Limiti di successioni 1. Algebra dei limiti
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Tipologia: attività di laboratorio Autore: Luigi Boscaino Data: 07/01/2016 Destinatari: Classi quinte Limiti di successioni 1. Algebra dei limiti Una successione numerica è una sequenza ordinata di numeri costruita sulla base di una corrispondenza tra i numeri Naturali e i numeri Reali: π ∈ π → ππ π π . Le successioni si scrivono nella forma: π1 π2 , … , ππ , … Gli infiniti elementi della successione si dicono termini e ππ si dice termine generale della successione. I termini della successione sono infiniti, pertanto è importante conoscere il comportamento della successione man mano che cresce il valore di n. Si introduce, così, il comportamento della successione al tendere di n all’infinito (π → ∞). Una successione può essere regolare convergente, regolare divergente o irregolare. Successione regolare convergente. Se la successione, al tendere di n all’infinito, tende ad un valore finito π si dice regolare convergente. Tutto ciò si formalizza nel modo seguente: lim ππ = π π→∞ Empiricamente possiamo affermare che i termini della successione assumono valori tanto più vicini a π quanto più mi allontano dal suo primo termine. Ovvero, possiamo sfidare chiunque a scegliere un numero positivo a piacere π (comunque piccolo), e dimostrare che a partire da un numero naturale ππ (scelto in funzione di π ), tutti i termini ππ della successione generati dai naturali più grandi di ππ sono così vicini al valore π da fornire differenze |ππ − π| sempre più piccole del numero π prescelto. Formalizzando: ∀π > 0 ∃ππ βΆ ∀π > ππ ⇒ πππππππ |ππ − π| < π Successione regolare divergente. Se la successione, al tendere di n all’infinito, tende a più infinito o a meno infinito si dice regolare divergente. Tutto ciò si formalizza nel modo seguente: lim ππ = ±∞ π→∞ Empiricamente possiamo affermare che i termini della successione assumono valori in modulo tanto più grandi quanto più mi allontano dal suo primo termine. Ovvero, possiamo sfidare chiunque a scegliere un numero positivo a piacere π (comunque grande), e dimostrare che a partire da un numero naturale ππ (scelto in funzione di π ), tutti i termini ππ della successione generati dai naturali più grandi di ππ risultano in valore assoluto più grandi del numero π prescelto |ππ | > π. Formalizzando: ∀π > 0 ∃ππ βΆ ∀π > ππ ⇒ πππππππ www.gigiboscaino.it 1 |ππ | > π Tipologia: attività di laboratorio Autore: Luigi Boscaino Data: 07/01/2016 Destinatari: Classi quinte Limiti di successioni 1. Algebra dei limiti Successione irregolare. Se la successione, al tendere di n all’infinito, genera indecisione e non consente di stabilire il valore a cui tende, si dice successione irregolare. Tutto ciò si formalizza nel modo seguente: β lim ππ π→∞ Esempio di successione convergente: ππ = Esempio di successione divergente: Esempio di successione irregolare: ππ = 2π ππ = (−1)π 1 π lim 2π = ∞ π→∞ 1 lim = 0 π→∞ π Per il calcolo dei limiti delle successioni risulta indispensabile l’applicazione dei … teoremi fondamentali π₯π’π¦ (ππ ± ππ ) = π₯π’π¦ ππ ± π₯π’π¦ ππ π→∞ π→∞ π→∞ π₯π’π¦ (ππ β ππ ) = π₯π’π¦ ππ β π₯π’π¦ ππ π→∞ π→∞ π→∞ π₯π’π¦ ππ ππ π→∞ = π→∞ ππ π₯π’π¦ ππ π₯π’π¦ πππ ππ ≠ π π π₯π’π¦ ππ ≠ π π→∞ π→∞ π π₯π’π¦ (ππ )π = (π₯π’π¦ ππ ) πππ ππ > π π π₯π’π¦ ππ > π π₯π’π¦ √ππ = √ π₯π’π¦ ππ π→∞ πππ ππ ≥ π π π₯π’π¦ ππ ≥ π π→∞ π→∞ π→∞ π→∞ π→∞ π₯π’π¦ ππ π₯π’π¦ (π)ππ = π π→∞ π→∞ π₯π’π¦ πππ(ππ) = πππ (π₯π’π¦ ππ ) π→∞ π→∞ π₯π’π¦ πππ(ππ ) = πππ (π₯π’π¦ ππ ) π→∞ π→∞ π₯π’π¦ ππ(ππ ) = ππ (π₯π’π¦ ππ ) π→∞ π→∞ π₯π’π¦ π₯π¨π π(ππ ) = π₯π¨π π (π₯π’π¦ ππ ) π→∞ π→∞ www.gigiboscaino.it πππ ππ ≠ π π + ππ π π₯π’π¦ ππ ≠ + ππ π→∞ π π πππ ππ > π π π₯π’π¦ ππ > π π→∞ 2 lim (−1)π =? π→∞
