite intrinseco):
E 0 Numero Totale dei segmenti di traccia
total
∝
N
σ (E)
E
σ (N )
∝
N
Ec
1
∝
∝
N
1
E0
Vale anche per
i calorimetri adronici
Anche le risoluzioni spaziali ed angolari scalano come 1/√E
La risoluzione relativa di un calorimetro migliora all’
aumentare dell’ energia.
Piu’ in generale:
σ (E )
E
c
a
=
⊕b⊕
E
E
Noise term
Stochastic
term
Quality factor !
Constant term
Inhomogenities
Bad cell intercalibration
Non-linearities
Electronic noise
radioactivity
pile up
69
Particella carica in campo magnetico
♦ il moto di una particella di massa m e carica
elettrica q in un campo di induzione magnetica B
e’ descritto dalla legge
dp/dt = d (γmv)/dt = q v×B
In un moto circolare, con traiettoria di raggio R e
con B perpendicolare a v, avremo :
ma = mv2/R = qvB
da cui
i) mv = qRB
ii) R
= mv/qB = p/qB
iii) cp
= qcBR
♦ Per una carica unitaria q=e, la relazione tra
quantita’ di moto, raggio di curvatura e campo
magnetico e’ :
pc[Joule]=ecBR=
1.6 10-19[Coulomb] 3×108[ms-1] B[Tesla] R[metro]
oppure in unita’ piu’ pratiche:
pc[GeV] = 0.3 B[Tesla] R[metro]
70
♦ Avremo anche:
B×R = p/e = rigidita’ magnetica
♦ se mettiamo tutto nelle
corrette unita’ di misura
avremo:
B×R = 33.356×p [kg∗m]=
= 3.3356×p [T ∗m]
( se p e’ in GeV/c )
71
3. Misura di Impulso
a)
Metodo della sagitta: il rivelatore di traccia è interno al campo
magnatico B. Ricordiamo : p = 0.3 RB con q = 1; B in Tesla; R in m
e p in GeV.
L
Sia s << R
s
θ
R
1)
L 2
L2
2
2
2
= R2
( R − s ) + ( ) = R → R + s − 2 Rs +
2
4
2
trascurando s2 si ottiene :
L2
s=
8R
2) L
2
R
sin
ϑ
2
; cosϑ
1 ϑ2
ϑ⎞
⎛
1- ⋅
; s = R ⋅ ⎜1-cos ⎟
2! 4
2⎠
⎝
⎛
1 ϑ2 ⎞
ϑ2
s = R ⎜1-1+
;
⎟ = R⋅
2
4
8
⎝
⎠
1 L
1
L2
ϑ2
L2
ϑ2
=
=
⋅ = ⋅ϑ ⇒
⇒
2 R
2
4R 2
4
8R 2
8
L2
L2
Otteniamo quindi : s = R ⋅ 2 =
8R
8R
L2
p = 0.3 ⋅ R ⋅ B ⇒ p = 0.3 ⋅ B ⋅
8s
72
L’accuratezza della misura di P, per un B fissato, è legata a quella di R e, da
questa, a quella di L ed s.
L2
L2 1
p = 0.3 ⋅ B ⋅
; Δp = 0.3 ⋅ B ⋅ ⋅ 2 ⋅ Δs
8⋅s
8 s
⎛
L2 ⎞
2
⇒ s = ⎜ 0.3 ⋅ B ⋅
⎟
⋅
8
p
⎝
⎠
L2
s = 0.3 ⋅ B ⋅
8⋅ p
2
da cui :
⎛ 0.3BL2 ⎞ p 2 82 Δs
8 ⋅ p 2 Δs
=
Δp = ⎜
⎟⋅
2
2
0.3 ⋅ B ⋅ L2
⎝ 8 ⎠ 0.3BL
(
)
8
Δp
=
⋅ Δs
p2
0.3 ⋅ B ⋅ L2
1
720
( Formula di Gluckstern : Δs = ε ⋅ ⋅
)
8 N +4
dove ε e' la risoluzione della misura sul singolo punto data dal rivelatore;
ed N e' il numero di punti misurati sulla traccia.
Avremo :
Δp
ε
=
p2
0.3BL2
720
8
Δs
=
N +4
0.3BL2
▬ Esempio : B = 1.5 Tesla; L = 1.8 m ; Δs = 200 μm :
Δp/p2 = 1.1×10-3 / GeV
73
b)
Analizzatore Magnetico. La misura dei punti sulle tracce viene
fatta prima e dopo la deviazione ϑ causata dal campo magnetico B.
Serve a misurare p ed il segno della carica.
L
p
θ
θ
x
x
L⋅
θ
2
S
2
R
θ
cp = 0.3 ⋅ B ⋅ R ; R
L
θ
; cpθ
0.3BL ⇒ θ =
0.3B
⋅L
cp
0.3L2 B
0.3L2 B
0.3L2 B
∂cp
x=
; cp =
; Δ ( cp ) =
⋅ Δx =
⋅ Δx
2cp
2x
2x2
∂x
Δ ( cp )
( cp )
2
=
2
⋅ Δx ; dove Δx e' la precisione delle camere usate.
0.3L2 B
Nel vuoto : Δ( cp ) / (cp)2 = costante
74
3.1 Analizzatori Magnetici
In presenza di materiale dobbiamo tener conto dello scattering multiplo
colombiano:
2
2
Δx = Δx risoluzion
e + Δx scatt .mult .
Δx SM =
1 15MeV / c
L
L
βp
x0
3
Esercizio: B = 1.8 T; L = 1 m; ∆x = 100μm
a) Nel vuoto
P (GeV)
2
0.3L B
2cp
Δp Δx
=
p
x
x=
Δ (cp )
= 3.7 ⋅ 10 − 4
2
(cp )
10
27 mm
100
2.7 mm
3.7 ‰
3.7 %
b) Magnete in aria: X0(aria) = 300
per p = 10GeV → β ≈ 1
1 15
1
Δx SM =
⋅
1
= 50 μm
4
300
3 10
Confrontabile con le massime ∆x raggiungibili.
75
4. Misure di velocita’
1) Rivelatori Čerenkov: se misuro ϑ Č:
cosϑ =
dβ
1
nβ
⇒ dcosϑ = - sinϑ ⋅ dϑ = -
= nβ ⋅ sin ϑ ⋅ dϑ =
β
dβ
= tgϑ ⋅ dϑ
β
1 dβ
⋅ 2
n β
1
⋅ sin ϑ ⋅ dϑ
cosϑ
2) Campionando lungo la traccia il suo
dE
1
→ 2 →β
β
dx
Nota bene: se è noto l’impulso la misura della velocità determina la
la misura della sua massa :
p = m β cγ
Esercizio: calcoliamo δm / m, noto p:
m=
p
→ δm =
p
1
p 1
δ( ) = −
δ ( βγ )
2
βγ
βγ
c
c( )
cβγ
δ ( βγ ) = γδβ + βδγ
1
3
− ⎤
−
⎡
1
2
2
δ γ = δ ⎢(1 − β ) 2 ⎥ = (1 − β ) 2 ⋅ 2βdβ = γ 3 βdβ
⎣
⎦ 2
76
4. Misure di velocita’
δ ( βγ ) = γδβ + β 2 γ 3δβ = γδβ (1 + β 2 γ 2 )
⎡1 − β 2 + β 2 ⎤
⎡
β2 ⎤
= δβ ⋅ γ ⎢1 +
=
δ
γ
β ⎢
⎥
⎥
2
1− β 2 ⎦
⎦
⎣
⎣ 1− β
= δβγ ⋅ γ 2 = γ 3δβ
(
δ m=
)
p δ ( βγ ) p 1
=
⋅ γ 3δβ
2
2
c ( βγ )
c ( βγ )
p γ3
δβ
γ3
δβ
δm c ( βγ ) 2
δβ = γ 2
=
=
p
β
m
( βγ )
c ( βγ )
δm
m
=
δβ
1
(1 − β 2 ) β
La sensibilità della misura peggiora all’aumentare di β
77
Esercizio: misura del tempo di volo di una particella
In fisica delle particelle e’ possibile identificare una particella da
un’ altra, avente lo stesso impulso ma di diversa massa, dalla
misura del tempo di volo che le particelle impiegano a
compiere una determinata distanza. Calcoliamo il tempo di volo a
percorrere una distanza L=15 metri tra due rivelatori a
scintillazione posti ai due estremi della stessa distanza.
L
Le particella di massa m1 ed m2 ed impulso p percorreranno la
distanza L rispettivamente nei tempi t1 e t2 dati da :
L
L
L
L
ti = =
=
=
=L
v
p
vi c i cβ i c 2
Ei
c
2
p 2 c 2 + mi c 4
c2 p
L ⎛⎜
m2 c 2
m1c 2
Δt = t 2 − t1 =
1+ 2 − 1+ 2
c ⎜⎝
p
p
L
m2ic 2
ti =
1+
c
p2
2
2
⎛
m
m
Δt
= 3.34⎜ 1 + 22 − 1 + 12
⎜
L
p
p
⎝
⎞ n sec
⎟
⎟ m
⎠
⎞
⎟
⎟
⎠
( m e p in MeV)
Se p2 »m12c2 ed m22c2, avremo:
(
2
m2 − m1
Δt
≅ 1670
L
p2
2
) pi cos econdi
♦ Δt va come 1/p2
m
78
Tempo di volo
Particle ID using Time Of Flight (TOF)
L
t=
βc
start
stop
Mettiamo insieme la misura del TOF con quella di impulso ( p = m 0 βγ )
m= p
c 2t 2
L2
−1
Mass resolution
dm dp
⎛ dt dL ⎞
=
+ γ 2⎜ +
⎟
m
p
L ⎠
⎝ t
Differenza del tempo di volo tra due particelle di un dato impulso
Δt =
L⎛ 1
1 ⎞ L
⎟=
⎜⎜
−
c ⎝ β 1 β 2 ⎟⎠ c
( 1+ m c
2 2
1
)
/ p 2 − 1 + m 22 c 2 / p 2 ≈
2
2
(
)
m
−
m
1
2
2
2p
Lc
Δt for L = 1 m path length
σt = 300 ps
π/K separation up to
1 GeV/c
79
Identificazione di particelle con luce
Cerenkov
I rivelatori possono sfruttare:
• Nph(β): rivelatori a soglia
• θ(β):
(do not measure θC)
rivelatori differenziali e “RICH”
Ring Imaging Cherenkov detectors
Rivelatori Cherenkov a soglia:
principle
N ≈1−
1
n2β 2
1
= 1 − 2 ⋅ 1 + m2 p2
n
(
)
particle
PM
π/K
β kaon
n=1.03
n=1.02
βkaon
β kaon
; light yield (a.u.)
♦Esempio di separazione:
1.1
1.0
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
0
mirror
radiator medium
n=1.01
1
2
3
4
p kaon [GeV/c]
5
6
80
Misure di massa
1) Thomson
Spettrometri di massa ( vedi figura )
2)
Per particelle relativistiche occorrono campi elettrici troppo elevati:
vedi il caso trattato in precedenza : note due variabili tra E, p ed M.
3)
Massa Invariante. Nel caso di particelle instabili la massa si
determina misurando l’impulso dei suoi prodotti di decadimento
di cui sono note le masse.
Esempio: la particella di massa incognita Mx decade in due particelle
di masse note m1 ed m2. Si misurano gli impulsi vettoriali p1 e p 2
Avremo :
P 2 = M x2 = ( P1 + P2 ) 2 = ( E1 + E 2 ) 2 − ( p1 + p 2 ) 2
= m12 + p12 + m22 + p 22 − 2 E1 E 2 − p12 − p 22 − p1 p 2 cosϑ
M x2 = m12 + m22 − 2 E1 E 2 − 2 p1 p 2 cosϑ
Supponiamo per semplicità che pi >> mi , per cui : E i ≈ p i
M x2 − m12 − m22 ≈ 2 p1 p 2 (1 − cosϑ ) = 4 p1 p 2 sin 2
2M xδM x = 4 p 2 sin 2
ϑ
2
δp1 + 4 p1 sin 2
ϑ
2
ϑ
2
ϑ
ϑ ϑ
δp 2 + 4 p1 p 2 2sin ⋅ cos d
2
2
2
⎛
⎞
⎜
δp 2 dϑ ⎟⎟
2 ϑ ⎜ δp1
+
+
2M xδM x = 4 p1 p 2 sin
ϑ⎟
2 ⎜ p1
p2
tg ⎟
⎜
⎝
2⎠
ϑ δp dϑ
2M xδM x ≈ 4 p1 p 2 sin 2 (2 +
)
ϑ
2
p
tg
2
81
Spettrografo di massa
♦ qE = qvB1
⇒
v = E/B1
⇓
♦Mv2/R = qvB2 ⇒ M = qRB1B2/E
82
6. Misure di vita media
Molti nuclei e particelle sono instabili e decadono con la vita media r definita dalla legge di
t
−
decadimento :
N t = .N 0 ⋅ e τ
Come vedremo, le misure di vita media devono coprire un intervallo di valori che varia di circa
40 ordini di grandezza e sono quindi necessari DIVERSI METODI DI MISURA.
()
1)
Caso in cui
τ >> Δt dove Δt è la durata della misura. In questo caso τ si determina
CONTANDO il numero di decadimenti N
N d = N (t ) − N (t + Δt ) ≈ N (t )
Δt
τ
τ = N Δt
Nd
Questo è il metodo usato per la grande maggioranza dei nuclei radioattivi.
La risoluzione della misura è determinata da
e dalla conoscenza della
Nd
POPOLAZIONE CAMPIONE N.
2) La vita media di una particella che ha una velocità v nel laboratorio, la possiamo determinare
MISURANDO LA DISTANZA TRA IL PUNTO DI PRODUZIONE E QUELLO DI
DECADIMENTO :
La distribuzione dei tempi di decadimento è data da:
t
−
0
τ
dN
N
=
⋅e
dt
τ
Se la particella ha velocità βc nel laboratorio, la sua vita media sara’data da γτ
ed avremo:
x
dN
dN dt
N 0 1 1 − β cγτ
⋅
⋅ ⋅
⋅e
=
=
τ γ βc
dx
dt dx
dove βγcτ è la lunghezza media percorsa nel laboratorio dal punto di produzione a quello
di decadimento.
dN
N 0 − xl
=
⋅e
dx
l
Con un rivelatore di risoluzione δ x = 30 μ m, si .possono
misurare τ
10-13
βγ
sec
83
6. Misure di vita media
3) Per particelle a vita media di 10-23 s, come le risonanze, si
fanno misure indirette misurando la larghezza della
risonanza:
T=
τ
Γ si può ricavare o dalla misura della massa invariante della
particella, oppure da misure di sezioni d’urto in funzione
dell’energia in reazioni in cui è formata la risonanza.
particella
τ ( sec. )
c×τ
K+ (-)
1.2×10-8
3.7 m
K 0S
5×10-10
2.7 cm
K 0L
5×10-8
15.5 m
D+ (-)
10×10-13
315 μm
D0
4×10-13
123.4 μm
B+ (-)
B0
1.7×10-12
1.5 ×10-12
502 μm
462 μm
84