Limiti di successioni 1. Algebra dei limiti

Tipologia: attività di laboratorio
Autore: Luigi Boscaino
Data: 07/01/2016
Destinatari: Classi quinte
Limiti di successioni
1. Algebra dei limiti
Una successione numerica è una sequenza ordinata di numeri costruita sulla base di una corrispondenza tra
i numeri Naturali e i numeri Reali:
𝑛 ∈ 𝑁 → 𝑎𝑛 𝜖 𝑅.
Le successioni si scrivono nella forma: 𝑎1 𝑎2 , … , 𝑎𝑛 , …
Gli infiniti elementi della successione si dicono termini e 𝑎𝑛 si dice termine generale della successione.
I termini della successione sono infiniti, pertanto è importante conoscere il comportamento della
successione man mano che cresce il valore di n. Si introduce, così, il comportamento della successione al
tendere di n all’infinito (𝑛
→ ∞).
Una successione può essere regolare convergente, regolare divergente o irregolare.
Successione regolare convergente.
Se la successione, al tendere di n all’infinito, tende ad un valore finito 𝑙 si dice regolare convergente. Tutto
ciò si formalizza nel modo seguente:
lim 𝑎𝑛 = 𝑙
𝑛→∞
Empiricamente possiamo affermare che i termini della successione assumono valori tanto più vicini a 𝑙
quanto più mi allontano dal suo primo termine. Ovvero, possiamo sfidare chiunque a scegliere un numero
positivo a piacere
𝜀 (comunque piccolo),
e dimostrare che a partire da un numero naturale 𝑛𝜀 (scelto in
funzione di 𝜀 ), tutti i termini 𝑎𝑛 della successione generati dai naturali più grandi di 𝑛𝜀 sono così vicini al
valore 𝑙 da fornire differenze |𝑎𝑛 − 𝑙| sempre più piccole del numero 𝜀 prescelto. Formalizzando:
∀𝜀 > 0 ∃𝑛𝜀 ∶ ∀𝑛 > 𝑛𝜀 ⇒
𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎
|𝑎𝑛 − 𝑙| < 𝜀
Successione regolare divergente.
Se la successione, al tendere di n all’infinito, tende a più infinito o a meno infinito si dice regolare
divergente. Tutto ciò si formalizza nel modo seguente:
lim 𝑎𝑛 = ±∞
𝑛→∞
Empiricamente possiamo affermare che i termini della successione assumono valori in modulo tanto più
grandi quanto più mi allontano dal suo primo termine. Ovvero, possiamo sfidare chiunque a scegliere un
numero positivo a piacere 𝑀 (comunque grande), e dimostrare che a partire da un numero naturale 𝑛𝑀
(scelto in funzione di 𝑀 ), tutti i termini 𝑎𝑛 della successione generati dai naturali più grandi di 𝑛𝑀
risultano in valore assoluto più grandi del numero 𝑀 prescelto |𝑎𝑛 | > 𝑀. Formalizzando:
∀𝑀 > 0 ∃𝑛𝑀 ∶ ∀𝑛 > 𝑛𝑀 ⇒
𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎
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1
|𝑎𝑛 | > 𝑀
Tipologia: attività di laboratorio
Autore: Luigi Boscaino
Data: 07/01/2016
Destinatari: Classi quinte
Limiti di successioni
1. Algebra dei limiti
Successione irregolare.
Se la successione, al tendere di n all’infinito, genera indecisione e non consente di stabilire il valore a cui
tende, si dice successione irregolare. Tutto ciò si formalizza nel modo seguente:
∄ lim 𝑎𝑛
𝑛→∞
Esempio di successione
convergente:
𝑎𝑛 =
Esempio di successione
divergente:
Esempio di successione
irregolare:
𝑎𝑛 = 2𝑛
𝑎𝑛 = (−1)𝑛
1
𝑛
lim 2𝑛 = ∞
𝑛→∞
1
lim = 0
𝑛→∞ 𝑛
Per il calcolo dei limiti delle successioni risulta indispensabile l’applicazione dei …
teoremi fondamentali
𝐥𝐢𝐦 (𝒂𝒏 ± 𝒃𝒏 ) = 𝐥𝐢𝐦 𝒂𝒏 ± 𝐥𝐢𝐦 𝒃𝒏
𝒏→∞
𝒏→∞
𝒏→∞
𝐥𝐢𝐦 (𝒂𝒏 ∙ 𝒃𝒏 ) = 𝐥𝐢𝐦 𝒂𝒏 ∙ 𝐥𝐢𝐦 𝒃𝒏
𝒏→∞
𝒏→∞
𝒏→∞
𝐥𝐢𝐦 𝒂𝒏
𝒂𝒏 𝒏→∞
=
𝒏→∞ 𝒃𝒏
𝐥𝐢𝐦 𝒃𝒏
𝐥𝐢𝐦
𝒄𝒐𝒏 𝒃𝒏 ≠ 𝟎 𝒆 𝐥𝐢𝐦 𝒃𝒏 ≠ 𝟎
𝒏→∞
𝒏→∞
𝒌
𝐥𝐢𝐦 (𝒂𝒏 )𝒌 = (𝐥𝐢𝐦 𝒂𝒏 )
𝒄𝒐𝒏 𝒂𝒏 > 𝟎 𝒆 𝐥𝐢𝐦 𝒂𝒏 > 𝟎
𝐥𝐢𝐦 √𝒂𝒏 = √ 𝐥𝐢𝐦 𝒂𝒏
𝒏→∞
𝒄𝒐𝒏 𝒂𝒏 ≥ 𝟎 𝒆 𝐥𝐢𝐦 𝒂𝒏 ≥ 𝟎
𝒏→∞
𝒏→∞
𝒏→∞
𝒏→∞
𝒏→∞
𝐥𝐢𝐦 𝒃𝒏
𝐥𝐢𝐦 (𝒂)𝒃𝒏 = 𝒂 𝒏→∞
𝒏→∞
𝐥𝐢𝐦 𝒔𝒆𝒏(𝒂𝒏) = 𝒔𝒆𝒏 (𝐥𝐢𝐦 𝒂𝒏 )
𝒏→∞
𝒏→∞
𝐥𝐢𝐦 𝒄𝒐𝒔(𝒂𝒏 ) = 𝒄𝒐𝒔 (𝐥𝐢𝐦 𝒂𝒏 )
𝒏→∞
𝒏→∞
𝐥𝐢𝐦 𝒕𝒈(𝒂𝒏 ) = 𝒕𝒈 (𝐥𝐢𝐦 𝒂𝒏 )
𝒏→∞
𝒏→∞
𝐥𝐢𝐦 𝐥𝐨𝐠 𝒃(𝒂𝒏 ) = 𝐥𝐨𝐠 𝒃 (𝐥𝐢𝐦 𝒂𝒏 )
𝒏→∞
𝒏→∞
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𝒄𝒐𝒏 𝒂𝒏 ≠
𝝅
𝝅
+ 𝒌𝝅 𝒆 𝐥𝐢𝐦 𝒂𝒏 ≠ + 𝒌𝝅
𝒏→∞
𝟐
𝟐
𝒄𝒐𝒏 𝒂𝒏 > 𝟎 𝒆 𝐥𝐢𝐦 𝒂𝒏 > 𝟎
𝒏→∞
2
lim (−1)𝑛 =?
𝑛→∞