1 L`equazione del calore

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L’equazione del calore
E’suscettibile di tre visioni: come limite macroscopico di un sistema di particelle (lezione
precedente); come equazione di Fokker-Planck; come equazione di Kolmogorov. Vediamo
qualche dettaglio.
1.1
Sulle veri…che di calcolo
A completamento della lezione precedente, veri…chiamo che la funzione de…nita da
Z
pt (x y) 0 (y) dy
(x)
=
t
(1)
Rd
dove pt (x) = (2 t)
e soddisfa
d=2
exp
jxj2 =2t è di¤erenziabile in…nite volte in t ed x, per t > 0,
@ t
1
=
@t
2
t:
(2)
Vale, per t > 0,
@pt (x)
@t
=
d=2 (2 t)
= pt (x)
d=2 1
2 exp
!
jxj2 =2t + (2 t)
d=2
exp
jxj2 =2t jxj2 =2t2
d
jxj2
+ 2
2t
2t
@i pt (x) = pt (x) ( xi =t)
@i2 pt (x) = pt (x) ( xi =t)2 + pt (x) ( 1=t)
x2 1
= pt (x) 2i
:
t
t
Ne discende subito
@pt (x)
1
=
pt (x) :
@t
2
Modulo il riferimento preciso ad opportuni teoremi di derivazione sotto il segno di integrale,
dalla formula di convoluzione per t (x) si deduce subito che vale (2).
1.2
Equazione del calore come esempio di equazione di Fokker-Planck
Col termine "equazione di Fokker-Planck" si intende una certa equazione alle derivate
parziali soddisfatta dalla densità t (x) della soluzione Xt di un’equazione di¤erenziale
stocastica. Se come equazione prendiamo
dXt = dBt ;
Xjt=0 = X0
1
con X0 avente densità 0 (x), la soluzione Xt = X0 + Bt ha densità t (x) data dalla
formula di convoluzione (1), quindi soddisfacente l’equazione del calore. [E’ una delle
argomentazioni usate nella lezione precedente.]
Quindi l’equazione del calore, oltre a vedersi come limite di un sistema di particelle, si
può vedere anche come esempio di equazione di Fokker-Planck.
1.3
Formula di rappresentazione probabilistica
In…ne, vediamo che per la soluzione dell’equazione del calore
@ut
1
=
ut ;
@t
2
ujt=0 = u0
(abbiamo cambiato le notazioni per evitare equivoci) vale la formula di rappresentazione
probabilistica
ut (x) = E [u0 (x + Bt )] :
Infatti,
E [u0 (x + Bt )] =
=
Z
Z
u0 (x + y) pt (y) dy
pt (x
y) u0 (y) dy
che, per quanto detto sopra, risolve l’equazione del calore.
Questo legame di inserisce nel "capitolo" della cosidetta equazione di Kolmogorov.
2
Sulla convergenza debole di misure, nel caso aleatorio
In precedenza abbiamo dimostrato che, per ogni funzione test continua e limitata , vale
Z
Z
N
lim
(x) St (dx) =
(x) t (x) dx
(3)
N !1 Rd
Rd
nel senso della convergenza quasi certa. L’insieme di misura nulla degli ! per cui la convergenza non vale, può dipendere da . Ci chiediamo se questa proprietà, in cui l’insieme eccezionale può dipendere da , ne implichi una apparentemente più forte, in cui l’insieme eccezionale è universale. Vale cioè che, per P -q.o. ! 2 , la successione di misure StN (!) (dx)
converge debolmente a t (x) dx? Possiamo invertire i quanti…catori "per ogni 2 Cb " e
"per P -q.o. ! 2 "?
Ovviamente l’a¤ermazione "per P -q.o. ! 2 , la successione di misure StN (!) (dx)
converge debolmente a t (x) dx" implica l’altra, implica cioè che per ogni 2 Cb vale (3)
P -q.c., perché l’insieme di ! di misura 1 su cui vale la convergenza debole va bene per ogni
2 Cb . Il problema apparentemente di¢ cile è l’opposto. La risposta è a¤ermativa.
2
Corollary 1 Esiste un insieme 0 2 F di P -misura uno, tale che per ogni ! 2
ogni 2 Cb vale
Z
Z
N
(x) St (!) (dx) =
(x) t (x) dx
lim
N !1 Rd
(quindi, per ogni ! 2
e per
Rd
le misure StN (!) (dx) convergono debolmente a
0,
0
t (x) dx).
Proof. Basta dimostrare l’asserto prima per una successione densa di funzioni test, poi
passare a tutte le altre con una stima. Vediamo i dettagli.
Sia f g 2N una successione densa in Cc Rd , l’insieme delle funzioni continue a supporto compatto, densità misurata rispetto alla topologia uniforme (nota: Cb Rd invece
non è separabile). Siccome per ogni 2 N vale (3) con = , trattandosi di una quantità
numerabile di a¤ermazioni, possiamo dire che esiste un insieme 0 2 F di P -misura uno,
tale che per ogni ! 2 0 e per ogni 2 N vale
Z
Z
N
lim
(x) St (!) (dx) =
(x) t (x) dx:
(4)
N !1 Rd
Per ogni
Rd
2 Cc Rd ed
2 N vale
Z
Z
(x) StN (!) (dx)
Rd
j
Z
+
Rd
Z
Rd
k
+
j
(x)j StN (!) (dx)
Z
N
(x) St (!) (dx)
Z
(x)
"+
Rd
Z
Rd
t (x) dx
(x)
Rd
t (x) dx
(!) (dx)
Z
= 1. Presa
Rd
(x) StN (!) (dx)
3
t (x) dx
t (x) dx
StN (!) (dx) +
d
R
Z
N
(x) St (!) (dx)
(x) StN
Z
(x)j
Z
R
R
Ricordiamo che Rd StN (!) (dx) = 1, Rd
2 N tale che k
k1 2" . Vale
Rd
(x)
Rd
k1
Rd
Z
t (x) dx
(x)
Rd
(x)
Rd
+
Z
(x)
Z
Rd
t (x) dx
:
2 Cc Rd , preso " > 0, sia
t (x) dx
(x)
t (x) dx
:
Quindi, ricordando (4), per ogni ! 2 0
Z
(x) StN (!) (dx)
lim sup
N !1
Rd
Z
Rd
(x)
t (x) dx
":
Siccome " > 0 è arbitrario ed il limsup non dipende da ", si deduce che il limsup è zero.
In…ne, si ricordi che se una successione di misure di probabilità converge ad una misura
di probabilità (questo è essenziale, e qui è veri…cato) su tutte le funzioni test di Cc Rd ,
allora converge debolmente (cioè su tutte e funzioni test di Cb Rd ). La dimostrazione è
completa.
Remark 2 Analogo risultato vale se al posto della convergenza quasi certa si utilizza la
convergenza in probabilità: dall’a¤ ermazione che per ogni 2 Cb vale (3) nel senso della
convergenza in probabilità, discende d StN ; t ! 0 in probabilità, dove d è una qualsiasi
metrica che induca la convergenza debole (ne esistono diverse).
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